PHÒNG GD&ĐT MỸ ĐỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Năm học 2010-2011 Môn thi: Toán 7 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (6 điểm) a, Tính : 1 1 1 1 1 1 1 3 18 54 108 180 270 378 A = − − − − − − b, Tìm các số nguyên tố x, y sao cho : 51x+26y=2000 c, Tìm số tự nhiên n, biết: (2 14 :1024).2 n =128 Bài 2 ( 4,0 điểm ) Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là 108 m. Tính chiều dài, chiều rộng mảnh vườn đó biết chúng lần lượt tỉ lệ với 4 và 3 Bài 3: (2,0 điểm) Cho a,b,c ∈ R và a,b,c ≠ 0 thoả mãn b 2 = ac. Chứng minh rằng: c a = 2 2 ( 2011 ) ( 2011 ) a b b c + + (Biết rằng các tỉ số đều có nghĩa) Bài 4: (6,0 điểm) Cho góc vuông xAy. C là một điểm thuộc tia phân giác Az của góc xAy. D là hình chiếu của C trên Ax, B là hình chiếu của C trên Ay. Trên các đoạn thẳng AD, AB lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho chu vi tam giác APQ bằng AD+AB. Trên tia Dx lấy điểm E sao cho DE=QB. Chứng minh rằng: a, ∆ CDE= ∆ CBQ b, PC là tia phân giác của góc DPQ. c, Góc PCQ có số đo bằng 45 0 . Bài 5: (2,0 điểm) Cho đa thức f(x)= ax 2 +bx+c với a, b, c là các số thực thỏa mãn 13a+b+2c=0. Chứng tỏ rằng: f(-2).f(3) ≤ 0 Hết./. Đề chính thức HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung cấn đạt Điềm Bài 1 6,0đ a, 2,0 đ 1 1 1 1 1 1 1 3 18 54 108 180 270 378 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 3 18 54 108 180 270 378 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 3 3.6 6.9 9.12 12.15 15.18 18.21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 3 3 3 6 6 9 9 18 21 1 1 1 1 1 1 6 1 2 5 ( ) . 3 3 3 21 3 3 21 3 21 21 A A A A A = − − − − − − = − + + + + + = − + + + + + = − − + − + + + − = − − = − = − = 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b, 2,0 đ Ta có: 51x+26y=2000; 26x M 2; 2000 M 2 suy ra 51x M 2 mà 51 và 2 là hai số nguyên tố cùng nhau nên x M 2. Mặt khác x là số nguyên tố nên x=2 Do đó, ta có: 51.2+26y=2000=>y=73 là số nguyên tố Vậy x=2; y=73 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ c, 2,0 đ (2 14 :1024).2 n =128 (2 14 :2 10 ).2 n =128 2 4 .2 n =2 7 2 4+n =2 7 4+n=7 n=3 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ Bài 2 4,0 điểm Gọi a,b lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ta có: 4 3 a b k= = =>a=4k; b=3k Diên tích mảnh vườn là: a.b=4k.3k=12k 2 =108 => k 2 =9=>k=3 =>a=12;b=9 1,0đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ Bài 3 2,0điểm b 2 = ac=> 2011 2011 2011 2011 b a a b b a b a b c b b c c b c b c + = ⇒ = = ⇒ = = + 2 2011 2011 2011 . . 2011 2011 2011 a b a b a b a a b b c b c b c c b c + + + = ⇒ = ÷ + + + Do đó: c a = 2 2 ( 2011 ) ( 2011 ) a b b c + + 0,75đ 1,0đ 0,25đ Bài 4 6,0 đ 0,25đ a, 1,75 a, Xét ∆ CDE và ∆ CBQ, có: DC=CB(T/c điểm thuộc tia phân giác) µ µ 0 90D B= = DE=QB(gt) Do đó ∆ CDE= ∆ CBQ(c.g.c) 1,75đ b, 2,0 b, Ta có : AP+PQ+AQ=AD+AB(GT)(1) EP+AP+AQ=DP+AP+AQ+QB=AD+AB(2) Từ (1)(2)=>EP=PQ Xét ∆ CEP và ∆ CQP, có: CP chung CE=CQ(Cạnh tương ứng của hai tg bằng nhau ∆ CDE= ∆ CBQ) EP=PQ(c/m trên) Vậy, ∆ CEP= ∆ CQP(c.c.c) => · · EPC CPQ= =>PC là tia phân giác của góc DPQ 0,5đ 1,0đ 0,5đ c, 2,0 c, Kẻ CI ⊥ PQ Chứng minh được các cặp tam giác bằng nhau: ∆ CDP= ∆ CIP(Cạnh huyền-góc nhọn); ∆ CBQ= ∆ CIQ(Cạnh huyền-Cạnh góc vuông) Từ đó chứng minh được CP,CQ lần lượt là tia phân giác của các góc DCI, ICB Chứng minh được · · 0 0 1 1 .90 45 2 2 PCQ DCB= = = 1,0đ 0,5đ 0,5đ Bài 5 2,0điểm Ta có: f(-2)=a.(-2) 2 +b(-2)+c=4a-2b+c;f(3)=a.3 2 +b.3+c =9a+3b+c =>f(-2)+f(3)=13a+b+2c=0=>f(-2)=-f(3) =>f(-2).f(3)=-[f(3)] 2 ≤ 0 0,75đ 0,75đ 0,5đ Lưu ý: +, Bài 4: Nếu học sinh không vẽ hình thi không chấm điểm +, Học sinh giải theo cách khác đúng, phù hợp với chương trình thì vẫn cho điểm tối đa . k 2 =9=>k=3 =>a=12;b=9 1,0đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ Bài 3 2,0điểm b 2 = ac=> 2011 2011 2011 2011 b a a b b a b a b c b b c c b c b c + = ⇒ = = ⇒ = = + 2 2011 2011 2011 . . 2011 2011 2011 a b a b a b a a b b c b c b c c b c +. c a = 2 2 ( 2011 ) ( 2011 ) a b b c + + 0,75đ 1,0đ 0,25đ Bài 4 6,0 đ 0,25đ a, 1,75 a, Xét ∆ CDE và ∆ CBQ, có: DC=CB(T/c điểm thuộc tia phân giác) µ µ 0 90D B= = DE= QB(gt) Do đó ∆ CDE= ∆ CBQ(c.g.c) 1,75đ b,. PHÒNG GD&ĐT MỸ ĐỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Năm học 2010 -2011 Môn thi: Toán 7 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (6 điểm) a,