GV Trần Tiến Dũng 1 Trường THCS Phan Đình Phùng NHỮNG CÔNG THỨC CĂN BẢN ĐẠI SỐ 9 Chương I: CĂN THỨC BẬC HAI 1. Căn bậc hai số học của a, Kí hiệu x = a .Tổng quát: x = a ⇔ 2 0x x a ≥ = Suy ra: (- a ) 2 = ( a ) 2 = a (a ≥ 0).Số a 〈 0 không có căn bậc hai,số 0 có căn bậc hai duy nhất là 0. 2. A có nghĩa khi và chỉ khi A ≥ 0. Ví dụ 2 3x − có nghĩa khi và chỉ khi: 2x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 2 3. 2 A = A = 0 0 A A A A → ≥ − → < . Ví dụ: A = a – b thì 2 ( )a b− = a b− = 0 0 a b a b a b b a a b a b − → − ≥ ⇔ ≥ − → − < ⇔ < 4. . .A B A B€ (với A ≥ 0 và B ≥ 0) ; 5. A B € A B (với A ≥ 0 và B >0 ) 6. 2 . .A B A B= ( B ≥ 0) ; 7. A B = 2 A B (với A ≥ 0 và B ≥ 0) ; 8. A B = - 2 A B (A<0; B ≥ 0) 9. 2 AB B = AB B (với A.B ≥ 0; B ≠ 0); 10. A B = .A B B (B>0); 11. 1 A B A B A B ± = − ± ( A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B) Chương II: HÀM SỐ BẬC NHẤT. 1.Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (với a ≠ 0,b ≠ 0): Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ. • Cho x = 0, tính được y = b,ta có điểm P(0;b) • Cho y = 0, tính được x = b a − ,ta có 1 điểm Q( b a − ; 0).Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P,Q ta được đồ thị. 2.* (d 1 )//(d 2 ) ⇔ (a = a ’ ; b ≠ b ’ ) ; * (d 1 ) ≡ (d 2 ) ⇔ (a = a ’ ; b = b ’ ) ; * (d 1 ) I (d 2 ) ⇔ a ≠ a ’ ; Nếu a ≠ a ’ và b = b ’ thì hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung có tung độ bằng b. Chương III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. 1.Một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: (1) ' ' ' ' ax+by=c(d) a ( )x b y c d + = + Mỗi đồ thị của mỗi PT là 1 đường thẳng, cách vẽ: + cho x = 0 tìm y = c b ta được 1 điểm A(0; c b ) +Cho y = 0 tìm x = c a ta tìm được 1 điểm B( c a ;0),kẻ đường thẳng đi qua hai điểm A và B ta được đồ thị (d). • Cách vẽ(d ’ ) tương tự như vẽ đường thẳng (d),nhưng đặt tên hai điểm là C( 0 ; ' ' c b ) và D( ' ' c a ; 0 ). • (d) I (d ’ ) ⇔ ' a a ≠ ' b b thì hệ phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất. • (d) //( d ’ ) ⇔ ' a a = ' b b ≠ ' c c thì hệ phương trình (1) vô nghiệm. • (d) ≡ (d ’ ) ⇔ ' a a = ' b b = ' c c thì hệ phương trình(1) vô số nghiệm. 2.Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số,ta làm như sau: - Nhân hai vế của một PT với cùng một số khác 0(nếu cần) sao cho các hệ số của ẩn x(hoặc ẩn y) trong hai PT của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau - Sử dụng quy tắc cộng đại số để cộng hoặc trừ từng vế với nhau thì được hệ PT mới, trong đó có 1 PT mà hệ số của 1 trong hai ẩn bằng 0.Giải hệ PT một ẩn vừa thu được, rồi tìm nốt ẩn còn lại. 3.Giải hệ PT bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp thế,ta làm như sau: -Từ 1 PT của ẩn, ta biểu thị ẩn x theo y (hoặc ẩn y theo x). - Thế biểu thức tìm được của x (hoặc của y) vào PT còn lại để được PT 1 ẩn y ( hoặc x) - Giải PT bậc nhất vừa tìm được, rồi thay giá trị tìm được của y (hoặc x) vào biểu thức tìm được trong bước thứ nhất để tìm giá trị của ẩn còn lại. GV Trần Tiến Dũng 2 Trường THCS Phan Đình Phùng 4. Giải bài toán bằng cách lập PT bậc nhất hai ẩn , ta thực hiện 3 bước như sau: B1: Lập hệ PT. (bước này gồm có 3 bước nhỏ) - Chọn hai đại lượng cần tìm làm hai ẩn x, y.Đồng thời đặt đơn vị và điều kiện thích hợp cho hai ẩn. + Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua hai ẩn và các đại lượng đã biết. . Tìm mối liên quan giữa các đại lượng để lập thành hai PT ( ghép lại thành một hệ PT ) B2: Giải hệ PT vừa lập được B3: Chọn kết quả thích hợp với điều kiện của hai ẩn và trả lời. * CHƯƠNG IV: HÀM SỐ Y = AX 2 - PT BẬC HAI MỘT ẨN: A) Hàm số ( ) 2 a 0y x a= ≠ . *Tính chất của đồ thị hàm số ( ) 2 a 0y x a= ≠ : Đồ thị hàm số ( ) 2 a 0y x a= ≠ là một đường cong đi qua gốc tọa độ O và nhận trục Tung Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó gọi là một parabol đỉnh O. - Nếu a>0 thì đồ thị đó nằm trên trục Hoành Ox và O là điểm thấp nhất của đồ thị. Hàm ĐB khi x>0; NB khi x<0. - Nếu a<0 thì đồ thị đó nằm dưới trục Hoành Ox và O là điểm cao nhất của đồ thị. Hàm ĐB khi x<0; NB khi x>0. *B. Bảng tóm tắt công thức nghiệm của phương trình bậc hai: Phương trình: ( ) 2 0 0ax bx c a+ + = ≠ .Biệt thức: 2 4b ac∆ = − +Nếu 0 ∆ > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 b x a − + ∆ = ; 2 2 b x a − − ∆ = +Nếu 0 ∆ = : Phương trình có nghiệm kép: 1 2 2 b x x a − = = +Nếu 0 ∆ < : PT vô nghiệm. *C. Bảng tóm tắt công thức nghiệm thu gọn: Phương trình: ( ) 2 0 0ax bx c a+ + = ≠ Với / 2b b= .Biệt thức: / / 2 ( )b ac∆ = − +Nếu / 0∆ > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: / / 1 b x a − + ∆ = ; / / 2 b x a − − ∆ = +Nếu / 0∆ = : Phương trình có nghiệm kép: / 1 2 b x x a − = = + Nếu / 0∆ < : Phương trình vô nghiệm. Đặc biệt: Nếu a và c trái dấu nhau thì phương trình bậc hai: ( ) 2 0 0ax bx c a+ + = ≠ có hai nghiệm phân biệt trái dấu. *D. HỆ THỨC VIÉT VÀ ỨNG DỤNG: 1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax 2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp: a)Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : - Có một nghiệm duy nhất - hoặc vô nghiệm - hoặc vô số nghiệm b)Nếu a ≠ 0 Lập biệt số ∆ = b 2 – 4ac hoặc ∆ / = b /2 – ac * ∆ < 0 ( ∆ / < 0 ) thì phương trình (1) vô nghiệm * ∆ = 0 ( ∆ / = 0 ) : phương trình (1) có nghiệm kép x 1,2 = - a b 2 (hoặc x 1,2 = - a b / ) * ∆ > 0 ( ∆ / > 0 ) : phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x 1 = a b 2 ∆−− ; x 2 = a b 2 ∆+− (hoặc x 1 = a b // ∆−− ; x 2 = a b // ∆+− ) 2. Định lý Viét. GV Trn Tin Dng 3 Trng THCS Phan ỡnh Phựng a) Thun: Nu x 1 , x 2 l nghim ca phng trỡnh ax 2 + bx + c = 0 (a 0) thỡ S = x 1 + x 2 = - a b p = x 1 x 2 = a c Lu ý: Khi ú ta cng cú: 1 2 x x a D - = b) o : Nu cú hai s x 1 ,x 2 m x 1 + x 2 = S v x 1 x 2 = p thỡ hai s ú l nghim (nu có ) của phơng trình bậc 2: x 2 S x + p = 0 ( iu kin cú hai s ú l : S 2 4P 0 ) 3.Dấu của nghiệm số của phơng trình bậc hai. Cho phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a 0) . Gọi x 1 ,x 2 là các nghiệm của phơng trình .Ta có các kết quả sau: Hai nghim x 1 và x 2 trái dấu( x 1 < 0 < x 2 ) p < 0 Hai nghiệm cùng du ( x 1 > 0 và x 2 > 0 hoc x 1 < 0 và x 2 < 0 ) 0 0P > Hai nghiệm cùng dơng( x 1 > 0 và x 2 > 0 ) > > 0 0 0 S p Hai nghiệm cùng âm (x 1 < 0 và x 2 < 0) < > 0 0 0 S p Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dơng( x 2 > x 1 = 0) > = > 0 0 0 S p Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x 1 < x 2 = 0) < = > 0 0 0 S p 4. Mt s bài toán ứng dụng định lý Viét : a)Tính nhẩm nghiệm. Xét phơng trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a 0) Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x 1 = 1 , x 2 = a c Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x 1 = -1 , x 2 = - a c Nếu x 1 + x 2 = m +n , x 1 x 2 = mn và 0 thì phơng trình có nghiệm x 1 = m , x 2 = n hoặc x 1 = n , x 2 = m b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x 1 ,x 2 của nó Cách làm : - Lập tổng S = x 1 + x 2 - Lập tích p = x 1 x 2 - Phơng trình cần tìm là : x 2 S x + p = 0 GV Trn Tin Dng 4 Trng THCS Phan ỡnh Phựng c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện cho trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi): *) x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 = S 2 2p *) (x 1 x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 ) 2 4x 1 x 2 = S 2 4p *) x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2 ) 3 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) = S 3 3Sp *) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2 ) 2 2x 1 2 x 2 2 *) 21 21 21 11 xx xx xx + =+ = p S *) 21 2 2 2 1 1 2 2 1 xx xx x x x x + =+ = p pS 2 2 *) (x 1 a)( x 2 a) = x 1 x 2 a(x 1 + x 2 ) + a 2 = p aS + a 2 *) 2 21 21 21 2 ))(( 2 11 aaSp aS axax axx axax + = + = + (Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện 0 ) d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x 1 cho trớc .Tìm nghiệm thứ 2 Cách giải: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x 1 cho trớc có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm: 0 (hoặc 0 / ) (*) - Thay x = x 1 vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của tham số - Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*) để kết luận +) Cách 2: - Không cần lập điều kiện 0 (hoặc 0 / ) mà ta thay luôn x = x 1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số - Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và giải phơng trình Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này có < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x 1 cho trớc. tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm +) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2 trình bầy ở trên) +) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm thứ 2 +) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc nghiệm thứ 2 * Nu phng trỡnh bc hai : ( ) 2 0 0ax bx c a+ + = cú hai nhgim l 1 x v 2 x thỡ: ( ) ( ) 2 1 2 ax bx c a x x x x+ + = *E. PHNG TRèNH QUY V PHNG TRèNH BC HAI: * Phng trỡnh trựng phng: ( ) 4 2 0 0ax bx c a+ + = t 2 0t x t= a v phng trỡnh bc hai: ( ) 2 0 0at bt c a+ + = ( khi gii PT n ph t<0 thỡ khụng TMK , nu c hai n t 1 , t 2 u <0 thỡPT ban u vụ nghim * Cỏc bc gii phng trỡnh cha n mu: - Tỡm KX ca phng trỡnh. - Quy ng mu v kh mu. - Gii phng trỡnh va cú c. - Chn kt qu tha món KX v tr li v nghim ca phong trỡnh cn gii. * Phng trỡnh tớch: A.B = 0 A=0 hoc B=0 GHI CH: Cũn mt s kin thc i s 9 quan trng na, nhng do kh giy A4 cú hn, mong cỏc em t tỡm tũi v t hc cho tht vng chc. Chỳc cỏc em thnh t trờn lnh vc TON HC . ( GV b mụn : Trn Tin Dng ) . Tm ht . GV Trần Tiến Dũng 1 Trường THCS Phan Đình Phùng NHỮNG CÔNG THỨC CĂN BẢN ĐẠI SỐ 9 Chương I: CĂN THỨC BẬC HAI 1. Căn bậc hai số học của a, Kí hiệu x = a .Tổng quát: x =. Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm thứ 2 +) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc nghiệm thứ. = +Nếu 0 ∆ < : PT vô nghiệm. *C. Bảng tóm tắt công thức nghiệm thu gọn: Phương trình: ( ) 2 0 0ax bx c a+ + = ≠ Với / 2b b= .Biệt thức: / / 2 ( )b ac∆ = − +Nếu / 0∆ > : Phương