SỞ GD&ĐT BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2010 - 2011 TRƯỜNG THPT TAM QUAN MÔN: TOÁN-KHỐI 12 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu I:(3.0 điểm). Cho hàm số x 3 y x 1 + = − (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) . b) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C) tại điểm có hoành độ x 0 = 2 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục tung, trục hoành. Câu II:(1.5 điểm). Tính các tích phân sau: a) 7 3 2 0 1I x x dx = + ∫ ; b) 4 0 (3 2 )cos2I x xdx π = − ∫ Câu III:(1.0 điểm). Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 1y x= + ,y =0,x =0,x =1 khi quay xung quanh trục Ox. Câu IV:(3.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–1; 0; 2), mặt phẳng (P): 2x – y – z +3 = 0 và đường thẳng (d): 3 2 6 2 4 1 x y z− − − = = . a) Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và song song (P). b) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P).Tìm tọa độ tiếp điểm của (S) và (P). c) Viết phương trình đường thẳng (∆) biết rằng (∆) đi qua điểm A, cắt (d) tại B và cắt (P) tại C sao cho 2 0AC AB+ = uuur uuur r . Câu V (1.5 điểm) 1.a) Tìm mô đun của số phức 2 9 15 (2 3 )z i i= − + + b)Cho số phức z thỏa mãn (1 ) (4 7 ) 8 4i z i i+ + − = − .Tìm phần thực và phần ảo của số phức z 2.Cho số phức 1 1 i z i − = + .Tính giá trị của 2011 z HẾT Họ và tên: …………………………………………….Số báo danh:…………………… SỞ GD&ĐT BÌNH ĐỊNH HƯỚNG DẪN CHẤM TRƯỜNG THPT TAM QUAN THI HỌC KÌ II - MÔN TOÁN LỚP 12 NĂM HỌC 2010 - 2011 (Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang) CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM I (3 điểm) a/ (1.5 điểm) x 3 y x 1 + = − TXĐ: D = { } \ 1R 0.25 Sự biến thiên: * Chiều biến thiên: ( ) 2 1 4 ' − − = x y <0 ; 1≠∀x Suy ra hàm số luôn nghịch biến trên ( ) ( ) ,1 à 1,v−∞ +∞ * Hàm số không có cực trị. *Giới hạn và tiệm cận: + +∞= − + = + + → → 1 3 limlim 1 1 x x y x x ;+ −∞= − + = − − → → 1 3 limlim 1 1 x x y x x Suy ra x=1 là TCĐ. 1lim = ±∞→ x y Suy ra y=1 là TCN. * Bảng biến thiên: 1 + ∞ - ∞ 1 - - + ∞ - ∞ 1 y y' x 0.25 0.25 0.25 Đồ thị: Điểm đặc biệt: Giao điểm của đồ thị với Oy :(0 ;-3) Giao điểm của đồ thị với Ox :(-3 ;0) Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận I(1 ; 1) làm tâm đối xứng 4 2 -2 -4 -6 -5 5 0.25 0.25 y x -3 -3 O b/(0.5 điểm) .Với x 0 = 2 ⇒ y 0 = 5 Hệ số góc của tiếp của (C) tại (2;5) là : k = f’(2)= -4. Phương trình tiếp tuyến : y = -4(x -2)+5 ⇔ y = -4x +13. c/.(1.0 điểm) Hoành độ giao điểm của ( C)và trục hoành là nghiệm PT: x 3 0 x 3 0 x 3 x 1 + = ⇔ + = ⇔ = − − Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục tung, trục hoành có diện tích là S = 0 0 0 3 3 3 3 4 (1 ) ( 4ln 1) 1 1 x dx dx x x x x − − − + = + = + − − − ∫ ∫ = 3 4ln 4 4ln 4 3− = − (đvdt) 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 II (1.5 điểm) a/(0.75 điểm) 7 3 2 0 1I x x dx = + ∫ Đặt : 3 2 3 2 2 2 1 1 3 2 3 2 t x t x t dt xdx xdx t dt = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = Đổi cận: 0 1; 7 2x t x t= ⇒ = = ⇒ = 2 2 3 4 1 1 3 3 3 45 (16 1) 2 8 8 8 I t dt t⇒ = = = − = ∫ 0.5 0.25 b/(0.75 điểm) 4 0 (3 2 )cos2I x xdx π = − ∫ Đặt: 3 2 2 sin 2 cos 2 2 u x du dx x dv x v = − ⇒ = − = ⇒ = 4 4 4 0 0 0 sin 2 6 cos2 (3 2 ) sin 2 ( ) 2 4 2 6 1 8 ( ) (0 1) 2 4 2 4 4 x x I x xdx π π π π π π π − ⇒ = − + = − − − = − − = = − ∫ 0.25 0.25 0.25 III (1 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị 3 1y x= + và y=0: [ ] 3 1 0 1 0;1x x+ = ⇔ = − ∉ Gọi V là thể tích của vật thể cần tìm : 1 1 3 2 6 3 0 0 1 7 4 0 ( 1) ( 2 1) 1 1 1 23 1 7 2 7 2 14 V x dx x x dx x x x π π π π π = + = + + = + + = + + = ÷ ÷ ∫ ∫ 0.25 0.25 0.5 IV a/(1.5 điểm)* Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ 2x – y – z +3 = 0 (1) và 0.25 (2 điểm) 3 2 6 2 4 1 x y z− − − = = (2) -Đặt t = 3 2 6 2 4 1 x y z− − − = = ⇒ x = 3 + 2t; y = 2 + 4t và z = 6 + t - Thay vào (1) giải được t = 1 - Thay t= 1 lại (3) được tọa độ giao điểm là M(5; 6; 7). * Do mặt phẳng (Q) qua A và song song (P) nên có phương trình dạng 2x – y – z + d = 0 * Vì (Q) qua A(–1; 0; 2), nên có d = 4. Vậy pt (Q): 2x – y – z + 4 = 0 0.5 0.25 0.25 0.25 b/. (1.0 điểm) * Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có bán kính R = d(A, (P)) = 2( 1) 2 3 1 4 1 1 6 − − + = + + ⇒ Phương trình mặt cầu là : 2 2 2 1 ( 1) ( 2) 6 x y z+ + + − = *Đường thẳng ( )∆ qua A(-1;0;2) và vuông góc (P) nhận VTPT của (P) (2; 1; 1)n = − − r làm VTCP có PTTS: 1 2 ,( ) 2 x t y t t R z t = − + = − ∈ = − -Gọi ( ) ( )H P= ∆ ∩ .H là tiếp điểm có tọa độ là nghiệm của hệ: 1 6 2 3 0 2 1 2 2 1 11 3 ( ; ; ) 1 3 6 6 6 2 11 6 t x y z x x t H y t y z t z = − − + = = − = − + ⇔ ⇒ − − = − = − = − = 0.25 0.25 0.25 0.25 c/. (1.0 điểm) * B ∈ (d) ⇒ B(3 + 2t; 2 + 4t; 6 + t) ⇒ AB uuur =(4 + 2t; 2 + 4t; 4 + t) * Từ 2 0AC AB+ = uuur uuur r ⇒ AC uuur =(- 8 – 4t; - 4 – 8t; - 8 – 2t) ⇒ C(- 9 – 4t; - 4 – 8t; - 6 – 2t) * C ∈ (P) ⇒ t = 5/2 ⇒ AB uuur =(9; 12; 13/2 ) là một vtcp của (∆) * Mà (∆) qua A nên có ptts là 1 9 12 13 2 2 x t y t z t = − + = = + 0.25 0.25 IV (1.5điểm) 1.(1.0điểm) a/ Ta có 2 2 9 15 (2 3 ) 9 15 4 9 12 4 3z i i i i i i= − + + = − + + + = − Mô đun của z là 2 2 4 ( 3) 25 5z = + − = = b/ Ta có 0.25 0.25 2 (1 ) (4 7 ) 8 4 (1 ) 4 3 4 3 (4 3 )(1 ) 4 4 3 3 7 1 1 (1 )(1 ) 2 2 2 i z i i i z i i i i i i i z i i i i + + − = − ⇔ + = + + + − − + − ⇔ = = = = − + + − Số phức z có phần thực là a = 7 2 ,phần ảo là b = 1 2 − , 0.25 0.25 2.(0.5 điểm)Ta có: 2 2 2 2 1 (1 )(1 ) 2 ( ) 1 1 2 2 i i i i i i − − − − = = = − = − ÷ ÷ ÷ + 1005 2011 2010 2 1005 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 )(1 ) 2 ( 1) 1 1 2 2 i i i i i i i i i i i i i i i i i i − − − − − ⇒ = = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + − − − − − = − = − = − = − = ÷ + + 0.25 0.25 HẾT * Lưu ý: Nếu học sinh có cách giải khác mà vẫn đúng thì giám khảo cho điểm tối đa từng phần như đáp án trên. . cận: + + = − + = + + → → 1 3 limlim 1 1 x x y x x ;+ −∞= − + = − − → → 1 3 limlim 1 1 x x y x x Suy ra x=1 là TCĐ. 1lim = ±∞→ x y Suy ra y=1 là TCN. * Bảng biến thiên: 1 + ∞ - ∞ 1 - - + ∞ - ∞ 1 y y' x . 3 )(1 ) 4 4 3 3 7 1 1 (1 )(1 ) 2 2 2 i z i i i z i i i i i i i z i i i i + + − = − ⇔ + = + + + − − + − ⇔ = = = = − + + − Số phức z có phần thực là a = 7 2 ,phần ảo là b = 1 2 − , 0.25 0.25 2.(0.5. = = − = − + ⇔ ⇒ − − = − = − = − = 0.25 0.25 0.25 0.25 c/. (1.0 điểm) * B ∈ (d) ⇒ B(3 + 2t; 2 + 4t; 6 + t) ⇒ AB uuur =(4 + 2t; 2 + 4t; 4 + t) * Từ 2 0AC AB+ = uuur uuur