Chuyên đề 1: Phương trình Mũ PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 1 : Dùng phép biến đổi tương đương đưa phương trình đã cho về dạng ( ) ( )f x g x a a= (1) Khi đó : (1) ( ) ( )f x g x a a= ( ) ( )f x g x⇔ = Dạng 2 : Nếu cơ số a = h(x) là một biểu thức chứa ẩn số x thì: ( ) ( ) 1: ( ) 1 ( ) ( ) : 0 ( ) 1 2 : ( ) ( ) f x g x TH h x h x h x dk h x TH f x g x = = <=> < ≠ = Dạng 3 : Phương pháp đặt ẩn phụ Đặt ( ) , 0 f x t a t= > với a và ( )f x thích hợp để đưa phương trình biến số x đã cho về phương trình mới biến t, giải phương trình này tìm t (đối chiếu điều kiện t > 0) rồi từ đó tìm x. Ví dụ: 9 4.3 45 0 x x − − = đặt ẩn phụ 3 , : 0 x t dk t= > Ví dụ: 2 2 5 5 2 4 2 4 x x x x+ − + − + − = − (đặt t= 2 5 2 x x+ − ) BÀI TẬP DẠNG 1 1. 2 8 1 3 2 4 x x x− + − = ĐS : { } 2; 3− − 2. 2 5 6 5 1 x x − − = 3. 2 5 125 x = ĐS: 3 2 4. 3 1 4 7 16 0 7 4 49 x x− − = ÷ ÷ 5. 2 5 6 2 2 16 2 x x− − = ĐS : { } 1;7− 6. 3 (3 2 2) 3 2 2 x − = + ĐS : 1 3 − 7. 1 1 5 6.5 3.5 52 x x x+ − + − = ĐS : { } 1 8. 2 3 2 3 5 5 3 .5 3 .5 x x x x+ + = 9. 1 1 1 5 25 x x x x + − − = 10. 1 2 2 9 3 .2 12 x x x− − − = 11. 1 2 3 1 2 3 3 3 9.5 5 5 x x x x x x+ + + + + + + = + + ĐS : { } 0 12. 1 3 .2 72 x x+ = ĐS : { } 2 13. 1 2 2 .3 .5 12 x x x− − = ĐS : { } 2 14. 2 5 3 9 x x− − = 15. 4 4 1 3 81 x x − − = ĐS : 1x ≥ 16. 1 2 2 2 ( 4 2) 4 4 4 8 x x x x x+ − − = + − − 1 2 17. 6 4.3 2 4 0 x x x − − + = ĐS : { } 0;2 BÀI TẬP DẠNG 2 1. 2 2 2 2 3 ( 1) ( 1) x x x x + − = − ĐS : { } 2; 3± − 2. 3 ( 1) 1 x x − + = ĐS : { } 3 3. 1 2 1 2 2 2 2 3 3 3 x x x x x x− − − − + + = − + ĐS : 2 4. 3 1 1 3 ( 10 3) ( 10 3) x x x x − + − + + = − ĐS : 5± 5. 8.3 3.2 24 6 x x x + = + (ĐH QGHN-2000) ĐS: { } 1;3 6. 2 2 2 2 4.2 2 4 0 x x x x x+ − − − + = (ĐH D-2006) ĐS: { } 0;1 BÀI TẬP DẠNG 3 1. 9 4.3 45 0 x x − − = ĐS : 2 2. 2 2 2 6 0 x x + − = 3. 9 8.3 7 0 x x − + = 4. 2 2 4 6.2 8 0 x x − + = 5. 1 8 6.2 2 0 x x− − + = ĐS : 0 6. 1 1 5 5 26 x x+ − + = ĐS : 1; -1 7. 1 7 7 6 0 x x− − + = ĐS : 1 8. 2 2 sin cos 9 9 10 x x + = ĐS : 2 k π 9. 2 2 4 16 10.2 x x− − + = ĐS : 3; 11 10. 2 2 5 5 2 4 2 4 x x x x+ − + − + − = − (đặt t= 2 5 2 x x+ − )ĐS : 2 11. 2 3 3 8 2 12 0 x x x + − + = ĐS : 3; 6 log 8 12. (7 4 3) (2 3) 2 0 x x + + + − = ĐS : 0 13. (2 3) (2 3) 14 x x + + − = ĐS : 2 14. 2 2 2 15.25 34.15 15.9 0 x x x − + = 15. 1 1 1 6.9 13.6 6.4 0 x x x − + = ĐS : 1; -1 16. 2 4 3.4 2.3 5.36 x x x + = ĐS : 0; 1/2 17. 3 (3 5) 16.(3 5) 2 x x x+ + + − = ĐS : 3 5 ( ) 2 log 4 + 18. 2 2 2 2 6 9 3 5 2 6 9 3 4.15 3.5 x x x x x x+ − + − + − + = ĐS : 1; -4 Dạng 4 : Phương pháp lôgarit hóa Chuyên đề 1: Phương trình Mũ Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng sau : • ( ) ( ) log f x a a b f x b= ⇔ = • ( ) ( ) ( ) ( )log f x g x a a b f x g x b= ⇔ = • ( ) ( ) . ( ) ( )log log f x g x a a a b c f x g x b c= ⇔ + = Chú ý : Phương pháp này thường áp dụng cho các phương trình chứa phép nhân, chia giữa các hàm số mũ. VD. Giải các phương trình sau 1. 2 3 .2 1 x x = ĐS : 3 0; log 2− 2 4 2 2. 2 3 x x− − = ĐS : 3 2;log 2 2− 3. 2 5 6 3 5 2 x x x− + − = ĐS : 5 3;2 log 2+ 1 4. 3 .4 18 x x x − = ĐS : 3 2; log 2− 5. 2 2 8 36.3 x x x − + = ĐS : 3 4; 2 log 2− − 7 5 6. 5 7 x x = ĐS : 7 5 5 log (log 7) 7. 5 3 log 5 25 x x − = ĐS : 5 log 5 4 3 8. .5 5 x x = ĐS : 4 1 ; 5 5 9. 9 log 2 9. x x x= ĐS : 9 1 10. 5 .8 500 x x x − = ĐS : 5 3; log 2− Dạng 5 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất) Đưa phương trình đã cho về dạng ( ) ( )f x g x= (*) • Bước 1 : Chỉ ra 0 x là một nghiệm của phương trình (*) • Bước 2 : Chứng minh ( )f x là hàm đồng biến, ( )g x là hàm nghịch biến hoặc ( )f x là hàm đồng biến, ( )g x là hàm hằng hoặc ( )f x là hàm nghịch biến, ( )g x là hàm hằng. Từ đó suy ra tính duy nhất nghiệm Cách 2 :Đưa phương trình đã cho về dạng ( ) ( )f u f v= , rồi chứng minh f là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến trên D). Từ đó suy ra ( ) ( )f u f v u v= ⇔ = . Ví dụ 1: Giải phương trình 3 4 0 x x+ − = Cách 1 : 3 4 0 3 4 (*) x x x x+ − = ⇔ + = • Ta thấy 1x = là một nghiệm của phương trình (*) • Đặt : ( ) 3 ( ) 4 x f x x g x = + = Ta có : '( ) 3 .ln 3 1 >0 x x f x = + ∀ Suy ra ( ) 3 x f x x= + là hàm đồng biến trên R. Mà ( ) 4g x = là hàm hằng Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là 1x = Cách 2 : 3 4 0 3 4 (*) x x x x+ − = ⇔ + = Ta thấy 1x = là một nghiệm của phương trình (*) • Nếu 1x > , ta có 1 3 3 3 1 x x > = > 3 3 1 4 x x⇒ + > + = (vô lý) • Nếu 1x < , ta có 1 3 3 3 1 x x < = < 3 3 1 4 x x⇒ + < + = (vô lý). Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là 1x = . Ví dụ 2: Giải phương trình 2 2 3 1 x x = + Ta có : 2 2 3 1 x x = + 2 ( 3) 1 x x ⇔ = + 3 1 1 ( ) ( ) 2 2 x x ⇔ = + (*) • Ta thấy 2x = là một nghiệm của phương trình (*) • Đặt : 3 1 ( ) 2 2 ( ) 1 x x f x g x = + ÷ ÷ ÷ = . Ta có 3 3 1 1 '( ) .ln ln 0 x 2 2 2 2 x x f x R = + < ∀ ∈ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ Suyra 3 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 x x f x = + là hàm nghịch biến trên R Mà ( ) 1g x = là hàm hằng Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là 2x = Giải các phương trình sau: 1. 3.8 4.12 18 2.27 0 x x x x + − − = ĐS : 1 2. 2 2 2 2 2 3 x x x x− + − − = ĐS : -1; 2 3. ( 2 1) ( 2 1) 2 2 0 x x − + + − = ĐS : 1; -1 4. 2 4.3 9.2 5.6 x x x − = ĐS : 4 5. 2 2 2 1 2 2 2 9.2 2 0 x x x x+ + + − + = ĐS : -1; 2 6. 25 15 2.9 x x x + = ĐS : 0 7. 3 1 125 50 2 x x x+ + = ĐS : 0 8. 2 2 2 3 2 6 5 2 3 7 4 4 4 1 x x x x x x− + + + + + + = + ĐS : 1;2; 5± − 9. cos cos ( 7 4 3) ( 7 4 3) 4 x x + + − = ĐS : k π 10. 3 3( 1) 1 12 2 6.2 1 2 2 x x x x− − − + = ĐS : 1 . Chuyên đề 1: Phương trình Mũ PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 1 : Dùng phép biến đổi tương đương đưa phương trình đã cho về dạng ( ) ( )f x g x a a= (1) Khi. 3.5 x x x x x x+ − + − + − + = ĐS : 1; -4 Dạng 4 : Phương pháp lôgarit hóa Chuyên đề 1: Phương trình Mũ Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng sau : • ( ) ( ) log f x a a b f x b=. x a a a b c f x g x b c= ⇔ + = Chú ý : Phương pháp này thường áp dụng cho các phương trình chứa phép nhân, chia giữa các hàm số mũ. VD. Giải các phương trình sau 1. 2 3 .2 1 x x = ĐS : 3 0;