Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 55 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
55
Dung lượng
2,69 MB
Nội dung
Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG CHUYÊN ĐỀ I: PHÂN TÍCH BIỂU THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: Phân tích thành nhân tử: 10 5 1A a a= + + Giải: Ta có thể viết: 10 5 1A a a= + + 10 9 8 7 6 5 5 4 3 2 9 8 7 6 5 4 3 2 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( )A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + + + + + + + + + + − + + − + + − + + 8 2 5 2 3 2 2 7 2 4 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + + + + + + + + + + − + + − + + − + + ( ) 2 8 7 5 4 ( 1) 1A a a a a a a a a = + + − + − + − + Vậy: ( ) 10 5 2 8 7 5 4 1 ( 1) 1a a a a a a a a a a + + = + + − + − + − + Bài 2: Phân tích thành tích số: 8 1B a a= + + Bài 3: Phân tích thành tích số: 8 7 1C a a= + + Giải: Ta có thể viết: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 7 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 ( ) 1C a a a a a a a a a a a a a a= + + + + + + + + − + + − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 6 2 3 2 2 4 2 2 ( 1) 1 1 1 1C a a a a a a a a a a a a a a= + + + + + + + + − + + − + + ( ) 2 6 4 3 ( 1)C a a a a a a= + + − + − Vậy: ( ) 8 2 6 4 3 1 ( 1)a a a a a a a a+ + = + + − + − Bài 4: Phân tích đa thức sau ra thừa số: 16 8 8 16 a a b b+ + ( Thi HSG miền Bắc 1966 – 1967 ) Giải: Ta có thể viết 16 8 8 16 16 8 8 16 8 8 2a a b b a a b b a b+ + = + + − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 8 8 4 4 8 8 4 4 8 8 4 4 a b a b a b a b a b a b = + − = + + + − Ta lại có: ( ) ( ) 2 2 8 8 4 4 4 4 2 2 a b a b a b a b+ + = + − ( ) ( ) 4 4 2 2 4 4 2 2 a b a b a b a b= + − − + + Mặt khác: ( ) ( ) 2 2 4 4 2 2 2 2 a b a b a b ab+ + = + − ( ) ( ) 2 2 2 2 a b ab a b ab= + − + + Do đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 16 8 8 16 8 8 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 a a b b a b a b a b a b a b ab a b ab+ + = + − + − + − + + Bài 5: Phân tích ra thừa số: 1. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 5 7 15A a a a a= + + + + + 2. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2B x y x y y z z y z x x z= + + − − + Giải: Ta có thể viết: 1. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 5 7 15A a a a a= + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 8 7 8 15 15 8 22 8 120 a a a a a a a a = + + + + + = + + + + Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 1 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 8 11 1 8 12 8 10 a a a a a a = + + − = + + + + Vậy: ( ) ( ) ( ) 2 6 2 8 10A x x a a= + + + + 2. Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2B x y x y y z z y z x x z= + + − − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 8 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 x y x y z y z y x x z x y x y z z y x x y x y x y z z y x y x y x x xy y x y x y z y x z x xy y x y x y z z y y z xz y z x y y z x y z z y xz x y = + + − − + = + + − − + = + + − + − + − + = + + − − − + = + − − − + − = + − + − + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 2 2 2 y z xz x z y x z x y y z x z xz yz xy − + + − = + − + − + Vậy: B = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2x y y z x z xz yz xy+ − + − + Bài 6: Phân tích ra thừa số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M bc a d b c ac b d a c ab c d a b= + − − + − + + − Giải: Cách 1: Ta tách b – c = ( a – c) – (a – b) Biểu thức đã cho có thể viết: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M bc a d a c a b ac b d a c a b ab c d a b= + − − − − + − − − + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bc a d ac b d a c ab c d bc a d a b ab bd ab ad a c c ac ad ac ad a b b d a b a c c d a b a c b a b a c b c d = + − + − + + − + − = + − − − + + − − − = − − − + − − = − − − Vậy M = ( ) ( ) ( ) d a b a c b c− − − Cách 2: Nhận xét rằng: * M = 0 khi ta cho a = b, b = c hoặc a = c Do đó M chia hết cho tích số ( a – b )( b – c)( a – c) * M là một đa thức bậc hai theo a. Dùng phép cân bằng hệ số ta có: M = ( ) ( ) ( ) d a b a c b c− − − * Chú ý trong cách thứ nhất, ta cũng có thể tách a – c = ( a – b ) + ( b – c) hoặc a – b = ( a – c) – ( b – c) Bài 7: Phân tích thành tích số: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 D x y y z z x= − + − + − Giải: Cách 1: Ta có thể viết ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3D x x y xy y y y z yz z z z x zx x= − + − + − + − + − + − Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 2 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 3 3 3 xy x y z x y z x y x y xy z z x y x y y z z x = − − − − + − = − − − + + = − − − Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3x y y z z x x y y z z x− + − + − = − − − Cách 2: Khai triển 2 số hạng, giữ nguyên một số hạng. Cách 3: Đặt A = x – y, B = y – z, C = z – x => A + B + C = 0 Cách 4: Khi cho x = y, y = z hoặc z = x thì D = 0 Điều này chứng tỏ D chia hết cho tích số ( x – y)(y – z)(z – x) Căn bằng hệ số của số hạng x 2 , ta suy ra: D = 3(x – y)(y – z)(z – x) Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4 3 2 6 7 6 1A x x x x= + + − + ( Đề thi HSG Miền Bắc 1973 – 1974) Giải: Ta có thể viết: 4 3 2 6 7 6 1A x x x x= + + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 9 3 3 1 3 1 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = + − + + − − − + = + − + + − − + − = + − + − = + − Bài 9: Với giá trị nguyên nào của a thì đa thức ( x – a)( x – 10) + 1 có thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên? Giải: Giả sử ta có: ( x – a)( x – 10) + 1 = ( x – m)(x – n) với ,m n Z∈ x 2 – ( a + 10)x + 10a + 1 = x 2 – ( m + n)x + mn 10 10 1 m n a mn a + = + ⇔ = + Khử a ta có: mn = 10(m + n – 10) +1 mn – 10(m + n) = -99 ( m – 10)( n – 10) = 1 Vì ,m n Z∈ nên ta có 10 1 11 10 1 11 m m n n − = = ⇔ − = = hoặc 10 1 9 10 1 9 m m n n − = − = ⇔ − = − = Do đó a = 12 hoặc a = 8 Bài 10: Chứng minh rằng đa thức P(x) = x 4 + 2x 2 + 2x + 2 không thể phân tích thành tích của 2 đa thức bậc 2 với hệ số nguyên Giải: Ta có: x 4 + 2x 2 + 2x + 2 > 0 x R ∀ ∈ => không thể phân tích P(x) thành một thừa số bậc nhất và một thừa số bậc ba. Giả sử ta có: x 4 + 2x 2 + 2x + 2 = ( x 2 + ax+ b)( x 2 + cx+ d) với , , ,a b c d Z∈ x 4 + 2x 2 + 2x + 2 = x 4 + ( a + c)x 3 + ( ac + b + d)x 2 + ( ad + bc ) x + bd 0(1) 2(2) 2(3) 2(4) a c ac b d ad bc bd + = + + = ⇔ + = = Từ (4) => b chẵn, d lẻ hoặc b lẻ, d chẵn Không mất tính tổng quát, ta giả sử b chẵn, d lẻ => bc chẵn Từ (3) => ad chẵn => a chẵn Do đó ac + b + d lẻ (2) mâu thuẫn => Đpcm Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 3 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG CHUYÊN ĐỀ II: RÚT GỌN BIỂUTHỨC Bài 1: Cho số ( ) 9 8 2 1978 1979 1979 1979 1980 1n = + + + + + a.Rút gọn n b.Tìm chữ số hàng đơn vị của n Giải: a. nhận xét rằng: 1978 = 1979 – 1 ; 1980 = 1979 + 1 Ta có thể viết: ( ) ( ) 9 8 2 1979 1 1979 1979 1979 1979 1 1n = − + + + + + + 10 9 3 2 9 3 2 10 1979 1979 1979 1979 1979 1979 1979 1979 1979 1 1 1979= + + + + + − − − − − − + = Vậy: 10 1979n = b. Ta có: ( ) 5 10 2 1979 1979n = = Vì 1979 2 có chữ số hàng đơn vị là 1 nên ( ) 5 2 1979 cũng có chữ số hàng đơn vị là 1 Do đó số n có chữ số hàng đơn vị là 1. Bài 2: Rút gọn biểu thức: 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 M a b c b c a c a b a b b c c a= − + − + − + − − − 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 N a b c b c a c a b a b c a b b c c a= − + − + − + + + − − − Giải: 1. Ta biến đổi biểu thức: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b c b c a c a b− + − + − thành tích số Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b c b c a c a b a b b c a c− + − + − = − − − => M = 0 2. Tương tự ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 N a b c b c a c a b a b c a b b c a c= − + − + − = + + − − − => N = 0 Bài 3: Rút gọn biểu thức: 2 3 2 2 5 2 2 9 12 4 y y Q y y y + + = + + + ( Đề thi HSG miền toàn quốc 1978 ) Giải: Ta có thể viết Tử số: 2 2 2 5 2 (2 4 ) ( 2) 2 ( 2) ( 2) ( 2)(2 1)y y y y y y y y y y+ + = + + + = + + + = + + Mẫu số: ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 9 12 4 2 4 5 10 2 4y y y y y y y y+ + + = + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 5 2 2 2 1y y y y y y y y y y= + + + + + = + + + = + + Do đó ta có: ( ) ( ) 2 ( 2)(2 1) 2 2 1 y y Q y y + + = + + với 1 2, 2 y y≠ ≠ − ta có 1 2 Q y = + Bài 4: Rút gọn phân số: 19 3 9 4 9 10 10 2 .27 15.4 .9 6 .2 12 M + = + ( Đề thi HSG miền Bắc năm 1971) Giải: Ta có thể viết ( ) ( ) 18 9 19 3 9 4 19 9 18 8 9 10 10 19 9 20 10 19 9 2 .3 2 5 2 .27 15.4 .9 2 .3 5.3.2 .3 1 6 .2 12 2 .3 2 .3 2 .3 1 3 2 M + + + = = = = + + + Bài 5: Rút gọn biểu thức: Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 4 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG ( ) 1993 1992 2 75 4 4 4 5 25A = + + + + + Giải: Ta có thể viết ( ) ( ) 1993 1992 2 25 4 1 4 4 4 4 1 25A = − + + + + + + Vận dụng hằng đẳng thức: ( ) ( ) 1 2 2 n n n n n a b a b a a b ab b − − − − = − + + + + Ta có: ( ) ( ) 1993 1992 2 1994 4 1 4 4 4 4 1 4 1− + + + + + = − => ( ) 1994 1994 25 4 1 25 25.4A = − + = Bài 6: Rút gọn phân thức: 3 3 3 2 2 2 3a b c abc a b c ab bc ac + + − + + − − − ( Đề thi HSG Miền Bắc 1969 – 1970) Giải: Ta có thể viết: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3a b c abc a b c a b ab a b ab abc+ + − = + + + + − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 a a b ab b c ab a b c a b c ab a b c a b c a b a b c c ab a b c ab a b c a b a b c c ab ab a b c a b c ab bc ac = + + + + − + + = + + − + + = + + + − + + − + + = + + + − + + − = + + + + − − − Do đó ta có: 3 3 3 2 2 2 3a b c abc a b c a b c ab bc ac + + − = + + + + − − − Bài 7: Rút gọn các biểu thức: a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 A a b a c b c b a c a c b = + + − − − − − − với a, b, c đôi một khác nhau b. 2 2 2 2 : ab ab a b B a a a b a b a b + = + − ÷ ÷ − + − HD: Quy đồng mẫu số chung Giải: a. Chọn mẫu số chung (a – b)(b – c)(c – a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 b c c a a b A a b c a a b b c b c c a a b b c c a − + − + − = − − − = − = − − − − − − − − − ( a, b , c đôi một khác nhau) Vậy A = 0 b. Ta có thể viết: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 : ab ab a b a ab ab ab ab a a b B a a a b a b a b a b a b a b + − + − − − = + − = × ÷ ÷ ÷ ÷ − + − − + + 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 a a b a B a b a b a b − − − = × = − + + Vậy 4 2 2 a B a b − = + Bài 8: Rút gọn các biểu thức: a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c A a b a c b c b a c a c b = + + − − − − − − b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b c c a a b B a b a c b c b a c a c b + + + = + + − − − − − − với a,b,c đôi một khác nhau Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 5 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG HD: Quy đồng MSC: ( ) ( ) ( ) a b b c c a− − − Giải: a. Ta có thể viết ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 a b c b c a c a b A a b a c − − − − − − = = − − Vậy A = 0 b. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 b c c a a b b c b c c a c a a b a b B a b b c c a a b b c c a − − − − − − − + − − + − − + − = = − − − − − − B = 0 Bài 9: Rút gọn các biểu thức: a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 a b c C a b a c b c b a c a c b = + + − − − − − − b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 bc ca ab D a a b a c b b c b a c c a c b = + + − − − − − − Giải: a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 a b c b c a c a b C a b b c c a − − − − − − = − − − Ta phân tích tử số thành tích số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 3 3 3 a b c b c a c a b ab a b c a b c a b− − − − − − = − − − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 a b ab a b c a ab b c b c a b b c a ab c b c a b b c c a a b c = − + − − + − − = − − + − + = − − − − + + => Tử số: ( ) ( ) ( ) ( ) a b b c c a a b c− − − − + + Do đó C = a + b + c b. Chọn mẫu số chung: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 abc a b b c c a− − − Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c b c c a c a a b a b D abc a b b c c a − − − − − − = − − − Ta biến đổi tử số thành nhân tử: Để cho gọn, ta đặt A = a 2 , B = b 2 , C = c 2 Ta có tử số bằng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BC B C CA C A AB A B C A B C A B AB A B A B CA CB C AB A B B C A C C A A B B C C A a b b c c a = − − − − − − = − − − − − = − + − − = − − − − = − − − = − − − Do đó ta có : 1 D abc = Bài 10 : Rút gọn biểu thức : 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3A = + + + + + + − + + Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 6 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG Giải :Ta có : ( ) 2 2 2 3 . 2 2 2 3 4 2 2 3 2 2 3+ + + − + + = − + + = − + => 2 2 3 . 2 2 3 2 3+ + − + = − => A = 2 3. 2 3 1+ − = Vậy A = 1 Bài 11 : Rút gọn biểu thức : 2 2. 3 7 2 . 3 6 7 2 . 3 6 7 2B = + + + + + + − + + ĐS: 2B = CHUYÊN ĐỀ III: TÍNH GIÁ TRỊ MỘT BIỂU THỨC Bài 1: Hãy tính tổng S = ab + cd Biết rằng: 2 2 2 2 1994a b c d+ = + = và ac + bd = 0 Giải: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0ac bd ad bc a cd abc abd b dc c d ab a b cd+ + = ⇔ + + + = ⇔ + + + = ( ) 1994 0 0ad cd ab cd⇔ + = ⇔ + = Vậy ab + cd = 0 Bài 2: Cho 2 2 2 2 4282, 1658, 2384a b c d ac bd+ = + = + = . Tính ad – bc ĐS: 1190 Bài 3: Cho a + b + c = 0 Tính giá trị biểu thức: 3 3 2 2 M a b a c b c abc= + + + − Giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 M a b a c b c abc a b a ab b c a ab b= + + + − = + − + + − + ( ) ( ) 2 2 a b c a ab b= + + − + Vì a + b +c = 0 nên M = 0 Bài 4: Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau và abc khác 0 thỏa hệ thức: 0 a b c b c c a a b + + = − − − . Hãy tính giá trị của biểu thức: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b c b c c a a b + + − − − Giải: Để cho gọn ta đặt A = b – c; B = c – a ; C = a – b => A, B, C ≠ 0 và A + B + C = 0 Do đó ta có: 0 a b c A B C + + = (*) Nhân hai vế của (*) lần lượt với 1 1 1 , , A B C rồi cộng lại vế theo vế ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0 a b c a a b b c c A B C AB AC AB BC AC BC a b c a B C b A C c A B A B C ABC a b c aA bB cC M A B C ABC = + + + + + + + + = + + + + + + + + = + + − + + => = Vậy M = 0 Bài 5: Cho. Hãy tính giá trị biểu thức: a. 3 2 ' 3 ' 2 ' a b c f a b c − + = − + b. ' ' ' a b c g a b c + + = + + Giải: Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 7 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG a. Ta có: 3 2 3 2 4 4 4 ' ' ' ' 3 ' 2 ' ' 3 ' 2 ' a b c a b c a b c a b c a b c a b c − + = = = => = = = => = − + Vậy f = 4 b. Giải tương tự Bài 6: Gọi n là số tự nhiên, 1n ≥ . Tính tích số sau theo n 1 1 1 1 1 1 2 3 1 P n = − − − ÷ ÷ ÷ + ( Theo đề thi HSG toàn quốc 1977 – 1978) Giải: 1 1 2 2 1 2 1 3 3 1 3 1 2 3 1 11 4 4 2 3 4 1 1 1 1 1 1 n P n n n n n − = − = − = => = × × × × = + + − = + + Bài 7: Tính tích sô 101 10001 100000001 100 001P = × × × × ( 2 n -1 chữ số 0) Giải: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 8 2 10 1 10 1 10 1 10 1 n P = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 4 8 2 2 2 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 1 10 1 99 1 999 999 1010 101 99 n n + = − + + + + − = − = × = 2 n+1 chữ số 9 (2 n+1 -1 ) chữ số Vậy P = 1010 101 có 2 n+1 – 1 chữ số Bài 8: Một dãy số tự nhiên được phân thành nhóm như sau: (1), (2,3), (4,5,6), (7,8,9,10), Gọi S k là tổng các số ở nhóm thứ k. Tính tổng S = S 1 + S 2 + S 3 + + S 2n-1 Giải: Số đầu tiên của thứ k là ( ) ( ) 1 1 1 2 3 1 1 1 2 k k k a k − = + + + + − + = + Tổng k số của nhóm thứ k: ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 2 2 k k k kk k k k k k S a a a − + + + ÷ = + + = 3 2 k k k S + = Khi n = 1, ta có: 4 1 1 1S = = Khi n = 2, ta có: 4 1 3 16 2S S+ = = Giả sử: 4 1 3 2 1 k S S S k − + + + = (1) Ta chứng minh rằng: ( ) 4 1 3 2 1 1 k S S S k + + + + = + (2) Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 8 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG Ta có: ( ) ( ) 3 4 1 3 2 1 2 1 2 1 2 k k k S S S k + + + + + + + = + ( ) ( ) ( ) 4 2 4 3 2 4 2 1 2 2 1 4 6 4 1 1 k k k k k k k k k = + + + + = + + + + = + => (2) đã được chứng minh. Vậy S = S 1 + S 2 + S 3 + + S 2n-1 = n 4 Bài 9: Tính tổng: ( ) 3 3 3 3 1 5 9 4 1S n= + + + + + Giải: Ta có ( ) 3 3 2 4 1 64 48 12 1k k k k+ = + + + Cho k lần lượt các giá trị nguyên dương 1, 2, 3, , n. Ta có: S = 64S 3 + 48S 2 + 12S 1 + 1 Với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 2 2 1 2 1 2 1 16 32 14 1 6 1 1 2 4 n n S n n n n S n S n n n n n n S n + = + + + = + + = + + + = => = + + + + + = + + + = Vậy: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 2 1 5 9 4 1 1 16 32 14 1S n n n n n= + + + + + = + + + + Bài 10: Cho một số tự nhiên n. Xem dãy số: ( ) 0 0 1 1 1 1 ; ; k k x x x x x n n k − = = + + + − Với , 1k N k n∈ ≤ − . Tính tổng 1 0 1 1 n n S x x x − − = + + + Giải: Khi k = 0, ta có: 0 0 1 1 0 x S n n = => = − Khi k = 1, ta có: ( ) 1 1 1 1 1 1 x S n n n = => = − − Giả sử: 1 , , 1 k S k N k n k = ∈ ≥ − Ta có: ( ) 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k k S S x x x x n k n k n k n k n k n k + + = + = + + + + = + − = − − − − − − − − − Do đó: 1 1 , , 1 1 m n S m N m n n m S − = ∈ ≤ − − => = Vậy: 1 1 n S − = Bài 11: Tìm tổng của tất cả các số có hai chữ số thỏa tính chất: mỗi số chia cho 4 dư 1 Giải: Theo giả thiết, các số đã cho có dạng 4k + 1, k ∈ N và 3 24k≤ ≤ Do đó tổng tất cả các số đã cho là: 13 97 22 1210 2 S + = × = Bài 12: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số mà tất cả các chữ số đều là số chẵn ? Giải: Số gồm 5 chữ số chẵn được viết từ 5 chữ số: 0; 2; 4; 6; 8 Để chọn chữ số hàng chục ngàn, ta chỉ có 4 cách chọn Để chọn chữ số cho 4 vị trí khác, ta có 5.5.5.5 = 625 cách Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 9 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG Vậy: có tất cả 2500 số gồm 5 chữ số chẵn Bài 13: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số lẻ khác nhau. ĐS: 120 Bài 14: Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số mà tổng của hai chữ số đầu bằng tổng của hai chữ số cuối? ( Đề thi HSG toàn quốc 1983 – 1984 ) Giải: Giả sử abcd là một trong số phải tìm. Với a, b, c,d ∈ N và 1 9;0 , , 9a b c d≤ ≤ ≤ ≤ Theo giả thiết, ta có: a + b = c + d = n => n N ∈ và 1 18n ≤ ≤ Cho n lần lượt các giá trị tự nhiên từ 1 đến 18 *Khi n = 1. Ta có a = 1; b = 0 => c + d = 1 có 2 cặp giá trị ( 0;1) và (1;0) => Có 2 số thỏa yêu cầu của bài toán là 1010 và 1001 *Khi n = 2. Phương trình a + b = 2, với 1,a a N≥ ∈ có hai cặp nghiệm: 1, 1 2, 0 a b a b = = = = Phương trình c + d = 2 có 3 cặp nghiệm tự nhiên (c,d) = (2,0), (1,1), (0,2) Do đó có 2.3 = 6 số thỏa mãn yêu cầu của bài toán: 1120; 1111; 1102; 2020; 2011; 2002 Tương tự khi n = 3,4,5,6,…,9 thì các số thỏa mãn yêu cầu của bài toán theo thứ tự là 3.4, 4.5, 5.6,…, 9.10 *Khi n = 10: Có 9 cách chọn cặp ( a,b). Vì c chỉ lấy giá trị từ 1 đến 9 nếu c = 0 thì d = 10, vô lý nên có 9 cách chọn cặp (c,d) Do đó có 9.9 = 9 2 = 81 số thỏa mãn *Khi n = 11: A chỉ lấy các giá trị từ 2 đến 8 nên có 8 cách chọn cặp ( a,b). Tương tự có 8 cách chọn cặp (c,d) thỏa. Do đó có 8.8 = 8 2 = 64 số thỏa mãn. *Khi n lần lượt lấy các giá trị 12,13,…, 18 thì các số thỏa mãn yêu cầu của bài toán theo thứ tự là 7 2 , 6 2 , …, 1 2 Số các số phải tìm là: 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 9.10 + 9 2 + 8 2 + … + 1 2 = ( 1 + 2 + … + 9) + 2(1 2 + 2 2 + … + 9 2 ) = 45 + 2. 285 = 615 số Vậy: có 615 số thỏa mãn yêu cầu Bài 15: Tính các tổng sau a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a x a y a z S x x y x z y y z y x z z x z y + + + = + + − − − − − − b. ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 4 1 4 1 2 1 T a a a = + + + − + Giải: a. Ta tách mỗi phân thức thành tổng của hai phân thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 a x a x x y x z x x y x z x y x z a y a y y z y x y y z y x y z y x a z a z z x z y z z x z y z x z y + = + − − − − − − + = + − − − − − − + = + − − − − − − Cộng 3 đẳng thức trên vế theo vế, với nhận xét rằng tổng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 x y x z y z y x z x z y + + = − − − − − − ( theo bài 7a cđ ii) Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 10 [...]... Thám Chuyên đề ôn thi HSG n 1 ⇒ α < 1 ⇒ 1 + ÷ < 3 n (2) n 1 Vậy 2 < 1 + ÷ < 3, ∀n ∈ N , n ≥ 2 n Bài 42: Bất đẳng thức sau đây sai hay đúng? Chứng minh vì sao? 106 106 + 1 ÷ đpcm Bài 15: Chứng minh rằng với mọi m, n ≥ 0 , ta luôn luôn có: mn ( m + n ) ≤ m3 + n3 b2 + Giải: 3 3 2 2 Ta có: m + n − mn ( m + n ) = ( m + n ) ( m − mn + n ) − mn = ( m + n ) (... a + b ) − ( a b + ab ) ≥ 0 Do đó a 4 + b 4 ≥ a3b + ab3 với mọi số dương a, b Dấu “=” xảy ra a = b Bài 21: Chứng minh rằng ta luôn luôn có 1 1 ∀a > 0 1 a + ≥ 2 2 a + ≤ 2 a a Biên soạn: GV Phạm Đức Tân 27 ∀a < 0 Tổ: Toán - Tin Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG Dấu “=” xảy ra khi nào? Giải: 1 Ta có: 1 a 2 − 2a + 1 ( a − 1) Vì a − 1 2 ≥ 0 và a > 0 nên ta có: ( a − 1) 1 ( ) a+ −2 = = ≥ 0... x − b x + a − 2b a P = HD: a.Nên rút gọn rồi thay giá trị của x b Thay giá trị của x trước Giải: a Ta có: 2 x 2 − 4ab x + 2a x + 2b ( x + 2a ) ( x − 2b ) + ( x + 2b ) ( x − 2a ) P= + = = 2 x − 2a x − 2b x − 2a ) ( x − 2b ) x − 2 ( a + b ) x + 4ab ( Biên soạn: GV Phạm Đức Tân 11 Tổ: Toán - Tin Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG a+b , ta có 2 16a 2b 2 2 − 4ab 2 ( a +... Biên soạn: GV Phạm Đức Tân 35 (**) Tổ: Toán - Tin Trường THCS Hoàng Hoa Thám x= Chuyên đề ôn thi HSG 2ab a+b *Nếu a = - b (**) => 0x = - a2 Trường hợp a = b = 0 : Vô số nghiệm a ≠ 0 ( b ≠ 0 ) : Vô nghiệm Vậy: 2ab x= a ≠ −b : a+b a=b=0 Vô số nghiệm a ≠ 0 ( b ≠ 0) : Vô nghiệm Bài 8: Giải phương trình b2 x2 (1) ( Đề thi HSGMB 1974 – 1975) x − a2 x − 2 +a= 2 2 b − x2 x −b Giải: Điều kiện để cho phương trình... b' c' ca '− c ' a = 0 Bài 10: Chứng minh rằng tất cả 6 tích số: a1b2 c3 , a2b3c1 , a3b1c2 , −a1b3c2 , −a3b2c1 , −a2b1c3 không thể cùng dương Giải: Giả sử cả 6 tích số đã cho đều dương Biên soạn: GV Phạm Đức Tân 25 Tổ: Toán - Tin Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG a1b2 c3 , a2b3c1 , a3b1c2 > 0 => A = a1b2 c3a2b3c1a3b1c2 = a1a2 a3b1b2b3c1c2c3 > 0 (1) − a1b3 c2 , − a3b2 c1 , − a2 b1c3... Giải: Ta có M = 6 4 − 2 3 3 1 + 3 = 6 ( ) 2 3 −1 3 1 + 3 = 3 ( )( ) 3 −1 1 + 3 = 3 2 Vậy M = 3 2 Biên soạn: GV Phạm Đức Tân 14 Tổ: Toán - Tin Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG Bài 27: Số sau đây là số hữu tỉ hay số vô tỉ ( A = 4 + 15 )( 10 − 6 ) 4 − 15 ? ) 4 − 15 = Giải: Ta rút gọn A ( A = 4 + 15 10 − 6 ( 10 − 6 ) ( 4+ 15 ) (4− 2 ) 4 + 15 Vì ( 10 − 6 ) = 2 ( 5 − 3 ) > 0 nên ta có thể... b 2 + c 2 2 2 2 Bài 4: Chứng minh rằng số 1 1 1 1 m = + + + + không phải là số nguyên 2 3 4 16 p Giải: Đặt m = Nhận xét rằng q chẵn và p lẻ Do đó m không thể là một số nguyên q 1 1 1 1 + + + + , n ∈ N và n ≥ 1 không phải là số nguyên Bài 5: Chứng tỏ số sau: p = 1.2 2.3 3.4 n ( n + 1) Giải: Ta có 1 1 1 1 n = − => p = 1 − = Vậy p không phải là một số nguyên k ( k + 1) k k + 1 n +1 n +1 Bài 6: a Biết... ≥ 2 xy Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3) vế theo vế, ta có: 2 x 2 + 2 y 2 + 2 ≥ 2 xy + 2 x + 2 y ⇔ x 2 + y 2 + ≥ xy + x + y Vậy ta luôn có: x 2 + y 2 + 1 ≥ xy + x + y Biên soạn: GV Phạm Đức Tân 29 (2) (3) Tổ: Toán - Tin Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG Bài 31: Cho 2 số thực x,y thỏa: xy = 1, x > y Chứng minh rằng Giải: Ta có thể viết x 2 + y 2 − 2 2 ( x − y ) = x 2 + y 2 − 2 2 ( x . − − + + Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 11 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG Thay 2 a b x + = , ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 16 2 4 2 16 8 4 a b ab a b P a b ab ab a b . soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 14 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG Bài 27: Số sau đây là số hữu tỉ hay số vô tỉ ( ) ( ) 4 15 10 6 4 15A = + − − ? Giải: Ta rút gọn A ( ) ( ). + − + − + − Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 2 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 3 3 3 xy x y z x y z x y x y xy z z x y x y