ÔN THI HSG 8,9 CUC HAY

Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG CHUYÊN ĐỀ I: PHÂN TÍCH BIỂU THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: Phân tích thành nhân tử: 10 5 1A a a= + + Giải: Ta có thể viết: 10 5 1A a a= + + 10 9 8 7 6 5 5 4 3 2 9 8 7 6 5 4 3 2 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( )A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + + + + + + + + + + − + + − + + − + + 8 2 5 2 3 2 2 7 2 4 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + + + + + + + + + + − + + − + + − + + ( ) 2 8 7 5 4 ( 1) 1A a a a a a a a a = + + − + − + − + Vậy: ( ) 10 5 2 8 7 5 4 1 ( 1) 1a a a a a a a a a a + + = + + − + − + − + Bài 2: Phân tích thành tích số: 8 1B a a= + + Bài 3: Phân tích thành tích số: 8 7 1C a a= + + Giải: Ta có thể viết: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 7 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 ( ) 1C a a a a a a a a a a a a a a= + + + + + + + + − + + − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 6 2 3 2 2 4 2 2 ( 1) 1 1 1 1C a a a a a a a a a a a a a a= + + + + + + + + − + + − + + ( ) 2 6 4 3 ( 1)C a a a a a a= + + − + − Vậy: ( ) 8 2 6 4 3 1 ( 1)a a a a a a a a+ + = + + − + − Bài 4: Phân tích đa thức sau ra thừa số: 16 8 8 16 a a b b+ + ( Thi HSG miền Bắc 1966 – 1967 ) Giải: Ta có thể viết 16 8 8 16 16 8 8 16 8 8 2a a b b a a b b a b+ + = + + − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 8 8 4 4 8 8 4 4 8 8 4 4 a b a b a b a b a b a b = + − = + + + − Ta lại có: ( ) ( ) 2 2 8 8 4 4 4 4 2 2 a b a b a b a b+ + = + − ( ) ( ) 4 4 2 2 4 4 2 2 a b a b a b a b= + − − + + Mặt khác: ( ) ( ) 2 2 4 4 2 2 2 2 a b a b a b ab+ + = + − ( ) ( ) 2 2 2 2 a b ab a b ab= + − + + Do đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 16 8 8 16 8 8 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 a a b b a b a b a b a b a b ab a b ab+ + = + − + − + − + + Bài 5: Phân tích ra thừa số: 1. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 5 7 15A a a a a= + + + + + 2. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2B x y x y y z z y z x x z= + + − − + Giải: Ta có thể viết: 1. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 5 7 15A a a a a= + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 8 7 8 15 15 8 22 8 120 a a a a a a a a = + + + + + = + + + + Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 1 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 8 11 1 8 12 8 10 a a a a a a = + + − = + + + + Vậy: ( ) ( ) ( ) 2 6 2 8 10A x x a a= + + + + 2. Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2B x y x y y z z y z x x z= + + − − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 8 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 x y x y z y z y x x z x y x y z z y x x y x y x y z z y x y x y x x xy y x y x y z y x z x xy y x y x y z z y y z xz y z x y y z x y z z y xz x y   = + + − − +     = + + − − +     = + + − + − + − +     = + + − − − +     = + − − − + −     = + − + − +   = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 2 2 2 y z xz x z y x z x y y z x z xz yz xy   − + + −   = + − + − + Vậy: B = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2x y y z x z xz yz xy+ − + − + Bài 6: Phân tích ra thừa số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M bc a d b c ac b d a c ab c d a b= + − − + − + + − Giải: Cách 1: Ta tách b – c = ( a – c) – (a – b) Biểu thức đã cho có thể viết: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M bc a d a c a b ac b d a c a b ab c d a b= + − − − − + − − − + + −        ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bc a d ac b d a c ab c d bc a d a b ab bd ab ad a c c ac ad ac ad a b b d a b a c c d a b a c b a b a c b c d = + − + − + + − + −        = + − − − + + − − − = − − − + − − = − − − Vậy M = ( ) ( ) ( ) d a b a c b c− − − Cách 2: Nhận xét rằng: * M = 0 khi ta cho a = b, b = c hoặc a = c Do đó M chia hết cho tích số ( a – b )( b – c)( a – c) * M là một đa thức bậc hai theo a. Dùng phép cân bằng hệ số ta có: M = ( ) ( ) ( ) d a b a c b c− − − * Chú ý trong cách thứ nhất, ta cũng có thể tách a – c = ( a – b ) + ( b – c) hoặc a – b = ( a – c) – ( b – c) Bài 7: Phân tích thành tích số: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 D x y y z z x= − + − + − Giải: Cách 1: Ta có thể viết ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3D x x y xy y y y z yz z z z x zx x= − + − + − + − + − + − Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 2 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 3 3 3 xy x y z x y z x y x y xy z z x y x y y z z x = − − − − + −   = − − − + +   = − − − Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3x y y z z x x y y z z x− + − + − = − − − Cách 2: Khai triển 2 số hạng, giữ nguyên một số hạng. Cách 3: Đặt A = x – y, B = y – z, C = z – x => A + B + C = 0 Cách 4: Khi cho x = y, y = z hoặc z = x thì D = 0 Điều này chứng tỏ D chia hết cho tích số ( x – y)(y – z)(z – x) Căn bằng hệ số của số hạng x 2 , ta suy ra: D = 3(x – y)(y – z)(z – x) Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4 3 2 6 7 6 1A x x x x= + + − + ( Đề thi HSG Miền Bắc 1973 – 1974) Giải: Ta có thể viết: 4 3 2 6 7 6 1A x x x x= + + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 9 3 3 1 3 1 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = + − + + − − − + = + − + + − − + − = + − + − = + − Bài 9: Với giá trị nguyên nào của a thì đa thức ( x – a)( x – 10) + 1 có thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên? Giải: Giả sử ta có: ( x – a)( x – 10) + 1 = ( x – m)(x – n) với ,m n Z∈  x 2 – ( a + 10)x + 10a + 1 = x 2 – ( m + n)x + mn 10 10 1 m n a mn a + = +  ⇔  = +  Khử a ta có: mn = 10(m + n – 10) +1  mn – 10(m + n) = -99  ( m – 10)( n – 10) = 1 Vì ,m n Z∈ nên ta có 10 1 11 10 1 11 m m n n − = =   ⇔   − = =   hoặc 10 1 9 10 1 9 m m n n − = − =   ⇔   − = − =   Do đó a = 12 hoặc a = 8 Bài 10: Chứng minh rằng đa thức P(x) = x 4 + 2x 2 + 2x + 2 không thể phân tích thành tích của 2 đa thức bậc 2 với hệ số nguyên Giải: Ta có: x 4 + 2x 2 + 2x + 2 > 0 x R ∀ ∈ => không thể phân tích P(x) thành một thừa số bậc nhất và một thừa số bậc ba. Giả sử ta có: x 4 + 2x 2 + 2x + 2 = ( x 2 + ax+ b)( x 2 + cx+ d) với , , ,a b c d Z∈  x 4 + 2x 2 + 2x + 2 = x 4 + ( a + c)x 3 + ( ac + b + d)x 2 + ( ad + bc ) x + bd 0(1) 2(2) 2(3) 2(4) a c ac b d ad bc bd + =   + + =  ⇔  + =   =  Từ (4) => b chẵn, d lẻ hoặc b lẻ, d chẵn Không mất tính tổng quát, ta giả sử b chẵn, d lẻ => bc chẵn Từ (3) => ad chẵn => a chẵn Do đó ac + b + d lẻ (2) mâu thuẫn => Đpcm Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 3 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG CHUYÊN ĐỀ II: RÚT GỌN BIỂUTHỨC Bài 1: Cho số ( ) 9 8 2 1978 1979 1979 1979 1980 1n = + + + + + a.Rút gọn n b.Tìm chữ số hàng đơn vị của n Giải: a. nhận xét rằng: 1978 = 1979 – 1 ; 1980 = 1979 + 1 Ta có thể viết: ( ) ( ) 9 8 2 1979 1 1979 1979 1979 1979 1 1n = − + + + + + + 10 9 3 2 9 3 2 10 1979 1979 1979 1979 1979 1979 1979 1979 1979 1 1 1979= + + + + + − − − − − − + = Vậy: 10 1979n = b. Ta có: ( ) 5 10 2 1979 1979n = = Vì 1979 2 có chữ số hàng đơn vị là 1 nên ( ) 5 2 1979 cũng có chữ số hàng đơn vị là 1 Do đó số n có chữ số hàng đơn vị là 1. Bài 2: Rút gọn biểu thức: 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 M a b c b c a c a b a b b c c a= − + − + − + − − − 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 N a b c b c a c a b a b c a b b c c a= − + − + − + + + − − − Giải: 1. Ta biến đổi biểu thức: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b c b c a c a b− + − + − thành tích số Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b c b c a c a b a b b c a c− + − + − = − − − => M = 0 2. Tương tự ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 N a b c b c a c a b a b c a b b c a c= − + − + − = + + − − − => N = 0 Bài 3: Rút gọn biểu thức: 2 3 2 2 5 2 2 9 12 4 y y Q y y y + + = + + + ( Đề thi HSG miền toàn quốc 1978 ) Giải: Ta có thể viết Tử số: 2 2 2 5 2 (2 4 ) ( 2) 2 ( 2) ( 2) ( 2)(2 1)y y y y y y y y y y+ + = + + + = + + + = + + Mẫu số: ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 9 12 4 2 4 5 10 2 4y y y y y y y y+ + + = + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 5 2 2 2 1y y y y y y y y y y= + + + + + = + + + = + + Do đó ta có: ( ) ( ) 2 ( 2)(2 1) 2 2 1 y y Q y y + + = + + với 1 2, 2 y y≠ ≠ − ta có 1 2 Q y = + Bài 4: Rút gọn phân số: 19 3 9 4 9 10 10 2 .27 15.4 .9 6 .2 12 M + = + ( Đề thi HSG miền Bắc năm 1971) Giải: Ta có thể viết ( ) ( ) 18 9 19 3 9 4 19 9 18 8 9 10 10 19 9 20 10 19 9 2 .3 2 5 2 .27 15.4 .9 2 .3 5.3.2 .3 1 6 .2 12 2 .3 2 .3 2 .3 1 3 2 M + + + = = = = + + + Bài 5: Rút gọn biểu thức: Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 4 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG ( ) 1993 1992 2 75 4 4 4 5 25A = + + + + + Giải: Ta có thể viết ( ) ( ) 1993 1992 2 25 4 1 4 4 4 4 1 25A = − + + + + + + Vận dụng hằng đẳng thức: ( ) ( ) 1 2 2 n n n n n a b a b a a b ab b − − − − = − + + + + Ta có: ( ) ( ) 1993 1992 2 1994 4 1 4 4 4 4 1 4 1− + + + + + = − => ( ) 1994 1994 25 4 1 25 25.4A = − + = Bài 6: Rút gọn phân thức: 3 3 3 2 2 2 3a b c abc a b c ab bc ac + + − + + − − − ( Đề thi HSG Miền Bắc 1969 – 1970) Giải: Ta có thể viết: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3a b c abc a b c a b ab a b ab abc+ + − = + + + + − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 a a b ab b c ab a b c a b c ab a b c a b c a b a b c c ab a b c ab a b c a b a b c c ab ab a b c a b c ab bc ac = + + + + − + + = + + − + +   = + + + − + + − + +     = + + + − + + −     = + + + + − − −   Do đó ta có: 3 3 3 2 2 2 3a b c abc a b c a b c ab bc ac + + − = + + + + − − − Bài 7: Rút gọn các biểu thức: a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 A a b a c b c b a c a c b = + + − − − − − − với a, b, c đôi một khác nhau b. 2 2 2 2 : ab ab a b B a a a b a b a b +    = + −  ÷ ÷ − + −    HD: Quy đồng mẫu số chung Giải: a. Chọn mẫu số chung (a – b)(b – c)(c – a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 b c c a a b A a b c a a b b c b c c a a b b c c a − + − + − = − − − = − = − − − − − − − − − ( a, b , c đôi một khác nhau) Vậy A = 0 b. Ta có thể viết: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 : ab ab a b a ab ab ab ab a a b B a a a b a b a b a b a b a b    + − + − − −    = + − = ×  ÷ ÷  ÷ ÷ − + − − + +       4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 a a b a B a b a b a b − − − = × = − + + Vậy 4 2 2 a B a b − = + Bài 8: Rút gọn các biểu thức: a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c A a b a c b c b a c a c b = + + − − − − − − b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b c c a a b B a b a c b c b a c a c b + + + = + + − − − − − − với a,b,c đôi một khác nhau Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 5 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG HD: Quy đồng MSC: ( ) ( ) ( ) a b b c c a− − − Giải: a. Ta có thể viết ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 a b c b c a c a b A a b a c − − − − − − = = − − Vậy A = 0 b. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 b c c a a b b c b c c a c a a b a b B a b b c c a a b b c c a − − − − − − − + − − + − − + − = = − − − − − −  B = 0 Bài 9: Rút gọn các biểu thức: a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 a b c C a b a c b c b a c a c b = + + − − − − − − b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 bc ca ab D a a b a c b b c b a c c a c b = + + − − − − − − Giải: a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 a b c b c a c a b C a b b c c a − − − − − − = − − − Ta phân tích tử số thành tích số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 3 3 3 a b c b c a c a b ab a b c a b c a b− − − − − − = − − − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 a b ab a b c a ab b c b c a b b c a ab c b c a b b c c a a b c   = − + − − + − −     = − − + − +   = − − − − + + => Tử số: ( ) ( ) ( ) ( ) a b b c c a a b c− − − − + + Do đó C = a + b + c b. Chọn mẫu số chung: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 abc a b b c c a− − − Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c b c c a c a a b a b D abc a b b c c a − − − − − − = − − − Ta biến đổi tử số thành nhân tử: Để cho gọn, ta đặt A = a 2 , B = b 2 , C = c 2 Ta có tử số bằng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BC B C CA C A AB A B C A B C A B AB A B A B CA CB C AB A B B C A C C A A B B C C A a b b c c a = − − − − − − = − − − − −   = − + − −   = − − − −    = − − − = − − − Do đó ta có : 1 D abc = Bài 10 : Rút gọn biểu thức : 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3A = + + + + + + − + + Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 6 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG Giải :Ta có : ( ) 2 2 2 3 . 2 2 2 3 4 2 2 3 2 2 3+ + + − + + = − + + = − + => 2 2 3 . 2 2 3 2 3+ + − + = − => A = 2 3. 2 3 1+ − = Vậy A = 1 Bài 11 : Rút gọn biểu thức : 2 2. 3 7 2 . 3 6 7 2 . 3 6 7 2B = + + + + + + − + + ĐS: 2B = CHUYÊN ĐỀ III: TÍNH GIÁ TRỊ MỘT BIỂU THỨC Bài 1: Hãy tính tổng S = ab + cd Biết rằng: 2 2 2 2 1994a b c d+ = + = và ac + bd = 0 Giải: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0ac bd ad bc a cd abc abd b dc c d ab a b cd+ + = ⇔ + + + = ⇔ + + + = ( ) 1994 0 0ad cd ab cd⇔ + = ⇔ + = Vậy ab + cd = 0 Bài 2: Cho 2 2 2 2 4282, 1658, 2384a b c d ac bd+ = + = + = . Tính ad – bc ĐS: 1190 Bài 3: Cho a + b + c = 0 Tính giá trị biểu thức: 3 3 2 2 M a b a c b c abc= + + + − Giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 M a b a c b c abc a b a ab b c a ab b= + + + − = + − + + − + ( ) ( ) 2 2 a b c a ab b= + + − + Vì a + b +c = 0 nên M = 0 Bài 4: Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau và abc khác 0 thỏa hệ thức: 0 a b c b c c a a b + + = − − − . Hãy tính giá trị của biểu thức: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b c b c c a a b + + − − − Giải: Để cho gọn ta đặt A = b – c; B = c – a ; C = a – b => A, B, C ≠ 0 và A + B + C = 0 Do đó ta có: 0 a b c A B C + + = (*) Nhân hai vế của (*) lần lượt với 1 1 1 , , A B C rồi cộng lại vế theo vế ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0 a b c a a b b c c A B C AB AC AB BC AC BC a b c a B C b A C c A B A B C ABC a b c aA bB cC M A B C ABC = + + + + + + + + = + + + + + + + +    = + + − + + => = Vậy M = 0 Bài 5: Cho. Hãy tính giá trị biểu thức: a. 3 2 ' 3 ' 2 ' a b c f a b c − + = − + b. ' ' ' a b c g a b c + + = + + Giải: Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 7 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG a. Ta có: 3 2 3 2 4 4 4 ' ' ' ' 3 ' 2 ' ' 3 ' 2 ' a b c a b c a b c a b c a b c a b c − + = = = => = = = => = − + Vậy f = 4 b. Giải tương tự Bài 6: Gọi n là số tự nhiên, 1n ≥ . Tính tích số sau theo n 1 1 1 1 1 1 2 3 1 P n      = − − −  ÷ ÷  ÷ +      ( Theo đề thi HSG toàn quốc 1977 – 1978) Giải: 1 1 2 2 1 2 1 3 3 1 3 1 2 3 1 11 4 4 2 3 4 1 1 1 1 1 1 n P n n n n n  − =    − =    − = => = × × × × =  + +     − = + +    Bài 7: Tính tích sô 101 10001 100000001 100 001P = × × × × ( 2 n -1 chữ số 0) Giải: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 8 2 10 1 10 1 10 1 10 1 n P = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 4 8 2 2 2 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 1 10 1 99 1 999 999 1010 101 99 n n + = − + + + + − = − = × = 2 n+1 chữ số 9 (2 n+1 -1 ) chữ số Vậy P = 1010 101 có 2 n+1 – 1 chữ số Bài 8: Một dãy số tự nhiên được phân thành nhóm như sau: (1), (2,3), (4,5,6), (7,8,9,10), Gọi S k là tổng các số ở nhóm thứ k. Tính tổng S = S 1 + S 2 + S 3 + + S 2n-1 Giải: Số đầu tiên của thứ k là ( ) ( ) 1 1 1 2 3 1 1 1 2 k k k a k − = + + + + − + = +    Tổng k số của nhóm thứ k: ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 2 2 k k k kk k k k k k S a a a − +  + +  ÷   = + + =  3 2 k k k S + = Khi n = 1, ta có: 4 1 1 1S = = Khi n = 2, ta có: 4 1 3 16 2S S+ = = Giả sử: 4 1 3 2 1 k S S S k − + + + = (1) Ta chứng minh rằng: ( ) 4 1 3 2 1 1 k S S S k + + + + = + (2) Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 8 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG Ta có: ( ) ( ) 3 4 1 3 2 1 2 1 2 1 2 k k k S S S k + + + + + + + = + ( ) ( ) ( ) 4 2 4 3 2 4 2 1 2 2 1 4 6 4 1 1 k k k k k k k k k = + + + + = + + + + = + => (2) đã được chứng minh. Vậy S = S 1 + S 2 + S 3 + + S 2n-1 = n 4 Bài 9: Tính tổng: ( ) 3 3 3 3 1 5 9 4 1S n= + + + + + Giải: Ta có ( ) 3 3 2 4 1 64 48 12 1k k k k+ = + + + Cho k lần lượt các giá trị nguyên dương 1, 2, 3, , n. Ta có: S = 64S 3 + 48S 2 + 12S 1 + 1 Với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 2 2 1 2 1 2 1 16 32 14 1 6 1 1 2 4 n n S n n n n S n S n n n n n n S n +  = + + + =   + +  = + + + = => = + + + +    + = + + + =  Vậy: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 2 1 5 9 4 1 1 16 32 14 1S n n n n n= + + + + + = + + + + Bài 10: Cho một số tự nhiên n. Xem dãy số: ( ) 0 0 1 1 1 1 ; ; k k x x x x x n n k − = = + + + − Với , 1k N k n∈ ≤ − . Tính tổng 1 0 1 1 n n S x x x − − = + + + Giải: Khi k = 0, ta có: 0 0 1 1 0 x S n n = => = − Khi k = 1, ta có: ( ) 1 1 1 1 1 1 x S n n n = => = − − Giả sử: 1 , , 1 k S k N k n k = ∈ ≥ − Ta có: ( ) 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k k S S x x x x n k n k n k n k n k n k + + = + = + + + + = + − = − − − − − − − − − Do đó: 1 1 , , 1 1 m n S m N m n n m S − = ∈ ≤ − − => = Vậy: 1 1 n S − = Bài 11: Tìm tổng của tất cả các số có hai chữ số thỏa tính chất: mỗi số chia cho 4 dư 1 Giải: Theo giả thiết, các số đã cho có dạng 4k + 1, k ∈ N và 3 24k≤ ≤ Do đó tổng tất cả các số đã cho là: 13 97 22 1210 2 S + = × = Bài 12: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số mà tất cả các chữ số đều là số chẵn ? Giải: Số gồm 5 chữ số chẵn được viết từ 5 chữ số: 0; 2; 4; 6; 8 Để chọn chữ số hàng chục ngàn, ta chỉ có 4 cách chọn Để chọn chữ số cho 4 vị trí khác, ta có 5.5.5.5 = 625 cách Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 9 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG Vậy: có tất cả 2500 số gồm 5 chữ số chẵn Bài 13: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số lẻ khác nhau. ĐS: 120 Bài 14: Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số mà tổng của hai chữ số đầu bằng tổng của hai chữ số cuối? ( Đề thi HSG toàn quốc 1983 – 1984 ) Giải: Giả sử abcd là một trong số phải tìm. Với a, b, c,d ∈ N và 1 9;0 , , 9a b c d≤ ≤ ≤ ≤ Theo giả thiết, ta có: a + b = c + d = n => n N ∈ và 1 18n ≤ ≤ Cho n lần lượt các giá trị tự nhiên từ 1 đến 18 *Khi n = 1. Ta có a = 1; b = 0 => c + d = 1 có 2 cặp giá trị ( 0;1) và (1;0) => Có 2 số thỏa yêu cầu của bài toán là 1010 và 1001 *Khi n = 2. Phương trình a + b = 2, với 1,a a N≥ ∈ có hai cặp nghiệm: 1, 1 2, 0 a b a b = =   = =  Phương trình c + d = 2 có 3 cặp nghiệm tự nhiên (c,d) = (2,0), (1,1), (0,2) Do đó có 2.3 = 6 số thỏa mãn yêu cầu của bài toán: 1120; 1111; 1102; 2020; 2011; 2002 Tương tự khi n = 3,4,5,6,…,9 thì các số thỏa mãn yêu cầu của bài toán theo thứ tự là 3.4, 4.5, 5.6,…, 9.10 *Khi n = 10: Có 9 cách chọn cặp ( a,b). Vì c chỉ lấy giá trị từ 1 đến 9 nếu c = 0 thì d = 10, vô lý nên có 9 cách chọn cặp (c,d) Do đó có 9.9 = 9 2 = 81 số thỏa mãn *Khi n = 11: A chỉ lấy các giá trị từ 2 đến 8 nên có 8 cách chọn cặp ( a,b). Tương tự có 8 cách chọn cặp (c,d) thỏa. Do đó có 8.8 = 8 2 = 64 số thỏa mãn. *Khi n lần lượt lấy các giá trị 12,13,…, 18 thì các số thỏa mãn yêu cầu của bài toán theo thứ tự là 7 2 , 6 2 , …, 1 2 Số các số phải tìm là: 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 9.10 + 9 2 + 8 2 + … + 1 2 = ( 1 + 2 + … + 9) + 2(1 2 + 2 2 + … + 9 2 ) = 45 + 2. 285 = 615 số Vậy: có 615 số thỏa mãn yêu cầu Bài 15: Tính các tổng sau a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a x a y a z S x x y x z y y z y x z z x z y + + + = + + − − − − − − b. ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 4 1 4 1 2 1 T a a a = + + + − + Giải: a. Ta tách mỗi phân thức thành tổng của hai phân thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 a x a x x y x z x x y x z x y x z a y a y y z y x y y z y x y z y x a z a z z x z y z z x z y z x z y + = + − − − − − − + = + − − − − − − + = + − − − − − − Cộng 3 đẳng thức trên vế theo vế, với nhận xét rằng tổng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 x y x z y z y x z x z y + + = − − − − − − ( theo bài 7a cđ ii) Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 10 [...]... Thám Chuyên đề ôn thi HSG n  1 ⇒ α < 1 ⇒ 1 + ÷ < 3  n (2) n  1 Vậy 2 <  1 + ÷ < 3, ∀n ∈ N , n ≥ 2  n Bài 42: Bất đẳng thức sau đây sai hay đúng? Chứng minh vì sao? 106  106 + 1   ÷ đpcm Bài 15: Chứng minh rằng với mọi m, n ≥ 0 , ta luôn luôn có: mn ( m + n ) ≤ m3 + n3 b2 + Giải: 3 3 2 2 Ta có: m + n − mn ( m + n ) = ( m + n ) ( m − mn + n ) − mn  = ( m + n ) (... a + b ) − ( a b + ab ) ≥ 0 Do đó a 4 + b 4 ≥ a3b + ab3 với mọi số dương a, b Dấu “=” xảy ra  a = b Bài 21: Chứng minh rằng ta luôn luôn có 1 1 ∀a > 0 1 a + ≥ 2 2 a + ≤ 2 a a Biên soạn: GV Phạm Đức Tân 27 ∀a < 0 Tổ: Toán - Tin Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG Dấu “=” xảy ra khi nào? Giải: 1 Ta có: 1 a 2 − 2a + 1 ( a − 1) Vì a − 1 2 ≥ 0 và a > 0 nên ta có: ( a − 1) 1 ( ) a+ −2 = = ≥ 0...  x − b  x + a − 2b a P = HD: a.Nên rút gọn rồi thay giá trị của x b Thay giá trị của x trước Giải: a Ta có: 2  x 2 − 4ab  x + 2a x + 2b ( x + 2a ) ( x − 2b ) + ( x + 2b ) ( x − 2a )  P= + = = 2  x − 2a x − 2b x − 2a ) ( x − 2b ) x − 2 ( a + b ) x + 4ab ( Biên soạn: GV Phạm Đức Tân 11 Tổ: Toán - Tin Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG a+b , ta có 2  16a 2b 2  2 − 4ab  2 ( a +... Biên soạn: GV Phạm Đức Tân 35 (**) Tổ: Toán - Tin Trường THCS Hoàng Hoa Thám x= Chuyên đề ôn thi HSG 2ab a+b *Nếu a = - b (**) => 0x = - a2 Trường hợp a = b = 0 : Vô số nghiệm a ≠ 0 ( b ≠ 0 ) : Vô nghiệm Vậy: 2ab x= a ≠ −b : a+b a=b=0 Vô số nghiệm a ≠ 0 ( b ≠ 0) : Vô nghiệm Bài 8: Giải phương trình b2 x2 (1) ( Đề thi HSGMB 1974 – 1975) x − a2 x − 2 +a= 2 2 b − x2 x −b Giải: Điều kiện để cho phương trình... b' c' ca '− c ' a = 0  Bài 10: Chứng minh rằng tất cả 6 tích số: a1b2 c3 , a2b3c1 , a3b1c2 , −a1b3c2 , −a3b2c1 , −a2b1c3 không thể cùng dương Giải: Giả sử cả 6 tích số đã cho đều dương Biên soạn: GV Phạm Đức Tân 25 Tổ: Toán - Tin Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG a1b2 c3 , a2b3c1 , a3b1c2 > 0 => A = a1b2 c3a2b3c1a3b1c2 = a1a2 a3b1b2b3c1c2c3 > 0 (1) − a1b3 c2 , − a3b2 c1 , − a2 b1c3... Giải: Ta có M = 6 4 − 2 3 3 1 + 3 = 6 ( ) 2 3 −1 3 1 + 3 = 3 ( )( ) 3 −1 1 + 3 = 3 2 Vậy M = 3 2 Biên soạn: GV Phạm Đức Tân 14 Tổ: Toán - Tin Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG Bài 27: Số sau đây là số hữu tỉ hay số vô tỉ ( A = 4 + 15 )( 10 − 6 ) 4 − 15 ? ) 4 − 15 = Giải: Ta rút gọn A ( A = 4 + 15 10 − 6 ( 10 − 6 ) ( 4+ 15 ) (4− 2 ) 4 + 15 Vì ( 10 − 6 ) = 2 ( 5 − 3 ) > 0 nên ta có thể... b 2 + c 2 2 2 2 Bài 4: Chứng minh rằng số 1 1 1 1 m = + + + + không phải là số nguyên 2 3 4 16 p Giải: Đặt m = Nhận xét rằng q chẵn và p lẻ Do đó m không thể là một số nguyên q 1 1 1 1 + + + + , n ∈ N và n ≥ 1 không phải là số nguyên Bài 5: Chứng tỏ số sau: p = 1.2 2.3 3.4 n ( n + 1) Giải: Ta có 1 1 1 1 n = − => p = 1 − = Vậy p không phải là một số nguyên k ( k + 1) k k + 1 n +1 n +1 Bài 6: a Biết... ≥ 2 xy Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3) vế theo vế, ta có: 2 x 2 + 2 y 2 + 2 ≥ 2 xy + 2 x + 2 y ⇔ x 2 + y 2 + ≥ xy + x + y Vậy ta luôn có: x 2 + y 2 + 1 ≥ xy + x + y Biên soạn: GV Phạm Đức Tân 29 (2) (3) Tổ: Toán - Tin Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG Bài 31: Cho 2 số thực x,y thỏa: xy = 1, x > y Chứng minh rằng Giải: Ta có thể viết x 2 + y 2 − 2 2 ( x − y ) = x 2 + y 2 − 2 2 ( x . − − + + Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 11 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG Thay 2 a b x + = , ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 16 2 4 2 16 8 4 a b ab a b P a b ab ab a b . soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 14 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG Bài 27: Số sau đây là số hữu tỉ hay số vô tỉ ( ) ( ) 4 15 10 6 4 15A = + − − ? Giải: Ta rút gọn A ( ) ( ). + − + − + − Biên soạn: GV Phạm Đức Tân Tổ: Toán - Tin 2 Trường THCS Hoàng Hoa Thám Chuyên đề ôn thi HSG ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 3 3 3 xy x y z x y z x y x y xy z z x y x y