Ôn thi Rút Gọn .rất hay

Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 ÔN luyện thi vào TH - PT Rút gọn biểu thức chứa căn Phần I. Các kiến thức cần nhớ. Các hằng đẳng thức: 1) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 + = + + 2 ( a b) a 2 a.b b (a,b 0) 2) (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = + 2 ( a b) a 2 a.b b (a,b 0) 3) a 2 b 2 = (a + b).(a b) = + a b ( a b).( a b) (a,b 0) 4) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 5) (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 6) + = + + 3 3 2 2 a b (a b)(a ab b ) + = + = + + 3 3 a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0) 7) = + + 3 3 2 2 a b (a b)(a ab b ) = = + + 3 3 a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0) 8) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc 9) + + = + + + + + 2 ( a b c) a b c 2 ab 2 ac 2 bc (a,b 0) 10) = 2 a a Phần II. Phân dạng bài tập: Dạng 1: Tính - Rút gọn biểu thức không có điều kiện: Bài 1. Tính: a) 10. 40 1 Phạm Văn Hiệu V× sù nghiÖp gi¸o dôc 2009 - 2010 2008 b) 5. 45 c) 2. 162 d) 9 169 e) 12,5 0,5 f) 12,5 0,5 g) − − 49 81 Bµi 2. Rót gän A = 4 + 2 3 Bµi 3. Rót gän B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2 Bµi lµm: = = = = = = = = 2 2 2 B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2 13 + 30 2 + 8 + 2 8 +1 13 + 30 2 + 8 +1) 13 + 30 2 + 8 +1 13 + 30 2 + 2 2 + 1 13 + 30 2 + 1) 18 + 2 18.5 + 25 18 + 5) 2 + 5 ( ( ( 3 Bµi 4. Rót gän − − C = 13 160 53 + 4 90 Bµi lµm: − − = − + − + = − − = − − = − 2 2 2 5 8 ( ) ( ) 3 4 C = 13 160 53 + 4 90 8 5.8 45 + 2 45.8 8 5 45 + 8 8 5 5 - 8 5 Bµi 5. Rót gän + +40 60G = 10 + 24 Bµi lµm: + + = + + = + + = + + 2 40 60 . 2. 2. 5 2. 3. 5 ( 5) 5 G = 10 + 24 2 + 3 + 5 + 2. 2 3 2 3 2 3 Bµi 6. Rót gän A = 3 + 5 + 3 - 5 Bµi lµm: NhËn xÐt: > 0A = 3 + 5 + 3 - 5 ( ) 2 2 ) 2 2 A = 3 + 5 + 3 - 5 A = 3 + 5 + 3 - 5 = 3 + 5 + 2 3 - ( 5 + 3 - 5 2 Ph¹m V¨n HiÖu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 2 A = 6 + 2 = A = 4 10 10 Bài 7. Rút gọn 1 1 3 2 6( 2) + + + 1 A = 3 3 Bài làm: 2 3 2 3 6 6 2 + + 3 3 A = = Bài 8. Rút gọn 5 5 5 5 + + + 7 7 A = 7 7 Dạng 2: Rút gọn biểu thức có điều kiện: Bài 1. Rút gọn biểu thức: a) + 5 5 2 x x (Với x 5 ) b) + + 2 2 x x 2 2.x 2 2 (Với x 2 ) Bài 2. Rút gọn biểu thức: a) 2 9x 2x (Với x < 0) b) + + 2 x 4 16 8x x (Với x > 4) Bài 3. Rút gọn biểu thức: a) 2 4(a 3) (Với a 3 ) b) 2 2 b (b 1) (Với <b 0 ) Bài 4. Rút gọn biểu thức: ( ) ( ) + x y y x x y x y (Với x > 0 và y > 0) Bài 5. Rút gọn biểu thức: + + = + + + x 1 2 x 2 5 x P 4 x x 2 x 2 (Với x 0 và x 4) 3 Phạm Văn Hiệu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 Bài 6. Rút gọn biểu thức: + = + + a b a b M a b a b (Với a 0, b 0 và a b) Bài 7. Cho biểu thức: + (2 x y)(2 x y) a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định. b) Rút gọn biểu thức với điều kiện trên. Bài 8. Cho biểu thức: + + = ữ ữ ữ 1 1 a 1 a 2 Q : a 1 a a 2 a 1 a) Tìm điều kiện để Q xác định. b) Rút gọn Q. Bài 9. Cho biểu thức: + + = ữ ữ ữ ữ + + + 3 3 2x 1 x x 1 B . x x x 1 1 x x 1 a) Tìm điều kiện để B xác định. b) Rút gọn B. Bài 10. Cho biểu thức: + + = + ữ ữ ữ ữ + x x 9 3 x 1 1 C : 9 x 3 x x 3 x x a) Tìm điều kiện để C xác định. b) Rút gọn C. Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến. Bài 1. Cho biểu thức: = + + 2 A 2x x 6x 9 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x = - 5 Bài 2. Cho biểu thức: 4 Phạm Văn Hiệu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 = + 1 1 B 1 x 1 x Tính giá trị của biểu thức B tại x = 4 Bài 3. Cho biểu thức: = + + ữ ữ + 2 1 1 C 1 a : 1 1 a 1 a Tính giá trị của biểu thức C tại a = 1 và a = + 3 2 3 Bài 4. Cho biểu thức: = + ữ ữ + + 1 1 1 1 D : x 1 x 1 x 1 x 1 x Tính giá trị của biểu thức tại x = 3 2 2 Dạng 3: Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức. Bài 1. Cho biểu thức: = + 2 A 4x 4x 12x 9 Tính giá trị của x biết A = - 15 Bài 2. Cho biểu thức: = + ữ ữ ữ ữ + + + + a a a a a B : b a a b a b a b 2 ab Biết rằng khi = a 1 b 4 thì B = 1. Tìm a; b Hàm số bậc nhất. Dạng 1: Điểm thuộc đờng thẳng. D.1.1: Chứng minh ba điểm thuộc đờng thẳng. D.1.2: Tìm toạ độ của điểm khi biết điểm thuộc đờng thẳng. D.1.3: Tìm giá trị tham số khi biết điểm thuộc đờng thẳng. Dạng 2: Giao điểm của hai đờng thẳng. D.2.1: Tìm giao điểm của hai đờng thẳng. D.2.2: Tìm giá trị một tham số khi biết giao điểm của hai đờng thẳng. 5 Phạm Văn Hiệu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 D.2.3: Tìm 2 giá trị tham số khi biết giao điểm của 2 đờng thẳng. Dạng 3: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm. D.3.1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua A(x 1 ; y 1 ); B(x 2 ; y 2 ) với x 1 x 2 ; y 1 y 2 . D.3.2: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm có hoành độ bằng nhau và tung độ khác nhau. D.3.3: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm có tung độ bằng nhau và hoành độ khác nhau. D.3.4: Tìm giá trị tham số để đờng thẳng đi qua 2 điểm. Dạng 4: Ba điểm thẳng hàng. D.4.1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng. D.4.2: Tìm giá trị tham số để ba điểm thẳng hàng. Dạng 5: Ba đờng thẳng đồng qui. D.5.1: Chứng minh ba đờng thẳng đồng qui. D.5.2: Tìm giá trị tham số để ba đờng thẳng đồng qui. Dạng 6: Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng. D.6.1: Hai đờng thẳng song song. D.6.2: Tìm giá trị tham số để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung. D.6.3: Tìm giá trị tham số để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục hoành. D.6.4: Hai đờng thẳng trùng nhau. Dạng 7: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm và song song với đờng thẳng cho trớc. D.7.1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm và song song với đờng thẳng cho trớc. D.7.2: Tìm giá trị của tham số để phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm và song song với đờng thẳng cho trớc. Dạng 8: Tìm giá trị tham số khi biết góc tạo bởi đờng thẳng với trục hoành. Rút gọn biểu thức chứa căn Dạng 1: Tính - Rút gọn biểu thức không có điều kiện: Bài 1. Tính: 6 Phạm Văn Hiệu V× sù nghiÖp gi¸o dôc 2009 - 2010 2008 h) 10. 40 i) 5. 45 j) 2. 162 k) 9 169 l) 12,5 0,5 m) 12,5 0,5 n) − − 49 81 Bµi 2. Rót gän A = 4 + 2 3 Bµi 3. Rót gän B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2 Bµi lµm: = = = = = = = = 2 2 2 B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2 13 + 30 2 + 8 + 2 8 +1 13 + 30 2 + 8 +1) 13 + 30 2 + 8 +1 13 + 30 2 + 2 2 + 1 13 + 30 2 + 1) 18 + 2 18.5 + 25 18 + 5) 2 + 5 ( ( ( 3 Bµi 4. Rót gän − − C = 13 160 53 + 4 90 Bµi lµm: − − = − + − + = − − = − − = − 2 2 2 5 8 ( ) ( ) 3 4 C = 13 160 53 + 4 90 8 5.8 45 + 2 45.8 8 5 45 + 8 8 5 5 - 8 5 Bµi 5. Rót gän + +40 60G = 10 + 24 Bµi lµm: + + = + + = + + = + + 2 40 60 . 2. 2. 5 2. 3. 5 ( 5) 5 G = 10 + 24 2 + 3 + 5 + 2. 2 3 2 3 2 3 Bµi 6. Rót gän A = 3 + 5 + 3 - 5 Bµi lµm: NhËn xÐt: > 0A = 3 + 5 + 3 - 5 ( ) 2 2 ) 2 2 A = 3 + 5 + 3 - 5 A = 3 + 5 + 3 - 5 = 3 + 5 + 2 3 - ( 5 + 3 - 5 ⇒4 10 10 2 A = 6 + 2 = A = 7 Ph¹m V¨n HiÖu V× sù nghiÖp gi¸o dôc 2009 - 2010 2008 Bµi 7. Rót gän 1 1 3 2 6( 2) + + + 1 A = 3 3 Bµi lµm: 2 3 2 3 6 6 2 − + + 3 3 A = = Bµi 8. Rót gän 5 5 5 5 + − + − + 7 7 A = 7 7 Bµi 9. Rót gän − −F = 4 + 7 4 7 Bµi lµm: − − ⇒ − − + − + + − − + − + = ⇒ 2 2 2 2. 2. 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 2 F = 4 + 7 4 7 .F = 4 + 7 4 7 = 7 + 2. 7 7 - 2. 7 = 7 7 = 7 7 F = 2 Bµi 10. Rót gän − 3 3 A = 5 + 2 13 5 - 2 13 Bµi lµm: 8 Ph¹m V¨n HiÖu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + 3 2 2 5 2 5 2 3 . 5 2 3 . 5 2 3 . 5 2 5 2 3 )(5 2 .A 3 27.A 9.A 9.A 10 ( 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 A = 5 + 2 13 13 = 5 + 2 13 13 = 10 5 + 2 13 13 5 + 2 13 13 = 10 5 + 2 13 13 5 + 2 13 13 = 10 (5 + 2 13 13) = 10 A = 10 A = 0 A - 1)(A + A + 10) = 0 A -1 = 0 A = 1 Bài tập về nhà: Rút gọn các biểu thức sau: a) 6 - 11 - 6 + 11 b) + 3 3 2 7 7 7 c) + 6 10 6 10 3 3 3 3 d) + + 1 1 5 1 12 3 2 6 1 3 3 Dạng 2: Rút gọn biểu thức có điều kiện: Bài 1. Rút gọn biểu thức: a) + 5 5 2 x x (Với x 5 ) 9 Phạm Văn Hiệu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 b) + + 2 2 x x 2 2.x 2 2 (Với x 2 ) Bài 2. Rút gọn biểu thức: a) 2 9x 2x (Với x < 0) b) + + 2 x 4 16 8x x (Với x > 4) Bài 3. Rút gọn biểu thức: a) 2 4(a 3) (Với a 3 ) b) 2 2 b (b 1) (Với <b 0 ) Bài 4. Rút gọn biểu thức: ( ) ( ) + x y y x x y x y (Với x > 0 và y > 0) Bài 5. Rút gọn biểu thức: + + = + + + x 1 2 x 2 5 x P 4 x x 2 x 2 (Với x 0 và x 4) Bài 6. Rút gọn biểu thức: + = + + a b a b M a b a b (Với a 0, b 0 và a b) Bài 7. Cho biểu thức: + (2 x y)(2 x y) a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định. b) Rút gọn biểu thức với điều kiện trên. Bài 8. Cho biểu thức: + + = ữ ữ ữ 1 1 a 1 a 2 Q : a 1 a a 2 a 1 a) Tìm điều kiện để Q xác định. b) Rút gọn Q. Bài 9. Cho biểu thức: + + = ữ ữ ữ ữ + + + 3 3 2x 1 x x 1 B . x x x 1 1 x x 1 a) Tìm điều kiện để B xác định. b) Rút gọn B. Bài 10. Cho biểu thức: 10 Phạm Văn Hiệu [...]... 3my = 4 a) CMR hệ luôn có nghiệm duy nhất b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m Giải: a) Để hệ có nghiệm duy nhất ta xét hiệu: 2m.3m 3.(-1) = 6m2 + 3 > 0 với mọi m Vậy 6m2 + 3 0 với mọi m Hay hệ luôn có nghiệm duy nhất 5 3y 5 3y b) Rút m từ (1) ta đợc m = thay vào (2) ta có: -x + 3 = 2x 2x 4 2x2 + 8x -15y + 9y2 = 0 Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m (m... a + 1 1 a ữ ữ 2 a) Rút gọn A b) Chứng minh rằng 0 < A 2 Dạng 8: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Bài tập Cho biểu thức: 2 x 2 x + 2 1 x A = x 1 x + 2 x + 1ữ 2 ữ ữ a) Rút gọn A b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì A > 0 c) Tính giá trị lớn nhất của A Bài tập tổng hợp: Cho biểu thức: x2 x 2x + x 2(x 1) 1 A = + ữ x + x +1 x x 1 ữ x x +1 a) Rút gọn A b) Tính giá trị... + Qui ớc: Cả công việc là 1 đơn vị + Tìm trong 1 đv thời gian đối tợng tham gia bài toán thực hiện đợc bao nhiêu phần công việc Phần công việc = 1 thoigian Bài 1: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 8 giờ thì xong Nếu ngời thứ nhất làm trong 6 giờ sau đó dừng lại và ngời th hai làm tiếp trong 9 giờ nữa thì sẽ hoàn thành công việc Hỏi mỗi ngời làm một mình trong bao lâu thì xong công việc? Giải:... nhất làm một mình thì xong công việc là: x(giờ) (x > 0) Gọi thời gian ngời thứ hai làm một mình thì xong công việc là: y(giờ) (y> 0) 35 Phạm Văn Hiệu Vì sự nghiệp giáo dục - 2009 - 2010 2008 1 (công việc) x 1 Trong 1 giờ ngời thứ hai làm đợc: (công việc) y Trong 1 giờ ngời thứ nhất làm đợc: 1 1 1 1 (công việc) nên ta có: + = (1) x y 8 8 6 Trong 6 giờ ngời thứ nhất làm đợc: (công việc) x Vậy trong 1 giờ... 2 m = 8 +) 6 m = 4 m = 2 +) 6 m = - 4 m = 10 24 6m y = - 6 (t/m) Thay m = 5 vào y = 6m 24 6m y = 18 (t/m) Thay m = 7 vào y = 6m 24 6m y = 0 (t/m) Thay m = 4 vào y = 6m 24 6m y = 17 (t/m) Thay m = 8 vào y = 6m 24 6m y = 3 (t/m) Thay m = 2 vào y = 6m 24 6m y = 9 (t/m) Thay m = 10 vào y = 6m Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì m { 5;7;4;8;2;10} x= Dạng 8: Tìm giá trị tham số để biểu... ngời thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là: 12giờ Cách 2: Gọi số phần công việc ngời thứ nhất làm trong 1giờ là: x (x > 0) Và số phần công việc ngời thứ hai làm trong 1giờ là: y (y > 0) - Do hai ngời làm chung trong 8 giờ thì xong công việc nên ta có: x + y = 1 8 8x + 8y = 1 (1) Do ngời thứ nhất làm trong 6 giờ và ngời thứ hai làm tiếp trong 9 giờ thì xong công việc nên ta có pt: 6x + 9y = 1 (2)... liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m HD: 27 Phạm Văn Hiệu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 3mx y = 3m2 2m + 1 x + my = 2m2 6mx 2y = 6m2 4m + 2 6mx 3x 2y 3my = 4m + 2 2 3x + 3my = 6m2 x + my = 2m 3x + 2y + 2 Rút m từ (1) ta đợc: m = Thay vào (2) ta có: 6x 3y + 4 3x + 2y + 2 3x + 2y + 2 2 y = 2.( ) Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y 6x 3y + 4 6x 3y + 4 không phụ thuộc vào... minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt 30 Phạm Văn Hiệu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 Bài 1: Cho phơng trình: 7x2 - (3m + 1)x m2 - 1 = 0 (1) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt Bài làm: Ta có: a.c = 5.( m2 - 1) = -5(m2 + 1) < 0 với mọi m Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt Bài 2: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 3)x +2m 4 = 0 (1) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân... Cho hệ pt: có nghiệm ax + by = c (2) y = y 0 Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) và giải Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) và giải (1) 3x 2y = 7 Ví dụ 1: Cho hệ phơng trình 2 (2) (5n + 1)x (n 2)y = n 4n 3 Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2) Giải: Thay (x; y) = (2; 1) vào (1) ta có: 3 2.(- 2) = 7 3 + 4 = 7 Vậy (2; 1) là nghiệm của (1) Thay (x; y) = (1; -2) vào (2) ta có: (5n + 1) + 2.(n... y = m2 (1) Cho hệ pt: (2) 2x + my = m2 + 2m + 2 a) CMR hệ pt luôn có nghiệm duy nhất với mọi m b) Tìm m để biểu thức: x2 + 3y + 4 nhận GTNN Tìm giá trị đó Giải: a) Do m2 0 với mọi m m2 + 2 > 0 với mọi m Hay m2 + 2 0 với mọi m Vậy hệ pt luôn có nghiệm duy nhất với mọi m 23 Phạm Văn Hiệu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 b) Rút y từ (1) ta có: y = mx m2 (3) Thế vào (2) ta đợc 2x + m(mx m2) . 10 10 Bài 7. Rút gọn 1 1 3 2 6( 2) + + + 1 A = 3 3 Bài làm: 2 3 2 3 6 6 2 + + 3 3 A = = Bài 8. Rút gọn 5 5 5 5 + + + 7 7 A = 7 7 Dạng 2: Rút gọn biểu thức có điều kiện: Bài 1. Rút gọn biểu. 2. Rút gọn biểu thức: a) 2 9x 2x (Với x < 0) b) + + 2 x 4 16 8x x (Với x > 4) Bài 3. Rút gọn biểu thức: a) 2 4(a 3) (Với a 3 ) b) 2 2 b (b 1) (Với <b 0 ) Bài 4. Rút gọn. tập về nhà: Rút gọn các biểu thức sau: a) 6 - 11 - 6 + 11 b) + 3 3 2 7 7 7 c) + 6 10 6 10 3 3 3 3 d) + + 1 1 5 1 12 3 2 6 1 3 3 Dạng 2: Rút gọn biểu thức có điều kiện: Bài 1. Rút gọn biểu thức: a)