de thi dap an hs gioi toan 8 duy xuyen 09-10

Trường THCS VINH THANH Phßng Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Duy xuyÊN §Ò kiÓm §Þnh chÊt lîng häc sinh kh¸,giái n¨m häc 2009 - 2010 M«n: To¸n - líp 8 (Thêi gian lµm bµi 120 phót)  x2 6 1   10 − x 2  x−2+  + + Bài 1:(4 ®iÓm) Cho biểu thức M =  3  :  x+2   x − 4 x 6 − 3x x + 2    a Rút gọn M b.T×m x nguyªn ®Ó M ®¹t gi¸ lín nhÊt Giải :  x2 6 1   x2 6 1  + + a)  3  =  x ( x − 2)( x + 2) − 3( x − 2) + x + 2   x − 4 x 6 − 3x x + 2    x − 2( x + 2) + ( x − 2) = ( x + 2)( x − 2) −6 = ( x + 2)( x − 2)  10 − x 2  ( x + 2)( x − 2) + (10 − x 2 ) x−2+ =  x+2  x+2   6 = x+2 −6 x+2 1 ⇒ M= = ( x − 2)( x + 2) 6 2− x b)+ NÕu x 〉 2 th× M 〈 0 nªn M kh«ng ®¹t GTLN + VËy x 〈 2, khi ®ã M cã c¶ Tö vµ MÉu ®Òu lµ sè d¬ng, nªn M muèn ®¹t GTLN th× MÉu lµ (2 – x) ph¶i lµ GTNN, Mµ (2 – x) lµ sè nguyªn d¬ng ⇒ 2 – x = 1 ⇒ x = 1 VËy ®Ó M ®¹t GTLN th× gi¸ trÞ nguyªn cña x lµ: 1 Bài 2:(3 ®iÓm) Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 a Phân tích biểu thức A thành nhân tử b Chứng minh: Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0 Giải : a) A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc) 2 2 2 2 =  (b − c ) − a   (b + c ) − a      = (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a) b) Ta có: (b+c –a ) >0 ( BĐT trong tam giác) T¬ng tù: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) 0 Vậy A< 0 Bài 3:(3 ®iÓm) a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014 b Cho các số x,y,z thỏa mãn đồng thời: x + y + z = 1: x 2 + y 2 + z 2 = 1 và x 3 + y 3 + z 3 = 1 Tính tổng: S = x 2009 +y 2010 + z 2011 Giải : 1 Gv : Đỗ Kim Thạch st Trường THCS VINH THANH a) A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + 4 + 2010 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 Do (x-y)2 ≥ 0 ; (y - 2)2 ≥ 0 Nên:(x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 ≥ 2010 Dấu ''='' x¶y ra ⇔ x – y = 0 và y – 2 = 0 ⇔ x = y = 2 Vậy GTNN của A là 2010 t¹i x = y =2 b)Ta có: (x + y + z) 3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) kết hợp các điều kiện đã cho ta có: (x + y)(y + z)(z + x) = 0 ⇒ Một trong các thừa số của tích (x + y)(y + z)(z + x) phải bằng 0 Giả sử (x + y) = 0, kết hợp với đ/k: x + y + z = 1 ⇒ z = 1, l¹i kết hợp với đ/k: x 2 + y 2 + z 2 = 1 ⇒ x = y = 0 Vậy trong 3 số x,y,z phải có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1, Nên tổng S luôn có giá trị bằng 1 Bµi 4:(3 ®iÓm) a Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 1 1 1 + 2 + 2 = x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 2 b Gi¶i ph¬ng tr×nh víi nghiÖm lµ sè nguyªn: x( x 2 + x + 1) = 4y( y + 1) Giải : a)Ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi thµnh: (Víi §KX§: { x ≠ −4; −5; −6; −7} ) 1 1 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 1 1 1 1 1 1 1 ⇒( )+( )+( )= − − − x+4 x+5 x+5 x+6 x+6 x+7 18 1 1 = 1 ⇒ ⇒ (x + 4)(x +7) = 54 − x+4 x+7 18 ⇒ (x + 13)(x – 2) = 0 ⇒ x = -13 hoÆc x = 2 (Tháa m·n §KX§) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: S = { −13; 2} b) + Ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi thµnh: (x + 1)(x 2 + 1) = (2y + 1) 2 + Ta chøng minh (x + 1) vµ (x 2 + 1) nguyªn tè cïng nhau ! V× nÕu d = UCLN (x+1, x 2 + 1) th× d ph¶i lµ sè lÎ (v× 2y+1 lÎ)  x2 + xM d d d  x + 1M  2  x + 1M ⇒  2 ⇒  x + 1M ⇒  d ⇒ 2 M mµ d lÎ nªn d = 1 d d d  x − 1M  x + 1M  x + 1M d  + Nªn muèn (x + 1)(x 2 + 1) lµ sè chÝnh ph¬ng Th× (x+1) vµ (x 2 + 1) ®Òu ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng  x2 + 1 = k 2 k = 1  k = −1 ⇒ (k + x)(k – x) = 1 ⇒  hoÆc  2 x +1 = t x = 0 x = 0  2 = 1 ⇒ y = 0 hoÆc y = -1.(Tháa m·n pt) + Víi x = 0 th× (2y + 1) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: (x;y) = { (0;0), (0; −1)} §Æt:   Bài 5:(7 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC nhän cã c¸c ®êng cao AD,BE,CF c¾t nhau t¹i H a TÝnh tæng: HD HE HF + + AD BE CF b Chøng minh: BH.BE + CH.CF = BC 2 2 Gv : Đỗ Kim Thạch st Trường THCS VINH THANH c Chøng minh: H c¸ch ®Òu ba c¹nh tam gi¸c DEF d Trªn c¸c ®o¹n HB,HC lÊy c¸c ®iÓm M,N tïy ý sao cho HM = CN Chøng minh ®êng trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh Giải : a)Tríc hÕt chøng minh: A E F H M I B K N D C S ( HBC ) HD = S ( ABC ) AD HE S ( HCA) = T¬ng tù cã: ; BE S ( ABC ) HF S ( HAB ) = CF S ( ABC ) HD HE HF Nªn = + + AD BE CF S ( HBC ) + S ( HCA) + S ( HAB ) S ( ABC ) HD HE HF ⇒ =1 + + AD BE CF O b) Tríc hªt chøng minh ∆ BDH : ∆ BEC ⇒ BH.BE = BD.BC Vµ ∆ CDH : ∆ CFB ⇒ CH.CF = CD.CB ⇒ BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC 2 (®pcm) c) Tríc hÕt chøng minh: ∆ AEF : ∆ ABC ⇒ · AEF = · ABC · · Vµ ∆ CDE : ∆ CAB ⇒ CED = CBA · ⇒ · AEF = CED mµ EB ⊥ AC nªn EB lµ ph©n gi¸c cña gãc DEF T¬ng tù: DA, FC lµ ph©n gi¸c cña c¸c gãc EDF vµ DFE VËy H lµ giao ®iÓm c¸c ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c DEF nªn H c¸ch ®Òu ba c¹nh cña tam gi¸c DEF (®pcm) d) Gäi O lµ giao ®iÓm cña c¸c ®êng trung trùc cña hai ®o¹n MN vµ HC, ta cã ∆ · · OMH = ∆ ONC (c.c.c) ⇒ OHM = OCN (1) · · MÆt kh¸c ta còng cã ∆ OCH c©n t¹i O nªn: OHC = OCH (2) · · Tõ (1) vµ (2) ta cã: OHC = OHB ⇒ HO lµ ph©n gi¸c cña gãc BHC VËy O lµ giao ®iÓm cña trung trùc ®o¹n HC vµ ph©n gi¸c cña gãc BHC nªn O lµ ®iÓm cè ®Þnh Hay trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh lµ O 3 Gv : Đỗ Kim Thạch st ... ∆ CDE : ∆ CAB ⇒ CED = CBA · ⇒ · AEF = CED mà EB AC nên EB phân giác góc DEF Tơng tự: DA, FC phân giác góc EDF DFE Vậy H giao điểm đờng phân giác tam giác DEF nên H cách ba cạnh tam giác DEF... x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 1 1 1 ⇒( )+( )+( )= − − − x+4 x+5 x+5 x+6 x+6 x+7 18 1 = ⇒ ⇒ (x + 4)(x +7) = 54 − x+4 x+7 18 ⇒ (x + 13)(x – 2) = ⇒ x = -13 x = (Thỏa mÃn ĐKXĐ)... b Chøng minh: BH.BE + CH.CF = BC 2 Gv : Đỗ Kim Thạch st Trường THCS VINH THANH c Chøng minh: H cách ba cạnh tam giác DEF d Trên đoạn HB,HC lấy điểm M,N tùy ý cho HM = CN Chøng minh ®êng trung