DỀ THI HSG LỚP 9

PHÒNG GIÁO DỤC EAKAR TRƯỜNG THCS HOÀNG HOA THÁM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Môn : TOÁN – LỚP 9 Thời gian làm bài 150 phút ĐỀ BÀI: Bài 1: ( 4 điểm) Cho biểu thức P = 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x x x x x − + + − − − + − − a. Rút gọn P b. Tính giá trị của P khi x = 2 3 5− c. Tìm x để P < 1 Bài 2: (3 điểm) Biết ( ) ( ) 3 3 4 5 1 4 5 1x = + − − . Tính giá trị cuả biểu thức C = x 3 + 12x Bài 3: ( 3 điểm) Chứng minh rằng số: 2 2 2 2 2009 2009 .2010 2010M = + + là một số chính phương Bài 4: (4 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Một điểm M thay đổi trên đường tròn ( M khác A và B). Vẽ đường tròn (M) tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD đến đường tròn (M). a. Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O) b. Chứng minh tổng AC + BD không đổi. Từ đó tính giá trị lớn nhất của AC.BD Bài 5 : (4 điểm) Cho tam giác ABC. P là điểm nằm trên đường thẳng BC, trên tia đối cuả tia AP lấy điểm D sao cho 2 BC AD = . Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm cuả DB và DC. Chứng minh rằng đường tròn đường kính EF luôn đi qua một điểm cố định khi P di động trên BC Bài 6: ( 2 điểm) Giải phương trình 2 2 2 4 4 3x x y y+ − = + + Hết PHÒNG GIÁO DỤC EAKAR TRƯỜNG THCS HOÀNG HOA THÁM HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: a) ĐKXĐ 0; 4; 9x x x≥ ≠ ≠ 1đ P= ( ) ( ) ( ) ( ) 2 9 9 2 3 2 2 1 3 2 3 2 3 x x x x x x x x x x x x − − + + − − − + − + = = − − − − − 1đ b) Khi 2 3 5 x = − ta có P= 4 2 2 1 1 1 2(3 5) 1 5 3 5 5 1 2 2 4 5 3 5 3 3 3 5 1 3 5 2(3 5) + + + − + − − = = = − − − − − − − 1đ c) Để P<1 thì 1 4 1 1 0 9; 4 3 3 x x x x x + < ⇔ < ⇔ ≤ < ≠ − − 1đ Bài 2: (3 điểm) Áp dụng hằng đẳng thức ( ) ( ) 3 3 3 3m n m n mn m n− = − − − Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 5 1 4 5 1 3. 4 5 1 . 4 5 1 . 4 5 1 4 5 1x                   = + − − − + − + − − ( ) ( ) 3 8 3. 4 5 1 .4 5 1 . 8 12x x= − + − = − Vậy C = x 3 + 12x = 8 – 12x + 12x = 8 + Lập phương hai vế cuả đẳng thức ( ) ( ) 3 3 4 5 1 4 5 1x = + − − . Biến đổi và đi đến được kết quả x 3 = 8 – 12x : (2,5đ) + Tính đúng giá trị cuả C : (0,5đ) Bài 3: ( 3 điểm) 2 2 2 2 2009 2009 .2010 2010M = + + 2 2 2 2010 (2009 1) 2009= + + (1đ) 2 2 2 2010 (2009 1) 2.2009 2009   = + − +   (1đ) ( ) 4 2 2 2 2 2010 2.2010 .2009 2009 2010 2009 = − + = − Vậy 2 2 2 2 2009 2009 .2010 2010M = + + là một số chính phương (1đ) Bài 4: (4 điểm) (hình vẽ , giả thiết , kết luận 0,5 điểm) a. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có CMA AMH CMA BMD AMH HMB HMB BMD ∠ = ∠  => ∠ + ∠ = ∠ + ∠  ∠ = ∠  ; ∆ AMB chắn nửa đường tròn (O) => 0 90AMB∠ = mà AMH HMB AMB∠ + ∠ = ∠ => 0 90CMA BMD AMH HMB∠ + ∠ = ∠ + ∠ = => 0 180CAM BMD AMH HMB∠ + ∠ + ∠ + ∠ = Hay C; M; D thẳng hàng (0,5đ) Vậy ACDB là hình thang, MO là đường trung bình => MO CD⊥ Mà ( ) M O∈ nên CD là tiếp tuyến của (O) (1đ) b. Ta có AC + BD = 2MO = 2R không đổi AC = AH ; BD = BH => AC . BD = AH . BH = MH 2 AC . BD lớn nhất khi MH lớn nhất. Vậy AC . BD lớn nhất bằng R 2 khi M là điểm chính giữa của cung AB. (1đ) Bài 5 : (4 điểm) Hình vẽ, GT KL : 0,5 điểm Gọi M là trung điểm cuả BC + Tứ giác DEMF là hình bình hành do EM, FM là hai đường trung bình cuả ∆DBC. Suy ra DM và EF cắt nhau tại trung điểm O cuả mỗi đường. (0,5đ) Gọi I là trung điểm cuả AM thì suy ra I là điểm cố định. (0,5đ) + OI là đường trung bình cuả ∆AMD nên : OI = 1 2 AD = 1 4 BC (giả thiết) (1) (0,5đ) + EF là đường trung bình cuả ∆ABC nên EF = 1 2 BC (2) (0,5đ) Từ (1) và (2) suy ra OI = 1 2 EF. Suy ra I thuộc đường tròn (O; 1 4 BC) (1đ) I O F E D M B C A P B D H A C M O Vậy đường tròn đường kính EF (O; 1 4 BC) luôn đi qua điểm cố định I khi P thay đổi trên đường thẳng BC (0,5đ) Bài 6: (2 điểm) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 . 2 2. 2 2x x x x+ − ≤ + + − ≤ = Dấu “=” xảy ra khi x = 1 , (0,5đ) Mặt khác: ( ) 2 2 4 4 3 2 1 2 2y y y+ + = + + ≥ , Dấu “=” xảy ra khi y = - 1 2 (0,5đ) Vậy 2 2 2 4 4 3 2x x y y+ − = + + = khi x =1 và y =- 1 2 , (0,5đ) Vậy nghiệm của hệ phương trình là 1 1 2 x y =    = −   (0,5đ) Ghi chú : + Học sinh làm bằng các cách giải khác nhưng nếu lập luận chặt chẽ và có kết quả đúng thì vẫn cho điểm tối đa tương ứng với điểm của bài đó. + Trong quá trình chấm, giám khảo có thể chia nhỏ điểm thành phần cuả từng bài. Điểm nhỏ nhất là 0,25. . điểm) 2 2 2 2 20 09 20 09 .2010 2010M = + + 2 2 2 2010 (20 09 1) 20 09= + + (1đ) 2 2 2 2010 (20 09 1) 2.20 09 20 09   = + − +   (1đ) ( ) 4 2 2 2 2 2010 2.2010 .20 09 20 09 2010 20 09 = − + = − Vậy. THCS HOÀNG HOA THÁM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 20 09- 2010 Môn : TOÁN – LỚP 9 Thời gian làm bài 150 phút ĐỀ BÀI: Bài 1: ( 4 điểm) Cho biểu thức P = 2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x x. GIÁO DỤC EAKAR TRƯỜNG THCS HOÀNG HOA THÁM HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: a) ĐKXĐ 0; 4; 9x x x≥ ≠ ≠ 1đ P= ( ) ( ) ( ) ( ) 2 9 9 2 3 2 2 1 3 2 3 2 3 x x x x x x x x x x x x − − + + − − − + − + = = − − − −