giai toan hinh hoc

1 GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG NHIỀU PHƯƠNG PHÁP Nguyễn Tăng Vũ Chúng ta bắt đầu chuyên đề bằng một bài toán thi vào lớp 10 chuyên toán trường Phổ Thông Năng Khiếu năm học 2009 – 2010 vừa mới tổ chức: Cho đường tròn ( ) O tâm O , đường kính AB. C là một điểm thay đổi trên đường tròn ( ) O sao cho tam giác A BC không cân tại C . Gọi H là chân đường cao của tam giác A BC hạ từ C . Hạ ,HE HF vuông góc với , A CBC tương ứng. Các đường thẳng EF và A B cắt nhau tại K . Gọi D là giao điểm của ( ) O và đường tròn đường kính CH , D C≠ . Chứng minh rằng K, D, C thẳng hàng. Đây là một bài toán quen thuộc đối với học sinh lớp 9 chuyên, và ngay chương trình lớp 9 cũng đã có rất nhiều cách để giải bài toán này. Và để chứng minh 3 điểm thẳng hàng, nếu sử dụng kiến thức lớp 9 ta cũng có nhiều cách giải khác nhau, ở đây tôi chỉ trình bày một cách dùng phương pháp “ cộng góc” Cách 1: D I K, M F E H O A B C Ta có ∠KAD = ∠DCB (tứ giác ADCB nội tiếp) Và ∠KED = ∠DCB (tứ giác DECF nội tiếp) Suy ra ∠KAD = ∠KEA, do đó tứ giác KAED nội tiếp. Từ đó ta có ∠KDE = ∠EAH = ∠EHC Mà ∠EHC + ∠EDC = 180 0 , nên ∠KDE + ∠EDC = 180 0 , suy ra K, D, C thẳng hàng. ■ Trên đây là một loạt tính toán về góc, có thể lớp 9 các em còn yếu phần này. Tuy nhiên ngoài phương pháp này có thể chứng minh hai đường thẳng CD và CK trung nhau, vì cùng vuông góc với OI (dành cho các bạn). Nếu nhìn bài toán này bằng công cụ mạnh hơn, ta có thể nghĩ tới phương pháp biến hình và phương pháp trục đẳng phương. Tôi xin trình bày phương pháp trục đẳng phương trước, vì có lẽ nó đơn giản và gần gũi hơn. Cách 2: Chúng ta cần chứng minh CD, EF và AB đồng quy. Ta có t ứ giác AEFB nội tiếp, suy ra AB là trục đẳng phương của (O) và (AEFB) EF là trục đẳng phương của (I) và (AEFB) và CD là trục đẳng phương của (O) và (I) Vậy theo định lý về tâm đẳng phương ta có CD, EF và AB đồng quy tại tâm đẳng phương của 3 đường tròn. 2 Mà K là giao điểm của AB và EF, suy ra K thuộc CD. Hay K, C, D thẳng hàng. ■ Nếu nhìn bài toán này dưới con mắt của phép biến hình, ta sẽ dùng phép nghịch đảo, các bạn tự nghĩ xem vì sao phép nghịch đảo lại hữu dụng đối với bài toán này? Cách 3: Thực hiện phép nghịch đảo cực C, phương tích CH 2 . Khi đó E 6 A, F 6 B. (I) 6 AB, (O) 6 EF. Suy ra D 6 K. Vậy D, K, C thẳng hàng. ■ Nếu giải bằng hình học mà không nói tới phương pháp tính toán thì có lẽ thiếu sót, đối với bài toán này ta có thể giải bằng phương pháp tọa độ. Cái hay của tọa độ là không phụ thuộc vào cách chọn trục, tuy nhiên chọn như thế nào vẫn hợp lý với đề bài và tính toán đơn giản thì đó là kinh nghiệm của mỗi người. Cách 4: Đố i với bài toán này, ta chọn trục như sau: A( -1+a ) E F C ( 0;b ) O ( a;0 ) H B ( 1+a ) H(0;0), O(0;a), A(-1+a), B(0;1+a) và C(0;b). Khi đó b 2 = |(-1+a)(1+a)| = 1 – a 2 Khi đó: Phương trình đường tròn (I): x 2 + (y - b/2) 2 = b 2 /4 Phương trình đường tròn (O): (x-a) 2 + y 2 = 1 Suy ra phương trình đường thẳng CD: - 2ax + a 2 + by – b 2 /4 = 1 – b 2 /4 ⇔ 2ax – by + b 2 = 0 Phương trình đường thẳng AC: x/(a – 1) + y/b = 1 ⇔ bx + (a – 1)y = b(a – 1) Phương trình đường thẳng HE: (a – 1)x – by = 0 Suy ra tọa độ điểm E: (-b 2 /2; b(1 – a)/2) Suy ra phương trình đường thẳng EF: () 2 /2 1/2/2 /2 xyb ba b b − = −− − Suy ra tọa độ giao điểm K của EF và AB là K(- b 2 /2a; 0) Dễ thấy tọa độ điểm K thỏa phương trình đường thẳng CD, suy ra K thuộc CD. Vậy 3 điểm K, C, D thẳng hàng. ■ Để giải bài toán trên, chúng ta đã giải được 4 cách bằng các phương pháp khác nhau, ở đây tôi không bàn luận tới việc công cụ nào mạnh hơn hay hiệu quả hơn vì mỗi phương đều có thế mạnh riêng của mình. Chúng tôi muốn nói rằng không có phương pháp nào là tuyệt đối để giả i được tất cả các bài toán mà quan trọng nhất là bạn thấy được sức mạnh, vẻ đẹp của từng phương pháp và sử dụng chúng một cách hiệu quả nhất.