Thuật toán là một khái niệm cơ sở của Toán học và Tin học. Hiểu một cách đơn giản, thuật toán là một tập các hướng dẫn nhằm thực hiện một công việc nào đó.
THUẬT TOÁN – ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TOÁN Mục lục THUẬT TOÁN – ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TOÁN 1 Mục lục 1 1. THUẬT TOÁN 2 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN THUẬT TOÁN .7 3. ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TOÁN 12 4. PHÂN LOẠI VẤN ĐỀ - BÀI TOÁN .15 5. THUẬT TOÁN ĐỆ QUY .17 6.THUẬT GIẢI .20 7. CÂU HỎI .26 8.Bài viết khác: SỰ PHÂN LỚP VẤN ĐỀ - BÀI TOÁN 27 1. THUẬT TOÁN Thuật toán là một khái niệm cơ sở của Toán học và Tin học. Hiểu một cách đơn giản, thuật toán là một tập các hướng dẫn nhằm thực hiện một công việc nào đó. Ðối với việc giải quyết một vấn đề - bài toán thì thuật toán có thể hiểu là một tập hữu hạn các hướng dẫn rõ ràng để người giải toán có thể theo đó mà giải quyết được vấn đề. Như vậy, thuật toán là một phương pháp thể hiện lời giải của vấn đề - bài toán. Tại sao lại là "Thuật toán" ? Từ thuật toán (Algorithm) xuất phát từ tên một nhà toán học người Trung Á là Abu Abd - Allah ibn Musa al’Khwarizmi, thường gọi là al’Khwarizmi. Ông là tác giả một cuốn sách về số học, trong đó ông đã dùng phương pháp mô tả rất rõ ràng, mạch lạc cách giải những bài toán. Sau này, phương pháp mô tả cách giải toán của ông đã được xem là một chuẩn mực và được nhiều nhà toán học khác tuân theo. Từ algorithm ra đời dựa theo cách phiên âm tên của ông. Việc nghiên cứu về thuật toán có vai trò rất quan trọng trong khoa học máy tính vì máy tính chỉ giải quyết được vấn đề khi đã có hướng dẫn giải rõ ràng và đúng. Nếu hướng dẫn giải sai hoặc không rõ ràng thì máy tính không thể giải đúng được bài toán. Trong khoa học máy tính, thuật toán được định nghĩa là một dãy hữu hạn các bước không mập mờ và có thể thực thi được, quá trình hành động theo các bước này phải dừng và cho được kết quả như mong muốn. Số bước hữu hạn của thuật toán và tính chất dừng của nó được gọi chung là tính hữu hạn. Số bước hữu hạn của thuật toán là một tính chất khá hiển nhiên. Ta có thể tìm ở đâu một lời giải vấn đề - bài toán có vô số bước giải ? Tính "không mập mờ" và "có thể thực thi được" gọi chung là tính xác định. Giả sử khi nhận một lớp học mới, Ban Giám hiệu yêu cầu giáo viên chủ nhiệm chọn lớp trưởng mới theo các bước sau : 1. Lập danh sách tất các học sinh trong lớp. 2. Sắp thứ tự danh sách học sinh. 3. Chọn học sinh đứng đầu danh sách để làm lớp trưởng. Khi nhận được thông báo này, giáo viên chắc chắn sẽ rất bối rối vì không hiểu là trong danh sách học sinh cần có những thông tin gì? Danh sách chỉ cần họ tên, hay cần thêm ngày tháng năm sinh? Có cần thêm điểm trung bình không? Yêu cầu 2 lại càng gây nhiều thắc mắc. Cần phải sắp xếp danh sách theo chiều tăng dần hoặc giảm dần ? Sắp theo chỉ tiêu gì ? Theo tên, theo ngày tháng năm sinh hay theo điểm trung bình chung, .Giả sử sắp theo điểm trung bình thì nếu có hai học sinh cùng điểm trung bình thì học sinh nào sẽ sắp trước, học sinh nào sẽ sắp sau ? . Hướng dẫn ở trên vi phạm tính chất "không mập mờ" của thuật toán. Nghĩa là, có quá nhiều thông tin còn thiếu để làm cho các bước 1,2 được hiểu đúng và hiểu theo một nghĩa duy nhất. Nếu sửa lại một chút ít thì hướng dẫn trên sẽ trở nên rõ ràng hơn rất nhiều và có thể gọi là một thuật toán chọn lớp trưởng ! 1. Lập danh sách tất các học sinh trong lớp theo hai thông tin: Họ và Tên; Ðiểm trung bình cuối năm. 2. Sắp hạng học sinh theo điểm trung bình theo thứ tự giảm dần (từ điểm cao đến điểm thấp). Hai học sinh có cùng điểm trung bình sẽ có cùng hạng. 3. Nếu chỉ có một học sinh có hạng nhất thì chọn học sinh đó làm lớp trưởng. Trường hợp có nhiều học sinh đồng hạng nhất thì chọn học sinh có điểm môn Toán cao nhất làm lớp trưởng. Nếu vẫn còn nhiều hơn một học sinh đồng hạng nhất và có cùng điểm môn Toán cao nhất thì tiến hành bốc thăm. Ở đây chúng ta cần phân biệt mập mờ và sự chọn lựa có quyết định. Mập mờ là thiếu thông tin hoặc có nhiều chọn lựa nhưng không đủ điều kiện để quyết định. Còn chọn lựa có quyết định là hoàn toàn xác định duy nhất trong điều kiện cụ thể của vấn đề. Chẳng hạn trong vấn đề chọn lớp trưởng ở trên, bước 3 thể hiện một sự lựa chọn có quyết định. Tất nhiên, khi chưa lập danh sách, chưa xếp hạng theo điểm trung bình thì giáo viên không thể biết được sẽ chọn lớp trưởng theo cách nào. Nhưng khi đã sắp xong danh sách thì chỉ có một phương án chọn duy nhất. Tính "thực thi được" cũng là một tính chất khá hiển nhiên. Rõ ràng nếu trong "thuật toán" tồn tại một bước không thể thực thi được thì làm sao ta có được kết quả đúng như ý muốn? Tuy nhiên, cần phải hiểu là "thực thi được" xét trong điều kiện hiện tại của bài toán. Chẳng hạn, khi nói "lấy căn bậc hai của một số âm" là không thể thực thi được nếu miền xác định của bài toán là số thực, nhưng trong miền số phức thì thao tác "lấy căn bậc hai của một số âm" là hoàn toàn thực thi được. Tương tự, nếu ta chỉ đường cho một người đi xe máy đến một bưu điện nhưng con đường ta chỉ là đường cụt, đường cấm hoặc đường ngược chiều thì người đi không thể đi đến bưu điện được. Tính "dừng" là tính chất dễ bị vi phạm nhất, thường là do sai sót khi trình bày thuật toán. Dĩ nhiên, mọi thuật toán đều nhằm thực hiện một công việc nào đó nên sau một thời gian thi hành hữu hạn thì thuật toán phải cho chúng ta kết quả mong muốn. Khi không thỏa tính chất này, ta nói rằng "thuật toán" bị lặp vô tận hoặc bị quẩn. Ðể tính tổng các số nguyên dương lẻ trong khoảng từ 1 đến n ta có thuật toán sau : B1. Hỏi giá trị của n. B2. S = 0 B3. i = 1 B4. Nếu i = n+1 thì sang bước B8, ngược lại sang bước B5 B5. Cộng thêm i vào S B6. Cộng thêm 2 vào i B7. Quay lại bước B4. B8. Tổng cần tìm chính là S. Ta chú ý đến bước B4. Ở đây ta muốn kết thúc thuật toán khi giá trị của i vượt quá n. Thay vì viết là "nếu i lớn hơn n" thì ta thay bằng điều kiện "nếu i bằng n+1" vì theo toán học "i = n+1" thì suy ra "i lớn hơn n". Nhưng điều kiện "i=n+1" không phải lúc nào cũng đạt được. Vì ban đầu i = 1 là số lẻ, sau mỗi bước, i được tăng thêm 2 nên i luôn là số lẻ. Nếu n là số chẵn thì n+1 là một số lẻ nên sau một số bước nhất định, i sẽ bằng n+1. Tuy nhiên, nếu n là một số lẻ thì n+1 là một số chẵn, do i là số lẻ nên dù có qua bao nhiêu bước đi chăng nữa, i vẫn khác n+1. Trong trường hợp đó, thuật toán trên sẽ bị quẩn. Tính "đúng" là một tính chất khá hiển nhiên nhưng là tính chất khó đạt tới nhất. Thực vậy, khi giải quyết một vấn đề-bài toán, ta luôn luôn mong muốn lời giải của mình sẽ cho kết quả đúng nhưng không phải lúc nào cũng đạt được. Mọi học sinh khi làm bài kiểm tra đều muốn bài làm của mình có đáp số đúng nhưng trên thực tế, trong lớp học chỉ có một số học sinh nhất định là có khả năng đưa ra lời giải đúng! Thuật toán thì cứng nhắc ! Các tính chất của thuật toán rất chặt chẽ và cứng nhắc. Nhưng điều đó cũng có nghĩa là khả năng giải quyết vấn đề theo kiểu thuật toán cũng bị giới hạn. Sau này, người ta đã "làm mềm" đi hai tính chất quan trọng của thuật toán là tính xác định và tính đúng để giải quyết những vấn đề phức tạp hơn mà với các tính chất chặt chẽ của thuật toán thì không thể giải quyết được. Ðó là các thuật toán đệ quy và thuật giải. Ta sẽ tìm hiểu về điều này ngay trong các mục 4 và 5 của chương này. Các đặc trưng khác của thuật toán Bên cạnh 3 đặc trưng chính là xác định, hữu hạn và đúng, thuật toán còn có thêm 3 đặc trưng phụ khác. 1. Ðầu vào và đầu ra (input/output) : mọi thuật toán, dù có đơn giản đến mấy cũng phải nhận dữ liệu đầu vào, xử lý nó và cho ra kết quả cuối cùng. 2. Tính hiệu quả (effectiveness) : tính hiệu quả của thuật toán được đánh giá dựa trên một số tiêu chuẩn như khối lượng tính toán, không gian và thời gian khi thuật toán được thi hành. Tính hiệu quả của thuật toán là một yếu tố quyết định để đánh giá, chọn lựa cách giải quyết vấn đề-bài toán trên thực tế. Có rất nhiều phương pháp để đánh giá tính hiệu quả của thuật toán. Trong mục 3 của chương , ta sẽ tìm hiểu một tiêu chuẩn được dùng rộng rãi là độ phức tạp của thuật toán. 3. Tính tổng quát (generalliness) : thuật toán có tính tổng quát là thuật toán phải áp dụng được cho mọi trường hợp của bài toán chứ không phải chỉ áp dụng được cho một số trường hợp riêng lẻ nào đó. Chẳng hạn giải phương trình bậc hai sau đây bằng Delta đảm bảo được tính chất này vì nó luôn giải được với mọi giá trị số thực a,b,c bất kỳ. Tuy nhiên, không phải thuật toán nào cũng đảm bảo được tính tổng quát. Trong thực tế, có lúc người ta chỉ xây dựng thuật toán cho một dạng đặc trưng của bài toán mà thôi. Thuật toán giải phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 (a?0) 1. Yêu cầu cho biết giá trị của 3 hệ số a, b, c 2. Nếu a=0 thì 2.1. Yêu cầu đầu vào không đảm bảo. 2.2. Kết thúc thuật toán. 3. Trường hợp a khác 0 thì 3.1. Tính giá trị D = b 2 -4ac 3.2. Nếu D > 0 thì 3.2.1. Phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2 3.2.2. Giá trị của hai nghiệm được tính theo công thức sau 3.2.3. Kết thúc thuật toán. 3.3. Nếu D = 0 thì 3.3.1. Phương trình có nghiệm kép x 0 3.3.2. Giá trị của nghiệm kép là 3.3.3. Kết thúc thuật toán 3.4. Nếu D < 0 thì 3.4.1. Phương trình vô nghiệm. 3.4.2. Kết thúc thuật toán. Thuật toán tìm hộp có trọng lượng nặng nhất Vấn đề : Có n hộp có khối lượng khác nhau và một cái cân dĩa. Hãy chỉ ra cách cân để tìm được hộp có trọng lượng nặng nhất. Vấn đề này là thể hiện của một bài toán tổng quát : Cho một tập hợp A hữu hạn và một thứ tự toàn phần trên A. Hãy xây dựng thuật toán tìm phần tử lớn nhất của A. Bài toán trong toán học có vẻ rất phức tạp nhưng một thể hiện trên thực tế lại rất dễ hiểu, và cách giải quyết cũng đơn giản. Từ đó ta có thể dễ dàng suy ra cách giải bài toán tổng quát. 1. Nếu chỉ có 1 hộp (n=1) thì 1.1. Hộp đó chính là hộp nặng nhất. 1.2. Kết thúc thuật toán. 2. Ngược lại nếu có từ hai hộp trở lên (n>1) 2.1. Chọn hai hộp bất kỳ và đặt lên bàn cân. 2.2. Giữ lại hộp nặng hơn, cất hộp nhẹ hơn sang chỗ khác. 3. Nếu còn hộp chưa được cân thực hiện các bước sau, nếu không còn hộp nào nữa, sang bước 5. 3.1. Chọn một hộp bất kỳ và để lên dĩa cân còn trống. 3.2. Giữ lại hộp nặng hơn, cất hộp nhẹ hơn sang chỗ khác. 4. Trở lại bước 3. 5. Hộp còn lại trên cân chính là hộp nặng nhất. Kết thúc. Thuật toán Euclid tìm ước số chung lớn nhất Bài toán : Cho hai số nguyên dương a và b. Tìm ước số chung lớn nhất của a và b. 1. Yêu cầu cho biết giá trị của a, b. 2. a 0 = a 3. b 0 = b 4. i = 0 5. Nếu a i khác b i thì thực hiện các thao tác sau, ngược lại qua bước 7. 5.1 Tăng i lên 1. 5.2. Nếu a i-1 > b i-1 thì a i = a i-1 - b i-1 b i = b i-1 5.3. Ngược lại b i = b i-1 - a i-1 a i = a i-1 6. Trở lại bước 5. 7. Ước số chung lớn nhất của a, b là a i . 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN THUẬT TOÁN Khi chứng minh hoặc giải một bài toán trong toán học, ta thường dùng những ngôn từ toán học như : "ta có", "điều phải chứng minh", "giả thuyết", . và sử dụng những phép suy luận toán học như phép suy ra, tương đương, .Thuật toán là một phương pháp thể hiện lời giải bài toán nên cũng phải tuân theo một số quy tắc nhất định. Ðể có thể truyền đạt thuật toán cho người khác hay chuyển thuật toán thành chương trình máy tính, ta phải có phương pháp biểu diễn thuật toán. Có 3 phương pháp biểu diễn thuật toán : 1. Dùng ngôn ngữ tự nhiên. 2. Dùng lưu đồ-sơ đồ khối (flowchart). 3. Dùng mã giả (pseudocode). 2.1. Ngôn ngữ tự nhiên Trong cách biểu diễn thuật toán theo ngôn ngữ tự nhiên, người ta sử dụng ngôn ngữ thường ngày để liệt kê các bước của thuật toán (Các ví dụ về thuật toán trong mục 1 của chương sử dụng ngôn ngữ tự nhiên). Phương pháp biểu diễn này không yêu cầu người viết thuật toán cũng như người đọc thuật toán phải nắm các quy tắc. Tuy vậy, cách biểu diễn này thường dài dòng, không thể hiện rõ cấu trúc của thuật toán, đôi lúc gây hiểu lầm hoặc khó hiểu cho người đọc. Gần như không có một quy tắc cố định nào trong việc thể hiện thuật toán bằng ngôn ngữ tự nhiên. Tuy vậy, để dễ đọc, ta nên viết các bước con lùi vào bên phải và đánh số bước theo quy tắc phân cấp như 1, 1.1, 1.1.1, . Bạn có thể tham khảo lại ba ví dụ trong mục 1 của chương để hiểu cách biểu diễn thuật toán theo ngôn ngữ tự nhiên. 2.2. Lưu đồ - sơ đồ khối Lưu đồ hay sơ đồ khối là một công cụ trực quan để diễn đạt các thuật toán. Biểu diễn thuật toán bằng lưu đồ sẽ giúp người đọc theo dõi được sự phân cấp các trường hợp và quá trình xử lý của thuật toán. Phương pháp lưu đồ thường được dùng trong những thuật toán có tính rắc rối, khó theo dõi được quá trình xử lý. Ðể biểu diễn thuật toán theo sơ đồ khối, ta phải phân biệt hai loại thao tác. Một thao tác là thao tác chọn lựa dựa theo một điều kiện nào đó. Chẳng hạn : thao tác "nếu a = b thì thực hiện thao tác B2, ngược lại thực hiện B4" là thao tác chọn lựa. Các thao tác còn lại không thuộc loại chọn lựa được xếp vào loại hành động. Chẳng hạn, "Chọn một hộp bất kỳ và để lên dĩa cân còn trống." là một thao tác thuộc loại hành động. 2.2.1. Thao tác chọn lựa (decision) Thao tác chọn lựa được biểu diễn bằng một hình thoi, bên trong chứa biểu thức điều kiện. 2.2.2. Thao tác xử lý (process) Thao tác xử lý được biểu diễn bằng một hình chữ nhật, bên trong chứa nội dung xử lý. 2.2.3.Ðường đi (route) Khi dùng ngôn ngữ tự nhiên, ta mặc định hiểu rằng quá trình thực hiện sẽ lần lượt đi từ bước trước đến bước sau (trừ khi có yêu cầu nhảy sang bước khác). Trong ngôn ngữ lưu đồ, do thể hiện các bước bằng hình vẽ và có thể đặt các hình vẽ này ở vị trí bất kỳ nên ta phải có phương pháp để thể hiện trình tự thực hiện các thao tác. Hai bước kế tiếp nhau được nối bằng một cung, trên cung có mũi tên để chỉ hướng thực hiện. Chẳng hạn trong hình dưới, trình tự thực hiện sẽ là B1, B2, B3. Từ thao tác chọn lựa có thể có đến hai hướng đi, một hướng ứng với điều kiện thỏa và một hướng ứng với điều kiện không thỏa. Do vậy, ta dùng hai cung xuất phát từ các đỉnh hình thoi, trên mỗi cung có ký hiệu Ð/Ðúng/Y/Yes để chỉ hướng đi ứng với điều kiện thỏa và ký hiệu S/Sai/N/No để chỉ hướng đi ứng với điều kiện không thỏa. 2.2.4. Ðiểm cuối (terminator) Ðiểm cuối là điểm khởi đầu và kết thúc của thuật toán, được biểu diễn bằng hình ovan, bên trong có ghi chữ bắt đầu/start/begin hoặc kết thúc/end. Ðiểm cuối chỉ có cung đi ra (điểm khởi đầu) hoặc cung đi vào (điểm kết thúc). Xem lưu đồ thuật toán giải phương trình bậc hai ở trên để thấy cách sử dụng của điểm cuối. 2.2.5. Ðiểm nối (connector) Ðiểm nối được dùng để nối các phần khác nhau của một lưu đồ lại với nhau. Bên trong điểm nối, ta đặt một ký hiệu để biết sự liên hệ giữa các điểm nối. 2.2.6. Ðiểm nối sang trang (off-page connector) Tương tự như điểm nối, nhưng điểm nối sang trang được dùng khi lưu đồ quá lớn, phải vẽ trên nhiều trang. Bên trong điểm nối sang trang ta cũng đặt một ký hiệu để biết được sự liên hệ giữa điểm nối của các trang. Ở trên chỉ là các ký hiệu cơ bản và thường được dùng nhất. Trong thực tế, lưu đồ còn có nhiều ký hiệu khác nhưng thường chỉ dùng trong những lưu đồ lớn và phức tạp. Ðối với các thuật toán trong cuốn sách này, ta chỉ cần sử dụng các ký hiệu trên là đủ. 2.3. Mã giả Tuy sơ đồ khối thể hiện rõ quá trình xử lý và sự phân cấp các trường hợp của thuật toán nhưng lại cồng kềnh. Ðể mô tả một thuật toán nhỏ ta phải dùng một không gian rất lớn. Hơn nữa, lưu đồ chỉ phân biệt hai thao tác là rẽ nhánh (chọn lựa có điều kiện) và xử lý mà trong thực tế, các thuật toán còn có thêm các thao tác lặp (Chúng ta sẽ tìm hiểu về thao tác lặp trong các bài sau). Khi thể hiện thuật toán bằng mã giả, ta sẽ vay mượn các cú pháp của một ngôn ngữ lập trình nào đó để thể hiện thuật toán. Tất nhiên, mọi ngôn ngữ lập trình đều có những thao tác cơ bản là xử lý, rẽ nhánh và lặp. Dùng mã giả vừa tận dụng được các khái niệm trong ngôn ngữ lập trình, vừa giúp người cài đặt dễ dàng nắm bắt nội dung thuật toán. Tất nhiên là trong mã giả ta vẫn dùng một phần ngôn ngữ tự nhiên. Một khi đã vay mượn cú pháp và khái niệm của ngôn ngữ lập trình thì chắc chắn mã giả sẽ bị phụ thuộc vào ngôn ngữ lập trình đó. Chính vì lý do này, chúng ta chưa vội tìm hiểu về mã giả trong bài này (vì chúng ta chưa biết gì về ngôn ngữ lập trình!). Sau khi tìm hiểu xong bài về thủ tục - hàm bạn sẽ hiểu mã giả là gì ! [...]... rằng thuật toán có độ phức tạp là O(f(n)) trong trường hợp đó Như vậy, thuật toán tìm số lớn nhất có độ phức tạp trong trường hợp tốt nhất và xấu nhất đều là O(n) Người ta gọi các thuật toán có độ phức tạp O(n) là các thuật toán có độ phức tạp tuyến tính Sau đây là một số "thước đo" độ phức tạp của thuật toán được sử dụng rộng rãi Các độ phức tạp được sắp xếp theo thứ tự tăng dần Nghĩa là một bài toán. .. rằng, độ phức tạp của thuật toán này là O(n) hay độ phức tạp thuộc lớp đa thức Như vậy, nếu dùng thuật toán tự quyết thì bài toán người bán hàng sẽ có độ phức tạp không thuộc lớp đa thức, còn nếu dùng thuật toán không tự quyết thì bài toán sẽ có độ phức tạp đa thức 5 THUẬT TOÁN ĐỆ QUY Thuật toán đệ quy là một trong những sự mở rộng cơ bản nhất của khái niệm thuật toán Như đã biết, một thuật toán cần... kiểu thuật toán không ? Tại sao ? 3 Có bao nhiêu phương pháp để thể hiện thuật toán? Ưu, khuyết điểm của từng phương pháp? 4 Hãy vẽ lưu đồ của thuật toán giải phương trình trùng phương , giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số 5 Ðộ phức tạp của thuật toán là gì? Tại sao phải có khái niệm độ phức tạp của thuật toán? Bạn hãy thử tìm một ví dụ về độ phức tạp hằng, độ phức tạp tuyến tính và độ phức tạp. .. độ phức tạp thuộc loại O(nk) Các bài toán có độ phức tạp thuộc loại O(n log n) cũng là các bài toán có độ phức tạp đa thức vì lớp O(n log n) bao hàm trong lớp O(n2) Tương tự, các bài toán có độ phức tạp hằng O(1), có độ phức tạp tuyến tính O(n) cũng thuộc lớp các bài toán có độ phức tạp đa thức Các bài toán có độ phức tạp tỉ lệ với hàm mũ theo n hay tỉ lệ với n! thì không thuộc lớp bài toán có độ phức. .. các bài toán người ta mong muốn tìm ra một thuật toán có độ phức tạp đa thức để giải nhưng rất không may là có những bài toán có độ phức tạp không đa thức, tức là không tồn tại thuật toán có độ phức tạp đa thức để giải bài toán Chẳng hạn như bài toán liệt kê các tập hợp con của một tập hợp, bài toán Tháp Hà Nội Ngoài ra, ta còn có thể gặp phải những bài toán mà ta có thuật toán với độ phức tạp không... có độ phức tạp không đa thức 4.1 Lớp bài toán có độ phức tạp đa thức Các bài toán thuộc lớp này có độ phức tạp là O(n k) hoặc nhỏ hơn O(nk) Chẳng hạn như các bài toán có độ phức tạp là O(nlog2n) được xem là các bài toán thuộc lớp đa thức vì nlog 2n bị chặn bởi n2 ( nlog2n £ n2 với mọi n>0) Như vậy các bài toán có độ phức tạp hằng O(1), phức tạp tuyến tính O(n) và logarith O(nlogan) đều là các bài toán. .. bài toán không giải được Lớp giải được chia làm 2 lớp con: lớp các bài toán có độ phức tạp đa thức và lớp các bài toán có độ phức tạp không phải là đa thức Ngoài ra ta còn có những bài toán thuộc loại NP, đó là những bài toán chưa thể phân loại một cách chính xác là thuộc lớp có độ phức tạp đa thức hay có độ phức tạp không đa thức 1.1 Lớp bài toán có độ phức tạp đa thức Các bài toán thuộc lớp nầy có độ. .. về thuật toán và nhiều kiến thức toán học khác Ðây là công việc mà không phải bất cứ người nào cũng làm được Rất may mắn là các nhà toán học đã phân tích cho chúng ta độ phức tạp của hầu hết các thuật toán cơ sở (sắp xếp, tìm kiếm, các thuật toán số học, ) Chính vì vậy, nhiệm vụ còn lại của chúng ta là hiểu được các khái niệm liên quan đến độ phức tạp của thuật toán Ðánh giá về thời gian của thuật toán. .. toán có độ phức tạp O(n k) sẽ phức tạp hơn bài toán có độ phức tạp O(n) hoặc O(logan) 4 PHÂN LOẠI VẤN ĐỀ - BÀI TOÁN Ðộ phức tạp của thuật toán chính là yếu tố cơ sở để phân loại vấn đề-bài toán Một cách tổng quát, mọi bài toán đều có thể chia làm 2 lớp lớn là : giải được và không giải được Lớp giải được chia làm 2 lớp con Lớp con đầu tiên là các bài toán có độ phức tạp đa thức : nghĩa là bài toán có... nầy vẫn có độ phức tạp không phải đa thức Người ta đã chứng minh được rằng độ phức tạp của thuật toán nầy là O(n!) Như vậy nếu số lượng đại lý là lớn thì thuật toán trên là không thực tế Cho đến nay người ta chưa chứng minh được rằng tồn tại hay không tồn tại một thuật toán có độ phức tạp đa thức để giải bài toán người bán hàng Như thế bài toán nầy chứ thể xếp vào loại bài toán có độ phức tạp đa thức . THUẬT TOÁN – ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TOÁN Mục lục THUẬT TOÁN – ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TOÁN........................................................................1. bài toán có độ phức tạp O(nk) sẽ phức tạp hơn bài toán có độ phức tạp O(n) hoặc O(logan). 4. PHÂN LOẠI VẤN ĐỀ - BÀI TOÁN Ðộ phức tạp của thuật