PHÒNG GD & ĐT YÊN LẠC ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2010-2011 MÔN :TOÁN Thời gian làm bài 120 phút không kể giao đề Bài 1: ( 3 điểm) Cho biểu thức 2 3 2 2 3 2 3 3 1 6 : 3 9 27 9 3 3 9 27 x x x P x x x x x x x x + = + − ÷ ÷ + + + + − − + − a, Rút gọn biểu thức P. b, Với 0x > thì P không nhận những giá trị nào? c, Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị là số nguyên tố. Bài 2: ( 2,5 điểm) a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( ) ( ) ( ) xy x y yz y z zx z x+ − + − − b, Tính giá trị của biểu thức 1 n n A x x = + ( Với n là số tự nhiên ), biết rằng 2 1 0x x+ + = Bài 3: ( 1 điểm) Chứng minh rằng trong 15 số tự nhiên lớn hơn 1 không vượt quá 2004 và đôi một nguyên tố cùng nhau tìm được một số là số nguyên tố. Bài 4: (2,5 điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua O vẽ một đường thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng : a, OM=ON b, 1 1 2 AB CD MN + = Bài 5: (1 điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC và a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 3 3 3 4Q a b c abc= + + + . ………………………Hết………………………… PHÒNG GD & ĐT YÊN LẠC ĐÁP ÁN THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2010-2011 MÔN :TOÁN Bài Nội dung Điểm 1 (3 đ) a, ĐKXĐ x 3≠ ± 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 9 3 9 6 3 3 : . 9 9 3 3 9 3 x x x x x x x P x x x x x x − + + + − + + = = = + + − − + − 1,0 b, ( ) ( ) 3 1 3 3 3 3 1 P x P P x x x x P + + = ⇒ − = + ⇒ = − − 0,5 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 P P P P x P P P P + > − > > + > ⇔ > ⇔ ⇔ < − − + < − < 0,25 Vậy P không lấy các giá trị từ 1 đến -1, tức là [ ] 1;1P ∉ − 0,25 c. 3 6 1 3 3 x P x x + = = + − − 0,25 P là số nguyên khi ( ) 3 6x U− ∈ ⇔ { } 3;0;1;2;4;5;6;9x ∈ − 0,25 Mà P là sốnguyên tố nên chỉ có các giá trị sau thoả mãn x { } 4;6;9∈ 0,25 Bài 2 2,5 đ a, ( ) ( ) ( ) ( ) xy x y yz y z zx x y y z+ − + + + − + 0,5 = ( ) ( ) ( ) ( ) xy x y zx x y yz y z zx y z+ + + − + − + 0,25 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x y y z z y z y x x y y z x z+ + − + + = + + − 0,25 b, Vì 2 1 0x x+ + = nên ( ) ( ) 2 3 3 1 1 0 1 0 1x x x x x+ + + = ⇒ − = ⇒ = 0,25 Nếu 1 3 1 2 x n n n x A x x ⇒ = ⇒ = + =M 0,5 Nếu n=3k+1 Và 2 3 1 3 1 1 1 1 1 1 n k n k x x k N A x x x x x x x x + + + − ∈ ⇒ = + = + = + = = = − 0,25 Nếu n=3k+2, k là số tự nhiên thì 4 3 2 2 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 n k n k x x A x x x x x x x x + + + + = + = + = + = = = − 0,25 Vậy A=2( với n chia hết cho 3) hoặc A=-1 ( Vói n không chia hết cho 3) 0,25 Bài 3 1 đ Giả sử n 1 ,n 2 ,…,n 15 là các số thoả mãn ĐKĐB G/sử tất cả chúng là hợp số .Gọi p i là ước nguyên tố nhỏ nhất của n i ( i=1;2;3 ;15). Gọi p là số lớn nhất trong các số p 1 ,p 2 , …,p 15 . Do các số n 1 ,n 2 ,…,n 15 đôi một nguyên tố cùng nhau nên các số p 1 ,p 2 ,…,p 15 khác nhau tất cả. 0.25 Số nguyên tố thứ 15 là số 47, ta có 47p ≥ . Đối với số n có ước nguyên tố nhỏ nhất là p thì p n≤ 0,25 Suy ra 2 2 47 2004n p≥ ≥ > , vô lý 0,25 Vậy trong 15 số n 1 ,n 2 ,…,n 15 tìm được một số nguyên tố. 0,25 Bài 4(2,5) A B M O N D C a, // ; // ; // OM OA ON BN OA BN OM CD ON CD ON AB CD AC CD BC AC BC ⇒ = ⇒ = ⇒ = 0,5 Suy ra OM ON OM ON CD CD = ⇒ = 0,5 b, OM//AB ; // OM DM OM AM OM CD AB DA CD AD ⇒ = ⇒ = 0,5 1 OM OM DM AM AB CD DA + ⇒ + = = 0,5 Chia cả hai vế cho OM ta đựoc 1 1 2 AB CD MN + = 0,5 Bài 5 Ta có 3-2a=a+b+c-2a=b+c-a>0 và 3-2b>0,3-2c>0 0,25 Áp dụng BĐT Cauchy, ta có ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 3 a b c a b c − + − + − − − − ≤ = ÷ 0,25 ( ) 4 6 14abc ab bc ca⇒ ≥ + + − ( cộng hai vế với ( ) 2 2 2 3 a b c+ + ) 0,25 ( ) ( ) 2 2 2 2 3 4 3 14 13a b c abc a b c⇔ + + + ≥ + + − = Dấu bằng xảy ra khi a=b=c hay tam giác ABC đều. 0,25 . PHÒNG GD & ĐT YÊN LẠC ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2010-2011 MÔN :TOÁN Thời gian làm bài 120 phút không kể giao đề Bài 1: ( 3 điểm) Cho biểu thức 2 3. b c abc= + + + . ………………………Hết………………………… PHÒNG GD & ĐT YÊN LẠC ĐÁP ÁN THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2010-2011 MÔN :TOÁN Bài Nội dung Điểm 1 (3 đ) a, ĐKXĐ x 3≠ ± 0,25 ( ) ( ) (. Chứng minh rằng trong 15 số tự nhiên lớn hơn 1 không vượt quá 2004 và đôi một nguyên tố cùng nhau tìm được một số là số nguyên tố. Bài 4: (2,5 điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), hai đường