ĐỀ THI HSG GIẢI TOÁN LỚP 9

PHÒNG GD& ĐT THANH SƠN ĐỀ THI CHON HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC: 2009 – 2010 Thời gian 150 phút Câu 1(1,5 điểm): Cho S n = 3 3n + 3 - 26n – 27 a) Viết quy trình tính S n với n = 0, n = 1, n= 2, n= 3 b) Chứng minh S n M 169 ∀ n ∈ N Câu 2(1,5 điểm): Cho S = 1 1 1 2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100 + + + + + + a) Viết quy trình liên tục tính S b) Bằng lập luận toán chứng minh máy tính đã cho kết quả đúng Câu 3(2,5 điểm)): Cho C = 2004.2006( 2005 2 + 1) và D = 2005 4 a) Viết quy trình tính C – D? em có nhận xét gì về kết quả trên? b) Bằng lập luận toán tính C – D từ đó so sánh C và D Câu 4(1,5 điểm). Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của đa giác là 2225 0 . Hỏi đa giác có bao nhiêu cạnh Câu 5 (2,5 điểm). Tìm số dư của phép chia x 5 – 6,723x 3 + 1,857x 2 – 6,458x + 4,319 cho x + 2,318 Câu 6 (2 điểm). Cho phương trình x 2 – 5x + 14 - 4 1x + = 0 a) Viết quy trình tìm nghiệm gần đúng của phương trình? b) Hãy giải phương trình trên? Câu 7(2,5 điểm). Cho 4 số tự nhiên a = 2438195760, b = 3785942160, c= 4753869120, d= 4876391520. Biết rằng 4 số đó đều chia hết cho các số tự nhiên từ 2 đến 18. Hãy viết quy trình ấn phím để kiểm tra kết luận đó Câu 8( 2 điểm). Tính cạnh đáy BC của tam giác cân ABC biết đường cao ứng với cạnh đáy bằng 15,6 và đường cao ứng với cạnh bên bằng 12cm Câu 9(2,5 điểm). Dân số một nước là 65 triệu người, mức tăng dân số là 1,2 % mỗi năm.Tính dân số nước ấy sau 15 năm? Câu 10(1,5 điểm). Cho đa thức P(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d. Biết P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30 . Tính P(12) + P(-8) ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) PHÒNG GD & ĐT THANH SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM Hướng dẫn chấm dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách được thực hiện trên máy tính CASIO – 570MS. Thí sinh sử dụng loại máy CASIO khác có tính năng tương đương mà cho kết quả đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của hướng dẫn. Giám khảo cần bám sát yêu cầu giữa phần tính và phần lý luận của bài giải của thí sinh để cho điểm. Tổ chấm nên chia nhỏ 0,25. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần Câu 1.Cho S n = 3 3n + 3 - 26n – 27 c) Viết quy trình tính S n với n = 0, n = 1, n= 2, n= 3 d) Chứng minh S n M 169 ∀ n ∈ N Phần Hướng dẫn chấm Điểm a) b) 3 ^ ( 3 ALPHA A + 3 ) - 26 ALPHA A - 27 CALC 0 = kq S 0 = 0 CALC 1 = kq S 1 = 676 CALC 2 = KQ S 2 =19604 CALC 3 = KQ S 3 = 531336 Ta có S n = (27 . 27 n – 27) – 26n = 27( 27 n – 1) – 26n = 27 ( 27 – 1) (27 n -1 + 27 n – 2 + + 27 + 1) -26n = 26( 27 n + 27 n – 1 + + 27 + 1- n) = 26 [ ( 27 n – 1) + ( 27 n -1 – 1) + ( 27- 1)] Ta có 26 M 13 và 27 k – 1 M 26 M 13 nên S n M 169 Câu 2: Cho S = 1 1 1 2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100 + + + + + + c) Viết quy trình liên tục tính S d) Bằng lập luận toán chứng minh máy tính đã cho kết quả đúng Phần Hướng dẫn chấm Điểm a) b) ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1: ( ( ALPHA X + 1) ALPHA X + ALPHA X ( ALPHA X + 1 ) Lặp lại phím = Sau 198 lần lặp được S = 9 10 Xét 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1)( 1 ) ( 1) 1 n n n n n n n n n n n n n n + − = = = − + + + + + + + + Áp dụng S = 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 99 100 − + − + − = 1 1 9 1 1 10 10 100 − = − = Câu 3: Cho C = 2004.2006( 2005 2 + 1) và D = 2005 4 c) Viết quy trình tính C – D? em có nhận xét gì về kết quả trên? d) Bằng lập luận toán tính C – D từ đó so sánh C và D Phần Hướng dẫn chấm Điểm a) b) 2004 x 2006 ( 2005 x 2 + 1 ) – 2005 ^ 4 = KQ – 100 Đây chỉ là kết quả chưa đúng vì máy tính chỉ tính và cho kết quả đúng vói phép tính có kết quả 10 chữ số Ta có C= ( 2005 -1)( 2005 + 1) ( 2005 2 + 1) - 2005 4 = ( 2005 2 – 1)(2005 2 + 1) – 2005 4 = 2005 4 – 1 – 2005 4 = -1 Câu 4. Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của đa giác là 2225 0 . Hỏi đa giác có bao nhiêu cạnh Phần Hướng dẫn chấm Điểm Gọi số cạnh đa giác là n( n ≥ 3 và n ∈ N) Gọi số đo một góc ngoài là m Theo đầu bài ta có ( n – 2) 180 + m = 2225 ⇒ m = 2225 – 180n + 360 ⇒ m= 2585 – 180n Vì 0 <m < 180 nên 2585 180 0 180 2585 14,36111111 2585 180 180 180 2405 13,36111111 n n n n n − > < <    ⇔ ⇔    − < > >    Vậy n= 14 Câu 5. Tìm số dư của phép chia x 5 – 6,723x 3 + 1,857x 2 – 6,458x + 4,319 cho x + 2,318 Phần Hướng dẫn chấm Điểm Đặt f(x) = x 5 – 6,723x 3 + 1,857x 2 – 6,458x + 4,319 Theo định lý Bơ zu dư trong phép chia đa thức f(x) cho x + 2,318là f( - 2,318) Quy trình: ALPHA X ^ 5 – 6, 723 ALPHA X ^ 3 + 1,857 ALPHA X X 2 – 6,458 ALPHA X + 4,319 CALC - 2,318 = KQ: 46,07910779 Câu 6. Cho phương trình x 2 – 5x + 14 - 4 1x + = 0 c) Viết quy trình tìm nghiệm gần đúng của phương trình? d) Hãy giải phương trình trên? Phần Hướng dẫn chấm Điểm a) b) APPHA X X 2 – 5 ALPHA X + 14 – 4 ( ALPHA X + 1 ) ALPHA = 0 SHIFT SOLVE nhập một giá trị bất kỳ x ≥ 1 chẳng hạn 1 = SHIFT SLOVE kq: 2,999993313 PT ⇔ ( x 2 – 6x + 9) + ( x +1 – 4 1x + +4) = 0 ⇔ ( x – 3) 2 + ( 1x + - 2) 2 = 0 ⇔ 3 0 3 1 2 x x x − =   ⇔ =  + =   ( thoả mãn điều kiện x ≥ -1) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 Câu 7. Cho 4 số tự nhiên a = 2438195760, b = 3785942160, c= 4753869120, d= 4876391520. Biết rằng 4 số đó đều chia hết cho các số tự nhiên từ 2 đến 18. Hãy viết quy trình ấn phím để kiểm tra kết luận đó Phần Hướng dẫn chấm Điểm a) BCNN ( 2,3, 18) = 2 4 .3 2 .5.7.11.13.17 Quy trình 2 ^ 4 x 3 x 2 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 = KQ: 12252240 SHIFT STO A 2438195560 : ALPHA A = KQ: 199 3785942160 : ALPHA A = KQ: 309 4753869120 : ALPHA A = KQ: 388 4876391520 : ALPHA A = KQ:398 Câu 8. Tính cạnh đáy BC của tam giác cân ABC biết đường cao ứng với cạnh đáy bằng 15,6 và đường cao ứng với cạnh bên bằng 12cm Phần Hướng dẫn chấm Điểm a) Gọi AH, BK là đường cao của tam giác ABC ta có S = AH. BC = BK. AC ⇒ AC = . .15,6 13 12 10 BC AH BC BC BK = = Theo định lý pi ta go trong tam giác AHC vuông tại H ⇒ AH 2 + HC 2 = AC 2 ⇒ 15,6 2 + ( 2 BC ) 2 = ( 13 10 BC ) 2 ⇒ BC = 13cm (yêu cầu viết quy trình) Câu 9. Dân số một nước là 65 triệu người, mức tăng dân số là 1,2 % mỗi năm.Tính dân số nước ấy sau 15 năm? Phần Hướng dẫn chấm Điểm Gọi dân số ban đầu là a và mức tăng dân số là m(%) Sau 1 năm tổng số dân là a + am = a( 1+ m) Sau 2 năm tổng số dân là a(1+m) + a(1+m)m = a(1+m) 2 Sau 3 năm tổng số dân là a(1+m) 2 + a(1+m) 2 .m = a(1+m) 3 Sau n năm tổng số dân là a(1+m) n Áp dụng với a = 65000000; m= 1,2%, n = 15 Viết quy trình KQ: 77735794,95 Vậy sau 15 năm dân só tăng từ 65 triệu đến 77 triệu 735795 người Câu 10. Cho đa thức P(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d. Biết P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30 . Tính P(12) + P(-8) Phần Hướng dẫn chấm Điểm Đặt Q(x) = P(x) – 10x Ta có Q(1) = Q(2) = Q(3) = 0 Vì P(x) có bậc 4 hệ số cao nhất là 1 nên Q(x) = ( x-1)(x-2)(x-3)(x-m) ⇒ P(x) = Q(x) + 10x ⇒ P(12) + P(-8) = 11.10.9(12-m) +120 + 9.10.11(8+m) -80 = 11.10.9(12-m + 8+m) +40 = 11.10.9.20 +40 Quy trình 11 x 10 x 9 x 20 + 40 = KQ: 19840 . 13 x 17 = KQ: 12252240 SHIFT STO A 2438 195 560 : ALPHA A = KQ: 199 378 594 2160 : ALPHA A = KQ: 3 09 47538 691 20 : ALPHA A = KQ: 388 4876 391 520 : ALPHA A = KQ: 398 Câu 8. Tính cạnh đáy BC của tam giác. 0 SHIFT SOLVE nhập một giá trị bất kỳ x ≥ 1 chẳng hạn 1 = SHIFT SLOVE kq: 2 ,99 999 3313 PT ⇔ ( x 2 – 6x + 9) + ( x +1 – 4 1x + +4) = 0 ⇔ ( x – 3) 2 + ( 1x + - 2) 2 = 0 ⇔ 3 0 3 1. = Q(x) + 10x ⇒ P(12) + P(-8) = 11.10 .9( 12-m) +120 + 9. 10.11(8+m) -80 = 11.10 .9( 12-m + 8+m) +40 = 11.10 .9. 20 +40 Quy trình 11 x 10 x 9 x 20 + 40 = KQ: 198 40