Nhị thức New ton - đại số tổ hợp
ĐẠI SỐ TỔ HP Chương V NHỊ THỨC NEWTON (phần 1) Nhị thức Newton có dạng : (a + b)n = C0 anb0 + C1 an-1b1 + … + Cn a0bn n n n n k = ∑ C n an − k b k (n = 0, 1, 2, …) k =0 k Các hệ số C n lũy thừa (a + b)n với n 0, 1, 2, 3, … thành hàng tam giác sau đây, gọi tam giác Pascal : (a + b)0 = 1 (a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 1 + 10 10 Các tính chất tam giác Pascal : (i) C0 = Cn = : số hạng đầu cuối hàng n n (ii) k Cn = Cn − k (0 ≤ k ≤ n) : số hạng cách số hạng đầu cuối n k k k +1 (iii) Cn + Cn +1 = Cn +1 (0 ≤ k ≤ n – 1) : tổng số hạng liên tiếp hàng số hạng số hạng hàng (iv) C0 + C1 + … + C n = (1 + 1)n = 2n n n n Các tính chất nhị thức Newton : (i) Số số hạng khai triển nhị thức (a + b)n n + (ii) Tổng số mũ a b số hạng khai triển nhị thức (a + b)n n k (iii) Số hạng thứ k + C n an – k bk Dạng 1: TRỰC TIẾP KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Khai triển (ax + b)n với a, b = ± 1, ± 2, ± … Cho x giá trị thích hợp ta chứng minh đẳng thức C0 , C1 , …, Cn n n n Hai kết thường dùng (1 + x)n = C0 + C1 x + C2 x2 + … + Cn xn = n n n n n ∑C x k =0 (1 – x)n = C0 – C1 x + C2 x2 + … + (–1)n Cn xn = n n n n k n (1) k n ∑ (−1) k =0 k k Cn x k (2) • Ví dụ : Chứng minh a) C + C1 + … + Cn = 2n n n n b) C – C1 + C2 + … + (–1)n C n = n n n n Giải a) Viết lại đẳng thức (1) chọn x = ta điều phải chứng minh b) Viết lại đẳng thức (2) chọn x = ta điều phải chứng minh Tìm số hạng đứng trước xi (i cho) khai triển nhị thức Newton biểu thức cho sẵn k • Ví dụ : Giả sử số hạng thứ k + (a + b)n Cn an – k bk Tính số hạng thứ 13 khai triển (3 – x)15 Giải Ta có : k (3 – x)15 = C15 315 – C1 314x + … + C15 315 – k (–x)k + … + – C15 x15 15 15 Do k = ứng với số hạng thứ nên k = 12 ứng với số hạng thứ 13 Vậy số hạng thứ 13 khai triển : C12 33(–x)12 = 27x12 15 15! = 12.285x12 12!3! Đối với toán tìm số hạng độc lập với x khai triển nhị thức (a + b)n (a, b chứa x), ta làm sau : - Số hạng tổng quát khai triển nhị thức : k Cn an – k bk =cm xm - Số hạng độc lập với x có tính chất : m = ≤ k ≤ n, k ∈ N Giải phương k trình ta k = k0 Suy ra, số hạng độc lập với x Cn an − k b k 18 ⎛x 4⎞ Ví dụ : Tìm số hạng độc lập với x khai triển nhị thức ⎜ + ⎟ ⎝2 x⎠ • Giải Số hạng tổng quát khai triển nhị thức laø : 18 − k ⎛x⎞ C ⎜ ⎟ ⎝2⎠ k 18 k ⎛4⎞ k k ⎜ ⎟ = C18 2k −18.22k.x18− k x − k = C18 23k −18.x18− 2k ⎝x⎠ Số hạng độc lập với x khai triển nhị thức có tính chất : 18 – 2k = k=9 ⇔ Vậy, số hạng cần tìm : C18 29 Đối với toán tìm số hạng hữu tỉ khai triển nhị thức (a + b)n với a, b chứa căn, ta làm sau : – Số hạng tổng quát khai triển nhị thức : k n Ca – n −k m p n q b = K c d vụựi c, d Ô Soỏ haùng hửừu tyỷ coự tính chất : k m n ∈ N ∈ N vaø ≤ k ≤ n, k ∈ N p q Giải hệ trên, ta tìm k = k0 Suy số hạng cần tìm : Ck0 a n −k0 b k0 n • Ví dụ : Tìm số hạng hữu tỷ khai triển nhị thức Giải Số hạng tổng quát khai triển nhị thức : ⎛ 1⎞ C ⎜16 ⎟ ⎝ ⎠ k 7−k k 7−k k ⎛ 1⎞ k ⎜ ⎟ = C7 16 3 ⎝ ⎠ Số hạng hữu tỷ khai triển có tính chất : ( 16 + ) ⎧7 − k ⎪ ∈N ⎪ ⎪k ⎨ ∈N ⎪2 ⎪0 ≤ k ≤ 7, k ∈ N ⎪ ⎩ ⎧7 − k = 3m ⎪ ⇔ ⎨ k chaün ⎪0 ≤ k ≤ ⎩ ⎧ k = − 3m (m ∈ Z) ⎪ ⇔ ⎨ k chaün ⇔ k=4 ⎪0 ≤ k ≤ ⎩ Vậy, số hạng cần tìm : C17 16.32 Bài 120 Khai triển (3x – 1)16 Suy 316 C16 – 315 C1 + 314 C16 – … + C16 = 216 16 16 Đại học Bách khoa Hà Nội 1998 Giải Ta có : (3x – 1)16 = 16 ∑ (3x) i =0 16 − i i (−1)i C16 = C16 (3x)16 – C1 (3x)15 + C16 (3x)14 + … + C16 16 16 Chọn x = ta : 216 = C16 316 – C1 315 + C16 314 – … + C16 16 16 Baøi 121 Chứng minh : a) 2n C0 + 2n −1 C1 + 2n − C n + + Cn = 3n n n n b) n 3n C0 − 3n −1 C1 + 3n − C2 + + (−1) n Cn = 2n n n n Giải a) Ta có : (x + 1)n = C0 x n + C1 x n −1 + + Cn n n n Choïn x = ta : 3n = C0 2n + C1 2n −1 + + Cn n n n b) Ta coù : (x – 1)n = C0 x n − C1 x n −1 + + (−1) n Cn n n n Choïn x = ta : n 2n = 3n C0 − 3n −1 C1 + 3n − Cn + + (−1) n Cn n n Bài 122 Chứng minh : n −1 ∑ Ckn = 2(2n −1 − 1) ; k =1 n ∑C k =0 k n (−1) k = Đại học Lâm nghiệp 2000 Giải n n k Ta có : (1 + x)n = C0 + C1 x + C2 x + + Cn x n = ∑ Cn x k n n n (*) k =0 Choïn x = ta 2n = n ∑C k =0 k n n =C0 + C1 + Cn + + Cn −1 + Cn n n n ⇔ 2n = + C1 + Cn + + Cn −1 + n n ⇔ 2n – = n −1 ∑C k =1 k n Trong biểu thức (*) chọn x = – ta = n ∑C k =0 k n (−1) k Baøi 123 Chứng minh : C0 + C 32 + C4 34 + + C2n 32n = 22n −1 (22n + 1) 2n 2n 2n 2n Đại học Hàng hải 2000 Giải 2n Ta có : (1 + x)2n = C0 + C1 x + C2 x + + C 2n −1x 2n −1 + C2n x 2n 2n 2n 2n 2n 2n (1 – x)2n = C0 − C1 x + C2 x + − C2n −1x 2n −1 + C2n x 2n 2n 2n 2n 2n (1) (2) Laáy (1) + (2) ta : (1 + x)2n + (1 – x)2n = ⎡C0 + C2n x + + C2n x 2n ⎤ 2n ⎣ 2n ⎦ Choïn x = ta : 42n + (–2)2n = ⎡C0 + C2n 32 + + C2n 32n ⎤ 2n ⎣ 2n ⎦ ⇔ 24n + 22n = C0 + C2 32 + + C2n 32n 2n 2n 2n ⇔ 22n (22n + 1) = C0 + C2 32 + + C2n 32n 2n 2n 2n ⇔ 2n 22n −1 (22n + 1) = C0 + C2 32 + + C2n 32n 2n 2n Bài 124 Tìm hệ số đứng trước x5 khai triển biểu thức sau thành đa thức : f(x) = (2x + 1)4 + (2x + 1)5 + (2x + 1)6 + (2x + 1)7 Đại học Kiến trúc Hà Nội 1998 Giải Ta có : (2x + 1)4 = ∑ Ci4 (2x)4−i ; (2x + 1)5 = i =0 (2x + 1)6 = ∑ C (2x) i i =0 ∑ Ci6 (2x)6−i ; (2x + 1)7 = i =0 Vaäy 5−i ∑ C (2x) i =0 i 7 −i số hạng chứa x5 (2x + 1)4 0 số hạng chứa x5 (2x + 1)5 C5 (2x)5 số hạng chứa x5 (2x + 1)6 C1 (2x)5 số hạng chứa x5 (2x + 1)7 C7 (2x)5 Do hệ số cần tìm = + C5 25 + C1 25 + C7 25 = (1 + C1 + C7 )25 = 28 × 32 = 896 n ⎛ ⎞ Bài 125 Tìm số hạng chứa x khai triển ⎜ + x ⎟ biết ⎝x ⎠ n Cn +1 − Cn +3 = 7(n + 3) n +4 Tuyển sinh Đại học khối A 2003 Giải Ta có : n Cn +1 − Cn +3 = 7(n + 3) n +4 (với n ∈ N) ⇔ (n + 4)! (n + 3)! = 7(n + 3) − 3!( n + 1) ! 3!n! ⇔ (n + 4)(n + 3)(n + 2) (n + 3)(n + 2)(n + 1) = 7(n + 3) − 6 ⇔ (n + 4)(n + 2) – (n + 2)(n + 1) = 42 ⇔ (n2 + 6n + 8) – (n2 + 3n + 2) = 42 ⇔ 3n = 36 ⇔ n = 12 12 Ta coù : 11 12 12 −36 + i ⎛ ⎞ i i + x ⎟ = ∑ C12 (x −3 )12−i (x )i = ∑ C12 x ⎜ ⎝x ⎠ i=0 i =0 Yêu cầu toán 11 i =8 ⇔ –36 + ⇔ 11i = 44 (với i ∈ N ≤ i ≤ 12) i = (thỏa điều kiện) ⇔ Vậy số hạng chứa x8 C12 x = 12!x 12 × 11×10 × x = 495x8 = 8!4! × 3× Bài 126 Biết tổng hệ số khai triển (x2 + 1)n 1024 Hãy tìm hệ số a số hạng ax12 khai triển Đại học Sư phạm Hà Nội 2000 Giải Ta có : (x2 + 1)n = C0 (x ) n + C1 (x ) n −1 + + Cin (x ) n −i + + C n n n n Theo giaû thiết toán, ta C0 + C1 + + Cin + + Cn = 1024 n n n ⇔ 2n = 1024 = 210 ⇔ n = 10 Để tìm hệ số a đứng trước x12 ta phải có 2(n – i) = 12 Vậy a = C10 = ⇔ 10 – i = ⇔ i=4 10! 10 × × × = = 210 4!6! × 3× Bài 127 Tìm hệ số đứng trước x4 khai triển (1 + x + 3x2)10 Giải Ta có : (1 + x + 3x2)10 = [1 + x(1 + 3x)]10 = C10 + C10 x(1 + 3x) + C10 x (1 + 3x) + C10 x (1 + 3x)3 + C10 x (1 + 3x) + + C10 (1 + 3x)10 10 Hệ số đứng trước x4 khai triển có C10 x (1 + 3x) , C10 x (1 + 3x)3 , C10 x (1 + 3x) : C10 + C10 + C10 = 10! 10! 10! +9 + 8!2! 3!7! 6!4! = 405 + 1080 + 210 = 1695 Baøi 128 Tìm hệ số x8 khai triển [1 + x2(1 – x)]8 Tuyển sinh Đại học khối A 2004 Giải Ta có : [1 + x2(1 – x)]8 = C8 + C1 x (1 − x) + C8 x (1 − x) + + C8 x (1 − x)3 + C8 x (1 − x) + C8 x10 (1 − x)5 + C8 x12 (1 − x)6 + + C8 x14 (1 − x)7 + C8 x16 (1 − x)8 Số hạng chứa x8 khai triển có C8 x (1 − x)3 vaø C8 x (1 − x) 4 C8 x 3x C8 x Vậy hệ số x8 : 3C8 + C8 = 238 x − − ⎞ ⎛ x2 Baøi 129 Cho ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠ n n − x −1 ⎛ x2 ⎞ ⎞ ⎛ = C ⎜ ⎟ + Cn ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n −1 n +…+ C n −1 n − ⎛ x2 ⎞ ⎛ − x ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ −x ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ n −1 n ⎛ −x ⎞ +C ⎜2 ⎟ ⎝ ⎠ n n Biết C3 = 5C1 số hạng thứ tư 20n Tìm n x n n Tuyển sinh Đại học khối A 2002 Giải Ta có : (điều kiện n ∈ N vaø n ≥ 3) C3 = 5C1 n n ⇔ n! n! =5 3!( n − 3) ! ( n − 1)! ⇔ n(n − 1)(n − 2) = 5n ⇔ (n – 1)(n – 2) = 30 ⇔ n2 – 3n – 28 = ⇔ n = ∨ n = –4 (loaïi n ≥ 3) ⇔ n=7 ⇔ 7! x − 2 = 140 3!4! ⇔ x = a4 = 20n = 140 Ta coù : ⇔ ⎛ x −1 ⎞ C ⎜2 ⎟ ⎝ ⎠ ⇔ 2x – = 22 ⎛ −x ⎞ ⎜ ⎟ = 140 ⎝ ⎠ ⇔ x–2=2 12 1⎞ ⎛ Bài 130 Tìm số hạng không chứa x khai trieån ⎜ x + ⎟ x⎠ ⎝ Đại học Kinh tế Quốc dân 1997 Giải Ta coù : 12 i 1⎞ ⎛ 12 11 ⎛ ⎞ i 12 − i ⎛ ⎞ 12 ⎜ x + ⎟ = C12 x + C12 x ⎜ ⎟ + + C12 x ⎜ ⎟ + + C12 12 x x⎠ ⎝ ⎝x⎠ ⎝x⎠ Để số hạng không chứa x ta phải có i x 12 −i ⎛1⎞ ⎜ ⎟ =x ⇔ x⎠ ⎝ x12 – 2i = x0 Vậy số hạng cần tìm : C12 = ⇔ 12 – 2i = ⇔ i=6 12! 12 ×11×10 × × × = = 924 6!6! × 5× × 3× ⎞ ⎛ Bài 131 Tìm số hạng không chứa x (với x > 0) khai trieån ⎜ x + ⎟ x⎠ ⎝ Tuyển sinh Đại học khối D 2004 Giải Ta coù : 1 ⎞ ⎛3 − x + ⎟ = ⎛ x3 + x ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ x⎠ ⎝ ⎝ ⎠ − −i − i − = C (x ) + C (x ) (x ) + + C (x ) (x ) + + C (x ) 7 i 7 Để tìm số hạng không chứa x ta phải có 1 (7 − i) − i = ⇔ 4(7 – i ) – 3i = ⇔ i=4 Vậy số hạng không chứa x laø C = 28 − ⎛ ⎞ Baøi 132 Trong khai trieån ⎜ x x + x 15 ⎟ ⎝ ⎠ raèng n C n + C n −1 + C n − = 79 n n ⇔ 28 – 7i = 7! × × = = 35 4!3! 3× n tìm số hạng không phụ thuộc x biết Đại học sư phạm Hà Nội năm 2000 Giải Ta coù : C n + C n −1 + C n − = 79 n n n ⇔ + ⇔ n + n – 156 = n! n! + = 79 ( n − 1)! 2!( n − )! n ( n − 1) = 78 ⇔ n + ⇔ n = –13 ∨ n = 12 Do n ∈ N neân n = 12 12 12 28 28 − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 15 15 Ta coù : ⎜ x x + x ⎟ = ⎜x + x ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 12 −i ⎛ 4⎞ = ∑C ⎜ x ⎟ i =0 ⎝ ⎠ 12 i 12 Yêu cầu toán ⇔ 16 – Vậy số hạng cần tìm C12 = x − 28 i 15 12 = ∑C x i 12 i =0 16 i=0 16 − 16 i ⇔ i=5 12! = 792 5!7! Bài 133 Trong khai triển sau có số hạng hữu tỉ: ( 3−4 ) 124 Giải Ta có : ( 3− ) 124 124 ⎛ ⎞ = ⎜ − 54 ⎟ ⎝ ⎠ = Số hạng thứ k hữu tỉ ∑ (−1) k =0 ∑C = k 124 k =0 124 k 124 k 124 62 − C k k 124 − k ⎛ 1⎞ ⎜3 ⎟ ⎝ ⎠ k (−5 ) k ⎧ ⎪62 − ∈ N ⎪ ⎪k ∈N ⇔ ⎨ ⎪4 ⎪k ∈ N ⎪0 ≤ k ≤ 124 ⎩ ⎧i ∈ N ⎪ ⎨0 ≤ k ≤ 124 ⇔ ⎪ k = 4i ⎩ ⎧0 ≤ k ≤ 124 ⎪ ⇔ ⎨k ⎪4 ∈N ⎩ ⎧i ∈ N ⎪ ⎨0 ≤ i ≤ 31 ⎪ k = 4i ⎩ i ∈ {0,1, ,31} ⇔ Do khai triển có 32 số hạng hữu tỉ Bài 134 ∗ Gọi a hệ số x3n-3 khai triển thành đa thức cuûa 3n -3 (x2 + 1) n (x + 2)n Tìm n để a3n-3 = 26n Tuyển sinh Đại học khối D 2003 Giải n n Ta có : ( x + ) (x + 2) n = ∑C i =0 n = Do yêu cầu toán nên ⇒ i n n −i (x ) n ∑ ∑C C i =0 k =0 i n k n n ∑C x k =0 k n n −k k 2k.x 3n − 2i − k 3n – = 3n – (2i + k) 2i + k = Do i, k ∈ N i, k ∈ [0, n] nên ⎧i = ⎨ ⎩k = Vaäy ⇔ n(n – 1)(n – 2) + 2n2 = 26n ⇔ 2(n – 1)(n – 2) + 3n = 39 ⇔ n=5 ∨ n= − ⎧i = ⎨ ⎩k = a3n – = C0 C3 23 + C1 C1 21 = 26n n n n n ⇔ hay n! + 2n2 = 26n 3! ( n − )! (loaïi n ∈ N) ⇔ 2n2 – 3n – 35 = ⇔ n = 10 ⎛1 ⎞ Bài 135* Trong khai triển ⎜ + x ⎟ ⎝3 ⎠ a0 + a1x + … + a9x9 + a10x10 (ak ∈ R) Hãy tìm số hạng ak lớn Đại học Sư phạm Hà Nội 2001 Giải 10 1 ⎛1 ⎞ Ta có : ⎜ + x ⎟ = 10 (1 + 2x)10 = 10 3 ⎝3 ⎠ Do : ak = 10 ∑C k =0 k 10 (2x)k k k C10 310 Ta có : ak đạt max ⇒ ⎧ak ≥ ak −1 ⎨ ⎩ak ≥ ak +1 ⇔ k k ⎧C10 k ≥ C10−1 k −1 ⎪ ⎨ k k k +1 k +1 ⎪C10 ≥ C10 ⎩ ⎧ k10! k −1.10! ≥ ⎪ k! 10 − k ! (k − 1)! 11 − k ! ) ( ) ⎪ ( ⇔ ⎨ k k +1 10! ⎪ 10! ≥ ⎪ k! (10 − k )! (k + 1)! ( − k )! ⎩ ⎧2 ⎪ k ≥ 11 − k ⎪ ⇔ ⇔ ⎨ ⎪ ≥ ⎪ ⎩10 − k k + 19 22 ≤k≤ 3 Do k ∈ N vaø k ∈ [0, 10] nên k = 7.Hiển nhiên ak tăng k ∈ [0, 7], ak giảm k ∈ [7, 10] 27 Vaäy max ak = a7 = 10 C10 (còn tiếp) PHẠM HỒNG DANH - NGUYỄN VĂN NHÂN - TRẦN MINH QUANG (Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa luyện thi đại học Vónh Viễn) ... Viết lại đẳng thức (1) chọn x = ta điều phải chứng minh b) Viết lại đẳng thức (2) chọn x = ta điều phải chứng minh Tìm số hạng đứng trước xi (i cho) khai triển nhị thức Newton biểu thức cho sẵn...Dạng 1: TRỰC TIẾP KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Khai triển (ax + b)n với a, b = ± 1, ± 2, ± … Cho x giá trị thích hợp ta chứng minh đẳng thức C0 , C1 , …, Cn n n n Hai kết thường... 12!3! Đối với toán tìm số hạng độc lập với x khai triển nhị thức (a + b)n (a, b chứa x), ta làm sau : - Số hạng tổng quát khai triển nhị thức : k Cn an – k bk =cm xm - Số hạng độc lập với x có