TỌA ĐỘ PHẲNG Trong các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng thường gặp các yêu cầu như tìm tọa độ một điểm, một vectơ, tính độ dài một đoạn thẳng, số đo góc giữa hai vectơ, quan hệ cùng
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 1
TỌA ĐỘ PHẲNG
Trong các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng thường gặp các yêu cầu như tìm tọa độ một điểm, một vectơ, tính độ dài một đoạn thẳng, số đo góc giữa hai vectơ, quan hệ cùng phương hoặc vuông góc giữa hai vectơ, 3 điểm thẳng hàng
Ta vận dụng các kiến thức cơ bản sau đây:
Cho a = G ( , = bG ) ta có:
)
a , a (b , b1 2
a = G bG ⇔ 1
2
1 2
a = b
a = b
⎧
⎨
⎩
a + = (b a + b1 1, a + b2 2)
a – = (b a - b1 1, a - b2 2)
ka = (k , k ) (k G a1 a2 ∈ R)
α + aG βbG = (αa1 + βb , α1 a + 2 β b ) 2
a = G bG a1b1 + a2 b2 Với các quan hệ về độ dài ta có:
a = ( , ) G a1 a2 ⇒ aG = 2 2
a + a
A x , y
B x , y
⎧⎪
⎨
JJJG
= (xB–xA, yB–yA)
x - x y - y+ Với quan hệ cùng phương hoặc vuông góc ta có:
⊥ b ⇔ a1b1 a2 b2 cùng phương
a b ⇔ sin(a, b) = 0 ⇔ G G a1b2 – a2 b1 = 0
⇔ 1
1
a
b = 22
a
b ( , b1 b ≠ 0) 2
A, B, C thẳng hàng ⇔ ABJJJG cùng phương ACJJJG
Trang 2⇔ B A B A
x - x y - y
x - x y - y = 0 Với việc tìm góc của hai vectơ ta có:
- Góc hình học tạo bởi hai vectơ aG , bG được suy từ công thức:
cos(a, bnG G) = a b + a b1 1 2 2
- Số đo góc định hướng của hai vectơ aG , bG ngoài (1) còn được suy thêm từ một trong hai công thức:
G G sin(a, b) = 1 2 1
G
a b - a b
a b G
G tg(a, b) = 1 2 1
2 2
a b - a b
a b + a b Ngoài ra trong các bài toán về tọa độ phẳng ta có thể áp dụng các kết quả sau đây: M(xM, yM) là trung điểm của đoạn thẳng AB
2
M
M
x + x
x =
y + y
y =
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
G(xG, yG) là trọng tâm của ΔABC
3
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
G
G
x + x + x
x =
y + y + y
y =
C
C
I( , ) và J( , ) là chân đường phân giác trong và ngoài của góc A trong ABC thì:
I
Δ
IB IC JJG
JJG = − JJJGJB JC
JJJG = −AB AC
Với A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) thì diện tích tam giác ABC là:
S = 1
x - x y - y
x - x y - y
Ví dụ 1:
Trang 3Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2)
a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua B
b) Tìm tọa độ điểm M để 2AMJJJJG + 3BMJJJJG - 4 CMJJJJG = 0G
c) Tìm tọa độ điểm E để ABCE là hình thang có một cạnh đáy là AB và E nằm trên
Ox
d) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC Δ
e) Chứng tỏ H, G, I thẳng hàng
Giải
a) D là điểm đối xứng của A qua B
B là trung điểm của AD
⇔
⇔
B
B
x + x
x =
2
y + y
y =
2
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
( )
⎧⎪
⎨
−
⎪⎩
x = 2x x = 2 0 2 = 2
y = 2y y = 2 3 + 1 = 7
−
JJJJG JJJJG
b) Ta có: 2AM + 3BM – 4 CMJJJJG = 0G = ( 0, 0 )
⎧⎪
⎨
⎪⎩
2 x 2 + 3 x 0 4 x 4 = 0
2 y + 1 + 3 y 3 4 y 2 = 0
⇔ ⎧⎨ − hay M(–12, –1)
−
⎩
M M
x = 12
y = 1 c) ABCE là hình thang có đáy AB và E nằm trên Ox
⇔ y = 0E
CE
⎧⎪
⎨
ΑΒ
⎪⎩JJJG //JJJG ⇔ EE E
y = 0
x - 4 = y - 2
0 - 2 3 + 1
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
E
y = 0
x = 5
⎧
⎨
⎩ d) H là trực tâm của ABC Δ
⊥
⎧
BH.AC = 0
⎧⎪
⎨
⎪⎩
JJJJG JJJG JJJJGJJJG
Trang 4⇔ ( )( ) ( )( )
⎧⎪
⎨
⎪⎩
⎧
⎩
0 ⇔
18 7 9 7
H
H
x y
⎪⎪
⎨
⎪⎩
hay H 18
7
9 , 7
⎝ ⎠
G là trọng tâm ABC ta có: Δ
2
G
G
x
y
⎪⎪
=
=
3 ,
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
IA IB
IA IC
⎪
⎨
=
⎪⎩
⎪
⎨
⎪⎩
) )
2 2 I I
y y
0 0
⎧
⎩
⇔
19 14
I
I
x y
⎪⎪
⎨
⎪⎩
7 14,
e) Ta có : HGJJJJG = 4 1
7 21,
⎛− ⎞
⎝ ⎠ và HIJJJG = 6 1
7 14,
⎛− ⎞
⇒
4 7 6 7
−
− =
1 21 1 14
= 2
3
⇒ HGJJJJG cùng phương với HIJJJG
⇒ H, I, G thẳng hàng
Ví dụ 2:
Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, 2 3 ), B(1, 3 3 ), C (-1, 3 ) Tính
Trang 5cos (AOJJJG, ABJJJG) và diện tích tam giác ABC
Giải
Ta có: AOJJJG = (–2, –2 3 ), ABJJJG = (–1, 3 ) = ( a1;a2 )
4 12 1 3
−
2
−
JJJG
AC = (–3, – 3 ) = = ( b1; b2 )
2
ABC
S a b a b = 1 1 3 3 3
2 ( )(− − )− ( )− = 2 3
* * *
