SỞ GD-ĐT QUẢNG TRỊ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC (Đợt 2- 17/4/2010) TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN (Thời gian làm bài: 180 phút) I. PHẦN CHUNG (7 điểm) (Cho tất cả các thí sinh) Câu 1 (2đ) Cho hàm số: y = 2x 3 - 3x 2 + 1 (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 2. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8. Câu 2 (2đ) 1. Giải hệ phương trình: += −=− 2 2 3 1 9 1218 yxy xxy 2. Giải phương trình: 9 x + ( x - 12).3 x + 11 - x = 0 Câu 3 (1đ) Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và khoảng cách giữa cạnh bên và cạnh đáy đối diện bằng m. Câu 4 (1đ) Tính tích phân: ∫ ++−= 2 2 0 )]4ln()2([ dxxxxI Câu 5 (1đ) Cho tam giác ABC, với BC = a, CA = b, AB = c. Thoả mãn hệ điều kiện: =+ =+ 2 2 )( )( cabb bcaa CMR: CBA sin 1 sin 1 sin 1 += II. PHẦN RIÊNG (3đ) (Thí sinh chỉ làm một trong hai phần) Theo chương trình chuẩn: Câu 6a (2đ) 1. Trong mặt phẳng (oxy) cho đường thẳng (d): 3x - 4y + 5 = 0 và đường tròn (C): x 2 + y 2 + 2x - 6y + 9 = 0 Tìm những điểm M ∈ (C) và N ∈ (d) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất. 2. Trong không gian (oxyz) cho hai mặt phẳng: (P 1 ): x - 2y + 2z - 3 = 0 (P 2 ): 2x + y - 2z - 4 = 0 và đường thẳng (d): 3 4 21 2 − = − = − + zyx Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I ∈ (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P 1 ), (P 2 ). Câu 7a (1đ) Đặt: (1 - x + x 2 - x 3 ) 4 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a 12 x 12 . Tính hệ số a 7 . Theo chương trình nâng cao Câu 6b (2đ) 1. Trong mặt phẳng (oxy) cho đường tròn (C): (x + 1) 2 + (y - 3) 2 = 1 và điểm M 5 7 , 5 1 . Tìm trên (C) những điểm N sao cho MN có độ dài lớn nhất. 2. Trong không gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 + 2x - 4y - 2z + 5 = 0 và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 3 = 0. Tìm những điểm M ∈ (S), N ∈ (P) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất. Câu 7b (1đ) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số: x xx xf 2131 )( 3 +−+ = khi x ≠ 0, và 0)0( =f ; tại điểm x 0 = 0. 1 ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC (Đợt 2- 17/4/2010) I. PHẦN CHUNG (7 điểm) ĐIỂM Câu 1 (2đ) y = 2x 3 - 3x 2 + 1 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) * TXĐ: R * Sự biến thiên: + Giới hạn: −∞→x ylim = ∞− , −∞→x ylim = ∞+ 0,25đ + Bảng biến thiên: y’ = 6x 2 - 6x = 6x (x - 1) y' = 0 == == ⇔ )0(;1 )1(;0 yx yx 0,25đ Lập BBT; nêu đúng các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị 0,25đ * Đồ thị: (tự vẽ), rõ ràng, đầy đủ, chính xác. 0,25đ 2) Tìm M ∈ (C) ? Giả sử M (x 0 ; y 0 ) ∈ (C) ⇒ y 0 = 2x 0 3 - 3x 0 2 + 1 Tiếp tuyến ( ∆ ) của (C) tại M: y = (6x 0 2 - 6x 0 ) (x - x 0 ) + 2x 0 3 - 3x 0 2 + 1 0,25đ ( ∆ ) đi qua điểm P(0 ; 8) ⇔ 8 = -4x 0 3 + 3x 0 2 + 1 ⇔ (x 0 + 1) (4x 0 2 - 7x 0 + 7) = 0 0,25đ ⇔ x 0 = -1 ; (4x 0 2 - 7x 0 + 7 > 0, ∀ x 0 ) 0,25đ Vậy, có duy nhất điểm M (-1 ; -4) cần tìm. 0,25đ Câu 2 (2đ) 1) Giải hệ: ≥⇒≥⇒+= ≤⇒≥−⇒−=− 3232 3 1 9 320121218 2 22 xyyxyxy xxxxy 0,25đ 1832 =⇒=⇒ xyx 0,25đ { } 32;32−∈⇒ x , tương ứng y { } 33;33−∈ 0,25đ Thử lại, thoả mãn hệ đã cho Vậy, ( ) ( ) ( ){ } 33;32,33;32; −−∈yx 0,25đ 2) Giải phương trình: ( ) ( ) 0113123 2 =−+−+ xx xx −= = ⇔ x x x 113 13 =−+= = ⇔ (*)0113)( 0 xxf x x (a + b + c = 0) 0,5đ (*) 0)2( ,013ln3)(' ⇒ = ∀>+= f xxf x có nghiệm duy nhất x = 2 0,25đ Vậy, tập nghiệm của phương trình: S = {0 ; 2} 0,25đ 2 M Câu 3 (1đ) S N A C O B SO ⊥ (ABC) S.ABC chóp ∆ đều ⇒ O là tâm tam giác đều ABC. MBCAO =∩ ⇒ )(SAMBC BCSO BCAM ⊥⇒ ⊥ ⊥ Trong ∆ SAM kẻ đường cao MN ⇒ MN = m 2 3 2 3 3 60sin2 0 a AOAM aa AO ==⇒== 0,25đ 3 SOSAhSO 2 222 a hAO +=+=⇒= SA.MN = SO.AM ( ) 22222 3 4 43 mahma =−⇔ < am 2 3 0,25đ 22 433 2 ma am h − =⇔ ; và S (ABC) = 4 3 a 2 0,25đ 22 3 436 ).( 3 1 ma ma hABCSV − == < am 2 3 0,25đ Câu 4 (1đ) Tính tích phân ∫ −= 2 0 )2( dxxxI + ∫ + 2 0 2 )4ln( dxx = 21 II + ∫∫ =−−=−= 2 0 2 2 0 1 2 )1(1)2( π dxxdxxxI (sử dụng đổi biến: tx sin1 += ) 0,25đ ∫∫ + −+=+= 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 4 2|)4ln()4ln( dx x x xxdxxI (Từng phần) 0,25đ 42ln6 −+= π (đổi biến tx tan2= ) 0,25đ 2ln64 2 3 21 +−=+= π III 0,25đ Câu 5 (1đ) ∆ ABC: =+ =+ )2()( )1()( 2 2 cabb bcaa (1) ⇒ sin 2 A + sinAsinC = sin 2 B (Đl sin) 3 ⇒ sinAsinC = 2 1 (cos2A - cos2B) ⇒ sinAsinC = sin(A + B) sin (B -A) ⇒ sinA = sin (B - A) ; (sin (A + B) = sin C > 0) ⇒ A = B - A ; (A, B là góc của tam giác) ⇒ B = 2A 0,25đ Tương tự: (2) ⇒ C = 2B A + B + C = π , nên A = 7 π ; B = 7 2 π ; C = 7 4 π 0,25đ Ta có: CB sin 1 sin 1 + = 7 3 sin 7 cos 7 sin2 7 cos 7 3 sin2 7 4 sin 7 2 sin 7 2 sin 7 4 sin πππ ππ ππ ππ = + 0,25đ = Asin 1 7 sin 1 = π (đpcm) 0,25đ II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Chương trình cơ bản Câu 6a (2đ) 1) Tìm M ∈ (C), N ∈ (d)? (d): 3x - 4y + 5 = 0 (C): (x + 1) 2 + (y - 3) 2 = 1 ⇒ Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = 1 d (I ; d) = 2 ⇒ (d) ∩ (C) = Ø Giả sử tìm được N 0 ∈ (d) ⇒ N 0 là hình chiếu vuông góc của I trên (d) ⇒ N 0 = (d) ( ) ∆∩ , với: ( ) ( ) ( ) −=⇒⊥∆ −∋∆ ∆ 4;3)( )3;1( ud I 0,25đ ( ) ⇒ −= +−= ∆⇒ 5 7 ; 5 1 43 31 : 0 N ty tx 0,25đ Rõ ràng ( ) ∩∆ (C) = {M 1 ; M 2 } ; M 1 − 5 11 ; 5 2 ; M 2 − 5 19 ; 5 8 M 0 ∈ (C) để M 0 N 0 nhỏ nhất ⇒ M 0 ≡ M 1 và M 0 N 0 = 1 0,25đ Kết luận: Những điểm cần tìm thoả mãn điều kiện bài toán. M − 5 11 ; 5 2 ; N 5 7 ; 5 1 0,25đ 2) Phương trình mặt cầu (S) ? (P 1 ): x - 2y + 2z - 3 = 0 (P 2 ): 2x + y - 2z - 4 = 0 4 Giả sử I (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ∈ (d): 3 4 21 2 − = − = − + zyx ⇒ I (-2 - t ; 2t ; 4 + 3t) là tâm của mặt cầu (S) 0,25đ Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P 1 ), (P 2 ) ⇔ d (I, (P 1 )) = d (I ; (P 2 )) ⇔ −= −= ⇔+=+ 1 13 1610 3 1 39 3 1 t t tt 0,25đ ⇒ I 1 = (11 ; 26 ; -35) ; I 2 (-1 ; 2 ; 1) ⇒ R 1 = 38 ; R 2 = 2 0,25đ Vậy, có hai mặt cầu cần tìm: (S 1 ): (x - 11) 2 + (y - 26) 2 + (z + 35) 2 = 38 2 (S 2 ): (x + 1) 2 + (y - 2) 2 + (z - 1) 2 = 2 2 0,25đ Câu 7a (1đ) Tính hệ số a 7 ? (1 - x + x 2 - x 3 ) 4 = (1 - x) 4 (1 + x 2 ) 4 0,25đ = ( ) − ∑∑ == 4 0 2 4 4 0 4 1 i ii k kk k xCxC 0,25đ (Gt) { } ( ) ( ) ( ){ } 2;3,3;1; 4,3,2,1,0, 72 ∈⇒ ∈ =+ ⇒ ik ik ik 0,25đ 40 2 4 3 4 3 4 1 47 −=−−=⇒ CCCCa 0,25đ Chương trình nâng cao Câu 6b (2đ) 1) Tìm N ∈ (C)? (C): (x + 1) 2 + (y - 3) 2 = 1 ⇒ Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = 1 ; M 5 7 ; 5 1 2 5 8 ; 5 6 =⇒ −= MIIM 0,25đ Giả sử tìm được N ∈ (C) ⇒ MN ≤ MI + IN = 3 0,25đ Dấu “=” xảy ra ⇔ N là giao điểm của tia đối IM và đường tròn (C). (IM): −= +−= ty tx 5 8 3 5 6 1 ; ( ) ( ) { } 21 ; NNCIM =∩ −⇒ 5 11 ; 5 2 1 N , − 5 19 ; 5 8 2 N ; MN 1 < MN 2 0,25đ Kết luận: Thoả mãn điều kiện bài toán: − 5 19 ; 5 8 N 0,25đ 2) Tìm M ∈ (S) , N ∈ (P) ? 5 (S): (x + 1) 2 + (y - 2) 2 + (z - 1) 2 = 1 Tâm I (-1 ; 2 ; 1), bán kính R = 1 (P): x - 2y + 2z - 3 = 0 ⇒ d ( )( ) PI; = 2 Ø)()( =∩⇒ SP Giả sử tìm được N 0 ∈ (P) ⇒ N 0 là hình chiếu vuông góc của I trên (P) 0,25đ ( ) ( ) PdN ∩=⇒ 0 , với: ( ) −=⇒⊥ −∋ )2;2;1()()( )1;2;1( d uPd Id ( ) += −= +−= ⇒ tz ty tx d 21 22 1 : −⇒ 3 7 ; 3 2 ; 3 1 0 N 0,25đ =∩ )()( Sd {M 1 ; M 2 } −⇒ 3 5 ; 3 4 ; 3 2 1 M , − 3 1 ; 3 8 ; 3 4 2 M 0,25đ M 1 M 0 = 1 < M 2 M 0 = 3 M 0 ∈ (S) để M 0 N 0 nhỏ nhất ⇒ M 0 ≡ M 1 Vậy, những điểm cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán. − 3 5 ; 3 4 ; 3 2 M , − 3 7 ; 3 2 ; 3 1 N 0,25đ Câu 7b (1đ) Đạo hàm bằng định nghĩa: x fxf x )0()( lim 0 − → = 2 3 0 2131 lim x xx x +−+ → 0,25đ = 2 3 0 21)1()1(31 lim x xxxx x +−+++−+ → 0,25đ = ( ) ( ) xx xxxx x xx 21)1( 1 lim 1311)31( 3 lim 0 2 3 3 2 0 +++ + ++++++ + − →→ 0,25đ = -1 + 2 1 = - 2 1 . Vậy, 2 1 ' )0( −=f 0,25đ 6 . ≥⇒≥⇒+= ≤⇒≥−⇒−=− 323 2 3 1 9 320 121 218 2 22 xyyxyxy xxxxy 0 ,25 đ 18 32 =⇒=⇒ xyx 0 ,25 đ { } 32; 32 ∈⇒ x , tương ứng y { } 33;33−∈ 0 ,25 đ Thử lại, thoả mãn hệ đã cho Vậy, ( ) ( ) ( ){ } 33; 32, 33; 32; −−∈yx 0 ,25 đ 2) . biến: tx sin1 += ) 0 ,25 đ ∫∫ + −+=+= 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 4 2| )4ln()4ln( dx x x xxdxxI (Từng phần) 0 ,25 đ 42ln6 −+= π (đổi biến tx tan2= ) 0 ,25 đ 2ln64 2 3 21 +−=+= π III 0 ,25 đ Câu 5 (1đ) ∆ ABC:. cao MN ⇒ MN = m 2 3 2 3 3 60sin2 0 a AOAM aa AO ==⇒== 0 ,25 đ 3 SOSAhSO 2 222 a hAO +=+=⇒= SA.MN = SO.AM ( ) 22 222 3 4 43 mahma =−⇔ < am 2 3 0 ,25 đ 22 433 2 ma am h − =⇔ ; và