PHềNG GD-T TRC NINH TRNG THCS TRC BèNH THI HC SINH GII CP HUYN MễN TON 7 NM HC 2010-2011 Thi gian lm bi 120 phỳt(Khụng k thi gian giao ) Bài 1 (3 điểm) Tìm x biết a) (3x 2 - 51) 2n = (-24) 2n (n N * ) b) (8x - 5) 2 = |5- 8x| Bài 2: (3 điểm) Cho (x 1 p y 1 q) + (x 2 p y 2 q) 2n + (x 3 p y 3 q) 2n + + (x m p y m q) 2n 0 với m,n N * Chứng minh rằng : x 1 + x 2 + x 3 + +x m q = y 1 + y 2 + y 3 + +y m p Bài 3. (3 điểm). chứng minh rằng nếu : bz cy cx az ay bx a b c = = thì x,y, z tơng ứng tỉ lệ với a, b, c. Bài 4. (4 điểm) Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65km/h, cùng lúc đó một xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40km/h. Biết khoảng cách AB là 540km và M là trung điểm của AB. Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ô tô cách M một khoảng bằng 1 2 khoảng cách từ xe máy đến M. Bài 5. Tam giác ABC có AB > AC. Từ trung điểm M của BC vẽ một đờng thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia phân giác tại H, Cắt AB, AC lần lợt tại E và F. Chứng minh rằng: a) BE = CF b) AE = 2 AB AC+ ; BE = 2 AB AC c) ã BME = ã à 2 ACB B Họ và tên thí sinh: Số báo danh : Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2: Đáp án đề thi học sinh giỏi toán 7 Năm học 2010 - 2011 Bài 1 (3 điểm) Tìm x Đáp án điểm a) (3x 2 - 51) 2n = (-24) 2n Vì n N * nên 2n là số chẵn khác 0 Từ đề bài ta có : 3x 2 - 51 = -24 (1) 3x 2 - 51 = 24 (2) Giải (1) ta đợc: 3x 2 = 27 x 2 = 9 x = 3 Giải (2) ta đợc: 3x 2 = 75 x 2 = 25 x = 5 Vậy x { } 3; 5 0,25 0,5 0,5 0,25 b) (5 8x) 2 = |5- 8x| |5 8x| 2 = |5- 8x| |5 8x| (|5 8x| - 1) = 0 |5 8x| = 0 5-8x = 0 (1) |5 8x| - 1 = 0 |5-8x| = 1 (2) Giải (1) ta đợc: x= 5 8 Giải (2) ta đợc : 5-8x = 1 8x = 4 5-8x = -1 8x = 6 x = 1 2 x = 3 4 Vậy x 1 5 3 ; ; 2 8 4 0,5 0,5 0,5 Bài 2 (3 điểm) Đặt bz cy cx az ay bx k a b c = = = Ta có : bz-cy=ak ; ay-bx=ck ; cx-az=bk Nhân lần lợt từng vế của đẳng thức lần lợt với a,b,c ta có abz-acy=a 2 k bcx-abz=b 2 k acy-bcx=c 2 k Cộng theo từng vế của 3 đẳng thức ta đợc: 0 =k(a 2 +b 2 +c 2 ) Theo đầu bài ta có: a 2 +b 2 +c 2 0 Suy ra k=0 bz=cy; cx=az; ay=bx Từ đó suy ra x y z a b c = = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Vậy x;y;z tơng ứng tỉ lệ với a,b,c Bài 3 (3 điểm) Ta có: (x 1 p y 1 q) 2n 0 (x 2 p y 2 q) 2n 0 (x m p y m q) 2n 0 Vậy (x 1 p y 1 q) 2n +(x 2 p y 2 q) 2n + +(x m p y m q) 2n 0 Mà theo đầu bài ta có : (x 1 p y 1 q) 2n +(x 2 p y 2 q) 2n + +(x m p y m q) 2n 0 Suy ra ta có : x 1 p y 1 q=x 2 p y 2 q= =x m p y m q=0 Do đó : 3 1 2 1 2 3 m m x x x x q y y y y p = = = = = Hay : 1 2 3 1 2 3 m m x x x x q y y y y p + + + + = + + + + 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 4 (4 điểm) A M B Quãng đờng AB dài 540km, nửa quãng đờng AB dài 270km. Gọi quãng đờng ô tô và xe máy đã đi là S 1 , S 2 (km) (S 1 , S 2 >0) Trong cùng một khoảng thời gian thì quãng đờng tỷ lệ thuận với vận tốc do đó: 1 2 1 2 S S t V V = = (t là thời gian cần tìm) t= 270 270 2 65 40 a a = t= 540 2 270 2 (540 2 ) (270 20) 130 40 130 40 a a a = = 270 3 90 t = = Vậy sau khi khởi hành 3 giờ thì ô tô cách xe máy một koảng bằng 1 2 khoảng cách từ xe máy tới M. S 1 S 2 2a a Bài 5 (7 điểm) a) Chứng minh AHE AHC = (g c - g) Suy ra AE = AF vaf à à 1 E F= Từ C vẽ CD // AB (D EF) Chứng minh BME CMD = (g c - g) Suy ra BE = CD (1) Có à ã 1 E CDF= (Cặp góc đồng vị) Do đó ã à CDF F= CDF cân. Vậy CF = CD (2) Từ (1) và (2) Suy ra BE = CF b) * Ta có: AE = AB BE Mặt khác: AE = AF AC + CF Suy ra: AE + AE = (AB - BE) + (AC + CF) 2AE = AB + AC (vì BE = CF) AE = 2 AB AC+ * Ta có: BE = AB AE = AB AF = AB (AC + CF) Mặt khác: BE = CF Suy ra BE + BE = (AB AC - CF) + CF 2BE = AB AC BE = 2 AB AC c) Xét CMF Có ã ACB là góc ngoài Suy ra ã ã à CMF ACB F= Xét BME Có à 1 E là góc ngoài Suy ra ã ả à 1 BME E B= Vậy ã ã ã à ( ) à à ( ) 1 CMF BME ACB F E B+ = + Hay 2 ã ã à ã ã à 2 ACB B BME ACB B BME = = B C A M < E F H D