C B A H A B C Kiến thức tối thiểu về HHKG_12_CB 2008−2009 HÌNH HỌC I. DIỆN TÍCH_THỂ TÍCH A. Công thức Khối chóp: 1 V = Bh 3 Lăng trụ: V =Bh Khối nón: π 2 1 1 V = Bh= r h 3 3 π xq S = rl Khối trụ: π 2 V = Bh= r h π xq S =2 rl Khối cầu: 3 π 4 V = r 3 , 2 π S= 4 r Một số kết quả cần nhớ Tam giác đều ABC: * Độ dài đường cao AB 3 AH= 2 . * Diện tích: 2 AB 3 S= 4 . Tam ABC vuông tại A: 1 S= AB.AC 2 . Hình vuông ABCD: * Đường chéo AC= AB 2 . * S=AB 2 . B. Bài tập Bài 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của BC. a. Chứng minh SA vuông góc với BC. b. Tính thể tích khối chóp S.ABC và S.ABI theo a. ĐS: b. 3 . . 1 11 2 24 S ABI S ABC a V V= = Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết AB=a, 3BC a= , SA=3a. a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. b. Gọi I là trung điểm của SC. Tính độ dài đoạn thẳng BI theo a. ĐS: a. 3 . 3 2 S ABC a V = , b. 13 2 a BI = Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết SA=AB=BC=a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS: 3 . 6 S ABC a V = Bài 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy và SA=AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. ĐS: 3 . 2 3 S ABC a V = Bài 5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy cạnh 3SB a= . a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. ĐS: a. 3 . 2 3 S ABC a V = Bài 6. Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=a, bán kính đáy r=1,5a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón đã cho theo a. ĐS: 2 3 3 13 3 , 4 4 a a Sxq V π π = = Thái Thanh Tùng 1 Kiến thức tối thiểu về HHKG_12_CB 2008−2009 Bài 7. Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD, có AB=a, AC= 5a . Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích khối trụ được sinh ra bởi hình chữ nhật nói trên khi nó quay quanh cạnh BC. ĐS: 2 2 4 xq S rl a π π = = ; 2 2 6 tp xq S S S a π = + = ñaùy ; 2 2 3 2 2V r h a a a π π π = = = . Bài 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’=a, AB=b, AD=c. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp. Tính thể tích khối cầu. ĐS: ( ) 2 2 2 2 2 2 6 V a b c a b c π = + + + + Bài 9. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AC=a, góc · 0 60ACB = . Đường chéo BC’ của mặt bên tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 30 0 . a. Tính độ dài đoạn AC’. b. Tính thể tích khối lăng trụ. ĐS: a. AC’=3a; b. 3 6V a= . II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1. Tọa độ: Vấn đề 1: Tọa độ vectơ_tọa độ điểm * Cho ( ) ( ) r r 1 2 3 1 2 3 a a ;a ;a ,b b ;b ;b + ( ) ∧ ÷ ÷ r r 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 a a a a a a a b= = a b -a b ;a b -a b ;a b -a b b b b b b b ; ; . + r r 1 1 2 2 3 3 a.b a b +a b +a b = , ( ) ⊥ ⇔ ⇔ r r r r 1 1 2 2 3 3 a b a.b=0 a b +a b +a b = 0 . + ⇔ r r 1 1 2 2 3 3 a =b a=b a =b a =b . + r 2 2 2 1 2 3 a = a +a +a . * Cho ( ) ( ) A A A B B B A x ;y ;z ,B x ;y ;z . + Tọa độ vectơ ( ) ( ) ( ) ( ) uuur 2 2 2 B A B A B A B A B A B A AB= x - x ;y -y ;z -z , AB = x -x + y - y + z -z . + ( ) M M M M x ;y ;z là trung điểm của AB khi đó: A B M A B M A B M x +x x = 2 y +y y = 2 z +z z = 2 . + Mở rộng thêm: tọa độ trọng tâm trong tam giác và trọng tâm của tứ diện. + Chứng minh ba điểm không thẳng hàng và bốn điểm không đồng phẳng. + Tính thể tích tứ diện khi biết một mặt là tam giác vuông hoặc tam giác đều. Vấn đề 2: Mặt cầu * Mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính r>0: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x-a + y-b + z-c =r . * Dạng khác: 2 2 2 x +y +z +2Ax+2By+2Cz+D= 0 , A 2 +B 2 +C 2 −D>0. Khi đó tâm I(−A;−B;−C) bán kính 2 2 2 r = A +B +C -D . Lưu ý: + Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (α) có r=d(I,(α)). + Mặt cầu tâm I và đi qua điểm A có r=IA. + Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm của AB và AB r =IA = 2 . Bài toán liên quan: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. + Tiếp xúc tại M: có vectơ pháp tuyến là r uur n=IA . + Mặt phẳng (α) tiếp xúc mặt cầu (S): r=d(I,(α)). Bài tập Bài 1. Cho các điểm A(1;2;−1), B(2;−1;3), C(−2;3;3) Thái Thanh Tùng 2 Kiến thức tối thiểu về HHKG_12_CB 2008−2009 a. Chứng minh ABC là bốn đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC. b. Tìm tạo độ điểm D để ABCD là hình bình hành. c. Chứng minh OABC là bốn đỉnh của một tứ diện. Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện OABC. Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ( ) ( ) 2;4; 1 , 4 , 2;4;3 , 2 2A OB i j k C OD i j k− = + − = + − uuur r r r uuur r r r . a. Chứng minh rằng AB⊥AC, AC⊥AD, AD⊥AB. Tính thể tích tứ diện ABCD. b. Viết phương trình tham số đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD. Bài 3. Tìm tâm và bán kính các mặt cầu sau: a. 2 2 2 4 6 4 0x y z x z+ + − + + = . b. 2 2 2 3 3 3 6 12 6 3 0x y z x y z+ + + − − − = . Bài 4. Cho mặt cầu (S): ( ) ( ) 2 2 2 2 1 4x y z− + + + = . Tìm tâm và bán kính mặt cầu, xác định các giao điểm của (S) với các trục tọa độ. Bài 5. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau: a. Biết đường kính AB, với ( ) ( ) 1;3;2 , 3;1; 4A B− − . b. Có tâm I(2;−1;3) và đi qua điểm A(2;2;−1). c. Có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc mặt phẳng (Oxz). d. Có tâm thuộc Oz và đi qua hai điểm A(0;1;2), B(1;0;−1). e. Đi qua bốn điểm O, A, B, C với A(2;0;0), B(0;1;0), C(0;0;−3). 2. Mặt phẳng: Vấn đề 1: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng Loại 1: Biết một điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và một vectơ pháp tuyến ( ) ≠ r ur n= A;B;C 0 của mặt phẳng (α): (α): ( ) ( ) ( ) 0 0 0 A x- x +B y- y +C z-z = 0 (1) Hay: Ax+By+Cz+D=0 Loại 2: (α) đi qua ba điểm M, N, P không thẳng hàng: * Vectơ pháp tuyến: ∧ r uuur uuur n=MN MP . * Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N hoặc P). * Thay các kết quả vào (1). Loại 3: (α) đi qua A(x A ;y A ;z A ) và song song với mặt phẳng (β): Ax+By+Cz+D=0 * (α) có dạng Ax+By+Cz+m=0 , ( ) α uur uur β n =n . * Thay tọa độ điểm A vào (α) để tìm ( ) ( ) A A A m, m=- Ax +By +Cz . Loại 4: (α) đi qua hai điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng (β): Ax+By+Cz+D=0 , (MN không vuông góc với (β): * (α) có α ∧ uur uuur uur β n =MN n . * Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N). Thay các kết quả vào (1). Loại 5: (α) đi qua A(x A ;y A ;z A ) và vuông góc với đường thẳng 0 1 0 2 0 3 x =x +a t Δ: y =y +a t z=z +a t . * (α) có dạng 1 2 3 a x+a y+a z+m=0 , ( ) α uur uur Δ n =a . * Thay tọa độ điểm A vào (α) để tìm ( ) ( ) 1 A 2 A 3 A m, m=- a x +a y +a z . Vấn đề 2: Vị trí tương đối_khoảng cách Loại 1: Khoảng cách từ M (x M ;y M ;z M ) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 : ( ) α M M M 2 2 2 Ax +By +CZ +D d M, = A +B +C Loại 2: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α), (β) song song: Lấy một điểm M tùy ý trên mặt phẳng này, tính khoảng cách từ M điểm đó đến mặt phẳng kia. Bài tập Thái Thanh Tùng 3 Kiến thức tối thiểu về HHKG_12_CB 2008−2009 Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) trong các trường hợp sau: a. ( α ) vuông góc với AB tại A, biết A(1;0;−2), B(2;1;1). b. ( α ) qua ba điểm M(2;−1;3), N(4;2;1), P(−1;2;3). c. ( α ) qua M(0;−2;1) và song song với mặt phẳng ( β ): x−3z+1=0. d. ( α ) qua hai điểm A(3;1;−1), B(2;−1;4) và vuông góc với mặt phẳng ( β ):2x−y+3z+1=0. e. ( α ) qua M(1;−1;1) và vuông góc với đường thẳng ∆: 11 3 1 2 yx z+− = = − ĐS: a. x+y+3z+5=0; b. 2x+2y+5z−17=0; c. x−3z−6=0; d. x−13y−5z+5=0; e. 3x−y+2z−6=0. Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN với M(0;−1;3), N(2;−1;1). ĐS: x−z+1=0 Bài 3. Tính khoảng cách từ M(1;2;3) đến mặt phẳng ( α ): x+y−z+1=0. ĐS: ( ) ( ) 3 , 3 d M α = Bài 4. Tìm m để khoảng cách từ M(m;0;1) đến mặt phẳng ( α ): 2x+y−2z+2=0 bằng 2 3 . ĐS: m=±1 3. Đường thẳng: Vấn đề 1: Viết phương trình đường thẳng Viết phương trình đường thẳng ∆ khi biết một điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và một vectơ chỉ phương ( ) r 1 2 3 a= a ;a ;a : * Phương trình tham số ( ) ∈ 0 1 0 2 0 3 x =x +a t Δ: y =y +a t, t R z=z +a t * Phương trình chính tắc ( ) ≠ 0 0 0 1 2 3 1 2 3 x- x y- y z-z Δ: = = , a a a 0 a a a Chú ý: * Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A, B có vectơ chỉ phương là uur uuur Δ a = AB . * Đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) có vectơ chỉ phương là α uur uur Δ a =n . Vấn đề 2: Vị trí tương đối_khoảng cách. Tìm khoảng cách từ M đến đường thẳng ( ) ∈ 0 1 0 2 0 3 x =x +a t Δ: y =y +a t, t R z=z +a t * Gọi H(x;y;z) là hình chiếu của M lên ∆ ⇒ 0 1 0 2 0 3 H(x +a t;y +a t;z +a t) * Từ điều kiện . ∆ ∆ ⊥ ⇒ = ⇒ ⇒ uuur r uuur r MH a MHa 0 t H . * Khoảng cách từ M đến ∆ bằng độ dài đoạn MH. Bài tập Bài 1. Viết phương trình đường thẳng ∆ trong các trường hợp sau: a. ∆ qua hai điểm A(2;−1;3), B(4;2;1). b. ∆ qua điểm M (−1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng ( α ): 2x−y+z−1=0. c. ∆ qua M(−1;2;1) và song song với đường thẳng d: 3 2 2 1 3 yx z+ − = = − . d. ∆ qua M(0;3;−1) và song song với trục Ox. ĐS: a. 2 2 1 3 3 2 x t y t z t = + = − + = − ; b. 1 2 2 x t y t z t = − + = = + ; c. 1 2 2 1 3 x t y t z t = − + = − = + ; d. 3 1 x t y z = = = − . Thái Thanh Tùng 4 Kiến thức tối thiểu về HHKG_12_CB 2008−2009 Bài 2. Cho đường thẳng ∆: 1 1 2 1 3 x x z− + = = − và điểm M(3;4;5). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên ∆ và tính khoảng cách từ M đến ∆. ĐS: ( ) 9 1 24 1605 ; ; , , 7 7 7 11 H d M MH − ∆ = = ÷ Bài 3. Viết phương trình tham số đường vuông góc chung của hai đường thẳng 37 9 : 1 2 1 yx z−− − ∆ = = − và 3 7 ': 1 2 1 3 x t y t z t = − ∆ = + = + . ĐS: 3 2 : 1 1 4 x t d y t z t = + = + = + 3. Bài tập tổng hợp: Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(4;−1;2), B(1;2;2), C(1;−1;5), và 4 2 5OD i j k= + + uuur r r r . a. Chứng minh ABCD là một tứ diện đều. b. Tính thể tích tứ diện ABCD. c. Tính cosin của góc hợp bởi hai cạnh AB và CD. c. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. d. Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S) tại A. Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ( α ): 1 0x y z+ + − = và đường thẳng d: 1 1 1 1 yx z − = = − . Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết A, B, C là giao điểm tương ứng của mặt phẳng ( ) α với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz; còn D là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng tọa độ Oxy. Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;4;2) và mặt phẳng (P): x+2y+z−1=0. a. Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (P). b. Tìm tạo độ giao điểm H của đường thẳng d và mặt phẳng (P). c. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(−1;2;1), OB j k= + uuur r r , 4OC i k= + uuur r r . a. Chứng minh ABC là tam giác vuông. b. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB. c. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC). Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho D(−3;1;2) và mặt phẳng ( α ) qua ba điểm A(1;0;11), B(0;1;10), C(1;1;8). a. Viết phương trình tham số của đường thẳng AC. b. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( α ). c. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D bán kính R=5. Chứng minh (S) cắt ( α ). −Hết− Thái Thanh Tùng 5 . là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy và SA=AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. ĐS: 3 . 2 3 S ABC a V = Bài 5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông. 3 AH= 2 . * Diện tích: 2 AB 3 S= 4 . Tam ABC vuông tại A: 1 S= AB.AC 2 . Hình vuông ABCD: * Đường chéo AC= AB 2 . * S=AB 2 . B. Bài tập Bài 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng. tối thiểu về HHKG _12_ CB 2008−2009 Bài 7. Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD, có AB=a, AC= 5a . Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích khối trụ được sinh ra bởi hình chữ nhật nói