Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

Chuyên đ : M T S PH NG PHÁP GI I PH NG TRÌNH VÔ Tề Ộ Ố ƯƠ Ả ƯƠ Ỉ 1. PH NG PHÁP LU TH AƯƠ Ỹ Ừ D ng 1ạ : Ph ng trình ươ 0( 0)A B A B A B ≥ ≥  = ⇔  =  D ng 2ạ : Ph ng trình ươ 2 0B A B A B ≥  = ⇔  =  T ng quát: ổ 2 2 0 k k B A B A B ≥  = ⇔  =  D ng 3ạ : Ph ng trình ươ 0 ) 0 2 A A B C B A B AB C  ≥  + + = ⇔ ≥   + + =  (chuy n v d ng 2)ể ề ạ +) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 .A B C A B A B A B C+ = ⇔ + + + = (1) và ta s d ng phép th :ử ụ ế 3 3 A B C+ = ta đ c ph ng trìnhượ ươ : 3 3 . .A B A B C C+ + = (2) D ng 4: ạ 3 2 1 3 2 1 ; k k A B A B A B A B + + = ⇔ = = ⇔ = Chú ý: - Ph ng trình (2) là ph ng trình h qu c a ph tr (1).ươ ươ ệ ả ủ - Phép bình ph ng 2 v c a m t ph ng trình mà không có đi u ki n cho 2 v không âm là m tươ ế ủ ộ ươ ề ệ ế ộ phép bi n đ i h qu . Sau khi tìm đ c nghi m ta ph i th l i.ế ổ ệ ả ượ ệ ả ử ạ Gi i các ph ng trình sau:ả ươ 1) 464 2 +=+− xxx 2) xxx −=+− 242 2 3) ( ) 943 22 −=−− xxx 4) 2193 2 −=+− xxx 5) 0323 2 =−−+− xxx 6) 2193 2 −=+− xxx 7) 51333 =−− xx 8) xx −=−− 214 9) 333 511 xxx =−++ 10) 333 11265 +=+++ xxx 11) 0321 333 =+++++ xxx 12) 321 −=−−− xxx 13) 8273 −=−−+ xxx 14) 012315 =−−−−− xxx 15) xxx 2532 −=−−+ 16) 01214 =−−− yy 17) 4x2x2x2x16x6x3 222 ++=++++ 18) 7925623 222 ++=+++++ xxxxxx 19) 291 −+=+ xx 20) 279 22 =−−+ xx (20) 3 3 1 2 2 2x x x x+ + + = + +  Nh n xét : ậ N u ph ng trình :ế ươ ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x h x k x+ = + Mà có : ( ) ( ) ( ) ( ) f x h x g x k x+ = + , thì ta bi nế đ i ph ng trình v d ng ổ ươ ề ạ ( ) ( ) ( ) ( ) f x h x k x g x− = − sau đó bình ph ng ,gi i ph ng trình hươ ả ươ ệ quả (21) 3 2 1 1 1 3 3 x x x x x x + + + = − + + + +  Nh n xét : ậ N u ph ng trình :ế ươ ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x h x k x+ = + Mà có : ( ) ( ) ( ) ( ) . .f x h x k x g x= thì ta bi nế đ i ổ ( ) ( ) ( ) ( ) f x h x k x g x− = − sau đó bình ph ng ,gi i ph ng trình h quươ ả ươ ệ ả 2. PH NG PHÁP Đ T N PHƯƠ Ặ Ẩ Ụ D ng 1:ạ Các ph ng trình có d ng :ươ ạ ∗ . . 0A B A B α β γ + + = , đ t ặ 2 . .t A B A B t= ⇒ = ∗ . ( ) . ( ) 0f x f x α β γ + + = , đ t ặ 2 ( ) ( )t f x f x t= ⇒ = ∗ .( )( ) ( ) 0 x b x a x b x a x a α β γ − − − + − + = − đ t ặ 2 ( ) ( )( ) x b t x a x a x b t x a − = − ⇒ − − = − Chú ý: ∗ N u không có đi u ki n cho t, sau khi tìm đ c x thì ph i th l iế ề ệ ượ ả ử ạ Bài 1. Gi i các ph ng trình sau:ả ươ 7) xxxx 271105 22 −−=++ 1) 2855)4)(1( 2 ++=++ xxxx 2) ( ) 732233 2 2 +−=−+− xxxx 3) 2252)5( 3 2 −−+=+ xxxx 4) 54224 22 +−=+− xxxx 5) 122)2)(4(4 2 −−=+−− xxxx 6) 122)6)(4( 2 −−=−+ xxxx Bài 2. Tìm m đ ph ng trình sau có nghi m?ể ươ ệ a) mxxxx ++−=−+ 352)3)(21( 2 b) ( )( ) 31342 2 −=+−++− mxxxx Bài 3. Cho ph ng trình: ươ 2)1)(3(42 2 −=+−++− mxxxx a. Gi i ph ng trình khi m = 12ả ươ b. Tìm m đ ph ng trình có nghi m?ể ươ ệ Bài 4. Cho ph ng trình: ươ m 3x 1x )3x(4)1x)(3x( = − + −++− (Đ3) a. Gi i ph ng trình v i m = -3ả ươ ớ b. Tìm m đ ph ng trình có nghi m?ể ươ ệ D ng 2:ạ Các ph ng trình có d ng:ươ ạ ( ) 0CBABA 2 =+±±± Đ t ặ t A B= ± Bài 1. Gi i các ph ng trình sau:ả ươ a) (QGHN-HVNH’00) xxxx −+=−+ 1 3 2 1 2 b) 35223132 2 +++=+++ xxxxx - 2 c) (AN’01) xxxxx 141814274926777 2 −=−++−++ d) 616xx 2 4x4x 2 −−+= −++ e) 4 2 1 2 2 5 5 ++=+ x x x x (Đ36) g) (TN- K A, B ‘01) 7 2 1 2 2 3 3 −+=+ x x x x h) zzzzz 24)3)(1(231 −=+−+++− i) 253294123 2 +−+−=−+− xxxxx (KTQS‘01) Bài 2. Cho ph ng trình: ươ ( )( ) axxxx =−+−−++ 8181 (ĐHKTQD - 1998) a. Gi i ph ng trình khi a = 3.ả ươ b. Tìm a đ ph ng trình đã cho có nghi m.?ể ươ ệ Bài 3. Cho ph ng trình:ươ ( )( ) mxxxx =−+−−++ 6363 (Đ59) a. Gi i ph ng trình v i m = 3.ả ươ ớ b. Tìm m đ ph ng trình có nghi m?ể ươ ệ Bài 4. Cho ph ng trình:ươ mxxxx =−+−−++ )3)(1(31 (m-tham s )ố (ĐHSP Vinh 2000) a. Gi i ph ng trình khi m = 2.ả ươ b. Tìm đ ph ng trình đã cho có nghi m.ể ươ ệ Bài 5. Tìm a đ PT sau có nghi m:ể ệ ( )( ) axxxx =−+−−++ 2222 T t c bài t p 2, 3, 4, 5 ta có th sáng t o thêm nh ng câu h i ho c nh ng bài t p sau:ấ ả ậ ể ạ ữ ỏ ặ ữ ậ a) Tìm a đ ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t? (ĐK c n và đ )ể ươ ệ ấ ầ ủ b) Tìm a đ ph ng trình đã cho vô nghi m?ể ươ ệ D ng 3:ạ Đ t n ph nh ng v n còn n ban đ u. (ặ ẩ ụ ư ẫ ẩ ầ Ph ng pháp đ t n ph không hoàn toànươ ặ ẩ ụ )  T nh ng ph ng trình tích ừ ữ ươ ( ) ( ) 1 1 1 2 0x x x+ − + − + = , ( ) ( ) 2 3 2 3 2 0x x x x+ − + − + = Khai tri n và rút g n ta s đ c nh ng ph ng trình vô t không t m th ng chút nào, đ khó c a ph ngể ọ ẽ ượ ữ ươ ỉ ầ ườ ộ ủ ươ trình d ng này ph thu c vào ph ng trình tích mà ta xu t phát .ạ ụ ộ ươ ấ T đó chúng ta m i đi tìm cách gi i ph ng trình d ng này .Ph ng pháp gi i đ c th hi n qua các ví dừ ớ ả ươ ạ ươ ả ượ ể ệ ụ sau .Bài 1. Gi i ph ng trình :ả ươ ( ) 2 2 2 3 2 1 2 2x x x x+ − + = + + Gi i:ả Đ t ặ 2 2t x= + , ta có : ( ) 2 3 2 3 3 0 1 t t x t x t x =  − + − + = ⇔  = −  2 Bài 2. Gi i ph ng trình : ả ươ ( ) 2 2 1 2 3 1x x x x+ − + = + Gi i:ả Đ t : ặ 2 2 3, 2t x x t= − + ≥ Khi đó ph ng trình tr thnh : ươ ở ( ) 2 1 1x t x+ = + ( ) 2 1 1 0x x t⇔ + − + = Bây gi ta thêm b t , đ đ c ph ng trình b c 2 theo t có ờ ớ ể ượ ươ ậ ∆ ch n :ẵ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 2 1 0 1 2 1 0 1 t x x x t x t x t x t x =  − + − + + − = ⇔ − + + − = ⇔  = −  T m t ph ng trình đ n gi n : ừ ộ ươ ơ ả ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 0x x x x− − + − − + + = , khai tri n ra ta s đ c ptể ẽ ượ sau Bài 3. Gi i ph ng trình sau : ả ươ 2 4 1 1 3 2 1 1x x x x+ − = + − + − Gi i: ả Nh n xét : đ t ậ ặ 1t x= − , pttt: 4 1 3 2 1x x t t x+ = + + + (1) Ta rút 2 1x t= − thay vào thì đ c pt: ượ ( ) ( ) 2 3 2 1 4 1 1 0t x t x− + + + + − = Nh ng không có s may m n đ gi i đ c ph ng trình theo t ư ự ắ ể ả ượ ươ ( ) ( ) 2 2 1 48 1 1x x∆ = + + − + − không có d ng bình ph ng .ạ ươ Mu n đ t đ c m c đích trên thì ta ph i tách 3x theo ố ạ ượ ụ ả ( ) ( ) 2 2 1 , 1x x− + C th nh sau : ụ ể ư ( ) ( ) 3 1 2 1x x x= − − + + thay vào pt (1) ta đ c:ượ Bài 4. Gi i ph ng trình: ả ươ 2 2 2 4 4 2 9 16x x x+ + − = + Gi i .ả Bình ph ng 2 v ph ng trình: ươ ế ươ ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 4 16 2 4 16 2 9 16x x x x+ + − + − = + Ta đ t : ặ ( ) 2 2 4 0t x= − ≥ . Ta đ c: ượ 2 9 16 32 8 0x t x− − + = Ta ph i tách ả ( ) ( ) 2 2 2 9 2 4 9 2 8x x x α α α = − + + − làm sao cho t ∆ có d ng chính ph ng .ạ ươ Nh n xét :ậ Thông th ng ta ch c n nhóm sao cho h t h s t do thì s đ t đ c m c đích ườ ỉ ầ ế ệ ố ự ẽ ạ ượ ụ Bài t p đ ngh : ậ ề ị Gi i các ph ng trình sauả ươ 1) ( ) 122114 22 ++=+− xxxx 2) ( ) 121212 22 −−=−+− xxxxx 3) 361x12xx 2 =+++ 4) 1x21x4x2x1 22 +−−=−+ 5) 2 113314 xxxx −+−+=−+ 6) 1cossinsinsin 2 =+++ xxxx 7) 0 x 1 x3 x 1 1 x 1x x2 =−−−− − + 8) ( ) ( ) yxyx yx xx ++=       ++ + − 222 cos413cos2 2 sin4.34 (9) 2 2 2 2 12 12 12 x x x x − + − = M t s d ng khác.ộ ố ạ 1) ( ) ( ) ( ) 2 2 4317319 +−+=+ xxx 2) 1 3 3 13 242 ++−=+− xxxx 3) 131 23 −+=− xxx 4) ( ) 638.10 23 +−=+ xxx 5) 211 2 4 2 =−++−− xxxx 6) 0 2 12 2 2 12 2 6 4 = − − − − − x x x x x x 7) 12 35 1 2 = − + x x x 8) 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 2 2 22 2 2 − − = − +− ⇔− − = − x x x xx x x x 10) 3 1 2 1 = + − + x x x x (Đ141) 11) ( ) 92 211 4 2 2 += +− x x x D ng 4:ạ . Đ t n ph đ a v ph ng trình thu n nh t b c 2 đ i v i 2 bi n :ặ ẩ ụ ư ề ươ ầ ấ ậ ố ớ ế  Chúng ta đã bi t cách gi i ph ng trình: ế ả ươ 2 2 0u uv v α β + + = (1) b ng cách ằ 3 Xét 0v ≠ ph ng trình tr thành : ươ ở 2 0 u u v v α β     + + =         0v = th tr c ti p ử ự ế Các tr ng h p sau cũng đ a v đ c (1)ườ ợ ư ề ượ  ( ) ( ) ( ) ( ) . .a A x bB x c A x B x+ =  2 2 u v mu nv α β + = + Chúng ta hãy thay các bi u th c A(x) , B(x) b i các bi u th c vô t thì s nh n đ c ph ng trình vô tể ứ ở ể ứ ỉ ẽ ậ ượ ươ ỉ theo d ng này .ạ a) . Ph ng trình d ng : ươ ạ ( ) ( ) ( ) ( ) . .a A x bB x c A x B x+ = Nh v y ph ng trình ư ậ ươ ( ) ( ) Q x P x α = có th gi i b ng ph ng pháp trên n u ể ả ằ ươ ế ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .P x A x B x Q x aA x bB x  =   = +   Xu t phát t đ ng th c :ấ ừ ẳ ứ ( ) ( ) 3 2 1 1 1x x x x+ = + − + ( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 2 2 2 1 2 1 1 1x x x x x x x x x+ + = + + − = + + − + ( ) ( ) 4 2 2 1 2 1 2 1x x x x x+ = − + + + ( ) ( ) 4 2 2 4 1 2 2 1 2 2 1x x x x x+ = − + + + Hãy t o ra nh ng ph ng trình vô t d ng trên ví d nh :ạ ữ ươ ỉ ạ ụ ư 2 4 4 2 2 4 1x x x− + = + Đ có m t ph ng trình đ p , chúng ta ph i ch n h s a,b,c sao cho ph ng trình b c hai ể ộ ươ ẹ ả ọ ệ ố ươ ậ 2 0at bt c+ − = gi i “ nghi m đ p”ả ệ ẹ Bài 1. Gi i ph ng trình : ả ươ ( ) 2 3 2 2 5 1x x+ = + Gi i:ả Đ t ặ 2 1, 1u x v x x= + = − + Ph ng trình tr thành : ươ ở ( ) 2 2 2 2 5 1 2 u v u v uv u v =   + = ⇔  =  Tìm đ c: ượ 5 37 2 x ± = Bài 2. Gi i ph ng trình :ả ươ 2 4 2 3 3 1 1 3 x x x x− + = − + + Bài 3: gi i ph ng trình sau :ả ươ 2 3 2 5 1 7 1x x x+ − = − Gi i: ả Đk: 1x ≥ Nh n xt : Ta vi t ậ ế ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 7 1 1x x x x x x α β − + + + = − + + Đ ng nh t th c ta đ c: ồ ấ ứ ượ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 2 1 7 1 1x x x x x x− + + + = − + + Đ t ặ 2 1 0, 1 0u x v x x= − ≥ = + + > , ta đ c: ượ 9 3 2 7 1 4 v u u v uv v u =   + = ⇔  =  Ta đ c :ượ 4 6x = ± Bài 4. Gi i ph ng trình :ả ươ ( ) 3 3 2 3 2 2 6 0x x x x− + + − = Gi i:ả Nh n xét : Đ t ậ ặ 2y x= + ta hãy bi n pt trên v ph ng trình thu n nh t b c 3 đ i v i x và y :ế ề ươ ầ ấ ậ ố ớ 4 3 2 3 3 2 3 3 2 6 0 3 2 0 2 x y x x y x x xy y x y =  − + − = ⇔ − + = ⇔  = −  Pt có nghi m :ệ 2, 2 2 3x x= = − b).Ph ng trình d ng : ươ ạ 2 2 u v mu nv α β + = + Ph ng trình cho d ng này th ng khó “phát hi n “ h n d ng trên , nh g n u ta bình ph ng hai vươ ở ạ ườ ệ ơ ạ ư ế ươ ế thì đ a v đ c d ng trên.ư ề ượ ạ Bài 1. gi i ph ng trình : ả ươ 2 2 4 2 3 1 1x x x x+ − = − + Gi i: ả Ta đ t :ặ 2 2 1 u x v x  =   = −   khi đó ph ng trình tr thành : ươ ở 2 2 3u v u v+ = − Bài 2.Gi i ph ng trình sau : ả ươ 2 2 2 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + + Gi i ả Đk 1 2 x ≥ . Bình ph ng 2 v ta có :ươ ế ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1x x x x x x x x x x+ − = + ⇔ + − = + − − Ta có th đ t : ể ặ 2 2 2 1 u x x v x  = +  = −  khi đó ta có h : ệ 2 2 1 5 2 1 5 2 u v uv u v u v  − =   = − ⇔  + =   Do , 0u v ≥ . ( ) 2 1 5 1 5 2 2 1 2 2 u v x x x + + = ⇔ + = − Bài 3. gi i ph ng trình : ả ươ 2 2 5 14 9 20 5 1x x x x x− + − − − = + Gi i:ả Đk 5x ≥ . Chuy n v bình ph ng ta đ c: ể ế ươ ượ ( ) ( ) 2 2 2 5 2 5 20 1x x x x x− + = − − + Nh n xét : ậ không t n t i s ồ ạ ố , α β đ : ể ( ) ( ) 2 2 2 5 2 20 1x x x x x α β − + = − − + + v y ta không th đ t ậ ể ặ 2 20 1 u x x v x  = − −  = +  . Nh ng may m n ta có : ư ắ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 20 1 4 5 1 4 4 5x x x x x x x x x− − + = + − + = + − − . Ta vi t l iế ạ ph ng trình: ươ ( ) ( ) 2 2 2 4 5 3 4 5 ( 4 5)( 4)x x x x x x− − + + = − − + . Đ n đây bài toán đ c gi i quy t . ế ượ ả ế D ng 5:ạ Đ t nhi u n ph đ a v tích ặ ề ẩ ụ ư ề  Xu t phát t m t s h “đ i s “ đ p chúng ta có th t o ra đ c nh ng ph ng trình vô t mà khiấ ừ ộ ố ệ ạ ố ẹ ể ạ ượ ữ ươ ỉ gi i nó chúng ta l i đ t nhi u n ph và tìm m i quan h gi a các n ph đ đ a v hả ạ ặ ề ẩ ụ ố ệ ữ ẩ ụ ể ư ề ệ Xu t phát t đ ng th c ấ ừ ẳ ứ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3a b c a b c a b b c c a+ + = + + + + + + , Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 0a b c a b c a b a c b c+ + = + + ⇔ + + + = T nh n xét này ta có th t o ra nh ng ph ng trình vô t có ch a căn b c ba . ừ ậ ể ạ ữ ươ ỉ ứ ậ 2 23 3 3 7 1 8 8 1 2x x x x x+ − − − + − + = 3 3 3 3 3 1 5 2 9 4 3 0x x x x+ + − + − − − = Bài 1. Gi i ph ng trình :ả ươ 2 . 3 3 . 5 5 . 2x x x x x x x= − − + − − + − − 5 Gi i : ả 2 3 5 u x v x w x  = −   = −   = −   , ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 5 5 u v u w u uv vw wu v uv vw wu u v v w w uv vw wu v w u w  + + =  − = + +   − = + + ⇔ + + =     − = + + + + =   , gi i h ta đ c:ả ệ ượ 30 239 60 120 u x= ⇔ = Bài 2. Gi i ph ng trình sau :ả ươ 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x− + − − = + + + − + Gi i .ả Ta đ t : ặ 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 3 2 a x b x x c x x d x x  = −   = − −   = + +   = − +   , khi đó ta có : 2 2 2 2 2 a b c d x a b c d + = +  ⇔ = −  − = −  Bài 3. Gi i các ph ng trình sau ả ươ 1) 2 2 4 5 1 2 1 9 3x x x x x+ + − − + = − ( ) ( ) ( ) 3 3 2 4 4 4 4 1 1 1 1x x x x x x x x+ − + − = − + + − 3. PH NG PHÁP Đ A V PH NG TRÌNH TÍCH.ƯƠ Ư Ề ƯƠ  S d ng đ ng th c ử ụ ẳ ứ ( ) ( ) 1 1 1 0u v uv u v+ = + ⇔ − − = ( ) ( ) 0au bv ab vu u b v a+ = + ⇔ − − = ( ) ( ) - -a c x b d ax b cx d m + + ± + = 2 2 ( )( ) 0A B A B A B= ⇔ − + = a 3 −b 3 ⇔ (a−b)(a 2 +ab+b 2 )=0 ⇔ a=b Bài 1. Gi i ph ng trình : ả ươ 23 3 3 1 2 1 3 2x x x x+ + + = + + + Gi i:ả ( ) ( ) 3 3 0 1 1 2 1 0 1 x pt x x x =  ⇔ + − + − = ⇔  = −  Bi 2. Gi i ph ng trình : ả ươ 2 23 3 3 3 1x x x x x+ + = + + Gi i:ả + 0x = , không ph i là nghi m ả ệ + 0x ≠ , ta chia hai v cho x: ế ( ) 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 0 1 x x x x x x x x   + + + = + + ⇔ − − = ⇔ =     Bài 3. Gi i ph ng trình: ả ươ 2 3 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + + Gi i: ả : 1dk x ≥ − pt ( ) ( ) 1 3 2 1 1 0 0 x x x x x =  ⇔ + − + − = ⇔  =  Bài 4. Gi i ph ng trình : ả ươ 4 3 4 3 x x x x + + = + Gi i: ả Đk: 0x ≥ Chia c hai v cho ả ế 3x + : 2 4 4 4 1 2 1 0 1 3 3 3 x x x x x x x   + = ⇔ − = ⇔ =   + + +    Dùng h ng đ ng th c ằ ẳ ứ 6 Bi n đ i ph ng trình v d ng :ế ổ ươ ề ạ 1 2 3 2 2 1 ( )( . . . ) k k K K K K K A B A B A A B A B A B B − − − − − = ⇔ − + + + + + Bài 1. Gi i ph ng trình : ả ươ 3 3x x x− = + Gi i:ả Đk: 0 3x≤ ≤ khi đó pt đ cho t ng đ ng :ươ ươ 3 2 3 3 0x x x+ + − = 3 3 1 10 10 1 3 3 3 3 x x −   ⇔ + = ⇔ =     Bài 2. Gi i ph ng trình sau :ả ươ 2 2 3 9 4x x x+ = − − Gi i:ả Đk: 3x ≥ − ph ng trình t ng đ ng : ươ ươ ươ ( ) 2 2 1 3 1 3 1 3 9 5 97 3 1 3 18 x x x x x x x x =   + + =  + + = ⇔ ⇔  − −  = + + = −     Bài 3. Gi i ph ng trình sau : ả ươ ( ) ( ) 2 2 3 3 2 3 9 2 2 3 3 2x x x x x+ + = + + Gi i : pttt ả ( ) 3 3 3 2 3 0 1x x x⇔ + − = ⇔ = ĐS: x=1. Bài t p đ nghậ ề ị Gi i các ph ng trình sau :ả ươ 1) 672332110 2 −+++=++ xxxx 4) 8) 65233158 2 −+++=++ xxxx 2) ( ) ( ) 012131 2 22 =−+−++ n nn xxx (v i n ớ ∈ N; n ≥ 2) 5) x x xx 4 2 47 2 = + ++ (ĐHDL ĐĐ’01) 3) 12222 2 +=+−−−− xxxx 6) ( )( ) ( )( ) 23126463122 ++−+−=+−−+ xxxxxx 7) ( ) 0112 2 =−+−−−− xxxxxx (1) (HVKT QS - 2001) 4. PH NG PHÁP GI N CƯƠ Ả ƯỚ 1. (ĐHSPHN2’00) 2 )2()1( xxxxx =++− 2. 453423 222 +−=+−++− xxxxxx 3. 200320042002200320012002 222 +−=+−++− xxxxxx 4. 2 )2(1(2 xxxxx =+−− 5. )3(2)2()1( +=−+− xxxxxx 8) 4523423 222 +−≥+−++− xxxxxx (Đ8) 6. )3()2()1( +=−+− xxxxxx 9. 7925623 222 ++=+++++ xxxxxx (BKHN- 2001) 5. PH NG TRÌNH CÓ CH A D U GIÁ TR TUY T Đ I.ƯƠ Ứ Ấ Ị Ệ Ố 1. 550x10x5x4x 22 =+−−+− 2. 1168143 =−−++−−+ xxxx 3. 2 3 1212 + =−−+−+ x xxxx 4. 225225232 =−−−+−++ xxxx 5. 21212 =−−−−+ xxxx (HVCNBC’01) 6. xxx −=+− 112 24 (Đ24) 8. 4124 ++=+ xx 7. 24444 =−++−− xxxx . 8. 11681815 =−−++−−+ xxxx 6. PH NG PHÁP NHÂN L NG LIÊN H PƯƠ ƯỢ Ợ 6.1. Nhân l ng liên h p đ xu t hi n nhân t chung ượ ợ ể ấ ệ ử a) Ph ng pháp ươ M t s ph ng trình vô t ta có th nh m đ c nghi m ộ ố ươ ỉ ể ẩ ượ ệ 0 x nh v y ph ng trình luôn đ a vư ậ ươ ư ề đ c d ng tích ượ ạ ( ) ( ) 0 0x x A x− = ta có th gi i ph ng trình ể ả ươ ( ) 0A x = ho c ch ng minh ặ ứ ( ) 0A x = vô nghi m , ệ chú ý đi u ki n c a nghi m c a ph ng trình đ ta có th đánh gía ề ệ ủ ệ ủ ươ ể ể ( ) 0A x = vô nghi mệ 7 b) Ví d ụ Bài 1 . Gi i ph ng trình sau : ả ươ ( ) 2 2 2 2 3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − + Gi i: ả Ta nh n th y : ậ ấ ( ) ( ) ( ) 2 2 3 5 1 3 3 3 2 2x x x x x− + − − − = − − v ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 4 3 2x x x x− − − + = − Ta có th tr c căn th c 2 v : ể ụ ứ ế ( ) 2 2 2 2 2 4 3 6 2 3 4 3 5 1 3 1 x x x x x x x x x − + − = − + − + − + + − + D dàng nh n th y x=2 là nghi m duy nh t c a ph ng trình .ể ậ ấ ệ ấ ủ ươ Bài 2. Gi i ph ng trình sau ả ươ (OLYMPIC 30/4 đ ngh )ề ị : 2 2 12 5 3 5x x x+ + = + + Gi i: ả Đ ph ng trình có nghi m thì : ể ươ ệ 2 2 5 12 5 3 5 0 3 x x x x+ − + = − ≥ ⇔ ≥ Ta nh n th y : x=2 là nghi m c a ph ng trình , nh v y ph ng trình có th phân tích v d ng ậ ấ ệ ủ ươ ư ậ ươ ể ề ạ ( ) ( ) 2 0x A x− = , đ th c hi n đ c đi u đó ta ph i nhóm , tách nh sau :ể ự ệ ượ ề ả ư ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 12 4 3 6 5 3 3 2 12 4 5 3 2 1 2 3 0 2 12 4 5 3 x x x x x x x x x x x x x x − − + − = − + + − ⇔ = − + + + + +   + + ⇔ − − − = ⇔ =   + + + +   D dàng ch ng minh đ c : ễ ứ ượ 2 2 2 2 5 3 0, 3 12 4 5 3 x x x x x + + − − < ∀ > + + + + Bài 3. Gi i ph ng trình :ả ươ 2 33 1 1x x x− + = − Gi i :Đk ả 3 2x ≥ Nh n th y x=3 là nghi m c a ph ng trình , nên ta bi n đ i ph ng trình ậ ấ ệ ủ ươ ế ổ ươ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 33 2 3 2 23 3 3 3 9 3 1 2 3 2 5 3 1 2 5 1 2 1 4 x x x x x x x x x x x   − + + +   − − + − = − − ⇔ − + =   − + − + − +     Ta ch ng minh : ứ ( ) ( ) 2 2 2 2 23 3 3 3 3 1 1 2 1 2 1 4 1 1 3 x x x x x + + + = + < − + − + − + + 2 3 3 9 2 5 x x x + + < − + V y pt có nghi m duy nh t x=3ậ ệ ấ 6.2. Đ a v “h t m “ư ề ệ ạ a) Ph ng pháp ươ  N u ph ng trình vô t có d ng ế ươ ỉ ạ A B C+ = , mà : A B C α − = dây C có th là hàng s ,có th là bi u th c c a ở ể ố ể ể ứ ủ x . Ta có th gi i nh sau :ể ả ư A B C A B A B α − = ⇒ − = − , khi đĩ ta có h : ệ 2 A B C A C A B α α  + =  ⇒ = +  − =   b) Ví d ụ Bài 4. Gi i ph ng trình sau :ả ươ 2 2 2 9 2 1 4x x x x x+ + + − + = + Gi i:ả Ta th y : ấ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 9 2 1 2 4x x x x x+ + − − + = + 4x = − không ph i là nghi m ả ệ Xét 4x ≠ − Tr c căn th c ta có : ụ ứ 2 2 2 2 2 8 4 2 9 2 1 2 2 9 2 1 x x x x x x x x x x + = + ⇒ + + − − + = + + − − + 8 V y ta có h : ậ ệ 2 2 2 2 2 0 2 9 2 1 2 2 2 9 6 8 2 9 2 1 4 7 x x x x x x x x x x x x x x =   + + − − + =   ⇒ + + = + ⇔   = + + + − + = +    Th l i th a; v y ph ng trình có 2 nghi m : x=0 v x=ử ạ ỏ ậ ươ ệ 8 7 Bài 5. Gi i ph ng trình : ả ươ 2 2 2 1 1 3x x x x x+ + + − + = Ta th y : ấ ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2x x x x x x+ + − − + = + , nh v y không th a mãn đi u ki n trên.ư ậ ỏ ề ệ Ta có th chia c hai v cho x và đ t ể ả ế ặ 1 t x = thì bài toán tr nên đ n gi n h nở ơ ả ơ Bài t p đ nghậ ề ị Gi i các ph ng trình sau :ả ươ ( ) 2 2 3 1 3 1x x x x+ + = + + 4 3 10 3 2x x− − = − (HSG Toàn Qu cố 2002) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 5 2 10x x x x x− − = + − − 23 4 1 2 3x x x+ = − + − 2 33 1 3 2 3 2x x x− + − = − 2 3 2 11 21 3 4 4 0x x x− + − − = (OLYMPIC 30/4-2007) 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x− + − − = + + + − + 2 2 2 16 18 1 2 4x x x x+ + + − = + 2 2 15 3 2 8x x x+ = − + + Gi i các ph ng trình sau:ả ươ 1) )3(2)2()1( +=−+− xxxxxx 2) 2 )2()1(2 xxxxx =+−− 3) xxx =−−+ 1222 4) x xx xx 21 2121 2121 = −−+ −++ 5) x xx xx −= −+− −−− 6 57 57 33 33 6) 4x5x23x4x2x3x 222 +−=+−++− 7) 2xx3x2x22x3x1x2 2222 +−+++=−−+− 8) 431532373 2222 +−−−−=−−+− xxxxxxx 9) 2004200522003200420022003 222 +−=+−++− xxxxxx 7. PH NG PHÁP NH N XÉT ĐÁNH GIÁƯƠ Ậ 1. Dùng h ng đ ng th c :ằ ẳ ứ  T nh ng đánh giá bình ph ng : ừ ữ ươ 2 2 0A B+ ≥ , ph ng trình d ng ươ ạ 2 2 0A B+ = ⇔ 0 0 A B =   =  2. Dùng b t đ ng th c ấ ẳ ứ  M t s ph ng trình đ c t o ra t d u b ng c a b t đ ng th c: ộ ố ươ ượ ạ ừ ấ ằ ủ ấ ẳ ứ A m B m ≥   ≤  n u d u b ng (1) và (2)ế ấ ằ ỏ cùng d t đ c t i ạ ượ ạ 0 x thì 0 x là nghi m c a ph ng trình ệ ủ ươ A B= Ta có : 1 1 2x x+ + − ≤ D u b ng khi và ch khi ấ ằ ỉ 0x = và 1 1 2 1 x x + + ≥ + , d u b ng khi và ch khiấ ằ ỉ x=0. V y ta có ph ng trình: ậ ươ 1 1 2008 1 2008 1 1 x x x x − + + = + + + Đôi khi m t s ph ng trình đ c t o ra t ý t ng : ộ ố ươ ượ ạ ừ ưở ( ) ( ) A f x B f x  ≥   ≤   khi đó : ( ) ( ) A f x A B B f x  =  = ⇔  =    N u ta đoán tr c đ c nghi m thì vi c dùng b t đ ng th c d dàng h n, nh ng có nhi u bàiế ướ ượ ệ ệ ấ ẳ ứ ễ ơ ư ề nghi m là vô t vi c đoán nghi m không đ c, ta v n dùng b t đ ng th c đ đánh giá đ cệ ỉ ệ ệ ượ ẫ ấ ẳ ứ ể ượ 9 Bài 1. Gi i ph ng trình (OLYMPIC 30/4 -2007):ả ươ 2 2 9 1 x x x + = + + Gi i: Đk ả 0x ≥ Ta có : ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1 9 1 1 1 x x x x x x x           + ≤ + + + = +         + + +         D u b ng ấ ằ 2 2 1 1 7 1 1 x x x ⇔ = ⇔ = + + Bài 2. Gi i ph ng trình : ả ươ 2 4 2 4 13 9 16x x x x− + + = Gi i:ả Đk: 1 1x− ≤ ≤ Bi n đ i pt ta có : ế ổ ( ) 2 2 2 2 13 1 9 1 256x x x− + + = Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki:ụ ấ ẳ ứ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 13. 13. 1 3. 3. 3 1 13 27 13 13 3 3 40 16 10x x x x x− + + ≤ + − + + = − Áp d ng b t đ ng th c Côsi: ụ ấ ẳ ứ ( ) 2 2 2 16 10 16 10 64 2 x x   − ≤ =     D u b ng ấ ằ 2 2 2 2 2 1 51 3 2 10 16 10 5 x x x x x x   = +  − =   ⇔ ⇔    = − = −    Bài 3. gi i ph ng trình: ả ươ 3` 2 4 3 8 40 8 4 4 0x x x x− − + − + = Ta ch ng minh : ứ 4 8 4 4 13x x+ ≤ + và ( ) ( ) 2 3 2 3 8 40 0 3 3 13x x x x x x− − + ≥ ⇔ − + ≥ + Bài t p đ ngh .ậ ề ị Bài 1: Gi i các ph ng trình sau ả ươ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x − + − + + = + + − 4 4 4 1 1 2 8x x x x+ − + − − = + 4 4 4 2 8 4 4 4 4x x x+ = + + − 4 33 16 5 6 4x x x+ = + 3` 2 4 3 8 40 8 4 4 0x x x x− − + − + = 3 3 4 2 8 64 8 28x x x x+ + − = − + 2 2 1 1 2 2 4x x x x   − + − = − +     Bài 2 : Gi i các ph ng trình sau:ả ươ 1) 222 2414105763 xxxxxx −−=+++++ 2) 186 116 156 2 2 2 +−= +− +− xx xx xx 3) 2354136116 4 222 +=+−++−++− xxxxxx 4) ( )( ) 54225,33 222 +−+−=+− xxxxxx 5) 4 22 1312331282 +−−=+− xxxx 6) 2152 2 =−++− xxx 7) 44 1)1(2 xxxx +−=+− 8) x x x x xx 21 21 21 21 2121 − + + + − =++− 9) 11642 2 +−=−+− xxxx (Đ11) 10) 222 331232 xxxxxx −++−=+− 11) 5212102 2 +−=−+− xxxx 8. PH NG PHÁP Đ A V H .ƯƠ Ư Ề Ệ D ng 1:ạ Đ a v h ph ng trình bình th ng. Ho c h đ i x ng lo i m t.ư ề ệ ươ ườ ặ ệ ố ứ ạ ộ 10 [...]... về hệ phương trình sau:  2 u 2 + v 4 = 2 − 1  1 − v  + v 4 = 2 − 1    4 2   Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau:  2 1   Giải phương trình thứ 2: (v + 1) −  v + 4  = 0 , từ đó tìm ra v rồi thay vào tìm nghiệm của phương 2  2 2 trình Bài 3 Giải phương trình sau: x + 5 + x − 1 = 6 Điều kiện: x ≥ 1 Đặ t a = x − 1, b = 5 + x − 1(a ≥ 0, b ≥ 0) thì ta đưa về hệ phương trình. .. 1 + x = 1 14) 3 + 3 + x = x 8) 7x2 + 7x = 9 PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM 1 Các bước:  Tìm tập xác định của phương trình  Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) bằng một biểu thức nào đó  Tính đạo hàm f(x), rồi dựa vào tính đồng biến(nbiến) của hàm số để kết luận nghiệm của phương trình 2 Ví dụ Giải phương trình sau: 3 2 x + 1 + 3 2 x + 2 + 3 2 x + 3 = 0 (1) Giải: Tập xác định: D = R Đặt f(x) = 3 2 x... = 2 x − 1 thì ta đưa về hệ sau:  2  y − 2 y = 2( x − 1)  Trừ hai vế của phương trình ta được ( x − y )( x + y ) = 0 Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: x = 2 + 2 12 Kết luận: Nghiệm của phương trình là {1 − 2; 1 + 3} Bài 2 Giải phương trình: 2 x 2 − 6 x − 1 = 4 x + 5 Giải Điều kiện x ≥ − 5 4 Ta biến đổi phương trình như sau: 4 x 2 − 12 x − 2 = 2 4 x + 5 ⇔ (2 x − 3) 2 = 2 4 x + 5 + 11... để phương trình sau có nghiệm: ) ( m 1+ x2 − 1− x2 + 2 = 2 1− x4 + 1+ x2 − 1− x2 6) (ĐH.A’08) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: 4 2 x + 2 x + 24 6 − x + 2 6 − x = m 10 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ Ví dụ Giải phương trình sau: x 3 + (1 − x 2 ) 3 = x 2 − 2 x 2 (1) Giải: Tập xác định: D = [-1; 1] (2) Do (2) nên đặt x = cost (*), với 0 ≤ t ≤ π (A) Khi đó phương trình. .. − 2x + 4 35 + 2x = 4 Dạng 2: Đưa phương trình đã cho về hệ đối xứng loại hai  Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II [ ( ] ( x + 1) 2 = y + 2   Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau :  2 ( y + 1) = x + 2  giản Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt y = f ( x ) ) (1) (2) việc giải hệ này thì đơn sao cho (2) luôn... này ta sử dụng một trong các phương pháp sau: * PP1: Sử dụng tính chất đồng biến ,nghịch biến của hàm số * PP2: Sử dụng tương giao của các đồ thị hàm số 1/ (Dự bị 1 khối B 2007) : Tìm m để phương trình: 4 x2 + 1 − x = m có nghiệm  2  2/ (Dự bị 1 khối A 2007) :Tìm m để bất phương trình : m x − 2x + 2 + 1 + x(2− x) ≤ 0   có nghiệm x ∈  0;1+ 3   3/ ( ĐH KA-2007) Tìm m để phương trình 3 x − 1... quan hệ giữa α ( x ) và β ( x ) từ đó tìm được hệ theo u,v ( 3 ) 3 3 3 Bài 1 Giải phương trình: x 25 − x x + 25 − x = 30 Đặt y = 3 35 − x3 ⇒ x3 + y 3 = 35  xy ( x + y ) = 30  , giải hệ này ta tìm được 3 3  x + y = 35  ( x; y ) = (2;3) = (3; 2) Tức là nghiệm của phương trình là x ∈ {2;3} 1 2 −1 − x + 4 x = 4 Bài 2 Giải phương trình: 2 Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 2 − 1  2 −1− x = u  ⇒0≤u≤ 2 − 1,0 ≤ v ≤ 4 2... 2    Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên tập M=  − ∞,−  ∪  − 1 2 3 2 Ta thấy f(-1)=0 ⇒ x=-1 là một nghiệm của (1) Ta có: f ( − ) = 3; f (− ) = −3 Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x): x -∞ − f’(x) 3 2  − -1  1 2 +∞  F(x) +∞ 0 -∞ 3 -3 13 Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = 0 ⇔ x = -1 Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm x = -1 Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: 1) 3 ( Từ... + 2 − 1 , khi đó ta có phương trình : ( x + 1) = ( x + 2 − 1) + 1 ⇔ x 2 + 2 x = x + 2 2 Vậy để giải phương trình : x 2 + 2 x = x + 2 ta đặt lại như trên và đưa về hệ ( α x + β ) 2 = ay + b  Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 :  , ta sẽ xây dựng được phương 2 α y + β ) = ax + b (  a β 2 ax + b + b − trình dạng sau : đặt α y + β = ax + b , khi đó ta có phương trình : ( α x + β ) = α... + x − 1 ⇔ x − 1 = 5 − x ⇒ x = 2 6 − 2x 6 + 2x 8 + = Bài 4 Giải phương trình: 5− x 5+ x 3 Giải Điều kiện: −5 < x < 5 ( ) Đặt u = 5 − x , v = 5 − y 0 < u , v < 10 (u + v)2 = 10 + 2uv u 2 + v 2 = 10   Khi đó ta được hệ phương trình:  4 4 2 4 8⇔  − − + 2(u + z ) = (u + v) 1 −  = 3  u v  uv  3  Bài tập đề nghị : Giải các phương trình sau 1) 3 2 − x = 1 − x − 1 (ĐHTCKTHN - 2001) 2) 3 − x . Chuyên đ : M T S PH NG PHÁP GI I PH NG TRÌNH VÔ Tề Ộ Ố ƯƠ Ả ƯƠ Ỉ 1. PH NG PHÁP LU TH AƯƠ Ỹ Ừ D ng 1ạ : Ph ng trình ươ 0( 0)A B A B A B ≥ ≥  = ⇔  =  D ng 2ạ : Ph ng trình ươ 2 0B A B A B ≥  =. ng trình có nghi m?ể ươ ệ Bài 4. Cho ph ng trình: ươ m 3x 1x )3x(4)1x)(3x( = − + −++− (Đ3) a. Gi i ph ng trình v i m = -3ả ươ ớ b. Tìm m đ ph ng trình có nghi m?ể ươ ệ D ng 2:ạ Các ph ng trình. các bi u th c vô t thì s nh n đ c ph ng trình vô tể ứ ở ể ứ ỉ ẽ ậ ượ ươ ỉ theo d ng này .ạ a) . Ph ng trình d ng : ươ ạ ( ) ( ) ( ) ( ) . .a A x bB x c A x B x+ = Nh v y ph ng trình ư ậ ươ (