ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010 - 2011 PHẦN I: LÝ THUYẾT A. HỆ PHƯƠNG TRÌNH I/ Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: Dạng tổng quát: ax by c a 'x b' y c' + = + = (với a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R và a, b; a, b’ không đồng thời bằng 0) II/ Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: 1) Phương pháp thế: - Bước 1: Rút x theo y (hoặc y theo x) từ một phương trình của hệ rồi thay vào phương trình còn lại. - Bước 2: Giải phương trình một ẩn x (hoặc y). - Bước 3: Thay giá trị x (hoặc y) vừa tìm vào phương trình còn lại để suy ra giá trị của ẩn còn lại. - Bước 4: Kết luận. 2) Phương pháp cộng đại số: Chú ý: Hệ số của cùng một ẩn bằng thì trừ, đối thì cộng, khác thì nhân. B. HÀM SỐ y=ax 2 (a ≠ 0) I/ Tính chất của hàm số y=ax 2 (a ≠ 0): 1/ TXĐ: ∀ x ∈ R 2/ Tính chất biến thiên: * a>0 thì hàm số y=ax 2 đồng biến khi x>0 và nghịch biến khi x<0. * a<0 thì hàm số y=ax 2 đồng biến khi x<0 và nghịch biến khi x>0. 3/ Tính chất về giá trị: * Nếu a>0 thì y min = 0 ⇔ x=0 * Nếu a<0 thì y max = 0 ⇔ x=0 II/ Đồ thị của hàm số y=ax 2 (a ≠ 0): 1/ Đồ thị của hàm số y=ax 2 (a ≠ 0): - Đỉnh O(0;0); - Nhận Oy làm trục đối xứng - Nếu a>0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành Ox; Nếu a<0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành Ox 2/ Các bước vẽ đồ thị của hàm số y=ax 2 (a ≠ 0): - Lập bảng giá trị tương ứng: x x 1 x 2 0 x 4 x 5 y=ax 2 y 1 y 2 0 y 4 y 5 - Biểu diễn các điểm có tọa độ (x;y) vừa xác định ở trên lên trên mặt phẳng tọa độ. - Vẽ (P) đi qua các điểm đó. III/ Quan hệ giữa (P): y=ax 2 (a ≠ 0) và đường thẳng (d): y=mx+n: Phương trình hoành độ giao điểm của (P): y=ax 2 và đường thẳng (d): y=mx+n là: ax 2 = mx+n ⇔ ax 2 - mx-n=0 (*) 1/(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ >0 (hoặc '∆ >0) 2/(P) tiếp xúc (d) ⇔ phương trình (*) có nghiệm kép ⇔ ∆ =0 (hoặc '∆ =0) 3/(P) và (d) không có điểm chung ⇔ phương trình (*) vô nghiệm ⇔ ∆ <0 (hoặc '∆ <0) C. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ I/ Khái niệm ph. trình bậc hai một ẩn số (x): là ph.trình có dạng: ax 2 + bx + c = 0 (với a,b,c ∈ R và a ≠ 0) II/ Cách giải phương trình bậc hai một ẩn số: 1. Dạng khuyết c (c=0) – Dạng ax 2 + bx = 0: ax 2 + bx = 0 ⇔ x.(ax+b)=0 ⇔ 0 0 0 x x b ax b x a = = ⇔ + = = − 2. Dạng khuyết b (b=0) – Dạng ax 2 + c = 0: * Trường hợp c>0: phương trình vô nghiệm (vì khi đó ax 2 + c > 0 ∀ x ) * Trường hợp c<0, ta có: ax 2 + c = 0 ⇔ 2 2 ax c x c a c x a c x a = − =− ⇔ = − ⇔ = − − 3. Dạng đầy đủ – Dạng ax 2 + bx + c = 0 (với a, b, c ≠ 0 : - Bước 1: Xác định hệ số a,b,c. - Bước 2: Lập ∆ = b 2 - 4ac (hoặc ∆' = b' 2 – ac) rồi so sánh với 0 I M o B A o B A D C (Trong trường hợp ∆>0 (hoặc ∆'>0) ta tính ∆ (hoặc tính '∆ ) - Bước 3: Xác định và kết luận nghiệm theo bảng sau: C«ng thøc nghiÖm tổng quát C«ng thøc nghiÖm thu gän ∆ = b 2 - 4ac -NÕu ∆ > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x 2 1 ∆+− = ; a b x 2 2 ∆−− = - NÕu ∆ = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : a b xx 2 21 − == - NÕu ∆ < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm ∆' = b' 2 - ac (víi b’ = 2 b 2b') - NÕu ∆' > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x '' 1 ∆+− = ; a b x '' 2 ∆−− = - NÕu ∆' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: a b xx ' 21 − == - NÕu ∆' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm * Chú ý: Nếu a.c < 0 thì phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt (trái dấu) III/ Định lí Vi-ét: 1/ Vi-ét thuận: NÕu x 1 , x 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) th×: 1 2 1 2 . b S x x a c P x x a − = + = = = 2/ Vi-ét đảo: Hai sè u vµ v thỏa mãn u + v = S; u.v = P thì u,v là nghiệm của ph¬ng tr×nh: x 2 - Sx + P = 0 (§iÒu kiÖn: S 2 - 4P ≥ 0) 3/ NhÈm nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0): */ NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x 1 = 1 ; x 2 = c a */ NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x 1 = -1 ; x 2 = c a − * Chú ý: NÕu x 1 , x 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) th×: ax 2 + bx + c = a(x-x 1 )(x-x 2 ) IV/ Giải các phương trình quy được về phương trình bậc hai: 1/ Phương trình tích: ( ) 0 ( ). ( ) 0 ( ) 0 A x A x B x B x = = ⇔ = 2/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu: - Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình (là ĐK của ẩn để tất cả các mẫu đều khác 0) - Bước 2: Qui đồng và khử mẫu hai vế - Bước 3: Giải phương trình nhận được trong bước 2 - Bước 4: Đối chiếu giá trị ẩn vừa tìm được với ĐKXĐ và kết luận nghiệm 3/ Phương trình trùng phương: ax 4 + bx 2 + c = 0 ( a ≠ 0 ) + Đặt : x 2 = y ≥ 0 , ta có PT đã cho trở thành : ay 2 + by + c = 0 (*) + Giải phương trình (*) + Chọn các giá trị y thỏa mãn y ≥ 0 thay vào: x 2 = y ⇔ x= y± + Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu 4/ Phương trình sau khi đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc hai: + Đặt ẩn phụ, đặt điều kiện của ẩn phụ nếu có. + Giải phương trình ẩn phụ. + Chọn các giá trị ẩn phụ thỏa mãn điều kiện thay vào chỗ đặt để suy ra giá trị ẩn ban đầu. + Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu. D. HÌNH HỌC I. Quan hệ cung và dây. Góc với đường tròn: 1. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau, hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau: » » AB CD AB CD = ⇔ = 2. Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy » » MA MB IA IB= ⇒ = 3. Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy o C A B D o B A C x o A B x o A B C E o A B D C F M o A B C B o A C E o C D A B B A o E C D v ngc li ằ ằ MA MB OM AB= 4. ng kớnh i qua trung im ca mt dõy khụng i qua tõm thỡ vuụng gúc vi dõy y v chia cung b cng ra hai phn bng nhau ằ ằ ;IA IB OI AB MA MB= = 5. ng kớnh vuụng gúc vi mt dõy thỡ i qua trung im ca dõy y v chia cung b cng ra hai phn bng nhau ằ ằ ;OI AB IA IB MA MB = = 6. Hai cung chn gia hai dõy song song thỡ bng nhau ằ ằ / /AB CD AC BD = 7. S o ca gúc tõm bng s o ca cung b chn ã ằ =BOC sd BC 8. S o ca gúc ni tip bng na s o ca cung b chn ã ằ 1 2 =BAC sd BC 9. S o ca gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung bng na s o ca cung b chn ã ằ 1 2 =BAx sd AB 10. Trong mt ng trũn : a) Cỏc gúc ni tip bng nhau chn cỏc cung bng nhau ã ã ằ ằ ACB DFE AB DE= = b) Cỏc gúc ni tip cựng chn mt cung thỡ bng nhau ã ã AMB ACB= (cựng chn ằ AB ) c) Cỏc gúc ni tip chn cỏc cung bng nhau thỡ bng nhau ằ ằ ã ã AB DE ACB DFE= = d) Gúc ni tip nh hn hoc bng 90 o cú s o bng na s o ca gúc tõm cựng chn mt cung ã ã 1 2 ACB AOB= (cựng chn cung ằ AB ) e) Gúc ni tip chn na ng trũn l gúc vuụng v ngc li, gúc vuụng ni tip thỡ chn na ng trũn ã 90 o ACB = ( gúc ni tip chn na ng trũn) f) Gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung v gúc ni tip cựng chn mt cung thỡ bng nhau ã ã BAx BCA= ( cựng chn cung AB) 11.S o ca gúc cú nh bờn trong ng trũn bng na tng s o hai cung b chn ã ằ ằ 1 ( ) 2 = +BED sd BD AC (gúc cú nh bờn trong ng trũn) 12. S o ca gúc cú nh bờn ngoi ng trũn bng na hiu s o hai cung b chn ã ằ ằ 1 ( ) 2 = CED sd CD AB (gúc cú nh bờn ngoi ng trũn) II. Tứ giác nội tiếp: a) Tính chất: Tổng hai góc đối của tứ giác bằng 180 0 . b) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0 - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện - Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm. - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc . III. Độ dài đ ờng tròn - Độ dài cung tròn: - Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d - Độ dài cung tròn n 0 bán kính R : 180 Rn l = IV. Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn: - Diện tích hình tròn: S = R 2 - Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n 0 : 2 360 2 R n lR S = = V. C ỏc cụng thc hỡnh hc khụng gian : 1. Hỡnh tr: S xq = C ỏy .h (C ỏy : chu vi ỏy; h: chiu cao), S xq =2 r.h (r: bỏn kớnh ỏy) V= S ỏy .h (S ỏy : din tớch ỏy; h: chiu cao), V= r 2 .h (r: bỏn kớnh ỏy) 2. Hỡnh nún: S xq = rl (l: ng sinh), V= 1 3 S ỏy .h , V= 1 3 r 2 .h 3. Hình cầu: S xq =4 π r 2 , V= 4 3 π r 3 PHẦN II: BÀI TẬP Dạng 1: Giải hệ phương trình. a) 3x y 3 2x y 7 + = − = b) 2x 5y 8 2x 3y 0 + = − = c) 4x 3y 6 2x y 4 + = + = d) 2x 3y 2 3x 2y 3 + = − − = − e) 2 x 3 y 1 x 3 y 2 − = + = i) 1 1 2 x 2 y 1 2 3 1 x 2 y 1 + = − − − = − − Dạng 2: Một số bài toán quy về giải hệ phương trình. Bài 1: Tìm a, b: 1/ để hệ phương trình 2x by a bx ay 5 − = + = có nghiệm (1;3). 2/ để hệ phương trình ax 2y 2 bx ay 4 + = − = có nghiệm ( 2 ;- 2 ). Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1;3) và B(3;2). Dạng 4: Xác định hệ số a và vẽ đồ thị hàm số y=ax 2 (a ≠ 0) Bài 1: a) Vẽ đồ thị hàm số y=x 2 và y= 1 2 − x 2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Cho hàm số y=ax 2 . Xác định hệ số a, biết đồ thị của hàm số đó đi qua điểm A(1;-1). Vẽ đồ thị của hàm số trong trường hợp đó. Dạng 5: Quan hệ giữa (P): y=ax 2 (a ≠ 0) và đường thẳng (d): y=mx+n: Bài 1: Cho hàm số y=x 2 (P) và y=3x-2 (d) a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ b) Xác định tọa độ của (P) và (d) bằng phương pháp đại số. c) Lập phương trình của đường thẳng (d’), biết (d’)// (d) và (d’) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 3. Bài 2: Cho hàm số y= 2 6 x (P) và y=x+m (d) a) Vẽ (P). b) Tìm m để (P) và (d): - Cắt nhau tại hai điểm phân biệt; - Tiếp xúc nhau; - Không có điểm chung. Dạng 6: Giải phương trình: Bài 1: Giải phương trình: a) 2x 2 + 5x = 0 b) x - 6x 2 = 0 c) 2x 2 + 3 = 0 d) 4x 2 -1 = 0 e) 2x 2 + 5x + 2 = 0 f) 6x 2 + x + 5 = 0 g) 2x 2 + 5x + 3 = 0 h) 2 25x 20x 4 0− + = Bài 2: Giải phương trình: a) 3x 4 + 2x 2 – 5 = 0 b) 2x 4 - 5x 2 – 7 = 0 c) 4 2 3x 5x 2 0− − = d) 16 x 3 – 5x 2 – x = 0 e) ( ) ( ) 2 2 2 2 x 3x 5 2x 1 0+ − − − = f) − + = − − + 3x 2 6x 5 x 5 x 5 4 g) ( ) ( ) 2 x 3x 5 1 x 3 x 3 x 2 − + = − − + h) 7 16 2 1 2 1 = − − + xx Bài 4: Giải phương trình: a) x – 7 x 8 0− = b) x 5 5 x 1 0+ − − = c) ( ) ( ) 2 2 2 2x x 13 2x x 12 0+ − + + = Dạng 7: Không giải phương trình tính tổng, tích hai nghiệm; tính nghiệm còn lại khi biết trước một nghiệm của PTBH: Bài 1: Cho phương trình: 2 x 8x 15 0− + = , không giải phương trình hãy tính: a) 1 2 x x+ b) 1 2 .x x c) 2 2 1 2 x x+ d) ( ) 2 1 2 x x+ e) 1 2 1 1 x x + f) 1 2 2 1 x x x x + Bài 2: Cho phương trình: 2 x 3x 15 0+ + = , không giải phương trình hãy tính: a) 1 2 x x+ b) 1 2 .x x Bài 3: a) Cho phương trình: 2 x 2mx 5 0− + = có một nghiệm bằng 2, hãy tìm m và tính nghiệm còn lại. b)Cho phương trình: 2 x 5x q 0+ + = có một nghiệm bằng 5, hãy tìm q và tính nghiệm còn lại. Dạng 8: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm: Bài 1: Tìm hai số u và v biết: a) u+v=3 và u.v=2 b) u+v= -3 và u.v=6 c) u-v=5 và u.v=36 d) u 2 +v 2 =61 và u.v=30 Bài 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là: a) 1 8x = và 2 3x = b) 1 5x = và 2 7x = − Dạng 9: Tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn về sự có nghiệm của phương trình bậc hai: Bài 1: Cho phương trình: 2 x 2x m 1 0− + − = , tìm m để phương trình: a) Có hai nghiệm phân biệt. b) Có nghiệm kép. c) Vô nghiệm. d) Có hai nghiệm trái dấu. e) Có hai nghiệm x 1 và x 2 thỏa mãn 2 2 1 2 5x x+ = Bài 2: Cho phương trình: 2 3x 2x m 1 0− − + = , tìm m để phương trình: a) Có nghiệm . b) Có hai nghiệm trái dấu. c) Có hai nghiệm dương. Dạng 10: Chứng minh phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt (có nghiệm kép; vơ nghiệm) với mọi tham số: Bài 1: a) Chứng minh rằng phương trình: 2 2 x 2x m 4 0− − − = ln có hai nghiệm phân biệt ∀ m. b) Chứng minh rằng phương trình: ( ) 2 x 2 m 1 x m 4 0− + + − = ln có hai nghiệm phân biệt ∀ m. c) Chứng minh rằng phương trình: ( ) 2 x 2 m 2 x 4m 12 0+ + − − = ln có nghiệm ∀ m. d) Chứng minh rằng phương trình: ( ) 2 2 2 2 2 2 c x a b c x b 0+ − − + = vơ nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Dạng 11: Tốn tổng hợp: Bài 1: Cho phương trình: ( ) 2 x 2 m 1 x 4m 0− + + = . a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại. c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. d) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1 và x 2 thỏa mãn: x 1 = 2x 2 . e) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1 và x 2 thỏa mãn: 2 2 1 2 5x x+ = . f) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1 và x 2 sao cho A= 2 2 1 2 1 2 2 2 .x x x x+ − đạt giá trị nhỏ nhất. GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH - Bước 1: Chọn ẩn (kèm theo đơn vị) và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn. - Bước 2: Biểu thị các đại lượng chưa biết thơng qua ẩn và các đại lượng đã biết. - Bước 3: Lập phương trình (hệ phương trình) biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng. - Bước 4: Giải phương trình (hệ phương trình). - Bước 5: Đối chiếu giá trị ẩn vừa tìm được với ĐK và trả lời A. DẠNG TỐN CHUYỂN ĐỘNG. L u ý:+ Q®êng = Vtèc . Tgian; Tgian = Q®êng : Vtèc; Vtèc = Q®êng : Tgian + v(xu«i)= v(riªng)+v(níc); v(ngỵc)= v(riªng)-v(níc) + v(riªng)= [v(xu«i) + v(ngỵc)]:2; v(níc)= [v(xu«i) - v(ngỵc)]:2 * Chó ý: - VËn tèc dßng níc lµ vËn tèc cđa ®¸m bÌo tr«i, cđa chiÕc bÌ tr«i. - VËn tèc thùc cđa can« cßn gäi lµ vËn tèc riªng (hay vËn tèc cđa can« khi níc yªn lỈng). Bài 1: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B. Giải: Gọi x (km/h ) là vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B (ĐK: x > 0) Khi đó: vận tốc của người đó khi đi từ B về A là : x + 3 (km/h) Thời gian người đó đi từ A đến B là: x 36 (h); Thời gian người đó đi từ B về A là: 3 36 +x (h) Theo đề bài toán ta có phương trình: 36 36 3 3 5x x − = + Biến đổi phương trình trên ta được: x 2 + 3x - 180 = 0 Giải phương trình trên ta được: x 1 = 12 (thoả mãn điều kiện của ẩn) x 2 = -15 (khơng thoả mãn điều kiện của ẩn) Vậy vận tốc của người đó đi từ A đến B là 12 km/h. Bài 2: Hai thành phố A và B cách nhau 50km. Một người đi xe đạp từ A đến B. Sau đó 1giờ 30 phút, một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn người đi xe đạp 1giờ. Tính vận tốc của mỗi người biết rằng vận tốc của người đi xe máy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 18km/h. Gọi x(km/h) là vận tốc của người đi xe đạp, ta có phương trình: 50 50 5 18 2x x - = + Bi 3: Một ca nô chy xuôi dòng từ bến A đến bến B, sau đó chy ngợc dòng từ B về A hết tổng thời gian là 5 giờ . Biết quãng đờng sông từ A đến B dài 60 km và vận tốc dòng nớc là 5 km/h . Tính vận tốc thực của ca nô. Gi x(km/h) l vn tc ca ca nụ, ta có PT: 60 5x + + 60 5x = 5 Bi 4: Mt xe mỏy i t A n B trong mt thi gian d nh. Nu vn tc tng thờm 14km/gi thỡ n sm 2 gi, nu gim vn tc i 4km/gi thỡ n mun 1 gi.Tớnh vn tc d nh v thi gian d nh. Gii: Gi thi gian d nh l x(h) v vn tc d nh l y(km/h) (K: x > 0, y > 0) * Quóng ng AB di l: x.y (km) * Nu vn tc gim i 4km/h thỡ thi gian i s tng thờm 1 gi nờn ta cú: (x + 1)(y - 4) = x.y -4x + y = 4 * Nu vn tc tng thờm 14km/h thỡ thi gian i s bt i 2 gi nờn ta cú: (x - 2)(y + 14) = x.y 14x - 2y = 28 Theo bi ta cú h phng trỡnh: 4x y 4 8x 2y 8 x = 6 14x 2y 28 14x 2y 28 y = 28 + = + = = = (TMK) Vy : Thi gian d nh l 6 gi v vn tc d nh l 28km/h. Bi 5: Một ngời đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 78 km. Sau đó 1 giờ ngời thứ hai đi từ tỉnh B đến tỉnh A hai ngời gặp nhau tại địa điểm C cách B 36 km. Tính thời gian mỗi ngời đã đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, biết vận tốc ngời thứ hai lớn hơn vận tốc ngời thứ nhất là 4 km/h. Gọi x (h) là thời gian của ngời đi từ A đến C (K: x> 0), ta cú phng trỡnh: 36 1x - x 42 =4 C. DNG TON LM CHUNG LM RIấNG. Bi 1: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm trong 3 giờ, ngời thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm đợc 25% khối lợng công việc. Hỏi mỗi ngời thợ làm một mình công việc đó trong bao lâu. Giải: Gọi x(giờ) là thời gian để ngời thứ nhất làm một mình xong công việc. Gọi y(giờ) là thời gian để ngời thứ hai làm một mình xong công việc (ĐK: x > 16; y > 16). Trong 1 giờ, ngời thứ nhất làm đợc: x 1 (công việc) ; Trong 1 giờ, ngời thứ hai làm đợc: y 1 (công việc) Trong 1 giờ, cả hai ngời làm đợc: 1 16 (công việc). Theo đề bài ta có hệ phơng trình: =+ =+ . 4 163 16 111 yx yx Giải hệ phơng trình ta đợc: = = 48 24 y x ( thỏa mãn điều kiện ) Vậy: thời gian để ngời thứ nhất làm một mình xong công việc là: 24 ( giờ ). thời gian để ngời thứ hai làm một mình xong công việc là: 48 ( giờ). Bi 2: Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đờng trong 4 giờ thì xong . Nếu làm riêng thì tổ 1 làm nhanh hơn tổ 2 là 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc ? Giải : Gọi x( giờ ) là thời gian một mình tổ 1 sửa xong con đờng ( ĐK: x >4 ) Thời gian một mình tổ 2 sửa xong con đờng là x + 6 ( giờ ) Trong 1 giờ, tổ 1 sửa đợc: x 1 ( con đờng ); Trong 1 giờ, tổ 2 sửa đợc: 6 1 +x (con đờng ) Trong 1 giờ, cả hai tổ sửa đợc: 4 1 (con đờng ) Theo bài ra ta có hệ phơng trình: x 1 + 6 1 +x = 4 1 Bin i phng trỡnh trờn ta c: 2 2 24 0x x = Gii phng trỡnh trờn ta c: x 1 = 6 (tho món iu kin ca n) x 2 = -4 (khụng tho món iu kin ca n) Vậy: một mình tổ 1 sửa xong con đờng hết 6 ngày một mình tổ 2 sửa xong con đờng hết 12 ngày Bi 3: Hai vũi nc cựng chy vo mt b (ban u khụng cha nc) thỡ sau 6 gi y b. Nu chy mt mỡnh cho y b thỡ vũi I cn nhiu thi gian hn vũi II l 5 gi. Hi nu chy mt mỡnh y b thỡ mi vũi cn bao nhiờu thi gian ? Gọi x( giờ ) là thời gian vũi II chy mt mỡnh y b( ĐK: x >6 ) , phng trỡnh : 1 x 5+ + 1 x = 1 6 D. DNG TON PHN CHIA U. Bi 1: Mt on hc sinh gm cú 180 học sinh đợc điều về thăm quan diễu hành. Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở một lợt hết số học sinh thì phải điều động ít hơn dùng loại xe nhỏ là 2 chiếc. Biết rằng mỗi xe lớn nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi. Tính số xe lớn ? Giải: Gọi số xe lớn là x (chiếc) (K: x nguyên dơng). Số xe nhỏ là: x + 2. ( chiếc ) Số hc sinh mỗi xe lớn chở đợc là: x 180 ( Hs); Số hc sinh mỗi xe nhỏ chở đợc là: 2 180 +x ( Hs). Vì mỗi xe lớn nhiều hơn mỗi số xe nhỏ là 15 chỗ ngồi, do đó ta có phơng trình: x 180 - 2 180 +x = 15 Bin i phng trỡnh trờn ta c: 2 2 24 0x x+ = Gii phng trỡnh trờn ta c: x 1 = 4 (tho món iu kin ca n) x 2 = -6 (khụng tho món iu kin ca n) Vậy số xe lớn là 4 chiếc Bi 2: Trong một buổi lao động trồng cây ,một tổ học sinh đợc trao nhiệm vụ trồng 56 cây .Vì có 1 bạn trong tổ đợc phân công làm việc khác nên để trồng đủ số cây đợc giao ,mỗi bạn còn lại trong tổ đều trồng tăng thêm 1 cây với dự định lúc đầu Hỏi tổ học có bao nhiêu bạn biết số cây đợc phân cho mỗi bạn đều bằng nhau. Gi x l s hc sinh ca t (x nguyờn v x>1), ta cú phơng trình : 56 56 1 1x x = Bi 3: Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng dãy và số ghế của từng dãy đều nh nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1, thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế, mỗi dãy có bao nhiêu ghế. Gọi x(dãy) là số dãy ghế ban đầu, phơng trình: 400 360 1 1x x = + Bi 4: Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công. Hãy tính số công nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 ngời thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày. Gi x l s cụng nhõn ca i (x nguyờn v dng), phơng trình: x 420 - 5 420 +x = 7 E. DNG TON Cể NI DUNG HèNH HC. Bi 1: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi. Bi 2: Một hình chữ nhật có chu vi là 160m và diện tích là 1500m 2 . Tính chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ấy Bi 3: Tìm hai cạnh của một tam giác vuông biết cạn huyền bằng 13 cm và tổng hai cạnh góc vuông bằng 17. Giải: Gọi cạnh góc vuông thứ nhất của tam giác là x ( cm ), (K: 0< x < 17 ). Ta có: cạnh góc vuông còn lại là: ( 17 - x ) ( cm). Vì cạnh huyền của tam giác vuông là 13cm, do đó ta có phơng trình: x 2 + ( 17 - x ) 2 = 13 2 x 2 - 17x + 60 = 0 Giải PT trên ta đợc: x 1 = 12, x 2 = 5. ( thỏa mãn điều kiện ) Vậy độ dài các cạnh góc vuông lần lợt là 12 cm, 5 cm. F. MT S DNG TON KHC. Bài 1: Bạn Hải đi mua trứng gà và trứng vịt. Lần thứ nhất mua năm quả trứng gà và năm quả trứng vịt hết 10.000đ. Lần thứ hai mua ba quả trứng gà và bảy quả trứng vịt hết 9.600đ. Hỏi giá một qủa trứng mỗi loại là bao nhiêu? Bài 2: Tổng số công nhân của hai đội sản suất là 125 ngời. Sau khi điều 13 ngời từ đội thứ I sang đội thứ II thì số công nhân của đội thứ I bằng 2/3 số công nhân đội thứ II. Tính số công nhân của mỗi đội lúc ban đầu. BI TP HèNH HC: Bi 1: Cho ABC vuụng ti A (AB < AC), v AH BC. Gi D l im i xng ca B qua H, E l hỡnh chiu ca C trờn AD. Chng minh: a) T giỏc AHEC ni tip, xỏc nh tõm O ca ng trũn ngoi tip t giỏc ny. b) AHE cõn. c) Bit BC = 2a, ACB = 30 0 , tớnh theo a: c 1 ) Din tớch xung quanh v th tớch ca hỡnh to bi khi quay ABC vuụng ti A quanh cnh AB. c 2 ) Din tớch hỡnh gii hn bi cỏc on AC, CH v cung AH ca (O). Bài 2: Cho đường tròn (O; 10cm) và điểm A nằm bên ngồi đường tròn. Qua A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B, C là tiếp điểm) sao cho góc BAC = 45 0 . a) Tính độ dài các cung AB của đường tròn (O); b) Tia CO cắt AB ở D, chứng minh: ∆BOD và ∆ACD là các tam giác vng cân; c) Tính độ dài đoạn AC; d) Tính d.tích hình giới hạn bởi các đoạn AC, AB và cung BC của (O). Bài 3: Cho tam giác ABC vng tại A. Đường phân giác góc C cắt AB tại E. Kẻ AH vng góc với BC và AK vng góc với CE, gọi I là giao điểm của AH và CE. Chứng minh: a/ Bốn điểm A, K, H, C cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn. b/ OK vng góc AH c/ Tam giác AEI cân Bài 4: Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC bằng 2a và góc B bằng 60 0 . Trên cạnh AC lấy một điểm M ( M khác A;C). Vẽ đường tròn tâm I đường kính MC. Đường tròn này cắt tia BM tại D và cắt cạnh BC tại điểm thứ hai là N . a. Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn. b. Chứng minh DB là tia phân giác của góc ADN . c. Khi tứ giác ABCD là hình thang , tính diện tích hình tròn tâm I theo a . Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Kẻ đường cao AH. Trên đoạn AH lấy điểm M. Đường tròn tâm O đường kính AM cắt AB ở D và AC ở E. a) Cm: tứ giác MECH nội tiếp. b) Chứng minh : · · AMD ABC= c) Cm: AD.AB = AE.AC d) Cho · 30 o HAC = , AM= 3 cm. Tính diện tích phần của hình tròn ( O) nằm ngồi tam giác AEM (lấy π = 3,14) Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O;R). Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ » AC . Đường thẳng AM cắt đường thẳng BC tại S a) Chứng minh: · · SMC ACB= b) Cm: AC 2 = AM.AS c) Trường hợp A ˆ = 60 0 . Tính độ dài ¼ BAC , độ dài dây AB và d.tích phần h.tròn nằm ngồi ∆ ABC theo R Bài 7: Cho ∆ABC nội tiếp (O; BC 2 ) có AB>AC, Hai tiếp tuyến của đường tròn tại A và B cắt nhau ở M. a) C/m: Tứ giác MAOB nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn đó. b) Chứng minh: · · OAB IAM= . c) Đường cao AH của ∆ABC cắt CM ở N. Chứng minh : N là trung điểm của AH. d) Giả sử · ACB = 60 0 . Tính diện tích hình giới hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC của (O) theo R. PHẦN III: TRẮC NGHIỆM 1/ Đánh dấu “X” vào ơ em chọn. Mệnh đề Đ S a/ Hai cung bằng nhau thì có số đo bằng nhau b/ hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau d/ Trong hai cung, cung nào lớn hơn thì có số đo lớn hơn. e/Trong hai cung trên một đường tròn, cung nào có số đo nhỏ hơn thì nhỏ hơn f/ Trong một đường tròn, hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau g/ Đường kính chia cung thành hai phần bằng nhau thì vng góc với dây cung h/ Đường kính vng góc với dây cung thì chia dây cung thành hai phần bằng nhau. i/ Đường kính đi qua trung điểm của cung thì vng góc với dây căng cung ấy k/ Đường kính đi qua trung điểm của dây thì đi qua trung điểm của cung căng dây ấy l/ Trong một đường tròn hay hai đường tròn b/n, hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì b/n m/Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. n/Các góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung o/ Hai góc nội tiếp cùng chắn một dây cung thì bằng nhau p/Trong một đường, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc n.tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. q/ Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn cung ấy. 2/ Góc ở tâm AOB có số đo là 65 0 . Hỏi cung lớn AB có số đo bao nhiêu? a/ 65 0 b/ 115 0 c/ 295 0 d/ cả a, b, c đều sai. 3/ Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R). Khẳng định nào sau đây đúng? » » » a / AB BC CA= = » » » b / AB BC CA> = » » » c / AB BC CA< = » » » d / AB BC CA= > 4/ Trên tiếp tuyến Ax của đường tròn (O;R) lấy một điểm M sao cho AM = R. Tia OM cắt đường tròn tại B. Số đo cung AB là bao nhiêu? a/ 30 0 b/ 45 0 c/ 60 0 d/ 90 0 5/ Cho đường tròn (O;R) một dây AC = R. Hỏi số đo cung AC? a/ 30 0 b/ 45 0 c/ 60 0 d/ 90 0 6/ Cho tam giác ABC vng cân tại A nội tiếp đường tròn (O;R). Hỏi số đo cung nhỏ AB? a/ 120 0 b/ 45 0 c/ 60 0 d/ 90 0 7/ Cho AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O;R) lần lượt tại các tiếp điểm B và C. Biết rằng · 0 BAC 40= . Tính số đo cung nhỏ BC? a/ 120 0 b/ 140 0 c/ 160 0 d/ 70 0 8/ Cho đường tròn (O; R) và cung AB có số đo bằng 90 0 . Lấy một điểm M nằm trên cung lớn AB. Tính số đo góc AMB? a/ 90 0 b/ 135 0 c/ 45 0 d/ 270 0 9/ Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Biết µ µ A 2C= .Tính Â? a/ 30 0 b/ 60 0 c/ 90 0 d/ 120 0 10/ Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Biết µ µ 0 B D 20− = .Tính µ B ? a/ 100 0 b/ 160 0 c/ 200 0 d/ 80 0 11/ Tứ giác nào sau đây nội tiếp được trong một đường tròn? a/ hình vng, hình thang cân, hình chữ nhật. b/ hình chữ nhật, hình thang cân, hình thoi. c/ hình chữ nhật, hình bình hành, hình vng. d/ hình thoi, hình bình hành, hình thang vng. 12/ Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn. Khẳng định nào sau đây là đúng? µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ a / A B C D b/ A C B D c / A D B C d / A B C D+ = + + = + + = + = = = 13/ Tứ giác nào ln có đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp? a/ hình thang cân b/ hình chữ nhật c/ hình thoi d/ hình vng. 14/ Một cung tròn 60 0 của một đường tròn có bán kính R có độ dài bao nhiêu? R a / 3 π R b / 3π c /3 R π d / 60 R π 16/ Nếu tăng bán kính của một h.tròn lên 4 lần thì diện tích h.tròn đó tăng bao nhiêu lần? a/ 2 lần b/ 8 lần c/ 16 lần d/ 64 lần 17/ Một đường tròn bán kính R ngoại tiếp lục giác đều. Tính chu vi lục giác đều đó? a/ 3R b/ 6R c/ 9R d/ 36R 18/ Cho đường tròn (O;R). hai đường kính AC và BD vng góc nhau. Tứ giác ABCD là hình gì? a/ hình chữ nhật b/ hình vng c/ hình thoi d/ hình bình hành. 19/ Cho đường tròn (O;R). hai đường kính AC và BD vng góc nhau. Số đo của cung ACD là bao nhiêu? a/ 90 0 b/ 180 0 c/ 270 0 d/ 240 0 20/ Cạnh của một tam giác đều nội tiếp đường tròn (O;R) là? a / R 3 R 3 b / 2 c / 2R 3 3R 3 d / 2 21/ Diện tích xung quanh của một hình nón có chiều cao h = 3cm và bán kính đường tròn đáy R = 4cm là bao nhiêu cm 2 ? a/ 20 π b/ 12 π c/ 7 π d/ 36 π 22/ Nếu chiều cao của một hình trụ tăng lên 3 lần thì thể tích của hình trụ đó thay đổi như thế nào? a/ tăng 3 lần b/ tăng 9 lần c/ giảm 3 lần d/ khơng thay đổi 23/ Nếu bán kính đáy của một hình trụ tăng 4 lần thì thể tích hình trụ thay đổi như thế nào? a/ tăng 4 lần b/ tăng 16 lần c/ giảm 4 lần d/ giảm 16 lần 23/ Một hình trụ có bán kính dáy là 5cm, chiều cao 10cm. Thể tích hình trụ đó là bao nhiêu cm 3 ? a/ 50 π b/ 100 π c/ 250 π d/ 500 π 25/ Một hình trụ có bán kính đáy là 5cm, thể tích là 100cm 3 . Hỏi diện tích xung quanh của hình trụ là bao nhiêu cm 2 ? a/ 20 b/ 40 c/ 500 d/ 2500 26/ Diện tích mặt cầu là 314cm 2 . Hỏi đường kính của mặt cầu đó là bao nhiêu? (lấy π = 3,14) a/ 100m b/ 50m c/ 10m d/ 10000m 27/ Một hình nón có bán kính đáy là 7cm, đường sinh dài 10cm. Diện tích tồn phần của hình nón là bao nhiêu cm 2 ? (lấy 22 7 π = ) a/ 374 π b/ 220 π c/ 154 π d/17 π 28/ Hình nón có bán kính đường tròn đáy là 5cm, độ dài đường cao là12øcm.Thể tích hình nón này bằng: A. 20 π (cm 3 ) B. 200 π (cm 3 ) C. 100 π (cm 3 ) D. 200 π (cm 3 ) 1> phương trình nào sau đây khơng phải là phương trình bậc nhất hai ẩn: A. 0x y− = B. 0 4 5x y+ = C. 2 0 7x y− = D. 0 0 9x y+ = 2> Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình: 2 3− =x y A. ( ) 1;1 B. ( ) 1; 1− C. ( ) 1;2 D. ( ) 2;1 3> Phương trình bậc nhất hai ẩn có bao nhiêu nghiệm? A. Một nghiệm duy nhất B. Hai nghiệm C. Vơ nghiệm D. Vơ số nghiệm 5> Cho phương trình 2 3 2 3 3 0x x− − = . Các nghiệm của phương trình là: A. 1 2 3 , 3 3 x x= = B. 1 2 3 , 3 3 x x= − = C. 1 2 3 , 3 3 x x= − = − D. 1 2 3 , 3 3 x x= = − 6> Phương trình 2 4 6 1 0x x− − = có ∆ ’ là: A. ' 5 ∆ = B. ' 13 ∆ = C. ' 52 ∆ = D. ' 20 ∆ = 7> Phương trình 2 7 8 0x x− − = có tổng hai nghiệm là: A. 8 B. -7 C.7 D. 7 2 8> Phương trình 2 2 9 20 0x x− + + = có tích hai nghiệm là: A. 10 B. -10 C. 9 2 D. 9 2 − 9 / Điền vào chỗ trống để được kết luận đúng: a/ Hàm số y=ax 2 , với a > 0 hàm số đồng biến khi………………., nghịch biến khi ……………… với a < 0 hàm số đồng biến khi………………., nghịch biến khi ……………… b/ Nếu ph.trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có a+b+c = 0 thì ph.trình có 2 nghiệm là: x 1 =……và x 2 = …… b/ Nếu ph.trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có a - b+c = 0 thì ph.trình có 2 nghiệm là: x 1 =……và x 2 = …… 10/ Nghiệm của hệ ph.trình =+− =− 1 32 yx yx là: A. (1;-1) B. (1;1) C. (4;5) D. (-4;5) 11/ Biết đồ thò hàm số y=ax 2 (a ≠ 0) đi qua điểm A( 3 ;3) . Hệ số a bằng : A. a=1 B. a= 3 C. a= -1 D. a= 3 12/ Phương trình ax 2 +bx +c =0 (a≠0) có hai nghiệm phân biệt khi: a a và c cùng dấu b a và c trái dấu c ∆ = 0 d ∆ <0 13/ Phương trình x 2 -8x +7 =0 có nghiệm đúng là? a x 1 =1; x 2 =- 7 b x 1 =-1; x 2 = -7 c x 1 =-1; x 2 = 7 d x 1 =1; x 2 = 7 14/ Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn? a 2x -5 = 0 b x 2 -2x= 0 c (x+2)(x 2 -2x +3) =0 d 6x - y= 8 15: Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 – 7x – 12 = 0, khi đó tổng và tích của chúng là: A. = =+ 12. 7 21 21 xx xx B. −= −=+ 12. 7 21 21 xx xx C. −= =+ 12. 7 21 21 xx xx D. = −=+ 12. 7 21 21 xx xx 16: Phương trình 64x 2 + 48x + 9 = 0 A. có vơ số nghiệm B. có nghiệm kép C. có hai nghiệm phân biệt D. vơ nghiệm 3. Ph¬ng tr×nh bËc hai x 2 - 3x +2= 0 cã c¸c nghiƯm lµ: A. x 1 = 1; x 2 = -2 B. x 1 = -1; x 2 = 2 C. x 1 = 1; x 2 = 2 D. V« nghiƯm 4. §êng th¼ng (d) y = ax + 1 = 0 tiÕp xóc víi parabol (P) y = -x 2 khi a b»ng: A. a = 2 hc a = -2 B. a = 2 C. a = -2 D. Kh«ng t×m ®ỵc a 17: Ph.trình x 2 + 6x – m = 0 có nghiệm kép khi m bằng: A.9 B. – 9 C. 6 D. – 6 18: Phương trình 3x 2 + bx + 2 = 0 có nghiệm bằng 1 khi b bằng: A. – 5 B. – 1 C. 5 D. 1 19. Cho hµm sè y = 2 1 x 2 − . KÕt ln nµo sau ®©y lµ ®óng? A. Hµm sè trªn lu«n nghÞch biÕn. B. Hµm sè trªn lu«n ®ång biÕn. C. Gi¸ trÞ cđa hµm sè bao giê còng ©m. D. Hµm sè trªn nghÞch biÕn khi x > 0 vµ ®ång biÕn khi x < 0 20. Phương trình: 3x 2 +4x-5=0 có ∆ là: A. 19 B. – 11 C. 76 D. Kết quả khác. 21. Phương trình nào sau đây là phương trình bậc hai một ẩn? A. x 3 + 3x – 4 = 0 B. 0x 2 + 3x – 4 = 0 C. 3x – 4 = 0 D.2x - x 2 = 0 . ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010 - 2011 PHẦN I: LÝ THUYẾT A. HỆ PHƯƠNG TRÌNH I/ Khái niệm. x = + Bi 4: Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công. Hãy tính số công nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 ngời thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi. cạnh góc vuông bằng 17. Giải: Gọi cạnh góc vuông thứ nhất của tam giác là x ( cm ), (K: 0< x < 17 ). Ta có: cạnh góc vuông còn lại là: ( 17 - x ) ( cm). Vì cạnh huyền của tam giác vuông là