Phòng giáo dục - đào tạo duy tiên Trờng thcs chuyên ngoại sáng kiến kinh nghiệm Hớng dẫn học sinh vẽ đờng phụ trong giải toán hình học ******** Họ và tên giáo viên: Nguyễn Thị Thu Huyền Tổ chuyên môn: Khoa học tự nhiên Năm học : 2010 - 2011 ********* I. Những vấn đề chung 1. Lý do viết sáng kiến kinh nghiệm. 1.1- Cơ sở lý luận: Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đờng phụ là các bài toán khó đối với với học sinh THCS. Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kỹ năng giải toán nhất định, có sự sáng tạo nhất định. Để tạo ra đợc một đờng phụ liên kết tờng minh các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực hiện các thao tác t duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tơng tự hoá, đặc biệt hoá, Hay nói cách khác giải một bài toán phải kẻ thêm đờng phụ là một sáng tạo nhỏ, là một biểu hiện ở mức độ cao của kỹ năng, thể hiện các tình huống hình học phù hợp với một định nghĩa, định lý nào đó hay còn gọi là quy lạ về quen. ở đó khoảng cách từ lạ đến quen càng xa thì mức độ sáng tạo càng lớn. Do đó việc học tốt các bài toán hình có lời giải phải kẻ thêm đờng phụ có tác dụng rất lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ và t duy khoa học của học sinh. 1.2- Cơ sở thực tiễn: Giải bài toán hình có kẻ thêm đờng phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiều các thao tác t duy. Vì vậy đòi hỏi ở học sinh phải rèn luyện về mặt t duy hình học thuật phát triển. Do đó trong các định lý ở sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử dụng việc vẽ đờng phụ thì sách giáo khoa (SGK) rất ít đề cập đến, việc làm các ví dụ về bài toán ở trên lớp cũng rất hiếm khi có loại toán dạng này. Tuy nhiên trong các bài tập thì SGK cũng đa ra khá nhiều dạng toán này và nhất là ở các bài tập nâng cao thì các bài toán khó và hay lại là những bài toán khi giải cần phải kẻ thêm đờng phụ. Trên thực tế, đối với hc sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải có rất nhiều thời gian nghiên cứu. Do đó việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cách giải bài toán có vẽ thêm đờng phụ đối với hc sinh còn rất ít. Còn đối với đa số học sinh việc nắm vững về mục đích, yêu cầu khi vẽ các đờng kẻ phụ cũng nh kiến thức về một số loại đờng phụ là còn rất hạn chế.Vì vậy với trình bày của đề tài Hớng dẫn học sinh vẽ đờng phụ trong giải toán hình học là một nội dung tham khảo cho giáo viên để góp phần tạo nên cơ sở cho giáo viên có thể dạy tốt hơn loại toán hình có kẻ thêm đờng phụ. 2. Mục đích viết sáng kiến kinh nghiệm: Việc gợi mở lại cho hc sinh các nội dung kiến thức về giải bài toán có kẻ thêm đ- ờng phụ là rất cần thiết, trên cơ sở đó giáo viên sẽ cung cấp đầy đủ các kiến thức này cho học sinh. Với việc phân dạng đợc các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đờng phụ, đồng thời đi sâu vào hớng dẫn một số bài toán cụ thể là tạo điều kiện để hc sinh bổ sung cho mình về trình độ kiến thức, là góp phần gợi về phơng pháp gii các bài toán này một cách cụ thể dựa vào mức độ phức tạp của việc kẻ thêm đ- ờng phụ. II. NI DUNG A. Các b ớc tiến hành. 1. Điều tra: Trớc khi đa vào thực hiện sáng kiến này đã tiến hành điều tra về hiểu và có kỹ năng giải bài toán hình có lời giải vẽ thêm đờng phụ đối với học sinh nh sau: - Đối tợng điều tra: Học sinh lớp 8B trờng THCS Chuyên Ngoại, năm học 2010- 2011. - Tổng số học sinh đợc điều tra: 25 em. - Thống kê điều tra nh sau: 01. Số học sinh nắm đợc sơ lợc các loại đờng phụ thờng sử dụng trong giải Toán THCS có: 10 em chiếm 40 % 02. Số học sinh nắm đợc các phép dựng hình cơ bản thờng sử dụng trong giải toán THCS có: 6 em chiếm 24%. 03. - Số học sinh dựng đợc các đờng kẻ phụ hợp lý và giải đợc một số bài toán trong chơng trình toán lớp 8 gồm có: 4 em chiếm 16%. 04. Số học sinh lúng túng, cha giải quyết đợc các bài toán hình học có vẽ thêm đờng phụ trong giải Toán THCS có: 16 em chiếm 64 % 05. Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải đợc các bài toán tơng đối khó : 0 em chiếm 0% 2. Quá trình thực hiện: 2.1. Các yêu cầu khi vẽ các đờng phụ. 01- Vẽ đờng phụ phải có mục đích: Đờng kẻ phụ, phải giúp cho đợc việc chứng minh bài toán. Muốn vậy nó phải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tơng tự hoá, mày mò dự đoán theo một mục đích xác định là gắn kết đợc mối quan hệ của kiến thức đã có với điều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm. Do đó không đợc vẽ đờng phụ một cách tuỳ tiện (cho dù là mày mò, dự đoán) vì nếu đờng phụ không giúp ích gì cho việc chứng minh thì nó sẽ làm cho mình vẽ rối ren, làm khó thêm cho việc tìm ra lời giải đúng. Vì vậy khi vẽ đờng phụ phải luôn tự trả lời câu hỏi "Vẽ đờng phụ này có đạt đợc mục đích mình muốn không?". Nếu "không" nên loại bỏ ngay. 02- Đờng phụ phải là những đờng có trong phép dựng hình và phải xác định đợc. 03. Lựa chọn cách dựng thích hợp đờng phụ: Đờng phụ thờngthỏa mãn các tính chất nào đó , việc lựa chọn đờng phụ là rất quan trọng.Tuy cùng là một đờng phụ vẽ thêm nhng do các cách dựng khác nhau nên dẫn đến cách chứng minh cũng khác nhau. 04.Một số loại đờng phụ thờng đợc sử dụng trong giải toán hình ở chơng trình THCS. - Đờng phụ là điểm: - Đờng phụ là đờng thẳng, đoạn thẳng: - Đờng phụ là đờng tròn: 2.2 Các cơ sở để xác định đờng phụ : Ta có thể đa dựa trên các cơ sở sau để xác định đờng phụ sẽ vễ là đờng gì ? và vẽ từ đâu ? 01- Kẻ thêm đờng phụ tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc tính chất các hình để giải quyết bài toán. 02- Kẻ thêm đờng phụ để tạo nên các tình huống phù hợp với một định lý để giải quyết bài toán. 03- Kẻ thêm đờng phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan hệ để giải quyết bài toán. 04- Kẻ thêm đờng phụ để sử dụng phơng pháp chứng minh phản chứng. 05. Kẻ thêm các đờng phụ để biến đổi kết luận tạo thành các mệnh đề tơng đơng để giải quyết bài toán. 2.3 Các biện pháp phân tích tìm ra cách vẽ đờng phụ: 01. Dựa vào các bài toán đã biết: Dựa vào các bài toán quen thuộc, các định lý và tính chất đã học , học sinh nghiên cứu giả thiết và kết luận của bài toán, tìm ra các điểm tơng đồng rồi từ đó vẽ đờng phụ thích hợp để đa bài toán cần giải quyết về bài toán quen thuộc Ví dụ1: Cho tam giác cân ABC đáy BC. Lấy trên AB kéo dài một đoạn BD = AB. Gọi CE là trung tuyến của tam giác ABC. CMR: CE = CD. Ta chỉ phân tích phần nội dung: Kẻ đờng phụ. Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm của CD. Muốn chứng tỏ một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng khác thì một trong các cách làm cơ bản là chia đôi đoan thẳng kia và chuyển về bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau . Gọi M là trung điểm của CD ta có CM = MD, vậy ta phải chứng minh CE=CM hoặc CE=DM. Chọn CE = CM. Từ sự phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy ra nếu chứng minh đợc EBC = MBC thì ta có đợc CE=CM là điều phải chứng minh. A C M D B E Đến đây điều cần chứng minh đã rõ ràng phải chứng minh EBC = MBC, hai tam giác này bằng nhau theo trờng hợp c.g.c Việc hớng dẫn học sinh kẻ đờng phụ ta dựa vào sự phân tích trên, ta có thể đa ra cho học sinh những câu hỏi gợi mở, chẳng hạn: - Với M là trung điểm của CD, em nào cho biết CE và CM là các cạnh của tam giác nào? - Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đờng phụ nào và chứng minh điều gì? - Hoặc với học sinh khá, giỏi ta có thể hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM ta phải chứng minh điều gì? 02. Kẻ thêm đờng phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan hệ để giải quyết bài toán: Đối với trờng hợp này (dạng này) thờng là các bài toán chứng minh các đ- ờng thẳng đồng quy, hai đờng thẳng vuông góc, đờng trung tuyến của một tam giác, tam giác cân vì có đờng cao đồng thời là đờng trung tuyến Ví dụ2: Bài toán: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh CD và N là một điểm trên đờng chéo AC sao cho ã 0 BNM 90= . Gọi F là điểm đối xứng của A qua N, chứng minh:FB AC Ta phân tích nội dung kẻ đờng phụ và gợi ý chứng minh. Phân tích: Ta thấy ã BFC là một góc của BFC, đối chiếu với định lý: "Tổng 3 góc của một tam giác bằng 180 O thì có ã ã ã 0 FBC BCF BFC 180+ + = , nhng ta cha thể tính đợc ã ã FBC BCF+ bằng bao nhiêu độ nên không thể suy ra đợc số đo góc ã BFC . Vậy không thể vận dụng định lý trên để chứng minh. - Nhng bài toán cho ta các giả thiết liên quan đến góc vuông và trung điểm của đoạn thẳng , ta có thể liên kết các giả thiết đó lại với nhau để chứng minh bài toán này bằng cách nào? Đó là câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt ra cho học sinh và hớng dẫn các em có thể tự đặt ra các câu hỏi nh vậy . Liệu BF có là đờng cao của BNC đợc không? Để chứng minh BF là đờng cao của tam giác BNC ta phải chứng minh BF đi qua điểm nào đặc biệt trong tam giác? Dựa vào đó ta hiểu rằng phải chứng minh BF đi qua trực tâm của BNC. Do sự phân tích - tổng hợp ta đi đến việc dựng NE BC tại E. C M DA B E I K F N Gọi giao điểm của NE với BF là I. Ta suy ra rằng nếu chứng minh đợc CI // MN thì suy ra CI cũng sẽ vuông góc với BN (Vì MNBN) tức CI là một đờng cao của BNC. Vậy I là trực tâm của BNC (Vì I NE CK). Do đó suy ra điều phải chứng minh là: BF AC Tóm lại việc kể thêm NE BC tại E là nhằm tạo ra điểm I NE BF để chứng minh I là trực tâm của BNC. Từ sự phân tích trên ta có thể dựa vào đó đề ra một hệ thống câu hỏi gợi mở cho học sinh tực giác, tích cực tìm lấy lời giải. Chẳng hạn có thể sử dụng những câu hỏi nh: - Để chứng minh BF vuông góc với AC ta có thể chứng minh BF là đờng gì của BNC? - Để chứng minh BF đi qua trực tâm của BCN thì ta phải có điểm nào? - Ta phải kẻ thêm đờng phụ nào để có một điểm là giao của BF với một đờng cao của BNC? - Với NE là đờng cao của BNC và NE BF tại I, ta phải chứng minh I là điểm có tính chất gì? Ví dụ3: Cho ABC. M là 1 điểm bất kỳ trong . Nối M với các đỉnh A, B, C cắt các cạnh đối diện lần lợt tại A, B, C qua M kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AB; AC tại K và H. Chứng minh rằng: MK = MH Đây là một bài toán tơng đối khó với học sinh . Sau khi đã tìm nhiều cách chứng minh không có kết quả . Ta chú ý đến giả thiết của bài toán chỉ cho ta các yếu tố đồng quy và song song. Giả thiết của định lý nào gần với nó nhất? Câu trả lời mong đội ở đâylà định lý Talet - ở đây KH // BC. Đoạn thẳng BC đợc chia thành mấy đoạn nhỏ ? - Thiết lập quan hệ giữa MH, MK với các đoạn BA và CA,BC - Cần phải xác định thêm các điểm nào? - Điểm P và Q là giao của KH với AB và AC Ta có lời giải nh sau Giả sử HK cắt AB, AC tại P, Q. Theo định lý Talét K H M A B C A' B' C' P Q ' ' ' ' ; ; MH CA MQ BC MP BA MP CB MK BA MQ CA = = = ' ' ' ' . . . . MH MQ MP CA CB BA MP MK MQ CB BA CA = 1 MH MH MK MK = = 03. Dựa vào biến đổi đại số để xác định đờng phụ Ví dụ 4: Cho ABC có à à 2A B= Chứng minh rằng: BC 2 = AC 2 + AC.AB Hớng dẫn: - Các định lý hoặc tính chất nào giúp ta các công thức liên quan đến công thức cần chứng minh ? Câu trả lời đầu tiên sẽ là định lý Pitago vì công thức của nó rất gần với công thức này , ở đây GV cần hớng dẫn học sih loại bỏ ý định sử dụng định lý Pitago vì không tạo ra đợc các góc vuông có liên quan đến độ dài của cả ba cạnh ngay đợc - Ngoài định lý Pitago còn cách nào khác không? Câu trả lời mong đợi ở đây là định lý ta lét và tam giác đồng dạng - Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đa về dạng tỷ số để gắn vào tam giác đồng dạng ( ) 2 2 2 .BC AC AC AB BC AC AC AB= + = + Đến đây GV có thể yêu cầu học sinh đa về bài toán quen thuộc của việc chứng minh hệ thức ab= cd dự vào tam giác đồng dạng bằng cách tạo ra một đoạn thẳng bằng AB+AC -Từ đó học sinh đa ra hai cách vẽ đờng phụ là đặt liên tiếp cạnh AB một doạn bằng AC hoặc đặt cạnh AC một đoạn bằng AB ? Nên đặt dựa trên điểm nào ? Chọn đặt kề cạnh nào để vận dụng đợc giả thiết à à 2A B= ? Câu trả lời mong đợi là lấy trên tia đối của tia AC một đoạn bằng AB Từ đó ta có lời giải Giải: Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD = AB Khi đó ABC cân tại A nên: ã ã ã 2 2BAC ABD ADB= = Xét ABC và BDC có: ã ã ã 1 2 BDC ABC BAC= = à C chung nên ABC đồng dạng với BDV (g.g) ABACACABACACADACACCDACBC BC AC CD BC .)()(. 22 +=+=+===>= Nh vậy là việc dạy cho học sinh biết cách giải bài toán mà lời giải có kẻ thêm đờng phụ không chỉ đơn thuần là đa ra một số bài giải mẫu cho học sinh mà phải giúp học sinh nắm vững các yêu cầu khi vẽ đờng phụ, sau đó phân dạng bài toán rồi mới đa vào gợi mở để cho học sinh tìm đợc lời giải cho từng bài toán cụ thể. Trong quá trình đó dần dần hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ đờng phụ trong giải các bài toán hình học. 2.4 Một số bài tập đã hớng dẫn học sinh giải Bài 1: Tính cạnh của hình thoi ABCD biết bán kính đờng tròn ngại tiếp cac tam giác ABC và ABD lần lợt là 3 và 4 Bài 2 : Cho tam giác nhọn ABC cân tại A . Đờng cao BH Chứng minh rằng : 2 2 AB AC CH BC = ữ Bài 3: Cho tam giác ABCcân tại A có à 0 20A = .Chứng minh rằng : 2 2 3 AB BC BC AB + = B C D A Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A Chứng minh rằng : ã 1 2 2 ABC AC tg p AC + = với p là nửa chu vi của tam giác ABC Bài 5 :Cho góc nhọn xOy . Trên hai cạnh Ox và Oy lần lợt lấy hai điểm M và N sao cho OM +ON = 2a không đổi . a ) Chứng minh rằng : Khi M ,N chạy trên Ox , Oy thì trung điểm của MN luôn nằm trên một đoạn thẳng cố định b ) Xác định vị trí của M và N để tam giác OMN có diện tích lớn nhất Bài 6: Cho ABC nội tiếp đờng tròn (O). gọi D;E;F thứ tự là trọng điểm của BC;AC và AB. Kẻ các đờng thẳng DP' // OA; EE'//OB; EF//OC. Chứng minh các đ- ờng thẳng DD'; EE'; FE' đồng quy. Bài 7: Cho đờng tròn (O) và một điểm A bên trong đờng tròn đó kẻ cát tuyến BAC bất kỳ. Gọi (P) là đờng tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại B (Q) là đờng tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại C a) Tứ giác APOQ là hình gì ? b) Gọi giao điểm thứ hai của (P) và (Q) là E; (E A) Tìm tập hợp điểm E khi cát tuyến BAC quay quanh A. III. Kết quả của đề tài : Qua thời gian áp dụng các kiến thức và phơng pháp dạy vừa trình bày ở trên đối với 25 em học sinh lớp 8B trờng THCS Chuyên Ngoại đã thu đợc kết quả nh sau: 01. Số học sinh nắm đợc các loại đờng phụ thờng sử dụng trong giải toán THCS có: 20/25 = 80%. 02. Số học sinh nắm đợc các phép dựng hình cơ bản thờng đợc sử dụng trong giải toán THCS có: 18/25 = 72%. 03. Số học sinh vẽ (dựng) đợc các đờng phụ hợp lý và giải đợc một số bài toán hình trong chơng trình Toán lớp 8 có: 11/25 = 44%. 04. Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải đợc các bài toán tơng đối khó : 5/25 em chiếm 20% Trong quá trình dạy học sinh theo phơng pháp này , tôi đã thu đợc nhiều kết quả tốt . Bảng kết quả khảo sát sau cho thấy rõ điều đó: Tổng số Học sinh Giỏi Khá TB Yếu - Kém Đầu năm 26 2 = 7,6 % 6 = 23% 13 = 50% 5 = 19,4% Học kỳ I 25 3 = 12% 9 = 36% 10 = 40% 3 = 12% Giữa KHII 25 3 = 12% 12= 46% 8 = 34% 2 = 8% Kinh nghiệm rút ra Các bài toán hình học có lời giải cần phải kẻ thêm đờng phụ tuy là những bài toán khó nhng lại là những bài toán hay, nó giúp cho t duy lo gic của học sinh phát triển, giúp rèn luyện cùng một lúc nhiều thao tác t duy cho học sinh. Đây là một đề tài nghiên cứu có thể nghiên cứu ở phạm vi rộng, hẹp tuỳ ý và đề tài này mang tính ứng dụng rộng rãi trong các trờng THCS. Khi áp dụng đề tài này giáo viên cần phải lu ý là trớc hết phải giúp học sinh nắm vững đợc các yêu cầu về vẽ (dựng) các đờng phụ sau đó mới phân dạng bài toán và đa ra hớng dẫn một số bài toán cụ thể theo từng dạng đã chia. Việc củng cố kỹ cho học sinh về phép dựng hình cơ bản là rất cần thiết trong nội dung thực hiện. Do điều kiện cha cho phép, đề tài cha nghiên cứu đợc ở phạm vi rộng và cũng cha thể trình bày đợc hết các phơng pháp dạy đối với các dạng bài toán đã nêu do gới hạn của đề tài . Rất mong các đồng nghiệp có thể nghiên cứu tiếp đề tài này với nội dung phong phú hơn. Mong đợc sự góp ý chân thành của bạn đọc./. Chuyên Ngoại, ngày 20 tháng 03 năm 2011 Ngêi viÕt : NguyÔn ThÞ Thu HuyÒn . Hớng dẫn học sinh vẽ đờng phụ trong giải toán hình học ******** Họ và tên giáo viên: Nguyễn Thị Thu Huyền Tổ chuyên môn: Khoa học tự nhiên Năm học : 2010 - 2011 ********* I. Những vấn. thực hiện nhiều các thao tác t duy. Vì vậy đòi hỏi ở học sinh phải rèn luyện về mặt t duy hình học thu t phát triển. Do đó trong các định lý ở sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử dụng việc. phân tích tìm ra cách vẽ đờng phụ: 01. Dựa vào các bài toán đã biết: Dựa vào các bài toán quen thu c, các định lý và tính chất đã học , học sinh nghiên cứu giả thiết và kết luận của bài toán,