Tuyển tap 90 dé thi thir đợi học, cao đẳng mơn Tốn Lovebook.vn Phần I: MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ, BÀI VIẾT ĐẶC SẮC
1- Phương pháp thế trong giải hệ phương trình
Lương Văn Thiện (GSTT GROUP - Kỹ Sư Tài Năng - ĐH Bách Khoa HN)
“Thế” là một phương pháp quan trọng của giải HPT: Nếu “thế” đúng thì bài toán sẽ được giải quyết ngay túc khếc”
TOM TAT KIẾN THỨC CƠ BẢN
- Cac ban can nam chắc kiến thức cơ bản đầu chương, phép biến đổi mũ, loga, kỹ năng biến đổi tương đương
-_ Ngoài ra, để giải quyết chọn vẹn bài toán thì các kỹ thuật đẳng cấp, nhẩm nghiệm phân tích thành nhân tử, ẩn phụ, cần phải nắm vững A- Tự cảm nhận Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: fe vreteTy 0) x?y°+xy+1=13y?(2) Lời giải: @Œ)>x(y+=7y~1
Nếu y=-1 thì x0=7З1(vô 1D Nếu y#-lthì xe] yw af 7Ty~1 ———+yl ———j+I=13 7y-Í 2 y Kế 7 ysl 7 ©#)(-! +y(y~1)(y+1)+(y+Ÿ ~ly'(y+1 =0 â36y?~33y)~5y?+y+1=0 ô(-0y-0(2y?+5y+1)=0 y= â = 1 (Do12y?+5y+1>0,Wy eR) thé vao (2) ta có: +Vély=iox= Zio! 1+ +Với y=È=xe= 3 =1 3 ~+l 1 3 Kết luận: Hệ đã cho có nghiệm: (x;y) =@1){52] 4x°y?T=6xy~3y” +9=0(1) 6x’y—y’ -9x=0 (2) Lời giải: Œ) => 4x°y* —6x*y ~3xy? +9x =0(3)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: |
(2)=9x=6x°y ~ y” thế vào (3) ta có:
4x3y? ~ 6x” y —3xy’ + 6x’y—y? =0 y=9 >y?(4x° ~3x—~1]=0
Trang 10Tuyển tập 90 dé thi thir dai học, cao đẳng mơn Tốn X.ovebook.vn
+ Nếu y = 0 thay vào (2) ta có 9x = 0 nên x = 0 Thay x = 0; y = 0 vào (1) ta có 9 = 0 (vô If) x=l + Nếu 4x) ~3x—~1=0 x==x 1 2 + Với x= 1 thay vào (2) ta có: 6y—~y”~9 =0=> y=3 3 9 y=3
+Vớix= —; thay vào (2) ta cé: sy-y'tz=0© yes 3
Thử lại các nghiệm (x;y) -09)(-32} (s:?) vào hệ thấy thảo mãn Đây cũng chính là các
nghiệm của hệ phương trình đã cho
Ví dụ 3: Giải bệ phương trình: P + fSy? = By £6 + Sx = 3x4 V7 +7420)
NL Bee hy? — By + Bat 1 = 0.2)
Lời giải: (2) = 3x = 4x? + 3y — 3y” — 1 thế vào (1) ta có: y+ (3VF—2y +61 3Mể = 4x2 + 3y — 3y? 1+ 7X” + 7+2 = (3y? — 2y + 6 + 3x7) + By? ~ 2y + 6 + 382 = V72 +7 + 7x? + 7 (3) 1 Xét hàm số: f(Q = t+ VÉ t> 0 > f =1+ => 0,với mọi t> 0 Vv Suy ra f(t) déng bién trén [0; +00) Ta có: (3) œ f(3y? — 2y +6 + 342) = F(7x + 7) ôâ 3y? 2y +6 + 34” = 7X” + 7 & By? — 2y — 1— 4x? = 0 (4) Trừ vế (4) và (2) ta có: y — 3w — 2 = Ú © y = 3X + 2 Thế vào (4) ta có: 3(3x + 2)? — 23x + 2) — L— 4X? =0 xe=—1=y= ~l & 23x? + 30x + 7 = Ư © X=— z>Y*“” 7 25 (thỏa mãn) 23 23
Kết luận: Hệ đã cho có nghiệm G6 y) = (—1 ~1); Cai B- Chia khéa tr duy giải toán
+ Phép “thé” cé ý đồ chính: `
-Ý đồ 1: Rút x theo y hoặc y theo x từ một phương trình rồi thế vào phương trình còn lại đưa
về phương trình một biến tuy hơi cồng kềnh nhưng nếu mạnh đạn biến đổi thì “kiểu gì cũng ra”~ ví dụ 1 là minh chứng cho ta điều này Lưu ý, có thể đùng ẩn phụ để giải ví dụ 1 gọn hơn “thế” nhưng nó thích hợp với bạn có tư duy tốt Vậy nên, nếu ẩn phụ không nghĩ ra thì “thế” là một phương án an tồn
và ln luôn ra
-Ý đồ 2: Quan sát những biểu thức cùng xuất hiện ở 2 phương trình, sau đó thế chúng cho nhau Ở ví dụ 2, ta thấy ở phương trình (1) có “9” còn phương trình (2) có “9x”, để thế 2 “thằng" này cho nhau thì một cách tự nhiên, ta nhân 2 về của phương trình (1) cho x rồi thé 9x = 6x?y — yˆ vào phương trình (3) thì lời giải được hé mở hoàn toàn Ở ví dụ 3 cũng cùng ý đồ khi thấy thang “3x" xuất biện đồng thời ở hai phương trình Ở ví dụ 3 còn thêm ý đồ nhóm ẩn phụ chính là biểu thức trong căn:u = 3y? — 2y + 6 + 3° Ta chỉ cần nhóm ra u thì lập tức sinh ra v = 7%? + 7) rất đẹp
C- Kết luận:
'Tóm lại ta sẽ dùng phương pháp thể khi: rút được 1 biến thep biến còn lại hoặc có 1 biểu thức cùng
Trang 11- Tuyển tập 90 dé thi thie đại học, cao đẳng mơn Tốn Lovebook.vn
D- Bai tap van dung: VeFT-1).2 = 22 loggx+y =1(2) x + logs y = 3 (1) (2y? — y + 12).3* = 81y (2) x? +xy-+x+ 3 = 0 (1) (+ 1)? + 3Œ + 1) + 2Qy — Xây + 2y = 0 (2) xÄyGœ + 2) = 1Œ) x? +xy + 2x + 2 = 0 (2) ¬ ƒXy=x+7y+1() Bài 5: Giải hệ phương trình: le =10y? — 12) Giải bài tập vận dụng:
Bài 1: Điều kiện : x > 0,x < 4,y € R
Bài 1: Giải hệ phương trình: Bài 2: Giải hệ phương trình: {
Bài 3: Giải hệ phương trình: {
Trang 12Tuyển tập 90 đề thí thủ: đại học, cao đẳng mơn Tốn Lovebook.vn 2- Sử dụng tinh chất đồng biến, nghịch biến để giải phương trình, hệ phương trình Doãn Trung San (GSTT GROUP ~ ĐH Y Hà Nội) Khi giải phương trù, hệ phương trình chúng ta gap một số bài toán khá cồng kềnh Các phương pháp bay dùng gặp trở ngạt, khi đó ta có quyền nghĩ đến phương pháp sử dụng tính chất
đồng biến, nghịch biến của hàm số (hay phương pháp hàm sô)
Gó hai loại chúng ta bay gặp:
1) Dang quy được về f(uŒ)) = f(G©) với £là hàm đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến) Á - Cảm nhận: Ví dụ 1: Giải phương trình: 4x” + x— (x + 12x13 1 = 0 (Đề thi CÐ 2012) Lời giải: Điều kiện xác định: x > = ->Khi đó; phương trình đã cho tong dwong vObs ee err re ermine rn ns nes an 4x3 +x = (+ DV2x41
o> 8x3 + 2x = (2n-+ QIK FI © (2x)? + 2x = (VORFT) +V2x+T
Ta thay, phương trình đã cho tương đương với: x(4x? + 1) = (V2x+1 Ỷ +V2x+ 1 = x> 0 Xét hàm số fŒ) = tỶ + t trên [0; +00)
Có f'Œ) = 3tÊ + 1 > 0 đồng biến trên [0; +00)
Suy ra hàm số đồng biến trên [0; +œ)
Mà phương trình (1) tương đương với f(2x) = f(V2x + 1)
Nên phương trình:
(1© 2x= VÕX KT @ 4x? ~ 2x — 1 =00| x= 1+ VỀ (hỏa mãn x 2 0) x= 1~—~ Võ (không thỏa mãn x > 0)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 + v5
x2 4x43
nh: sẽ 2x? + 4x +5
`
` 2x2 +4x+5 2x1)? +3
Nên phương trình đã cho xác định trên R Phương trình đã cho tương đương với: logaŒ2 + x + 3) — loga(2x2 + 4x + 5) = 7(x? + 3x + 2) <> logs (x2 + x + 3) — loga (2x? + 4x + 5) = 7[(X” + 4x + 5) — (œ&?+x+3)] @©œlogsG +x +3) + 7GZ + x + 3) = logs(2#? + 4x + 5) + 7x? + 4x + 5) Cóx? +x+ 3 > 0 và 2x2 + 4x + 5 > 0, , Xét ham sé: (() = logs t + 7t trén (0; +00) Ví dụ 2: Giải phương trì = 7x? + 21x + 14 (} > 0 với mọi x € R 1
Ta có: f'Œ) = tina t 7 > 0 với mọi t € (0; +oo) Nên phương trình (1) tương đương với:
x2 +43 = 2x2 + Đc+ 5 CIẾ + 3 +2 = 0€ [TC TÃ Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = ~1; X = —2
B- Tư duy giải toán
Như vậy, thực chất để giải bài toán này, bước đầu tiên ta cần làm là đưa bài toán về dạng f(uQ@)) =
f(g@))
Trang 13Tuyển tap 90 dé thi thir đại học, cao đẳng mơn Tốn Lovehookvr
Có một số đấu hiệu sau: + Phương trình công kềnh + Phương trình có sự cách biệt về bậc của ẩn, Ví dụ: Ở phương trình (1) ẩn x có cả bậc 3 (x3) và bậc ; trong (V2x + 1) + Cùng xuất hiện 2 loại hàm trong phương trình, Ví dụ: - Hàm số mũ + lượng giác - Ham da thirc+ ham logarit (vi du 2) ~ Hàm đa thức + hàm mũ
Khi đó, bạn có quyền nghĩ đến phương pháp hàm số này
Ngoài ra, nên nhìn nhận vai trò tương đồng, ngang nhau của một số biểu thức trong phương trình
: 3
VD: Ở phương trình (1) ta thấy cụm (x + 1)v2x+ 1 sẽ có bậc 7
Trong khi phần còn lại 4x? + x có bậc là 3
Như vậy, nếu xem V2x - 1 là một ẩn thì cạm (x + 1)V2X + 1 có thể biến đối thành một hàm bậc 3 Đó là sự tương đồng về bậc cho phép ta đi theo hướng: xem x va V2x + 1 cé vai trò ngang nhau
Giống kiểu đặt ẩn phụ (có thể gọi là ẩn phụ ảo)
x 4x43 Hay ở ví dụ 2: log, Bevan
Vai trò của x? + x + 3 và 2x? + 4x + 5 là ngang nhau
II Dạng f(uG)) = 0 nhẩm được tất cả nghiệm (thường là phương trình có một nghiệm, hoặc 2 nghiệm) Với các dạng bài này ta chú ý bổ đề sau: Nếu phương trình P Œ) = 0 có nhiều nhất n nghiệm, thi f) = 0 có nhiều nhất (n+1) nghiệm
Ví dụ 1: Giải phwong trinh: log, (x + 3!86 *) = loggx Điều kiện xác định: x > 0 Đặt loga x = t © x= @t Khi đó, phương trình đã cho trở thành: = logs (x? +x + 3) — logs(2x? + 4x + 5) 2 2v logs(6È + 39 = te 6t + ät = 2F es 2t 1= =z-Ê) +1=0() 2 t Xét hàm số f(t) = 2t — (=) +1 trên R at /2 2 Cóf'(Ð = 2t In2 — G) h (Q > 0,Vt € R @lln Q <0)
Trang 141: xuấn tập 90 đề thi thử đợi học, cao đẳng mơn Tốn - Lovebook.vn
4 3\* 3 2
Xét hàm số gG@) = 2%.In Q + Q In Q ~I (=) trên R 2
x
Có: g'&) = 2.n2.Ìn () + 6) In 6)-» @ <0,vx ER (vin () < 0vàIn 8) <0
=> Ham s6 g(x) nghich bién trên R = gQQ=0 có nhiều nhất một nghiệm hay f "(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm = phương trinh f(x) = 0 có nhiều nhất bai nghiệm
Mà ta thấy f(0) = 0 và f(1) = 0 nên ta suy ra phương trình fÓ) = 0 có hai nghiệm là x=0; x1, Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0; x = 1
Như vậy với các bài toán chứa hàm mũ cồng kênh, với việc sử dụng tính chất đồng biến nghịch biến chúng trở nên khá là ngắn gọn
Những bài này thường khá là dé nhấm nghiệm, tuy nhiên bài toán cồng kềnh dễ gây sốc, vì vậy có thể nghĩ đến phương pháp hàm số (cụ thể là tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số) Khi đó, ta xét hàm số thích hợp, tuy nhiên dựa vào số nghiệm mà ta có thể chứng minh ngay f'GÒ < 0(- 0).Để suy ra phương trình có nghiệm duy nhất hoặc tiếp tục xét hàm số gGÒ = ' @), chứng mình Q0 có nhiều nhất 1 nghiệm qua đó chứng mình f()=0 có 2 nghiệm
Bài tập vận dựng:
Ví dụ 1: Giải phương trình: x2 — 4x? — 5x + 6 = 7x” + 9x — 4
Ví dụ 2: Giải phương trình: 4(x — 2)[log; xŒx — 3) + loga@ ~ 2) = 15Œ + 1) Ví dụ 3: Giải phương trình: 2*ˆ+8c09%2+ 2371405) X => 2cos3X,
x?+x+1
Ví dụ 4: Giải phương trình log; 3vP—2xa3 13 =x?— x“ˆ—=3x +2 Ví dụ 5:log; sinx = 2 logs tan x Giải bài tận vận dụng: 1.x5 — 4x2 — 5x + 6 = 7x2 + 9x ~ 4 © + 1)? + + Ð = (Vix? men + Y 7x2 + 9x —4 Xét hàm số ft) = tỶ + ttrên R f'(t) = 3t7+1>0VxER => f(D) đồng biến trên R Lại có fÚx + 1) = 7X? +94) xt = VAR KE 1+W5 1—v5 PA © (x4)? = 7x? +9x-4 x= 5VK=
3 De +3 cosx — 2x? +4 cos? x = 2cos 3x
{3 22213 c05X + 2(X2 + 3 cosx) = DY? +45"* 4 2(x? + 4cos? x)
Xét f(t) = 2° + 2tvới t €R
Tacéf’@ = 2tin2 +2 > 0 vt€ R = fŒ) đồng biến trên R
Trang 15Tuyến tập 90 đỀ thì thử đại bọc, cao đẳng mơn Tốn Lovebook.vn
Ma f(x? +x 44) = (2x? - 2x43) > x? 4x41 = 2x? ~ 2x43 x? —3x4+250 ®x=1Vx=2
5,Ìog; sin x = 2Ìog; tan x
Điều kiện: sinx > 0,cosx > 0
Dat logs sinx = 2log; tanx = t
Trang 16Tuyén tận 90 đề thí thủ đại học, cao đẳng mơn Tốn kovebook.vn
3- Giải một số phương trình vô tỉ có ó dang đặc biệt
Nguyễn Phước (GV THCS Lê Hồng Phong ~ Thừa Thiên - Huế) (Bài đăng trên tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ số 360) 1 Phương trình dạng ơ.PŒ) + 8 QGo + y./PG).QG = 0 (aBy ¥ 0) a Cách giải: + Nếu P@) = 0 thì Q@) =) Dấn đến hệ tố = ọ + Néu P(x) 0, ta chia cả hai về của phương trình cho PC) được: p2@ 1 2 jew Baap TY bboy =o Bae = POD) (20) Phương trình trở thành pt? + yt +o = 0 Từ đó tìm t rồi từ t tìm x, b,Vfdụ'1: Giải phương trình: 22 — 3x+ 2) =8Vx2-t 8-1) Lời giải: Biến đổi phương trình (1) về dạng 2GŒ2 — 2x +4) — 2Œ + 2) = 3 + 2)G2 — 2x + 4) Điều kiện: x 2 —2 (vì x? — 2x +4 = &— 1)? +3 > 0)
Do x = ~2 không ae là nghiệm của phương trình 2 nén chia hai vé cho x + 2 ta được 2Œ? —2x+ 4) 2x+4) —- —2x+4 2=0.Đặtt= —2x+4 t>0)t _ n _ " sim +2” ( a có: 2t? —3t—2= 0.© t= ~5 (loa) hoe t = 2) : x° — 2x +4 Voit = 2 thì n nnnn nan uy Vậy phương trình có nghiệm là: x = 3 + V13 2 Phương trình đạng
a(P)x) + Q(x)) + BC/PG) + (OQ) + 20,/P) OG) +7 = 0 (a? + B? # 0) a, CAch gidi: Dit t = PG) + (O60 thi? =P) + Qe) + 2YPG).2G)
Phương trình trở thành: œt? + Bt + y = 0
Do œ và § khơng đồng thời bằng 0 nén at? + t + y = 0 trở thành phương trình bac nhất hoặc bậc 2
của t, Giải phương trình tìm trồi thay t = P(x) £ fae) để tìm nghiệm của phương trình b, Ví dụ 2: Giải phương trình: V2 T 3 + VX + 1 = 3x + 242x273 5x +3 —16 (2) Lời giải: Biến đổi (2) về đạng: V2XT+3+Vx+1=2x+3+x+1+2/x + 3)Œ + 1) — 20 pitt = V2x +5 + VXT+ 1 (Œ> 0) thì t? = 3x + 4+ 2V2x + 5, Vx + 1 Dẫn đến t? — t— 20 = 0 & t = —4(loai)hode t = 5 Thay t= 5 vào t= V2 + 3 + Vx + Ï ta được x>~i vx+ä+vx+l =5®E /r 3ŠVx+ 1 = 21 — 3x -3<x<7 —1<x<7 © 442 4146x4429 0° Em © x= 73 —V4755 x = 73 ~ V4755 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 73 — 4755
3.Phương trình đạng ax? + bx + c = px? + gx +r trong đó:
se
s
Trang 17Tuyén tập 90 đề thí thứ đại học, cao đẳng mơn Tốn Lovebook.vn a, Cách giải, Đặt t = /px? + qx +r (t = 0) Phương trình trên trở thành: at? + Bt + y =0 Từ đó tìm t rồi tìm x b, Ví dụ 3: Giải phương trình: 4x2 +10 +9 =5V2x? +5 +3 (3) lời giải: Đặtt = V2x2 + 5x +3 (t> 0) thì L? = 2x2 + 5x +3 © 22 + 3 = 4x2 1 10x 4-9, 3 Phương trình (3) trờ thành: 2x2 + 5x + 3 = 0 @ t= 1 hoặc t= 3 1 FVOLE= L thi V2x? + bx+3 = 1 €9 2x? + 5x 4+2=0 x= —Zhodex= ~5 3 3 —5 + V18 TYớI=2 th yx? + 5x + 3 =2 Bx? + 40x + 3 = 0 x= 1 —=5+ v19 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = —2; x = —z¡x= Save 4 Phương trình dang F(x) + a -+./F(x) = b a, Cách giải: Nhân hai vế của phương trình với biếu thức liên hợp JF) +a ¥ x/FQ khác 0 vVFŒ) +a + /FŒ) =b Lúc đó ta có hệ phương trình: _ a VF@) +a¥ JF) = E Giải hệ trên ta tìm được x, b, Ví dụ 4: Giải phương trình: V4x2 + 5x + 1 +V4x2+5X+ 7 = 3 4 2 5 87 Lời giải: Ta có 4x? + 5x + 7 = (2x +) +7¢> 0 với mọi x, 2 4x? 4.5 +1=(2 +3) x = x 4 16“ = 2042 tà|>;e© >—` hoặc k 4lÊ1 x2 3 lOạC x < —1 Ss Nhân 2 vế với V42 + 5x + 1 — V4” + 5X +7 (6,0) Khi đó, phương trình (4) trở thành: V4x2 + Sx 1 — Vax? $x FT = 2 (5)
Cộng theo vế của (4) và (5) và biến đổi dẫn đến 16x? + 20x + 3 = 0 @ x = ~10+ 2V15 (thỏa mãn)
Vậy phương trình (4) có nghiệm là x = —10 + 2VT8
Phương trình vô tỉ rất phong phú và đa dang vì vậy đồi hỏi học sinh phải hết sức thận trọng khi trình
Trang 18Tuyển tập 90 đề thi thi dai bọc, cao đẳng môn Tốn ¬ : / Tavebook.vn Điều kiện x > ~1/2 Đặt V4x T3 + v2x + Ï = a (a > 0) wy t= Ant 34 2x4 14-2) Ged DOK 1) = 6x44 48x? + 10K +3 Phương trình đã cho trở thành a= a2 — 20 & a2 — a— 20 = 0œ(a+4)(a—5) =0 @a=5 Vớia =5 © V4X+.3+V2x+ 1= 5 œ@ Vâx + 3— 3+2x+1— 2s 0 4x—6 —E— 2x—3 =0 œ (2x—3 “VN iid3 VKiit2 (2x — (Gara 73 Vari wera) 3 @x= 5 (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho cổ tập nghiệm S = {1,5} 3.182 — 18x + 5 = 39K” — 9x + 2; Datt = VOx? — 9x F 2 = tổ = 9x2 — 9K + 2 Phwong trinh tré thành Hee nn sea aes AUR FH 1) E0 3+5 3—5 THI:t= 1 @ 9x2 — 9x +2 = 1 © 9x2 — 9x + 1 = Ö € x= ề vx=—= cụ 3 ~1+3 3-4 mata tN os on? ox +2 = vã 2 2 1 1 <x=cl3~— 33~4]vx=cl3+ 3V3—4 3 —1—Š ~1—v3 THAt= TT YỔ 22 0y — 9y +2 = 2 2 v3 13+3v3
oo 932 9x + BENS 2 0 vô nghiệm do A<0
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: 3+5 3—Vỗ5 1 1 ={ P "“_ - 3V3— 4 2+ favs-a)} 4.V3x? + 5x + 1 — V3x2 + 5x — 7 = 2; Đặta = V3x? + 5x + 1,b = V32 + 5X — 7 (a,b = 0) Phương trình đã cho trở thành 2 ~- b2 a-b=^ ©œ(a—b)&+b—4)=0
Nếu a = b © 3x? + 5x + 1 = 3X? + 5x T— 7 « 0x + 8 = 0 vô nghiệm
Trang 20Tuyển tập 90 đề thị thứ đại học, cao đẳng mơn Tốn - Lovehook.vn 4- Phương pháp nhân liên hợp trong giải phương trình, bất phương trình vô
tỷ Mai Văn Chỉnh
(GSTT GROUP - ĐH Y Hà Nội- Cựu học sinh THPT Ba Đình - Thanh Hóa)
“Nhân liên hợp - một phương pháp sử dụng những kiến thức rất cơ bắn những lại có những ứng dụng vô cùng quan trọng trong gidi pt, bpt, Apt vé ty va ngay cả với nhiều dạng toán khác trong đề thí HSG, đại học như giới hạn, tích phan "
1-TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Với bất kỳ phương pháp nào, kiến thức cơ bản luôn giữ vai trò là khởi nguồn của mọi phép biến đối Với phương pháp nhân liên hợp, ta cần chú ý đến những biểu thức rất quen thuộc sau: =b - Liên hợp bậc II: Jat vb =p xaxzxb a-b - Liên hợp bậc 1H: la +Ÿb =-=——==—.= lửa? + X/ab +Äf? Vazb Va,b>0;aZb =b
~ Liên hợp bậc IV: Aa +&4B=—-=— (la + bla + Vo) =—e-va,b>0;a#b
Trong đó, phép liên hợp bậc II là được sử dụng phổ biến nhất Ii- TW DUY GIẢI
A- Tự cảm nhận
Để các bạn biểu hơn về phương pháp này, tôi sẽ đưa ra một số ví dụ điển hình Bạn hãy đọc, suy ngẫm
và cảm nhận về phương pháp này Sau đó, hãy hệ thống lại và xem bạn đã tìm ra những gì cho riêng mình Ví dụ 1: Giải phương trình: Ahx+1 —Al6—=x+3x?—14x—8=0 () (B—2005) Lời giải: TXĐ: ¬ Với xe Ð ()©(BX3+Ï~4)+(—Š=X)+3xZ ~14x~5=0 3(x—5) + x5 Cah ep V3x4144 1+V6-x +(X-5)GxtD=0 3 1 ô(x5)| ====+_3x+l|=0 đx=5 ( lac é6-x+1 | +âx+I>0weD) 3 1 [ V3x+1+4 "eral
Trang 21Tuyển tập 90 đề thi thử đụi học, cao đẳng mơn Tốn 2yebaoE vn 4.(x? =x—2) X? =x =2 —————=—=—+—————————+xÌ-x—2=0 3x+12+9/x+2 -3x+42+92/22—3x „e6 34+12+0jx+2 -34+42+9/22~3x Tri =|" =¬ Ca 0Vxe ?] x=2 3x+12+9jx+2 -3x+42+9/22-3x :
Gia trix =-1;x = 2 thỏa mãn xeD
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = ~ 1; x= 2
Ví dụ 3: Gidi phwong trinh: x? +x—1=(x+2)Vx? -2x+2 (3) Lời giải TXĐ: D = R Nhận thấy x=— 2 không phải nghiệm của phương trình (3) 2 Với xe~2 @)X.*X—Ì _ 2~2x+2 x+2 2 — eX tee! 5 x?~2x+2—3 x+2 X°~2x~7 _ x?~2x~7 x+2 x? -2x42 43 eet-ax-n( 1 —————|=0 1 x†+2 fx? 2x42 =] Poe opie « (@—D=-/@-Đ +1(vơ n°) x+2=Jx?~2x+2 +3 © xel~ 8 x=l+ V8 Vật phương trình đã cho có nghiệm x=1~— XR;x =Íl+ V8 B CHIA KHOA
~ Trước tiên, anh xin đưa ra một số khái niệm và kĩ năng quan trọng:
+ Lượng liên hợp: là một số hay một biểu thức cần thêm bớt vào mỗi căn thức để sau khi nhân liên hợp xuất hiện nhân tử chung
+ Kĩ năng nhẩm nghiệm: là tìm nghiệm của phương trình cả nghiệm “đẹp” và nghiệm “xấu” hay
nghiệm “vô tỷ” dưới dạng gần đúng, Có một phương pháp khá thông dụng là sử dụng chức năng tìm
nghiệm gần đúng của một số máy tính cầm tay như Casio &-570MS, Casio fx-570ES bằng cách sử
dung SOLVE hoac CALC + Dinh li: Có thể tóm tắt các bước giải một phương trình vô tỷ bằng phương pháp nhân liên hợp qua các bước Sau: Xét phwong trinh f(x) = 0 (1) Buée 1: Tim TXD
Bước 2: Tim nghiém của phương trình, giả sử có nhiệm x = 0
Bước 3: biển đối (Q © gúQ+h0J+ = 0
Trong a6 g(x); h(x) la cdc biéu thitc chita can théa mãn g(œ )=h(œ )=0
Bước 4; Nhân liên hợp và xử lí phương trình mới
~ Để các bạn hiểu rõ thêm về tư đuy giải toán, chúng ta lần lượt đi từng loại phương trình , bất phương
trình vô tỷ
Trang 22Tuyển tập 90 đề thủ thứ đại học, cao đẳng môn Toắn ` we Lovebook.ve Loai 1: f(x) = 0 có 1 nghiệm “đẹp” Với PT dạng này, lượng liên hợp thường là 1 hằng số
VDI: v/3x+1—x/6—=x +3x° —14x—8=0() (B—2005) - Nhẩm được x = 5 là một nghiệm của phương trình
- Giả sử lượng liên hợp cần bớt ở 23x +1 là A hay g0 =x3x+1 — Á Ta cần tìm A sao cho g(5) = 0 ©N55+1-A=0©A=4
Vậy lượng liên hợp cần bớt của 3x41 a4
Twong ty voi J6—x tatim duge lwong lién hop Ia 1 Do dé ta cé li giai nhw phan A
Như vậy với những phương trình có 1 nghiệm “đẹp” x= œ thì “lượng liên hợp” cần bớt ở Jr(x) 1a Vi) Cu thé: 6 vi du trén, voi r() = 3x+1 va nghiém x = 5 thi ta can bét & , xe) =3x-+1 mét hrong lién hợp là vr) =4 dé duoc g(x) = V3x+1-4-va g(5)=0 Lam tưỡng tự vớiTG2 = 6 ~x thì tả tiũ được lượng liên hẹp là «1:Qua đó ta định hướng được lời giải Loại 2: Phương trình có 2 nghiệm “đẹp” Với những phương trình có 2 nghiệm đẹp, lượng liên hợp có đạng tổng quát là Ax+B v2: 4Jx+2 +J22—3x —x” -8=0 (2)
Từ ví dụ này, tôi chỉ trình bày tư duy để tìm ra lượng liên hợp - Nhẩm được x= -1 và x=2 là 2 nghiệm của (2)
- Giả sử lượng liên hợp cần bớtở 2⁄+2 làAx+B, Khi đó: g(%)= jx+2 -(Ax+B)
Như đã nói ở trên ta cần tìm A và B sao cho g(-1)=g(2)=0 Đo đề thay vào ta có hệ: g(-D=VTf2-(A+B=0_ [AA c g(2)=V242-(Q2A+B)=0 |p wp tole Do đó lượng liên hợp là c Hoàn toàn tương tự ta tìm được lượng liên hợp của xJ22x—3 là + + 8 Qua dé bai todn dug giai quyết Tóm lại: Với những PT thuộc loại này ta làm như sau: Xét PT: fG)=0
- Nhẩm được x= œ và x= B là nghiệm của phương trình đã cho
- Với 2h ta tìm được A, B sao cho:
gó)= res) -(Ax+B) théa man g(a )=g(B)=0
Trang 23Tuyển tap 90 đề thị thứ đụi học, cao đẳng mơn Tốn Lovebook.vn
Sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm gần đúng ta tìm được 2 nghiệm của PT (3) là: x, =3,828427125
X; z—I 828427125
Đến đây có lẽ nhiều bạn sẽ không định hướng được cách tìm lượng liên hợp Nhưng nếu tỉnh ý, ta nhận thấy:
Xi; =~7 :
{ me X +X, =2 hay x1, x; 1a 2 nghiém cha x? ~2x~7=0
Đến đây ta cần tìm lượng liên hợp sao cho sau khi nhân liên hợp sẽ xuất hiện nhân tử chung x’ ~2x~7va dé dàng nhận thấy lượng liên hợp của vjX°-—2x+2 là 3 Từ đó ta có lời giải như pử phần A tôi đã trình bày Tóm lại: với những PT có 2 nghiệm võ tỷ, ta tìm gần đúng 2 nghiệm này, giả sử là x;,x;, Ta tính được: S=x, +X, P=X.x, =>X\,x; là 2 nghiệm của X?—SX+P=0 Từ đó ta tìm lượng liên hợp phù hợp để sau khi nhân liên hợ sẽ xuất hiện X” —SX+Plà nhân tử chung C.MỘT SỐ SAI LẦM MẮC PHÁI
Trong quá trình làm toán bằng phương pháp liên hợp ta có thể phạm một số sai lầm nhỏ, nhưng lại làm lời giải trở nên cồng kềnh, đôi khi là lời giải sai Sau đây là một số sai lầm ta có thể mắc:
TXP của phương trình:
- TXĐ của PT có thể là chìa khóa quan trọng của bước 4: xử lí phương trình sau khi nhân liên hợp Nếu một số bạn quên đi TXĐ, sẽ khó trong việc đánh giá phương trình mới, đôi khi làm ta đi vào “ngõ
cụt
2) Tìm thiếu nghiệm
- Nếu tìm thiếu nghiệm, lời giải sẽ rất cồng kềnh vì phải qua nhiều bước nhân liên hợp hơn và chắc chắn sẽ phức tạp hơn rất nhiều
- Để tránh sai lầm này, khi sử dụng chức năng tìm nghiệm gần đúng SOLVE của máy tính cầm tay, giá trị ban đầu bạn nên nhập 2 giá trị như -10 và 10 Tại sao lại thế?
Vì ở PT mức thi ĐH, nghiệm “thường” không quá lớn hoặc quá bé Do đó chỉ cần xét ở những khoảng
này là có thể giảm đi xác suất thiếu nghiệm
3) Nhân với biểu thức liên hợp có thể bằng không với x thuộc TXĐ
Bạn phải chú ý điều này vì khi nhân liên hợp, biểu thức liên hợp phải khác 0 với mọi x thuộc TXĐ,
D KẾT LUẬN:
- Chỉ quan tâm đến biểu thức căn để tìm lượng liên hợp
Trang 24Tuyên tập 90 đề thi thie dui hoc, cao đẳng mơn Tốn Lovebook.vn
“ _ x<1 x<1 oa -
Nếu x + V2x = =1® 1S G_y @ leemaaao PF? V2 (thôa mãn )
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1; 2 — v5}
2.x? ~ 2x43 = (x+ 1)Vx? — 2x + 2 Từ phương trình suy ra x > —1
Khi đó, phương trình tương đương với
(x? — 2x-+ 3)? — (x + 2Œ? — 2x +2) = 0
9 — —D Gx? - KEN HOE K-D Ge + 7(5-1)) =0 x= 1(thdamin)
Vậy phương trình có nghiệm x = 1
Trang 25Tuyển tp 90 dé thi thir agi hoc, cao đẳng xiơn Tốn Lovebook.vae 5- Tw duy dat ẩn phụ trong giải hệ phương trình
DOAN TRUNG SAN (GSTT GROUP - SV ĐH Y Hà Nội) Trong những năm qua hpt là một phần khó quen thuậc trong các đề thị đại học, cao đẳng và cũng là phần đâm lại khó khăn cho khá nhiều các em Vì vậy việc nắm các phương pháp và vận dụng chúng một cách linh hoạt là điều vô cùng cần thiết
Các em hãy tự cảm nhận các ví dụ sau
Cũng như các phương pháp khác thì phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng có những đặc trưng
riêng, sau đây chúng ta xem xét một vài ví dụ để hiểu về nó ’ on aap (+ x8y — xy? +xV—y =1
@ Thi du 1 Giai phuong trinh f x4 +y2 —=xy(2x—1) =1 Lời giải Hệ pt đã cho tương đương với: (6-0 +02 =y) +xy =1 @ (xˆ—y)? +xy =1 xí? —=V=a Đặt xy=b A a+tabh+b= 1 a+a(1—a2)+.1=a2 = 1 Hệ 0 © a2+b=1 SĨ b=1—a2 S[P tế 2a 0, [242 +a~ 2) =0 a=l-a? b=i~a? a=0 a=0 [z+a-a=oe4 |a=1 b=1~a2 b=lT—a2 a= ~A ae x2 — y =0 Với a= 0 ta có b = 1 ©s | yal @exay=1 {oe Aen an x?—y=1 =i Voia= Ltachb =0 «> { wy =0 Se peat y=0 2—=y=~— =x?+2 Với a= —2t ób=-8 © ớia a có y=-3 y ° (242) =-3 fe * ={ y=x?+2 Py + D@?-x+3)=0 y=3
Vậy hệ pt đã cho cé 5 nghiém (x; y) 14 (1; 1); (0; -1); (4; 0); (1; 0); C4; 3)
9 Tiếp theo ta xem xét tiếp VD2 dé so sánh giữa 2 ví dụ qua đó tìm ra đặc trưng và mấu chốt của các
Trang 26Tuyển tập 90 đề thì thủ đại học, cao đồng mơn Tốn Lovebook.vit Khi đó, hệ (trở thành F +b? = 13 ab = +6 am m2 Kết hợp điều kiện b > 0 ta giải được | (am =2 xˆ+x—3=0 xe vei 73 of JE—7=3 “| valine {ee =| = IF b=2 Vy? -7=2 y=+vii Vậy hệ đã cho có 8 nghiém (x; y) la: C) 5) AS ¬)› 2 2 2 2 {0;v4);(0;~v10;(-t;—vf1}»(0;v112; (0;VT1); (ts VII) B- Tư duy giải toán
Ta thấy cả 2 ví dụ trên chúng ta đều trải qua 3 bước:
B1: Tập trung đơn giản hệ đã cho (tách, nhóm hợp lý tạo nhân tử)
B2: Đặt ẩn đưa về hệ đối xứng, có khi là nữa đối xứng B3: Giải hệ
Trong đó ta chỉ thắc mắc bước 1, tức là làm thế nào để tách ra và nhóm
Thực sự vấn đề này sẽ khó đối với những ai ít chịu khó giải toán, còn đối với những bạn từng tập trung phân tích nhiều bài toán, thì vấn đề này thuộc về kĩ năng nên khá đơn giản Ở đây có 2 Kĩ năng chính: + Phân tích thành hằng đẳng thức như đã thấy ở VD2: x' + 2x” — 5x2 +y? — 6x +9 = (x2)? +” + (~3)? + 2.x?.x+ 2.x2(~3) + 2.x.(—3) = %” +x— 3)?hay ở ví dụ (Ôi xÊ + y? — 2x2y = QỞ — y)?
+ Phân tích thành nhân tứ chung ở cả 2 phương trình như ở VD1: Thấy ở pt thứ 2 có x” — y) và xy, ta tập trung phân tích pt thứ nhất thành (x2 — y) + xyQZ — y) + xy = 1
Ngoài 2 kĩ năng chính trên, còn có một số yếu tổ đặc trưng như:
-_ Những phần tử cồng kềnh (chứa căn thức, ) như Jy? — 7(@ vd 2) thong sé c6 dink và đặt làm ẩn để giảm sự cồng kềnh Khi cố định 1 ẩn phụ, việc tìm ẩn phụ còn lại sẽ dé hon -_ Có sự tương đồng về bậc của 2 biểu thức nào đó, thì đó sẽ là 2 ẩn phụ
ở Và 2: (yF— 7 xem như bậc 1 trong khi có y” là bậc 2
x2 +x— 3 xem như bậc 2 thì có xf + 2x? — 5x? — 6x xerh như là bậc 4 (2 x 2)
Như vậy, bạn thấy đấy, với các bài toán biện nay, các phương pháp kĩ năng thường được đan xen và lồng vào nhau Như ở đây có sự đan xen khá đẹp của kĩ năng phân tích nhân tử và phương pháp đặt ẩn phụ Vì vậy bạn nên tiếp thu và tự rèn luyện kĩ năng và các phương pháp cho mình
Ví dụ sau sẽ giúp bạn tự cảm nhận điều đó tốt nhất x2 — y2 = A +Thí dụ 3: 3 4x2 + 3x i> = —y(3x + 1) 25 Hướng dẫn: 5 57 57
Ta có: 4x2 +3x—ge= —y(x + 1) © (4x? + Bxy) + Gxt y) —= 0 @)
Phương trình (1) bao gồm cả phần bậc 1 và bậc 2 nên ta sẽ nghĩ đến 2 ẩn phụ là 2 biểu thức bậc nhất,
và dạng của (1) sẽ là: ab + a + b = m Ở
1 Ta lại thấy, phương trình (2):x? + y? = 5 có:
Trang 27Tuyển tập 90 dé thi thik đụi học, cao đẳng riơn Tốn Lovebook.vn
+ là tổng bình phương, không chứa tích
= Ta nghĩ đến dạng ẩn phụ: Đối hệ số, ngược đấu: (tx + xy) và (ux — ty) 57 Khi đó ta phân tích: 4x? + 3xy + 3x + y —>— = 25 2 57 © 2x? + Say + (5~2y?) ++ 29) + Ox-y) -FE=0 47
> (& + 2y)(2x—y) + (xt 2y)(2x-y) =3E
Và: x? + y2 =š© 502 +y2) = 1 © (x+ 2y)? + (2xT—y)? = 1
Trén đây là í tưởng của bài toán trên, bước thực hiện là ở các bạn
Qua các ví dụ trên, hy vọng các bạn tiếp thu và vận dụng linh hoạt kĩ năng phân tích và phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng
€- Bài tập vận dụng
Ð f ~— xÊy + x2y? = 1 2 { (3x + y)Œ + 3y) Vxy = 14 xây T—x? + xy = —1 Œ+y)Œ2 +y? + 14xy) = 36
a [enw ny + Vay —y? = 3K —y) x? —y? = 369 Giải bài tập vận dụng: x® — xây + x2y? = 1 uf 3 Myo xX by =—1 2 = { Œ —xy)° + xây =1 ® ta xP y ~ @? — xy) = = ? Data = x? ~xy,b = x8y Hệ trở thành: [2Ÿ b= 1 =4? ta—2=0€a=1Va=~2 —Nấua=1>b=0= [S29 S1 xy =0 Khi x = 0 hệ vô nghiệm Khi y = 0 e x = +1 2 2— vư= — X“ —xy = +2 — Nếu a = —2 # b= —3 = J* Xà xỶy=—3 2 3 x8 =x? —x*$ = ~2 © X! + 2x? + 3 = 0 vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm (x,y) = (1; 0),(—1; 0) 2| (3x + y)(x + 3= 14 Œ + y)Œ% + y? + 14xy) = 36 Điều kiện: xy > 0
Hệ đã cho tương đương với
lại +10xy + 3N ỹ = =i “| {3Q +y)? + 2y] Vy = 14 Œœ+y)GŒ? + y? + 14xy) = 36 Œ +y)[Œx + y)? + 12xy] = 36
Data = J/Xy,b = x+ y (a > 0)
ta Rã chà 3bẺ + 4a2)a = 14 _ (3ab? + 4a3 = 14 @ 3 2=
Khi đó hệ thành lu: + Ta) =6 { bề : 12a?b = 3ó re b + 1Annh - 36
Trừ vế với vế hệ trên ta sẽ được (2a ~ b)? = —8 = b = 2a + 2
Thay b = 2a + 2 vào (*) ta được:
Trang 28Tuyển tập 90 dé thi thir agi học, cao đẳng mơn Tốn 3 3 3 1 1 1 9 16(8 +52? +5at7)=16 @ (a+5) =1iÐa=sab=38 2 4.8 1 1 Khi đó ta có VOWS « [75 =x+ ty=3 +y=3 4x 3+2V2 x= > 2 3-22 x= 7 y 3+2v2 3—2v2 Vậy hộ có nghiệm Gy) = Ne 2),( 2 si» +yxy—y? = 3~y) @) x? —y* = 369 (2) Điều kiện: x > y > 0 “MS VERA" VIK= y= 8H yy e fx—y(vx + f/y—3yx—y) =0 -Néu /x—y = 0 @ x = y thay vào (2) 0x2 = 369 vô nghiệm - Nếu Vx + /ÿ =3 X<Y ®x+ty+ 2 ấy = 9G — y) © 8x — 2/Xy — 10y = 0 25 © (4#—5Jy)(W + Jy) = 0 © 4X = 5 Jy @ x = Tay thay vào (2) được 625
sory? ~y? = 369 & y? = 256 = y = 16 = x = 25 256
Trang 29Tuyển tập 90 đề thủ thử đụi học, cao đẳng môn Toán _ kovebook.vn
6- Phương pháp hằng đẳng thức trong giải hệ phương trình
Lương Văn Thiện (GSTT GROUP - Hệ Kỹ Sư Tài Năng - ĐH Bách Khoa HN)
“ Hằng đẳng thức là một phương pháp được sử dụng nhiều trong các bài toán hệ phương trình,
Phương pháp này khá đơn giản, bất kì em học sinh nào có thể vận dụng được
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Ban đọc cần phải nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và các hệ cơ bản trong sách giáo khoa Tôi không nhắc lại ở đây nữa
A Tự cảm nhận:
Yêu cầu: Bạn đọc xem những ví dụ mẫu, điển hình của phương pháp để tự rútra phương pháp và đối chiếu với phần chìa khóa tư duy giải toán
x’ +y+x’y +xy? +xy =a) Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 4 x+y? +xy(1428) == @) Lời giải: Ta có (2) «Q2 +y)? y= = De Gt +y) Hy! ry) y= utueves Đặt: u=x” +y;v=xy Hệ trở thành: t+v~ 4 Suy ra: +u, ZS-u* l =Š-u*Ì~=Š 4 4 4 u=0 eudugitades 1 4 u=~>~ c+u=0thì v=—— Ta có: 5° w=-7 |, 16 1 vat 2x +x~3=0 +u=—,V= „Ta có 2ó 3 ©œx=lLy=r= ye 2 rs 2x 5 J25 3 Hệ phương trình có 2 ệ phương trình có 2 nghiệm lễ ‘a ( ;| nghiệm : | ‡|—;~‡l— | và| ;—~> | x+y =9 @ Ví dụ 2 Giải hệ phương trình x°+2y°=x+4y (2) Lời giải: (2) c>3x” +6y? =3x+12y (3)
Trang 30Tuyển tập 90 đề thủ thử đại học, cao đẳng mơn Tốn Lovebook.vn <> (xo — 3x? +3x—1) + (y® ~6y? +12y-8) =0 <> (x-lP ty ~2) #0 x-1=2-yoox=3-y Thay x = 3 - y vào (2) ta có: @G-yY +2y? =G-y)+4y 3y? -9y+6=0 =i-x=2 =| =2-x=l
Kết luận: Hệ có nghiệm (xy)=(2;1); (1;2)
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình fe “y= 63 ® - y° +2” +2y ~x=9 (2) Lời giải: (2) <>6y? +12x” +12y ~6x= 54 (3) Lấy (1 - (3) ta có: - 8x2 ~ÿ*—(6y2 +12x2.+12y ~68)=9 © 8x2 ~3.(23)? +3,(2#)~1—(y` +y? +12y +8) =0 âđ(@x-U'-0+2) =0 â2x-l=y+2 ô>y=2x3 th vo (2) ta có: (2x~3)) +2x? +2(2x—3)~x=9 x=2->y=l
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm: (x;y) = @1{T2:2) B Chìa khóa tư duy giải toán
Từ tưởng; Bất kỳ phương trình nào xuất hiện hằng đẳng thức thì bước đầu tiên là ta nhóm ra hằng
đẳng thức đó Sau đó, dùng ẩn phụ và các công cụ khác để xử lý Cứ nhóm ra được hằng đẳng thức là
lời giải gần như mở ra tức khắc
- Ở ví dụ 1: Ở PT (2) thấy có x'+2xˆy +y? =(@” +y”) nên ra xử lý thành HĐT đầu tiên Sau đó, quan sát lại PT (1) thì mới phát biện ra ẩn phụ: = x°+y và v=xy Nhắc lại, mấu chốt lời giải là phát hiện
ra HĐT và phải xử lý nó đầu tiên
- Ở ví dụ 2: Đầu tién ty PT(1) x° +y* =9 ta nham dugc ngay nghiém x= Ly = 2.Ta liên tưởng đến
HĐT kiểu: œ—1);@œ+);(y—=2));0 +2Ÿ
Trang 31Tuyén tip 90 dé thi tie đại học, cao đẳng mơn Tốn Lovebook.vn x+y? =28 Ta được hệ: x+y? ~2+y)=Ÿ Rất đơn giản phải không các bạn @@© €C Kết luận:
- Qứ thấy xuất hiện HĐT là phải nhóm r4 - Hãy nhầm nghiệm để dự đoán HĐT
- Để xuất hiện HĐT áp dụng chiến thuật có ngoặc thì phá không có ngoặc thi nhóm vào,
D Bai tap van dung xi~y! =240 x°~2y` =3? ~4y?)—4(x—5y) x°—y°)=35 2x? +3y? =4x~09y x’ -y* =1215 2x? ~4y? =9(x? ~4y?)
Bài 1: Giải hệ phương trình { (Trích đề thi HSG quốc gia năm 2010)
Bài 2: Giải hệ phương trình | Bai 3: Giải hệ phương trình { |, [8 ~8x=y? +2y x’ —3y =6 4: 2 4.4 2 =1 Bài 5: Giải hệ phương trình | x 1y - |4x? + 2y? —4xy =2 3 ny? 4 3y? 42x 5y +3 =0 Bài 6: Giải hệ phương trình jŠ TỶ T3 +⁄4~3ÿ + x?+2y =l x°+y°+2x=3 Bài 7: Giải hệ phương trình 2 2x? +y*) + 6x? =3(x" ty") 45 2 “+1=2xv?(y~1 Bài 8: Giải hệ phương trình J€ *DY +4=2ay'G" ~D xy’ Gxy* — 2) axy"(x+2y)+1 Giải bài tập vận dụng: 1 { x* —y* = 240 “G3 — 2y3 = 3(x? — 4y?) — 4(x — 8y) { xt =yt+240 (1D)
xổ — 3x7 + 4x = 2y? — 12y? 4 32y (2)
Nhân 2 vế của phương trình (2) với 4 rồi lấy phương trình (1) trừ đi phương trình mới đó ta được
@&~2)*=(y~4)† - Nếu x— 2 = ÿT— 4 @ x = y — 2, thế vào (2) ta có
y?—3y? + 4y + 28 = Ú @ y = —2 => X= —4
- Nếu x — 2 = 4— y © x = 6 — y thế vào (2) ta có
—~3y? + 27y? — 108y + 132 = 0 © y = 2 =>x= 4
Trang 32Tuyén tap 90 đề thi thử đại học, cao đẳng môn Toán ` Lovebook.vn Thay vào (1) ta được
15y? + 75y + 125 = 35 œ y = ~2 = x = 3 hoặc y = =3 =è x = 2 Vậy hệ có nghiệm (3; ~2), (2; —3)
tt +y? —3xy" =1 Œ) "4x? + 2y? — 4xy = 2 (2) Trừ vế hai phương trình ta được y*#— 4xy? — 2y? + 4y +1 =0
œy?(y? — 1) ~ 4xy(Œ? — 1 — (y?~ 1) =0 « (y? — QŒ? — 4xy — Ð =0 — Nếu y = 1 x= Vx= 1 — Nếu y = —1 = x= 0V x = =1, 2 4y > 1 Thay vào (2) ta duge 5y* — 6y? + Le Oey? = Ivy? =— Với y? = 1 (đã xét ở trên) Với Shy =a KE J—§ T2 vã 1 Với =—-—-.x=— 1 > 1 re eee 6 Tu Tờ 1 — Nếu y? ~ 4xy ~ 1 = 0 € x= — —— (y = 0 không là nghiệm) x°+2y=1
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: w+ 2x=(y ~1) +2(y - 1) ®
Xét hàm số f(t)=t? +2t trén R Tacé: f'(t)=3t? +2>0 voi moi t € R= f(t) đồng biến trên R
Mat khac (*) cé dang f(x) = fy- D<x=y-L
'Thế vào phương trình thứ hai của hệ: (v - 1) +2y=1<>»y=0>x=~1
Trang 33Tuyển tap 90 dé thi thir đụi học, cao đẳng môn Toán Lovebook.va ~Néua+b=—-25 ab=05 đế ẦẮ {r= 3 hoặc fo
Vậy hệ có nghiệm (x, y) = (—1; =2), (~3; 0) 8 Lộ +1)y! +1 = 2xy?( — 1)
'uy?(3xy? — 2) = xy*(x + 2y) +1
{ x*yt +y* +44 2xy? = 2xy® (1) —(y*x? + 1 + 2xy?) = 2xy5 — 3x?y5 (2) Cộng vế với vế hai phương trình ta được
0= 2xyŠ — y* + 2xyŠ — 3x2yŠ œ y*(3xy — 1)@y — 1) = 0
— Nếu y = 0 thay vào (1) được 0x + 1 = 0 vô nghiệm
Trang 34Tuyển tập 20 dé thi thir dei học, cao đẳng mơn Tốn Lovebook.yn
7- Một số chú ý khi giải hệ phương trình
Phạm Văn Hùng số 389 11/2009 Bài đăng trên tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ số 389
Trong các kì thi tuyển sinh vào các trường đại học và cao đẳng chúng ta thường thấy có bài
toán giải một hệ phương trình hoặc các bài toán giải phương trình mà để giải được nó ta phải dẫn về hệ phương trình Vì vậy, để chuẩn bị tốt cho kì thí đại học cao đẳng sắp tới, chúng ta cần ôn tập kĩ các
bài toán thuộc loại này °
Trong bài.báo này chúng ta quan tâm đến cách giải một số hệ cơ bản và đơn giản sau: I Hệ đối xứng loại một
Một hệ pt hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại một nếu khi đổi vai trò x cho y thì các pt trong hệ
được giữ nguyên Đối với hệ dang này, thông thường chúng ta đưa hệ đã cho về hệ dang co’ ban
f* +y=A xy =B
oa 4 Cat ha : x2? txy+y? =4
Thí dụ 1: Giải hệ phương trình ta +x2y? ty? =B Lời giất: Ta có 8 = @2 + y?)? — (xy)? = (x2 +y? + xY)GỞ + y? — xy)
2t =2 „ty ra hoặc fevers
x4 — xy by? =2 xy=1 xy=1 xy=1
Từ đó suy ra hệ đã cho có tất cả bốn nghiệm
x+/y=1 Thí dụ 2: (Khối D/2004) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: { xvxty,/y =1— 3m v vy
Lời giải: Đặt u = Vx,v = Jy, (u = 0; v 2 0) Hé da cho tré thanh
u+v=1 utvel
(23351 -3m° uvy=m `
Do đó u, v là nghiệm của phương trình tẺ ~ t + m = 0 Œ®)
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có cả hai nghiệm t không âm Điều này tương A=1—4m>0 1 đương với S=120 ©0<m<z P=m2>0 Thi du 3: (Khéi D/2007) 1 1 xtrty+tr=5 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 1 1 y x +~z + yŸ + = 15m — 10 x y 1 1 ` Lời giải: Đặt x + pawy + Ỹ = v (ful = 2, |v] = 2) Hệ đã cho trở thành { u+v=5 { u+v=5
uŠ + v3 — 3(u + v) = 15m — 10 `ˆ lụuy = 8— m'
Đo đó u, v là nghiệm của phương trình t? — 5t + 8 — m = 0 () Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm t¡,t; thỏa mãn |t,| 2 2 va [tz| 2 2
Tir dé suy ra z<m< 2 hoặc m > 22
Ty sha › a yaa ƒxŠ ty? =1()
* Thí dụ 4: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: fi +y5 =1)
Lời giải: Đây là hệ đối xứng loại 1, tuy nhiên rất khó đưa được về hệ phương trình tổng và tích Trước hết, từ (2) có |xÍ < 1 và |y{ < 1 Hơn nữa 0 < x < 1;0 < y <1
Trang 35Tuyén tép 90 dé thi thit dai hoe, cao đẳng mơn Tốn Levebook.va Š(1—x)=0 Vậy phải có: fs VI SP ly5q = y) =0 Hé cd nghiém: (;y) = (1; 0); (0; 1) * Thf dy 5: Gidi phwong trinh: V8x—1+ 9x + 1 = 4 Wx 1
Lời giải: Điều kiện x > ghia cả hai vế của phương trình cho Vx
> 0 ta được phương trình tương đương: Fe feet u+v=3 Ta được hệ: Í tư u=1 fu=2 Hệ này có nghiệm là =2¥8 tt =1 Đo đó nghiệm của phương trình đã cho là x = ? Bài tập vận dụng: 1, Giải các hệ phương trình sau: af x+y-Jy =3 b[2 Ty 109 vx+itt/y+i=4 7x2 + xy +? = 1 " x+xy+y=ðŠ ả avy xy 2 2 + xây3 + y3 = 17 , 1 s5 wt 2 2, Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x+y+x?+y2=8 (x + 1 + 1) =m 3, Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: x+y+xy = 2m +1 fey bay? =m? tm 4, Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a Vi-x+ Vitex=m b, Vi—sinx + VI sinx = m Giải bài tập vận dụng: ¬ x+y- =3 Xx+1+Wyg+1=4 Điều kiện: x.y > 0,x > —1,y > —1 Datu = vx +1,v = Jy +1 (u,v = 0) Hệ trở thành fu" + v4 ~2~ u2v2 — u2— v2 + =3e [MS 2M VY 15+ Am =3 q4) u+v=4 u2+v?=16—2uy (2)
Trang 36Tuyén tập 90 đề thì thứ đại học, cao đẳng môn Toản Lovebook.va 1
& (1+xy)(4x2y? — 4y + 1) = 100 (xy > 3)
© 4x9y? — 3xy — 99 = 0 © xự = 3 = x? +yˆ = 1 — xy = —2 vô nghiệm
Vậy hệ vô nghiệm x+xy+y=5
3 + x3y3 + y3 = 17 ° { xy + Œ+y) =5
(x+y)? — 3xy(x + y) + xy? = 17
= (5 —xy)? — 3xy(5 — xy) + x9y? = 17 œ 18x”y? ~ 90xy + 108 = 0
ôâ Qxy 2)GQy 3) = 0
— Nếu xy = 2 =x+ y= 5 —xy =3
=> x,y là nghiệm của phương trình tŸ — 3t + 2 = 0 @ t= 1Vt= 2 z+ x y) = (2; 1) hoặc (x,y) = (1; 2)
— Nếu xy = 3 = x + y = 2 = x,y là nghiệm của phương trình t? — 2t + 3 = 0 vô nghiệm
Trang 37Tuyén tập 90 đề thị thử dai hoc, cao đẳng xơn Tốn Lovebook.vn
Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận được các giá trị của m cần tìm là m € (0; 2] x fe —i 9 1 + f'@) + il + 0 7 il ~ f(x) a b) Đặt t = sinx (điều kiện ~1 <t< 1) Đặt vế trái f(Œ) = N1—C+ NT +E Làm tương tự câu trên (không cần tìm lim), ta lập bắng biến thiên trên [~1; 1] thấy rằng у2 < f9)< 2 z> Phương trình có nghiệm <> a <m<2
II Hệ đối xứng loại 2
Một hệ 2 phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ đối xứng loại 2 nếu khi đối vai trò x cho ythì phương
trình này biến thành phương trình kia và ngược lại
- 'Đối với hệ dạng này, thông thường chúng ta lấy một phương trình trừ đi phương trình kia và dẫn về
dạng
Œœ—y).F@,y) = 0
oat aah {x =? — 4y* + By (1)
* Thí dụ 1: Giải phương trình: P = xŠ — 4x2 + 8x (2)
Lời giải: Lấy phường (1) trừ đi phương trình (2) theo vế ta được: x? —y? = y3 — x3 4 4(x? y?) + Bly x),
ôâ Œ—y)@2 + y? — 3G + y) + xy + B) = 0
Dễ thấy x? + y? — 3Œ + y) + xy + 8 = Œ&— 2 + œ— ) — +— 02 =5 >0 Do đồ x ~ y = 0 © x = y, thế vào (1) ta được x = 0;y = 0
Vậy hệ đã cho chỉ có một nghiệm duy nhất (x;y) = (0; 0)
* Thí dụ 2: Chứng mình rằng hệ phương trình ft ty? =1() eke ¬ + ÍX?2+y*=1() Lời giải: Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) theo vế ta được
x2 —x) —y?( —y) = 0
(1-y?)—x)~(1—x3)(1T—y) =0
®œ đ—y) +y+y?)(1— x) ~ Œ—x)( +x+ x2 — y) = 0
ôđ x) y) —x)Œ +x+ÿ) =0
+ Với 1 — x = 0 thì hệ có nghiệm là @y)=(1;0)
+ Với 1 — y = 0 thì hệ có nghiệm là @&;y)=(0;1)
+ Với y — x = 0 thì x = y, thế vào phương trình (1) ta được xŠ + x2 — 1 = 0
Xét hàm FQ) = xỶ + x? — 1, Dễ thấy đồ thị của hàm F() cắt trục hoành tại một điểm duy nhất, nên hệ có nghiệm x = y = xe trong đó xạ là nghiệm của pt x? + x? — 1 = 0,
* Với 1+x +y = 0,trường hợp này hệ không có thêm nghiệm nào
Vậy hệ có đúng 3 nghiệm phân biệt Œ;y) là (0;1),(1;0) và (xo; xạ), với xạ là nghiệm cia PT x? + x? ~ 1=9
* Thi dụ 3: Giải hệ pt:
Trang 38Tuyển tập 90 đề thi thử đại học, cao đằng môn Toán Lovebook.vn 2xy
Xb Vx2— 2x49 = x? + y @) 1 2
v+yS=2)—=y+x @) yˆ—2y+9
Hiển nhiên x = y = 0 là một nghiệm của hệ Dứơi dây xét x # 0 và y # 0
Cộng theo vế 2 PT trong hệ ta được: (aT Te) Chú ý rằng: —=——————— x? ty? 1 See <5 Tea sỹ: M@-—1)2+8 2 * Với xy>0 ta có: < v2 v2 >> =n 2+8 We mm ta ”
* Với xy<0 Khả năng này không thé: xay! ra, thật vậy, không mất tính tổng quát gid str x<0, y>ũ”
=>đẳng thức (1) không thể xây ra
Vậy hẹ có hai nghiệm (x;y) là (0;0)và (1;1)
“Thí dụ % Gái hệpg [T1 độ +y2—2y+2=3⁄'+1 2C 3+1
Lời giải: Hệ đã cho tương đương với:
utyw+1=3" với x— 1 = u,ÿ — 1 = v “ v+yv?+1=3 vee Let Xét hàm f() = t+ Vt + 1 có f'(Q “NT Xét ptu + Vu? + 1 = 33, 1 'Ta có: 31 = > 0, vt € R => f()đồng biến trên T§ Suy ra u = V TA Vay {ve +T1—u=3* (9 u2+i+tu=3" (2) Lat PT (2) trừ PT(1) theo về ta có: 2u = 3% — 374 @ 31 — 3— — 2u = 0, Xét hàm số F(u) = 3" — 3~" —~ 2u Ta cé: F'(u) = 31.]n 3 + 3—1.In3 — 2 = In 3 (3 + 378) S— 2> 0,Vu €1 (doln 3 > 1 và 3% +3—1% > 2),
Đo đó F@) luôn luôn đồng biến Vậy u=0 là nghiệm duy nhất của PT F(u)=0
Trang 39Tuyển tập 90 dé thi thir dai hoc, cao đẳng xơn Tốn Lovebook.yn 1 2x? = yt— = —g< 3) y of 1+6—y=3 ay =x+S Jy~1+V6—x=3 2 Chứng mình rằng hệ phương trình sau có đúng 2 nghiệm (%;y) thỏa mãn x>0, y>0 e*= 2007 -——^ 4y?®—1 eY = 2007 ——— x2—1 Giải bài tập vận dụng: 1 2x? =y+~ Bài 1.a i 2y? =x+ x Điều kiện x,y # 0 y?+1 2x? => 2 +1 2 +1 Ps 2 xt gee Px x nyt Ee os 258 + 2K = 2y? $y y ay* = š Xét fÉ) = 2t + 2t trên R f') = 6t? +2 > 0vt Nên fÓQ = f(ÿ) © x = y = 2x —x—~ 1= 0 @x=1=y=1 Vậy hệ có nghiệm Œ,y) = (1; 1) Bài 2 &* = 2007 ———= y2—1 x e = 2007 — vx? —1 Điều kiện: x > 1,y > 1 x y t D-@Q)2 &- =eŸ—————.Két fŒ) = et— t>1 M-@ Ni mi i) Fra (t>1) 1 fŒ)=e°+—————r>0Vt>1 (Wea Vậy hàm số đồng biến với t > 1 > x Nên fÉQ = f(y) @x=y (x) = fy) y oe vn + = 2007 Xét g(x) = e* + Vent x 3 — 2007 g/GŒ) = e*— @&2 — 1) "5 5 g”G0 = e“ + 3xÓCZ — 1972 > 0V >1
= g'@)đồng biến với x > 1 = gGOlà hàm liên tục g(2).g(10) < 0 = gÓ©) có đúng 2 nghiệm với x,y > 0 Max = y nên hệ có đúng hai nghiệm thôa mãn đề bài
Pee
Trang 40Tuyển tập 90 dé thi thir dpi học, cao đẳng mơn Tốn - Lovebookyn
8- Phương pháp giải phương trình và bất phương trình siêu việt
Phạm Gia Linh (Hà Nội)
Bài đăng trên tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ số 365 Để giải phương trình và bất phương trình siêu việt (mũ, lô- ga- rit, lượng giác) ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản và phương pháp giải của nó A PT va BPT M, LOGARIT I Các kiến thức cơ bản 1 Định nghĩa và các tính chất của lũy thừa (với số mũ nguyên, số mũ hữu tỷ, số mũ thực) và lô- ga- rit 2 Tính chất của hàm s6 mii va 16- ga- rit 3 Các PT và BPT cơ bản Với mọi số đương m thì a* =m «> x = logam (0 < a # 1); x x > log, m khia > 1, atom Pe ohiocacd
Trường hợp a* < m,Ìoga x < m xét tương tự II.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1) Phương pháp đưa về cùng cơ số Thí dụ 1 Gidi pt: 2°44, 5% = 2.102*+5 (4) Loi gidi: (1) © 10* = 10?*†Š œ x = 2x + 5, Vậy x = —5 Thí dụ 2: Giải pt: logz(2x + 1) — log:(3 — x) = 0 8 Lời giải: LH axe 1 ‡ 2 _ 5w ~2— Biến đổi (2) log; (2x + 1) = logs 62 C32x+1 => 0© {x x 3 0 Stv4i Đ/S:x= ave
'Thí dụ 3: Giai BPT: logs(4* + 144) — 4logs 2 < 1 +logs(27ˆ? +1) (3)