Hình học 11 cực hay

Hình học 11 Ôn tập chương III PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC • Để chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ta có thể theo các định lí , hệ quả sau :  ( ) · 0 ; 90a b a b⊥ ⇔ = .  / /b c a b a c  ⇒ ⊥  ⊥  .  0a b a b⊥ ⇔ × = uur uur .Nếu ,a b uur uur lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng vàa b  Khi hai đường thẳng cắt nhau ta có thể dùng các kết luận đã có trong hình học phẳng như : tính chất đường trung trực , định lí Pitago đảo … để chứng minh chúng vuông góc .  ( ) ( ) a a b b α α ⊥  ⇒ ⊥  ⊂  ;  / /a b a b α α  ⇒ ⊥  ⊥   ( ) ' ' a hch a b b a b a α α =   ⊂ ⇒ ⊥   ⊥  ; ( ) ' ' a hch a b b a b a α α =   ⊂ ⇒ ⊥   ⊥  . • ;ABC a AB a BC a AC ∆ ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  • Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả sau :  a α ⊥ a b α ⇔ ⊥ ∀ ⊂  a b a c a b c O α α α ⊥ ⊂   ⊥ ⊂ ⇒ ⊥   ∩ =  .  / /a b a α α ⊥ ⇒ ⊥ .  / / a a α β α ⊥ ⇒ ⊥ .  ( ) { } |AB M MA MB α ⊥ = = ( α là mặt phẳng trung trực của AB).  ( ) ( ) ABC MA MB MC MO OA OB OC α α ∆ ⊂   = = ⇒ ⊥   = =  .  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q a P a Q a c P Q ⊥   ⊂ ⇒ ⊥   ⊥ = ∩   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P R Q R a R P Q a ⊥   ⊥ ⇒ ⊥   ∩ =  Cuộc đời khó lường, lòng người khó đoán Hình học 11 Ôn tập chương III • Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả sau :  ( ) ( ) ( ) ( ) · ( ) 0 , 90P Q P Q⊥ ⇔ =  ( ) ( ) ( ) ( ) P a P Q a Q ⊃   ⇒ ⊥  ⊥    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / R Q P Q P R ⊥   ⇒ ⊥    . • Tính góc giữa hai đường thẳng Phương pháp : Có thể sử dụng một trong các cách sau:  Cách 1: (theo phương pháp hình học) • Lấy điểm O tùy ý (ta có thể lấy O thuộc một trong hai đường thẳng) qua đó vẽ các đường thẳng lần lượt song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng đã cho • Tính một góc trong các góc được tạo bởi giữa hai đường thẳng cắt nhau tại O . • Nếu góc đó nhọn thì đó là góc cần tìm , nếu góc đó tù thì góc cần tính là góc bù với góc đã tính .  Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ) • Tìm 1 2 ,u u uur uur lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng ( ) ( ) 1 2 àv∆ ∆ • Khi đó ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 cos , cos , u u u u u u × ∆ ∆ = = × uur uur uur uur uur uur . • Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp :  ( ) · ( ) 0 , 90a a α α ⊥ ⇒ = ;  ( ) · 0 / / , 0 a a a α α α  ⇒ =  ⊂  ;  ( ) · ( ) ( ) · , , ' ' a a a a a hch a α α α ⊥   ⇒ =  =   o Để tìm 'a hch a α = ta lấy tùy ý điểm M a∈ , dựng ( ) MH α ⊥ tại H , suy ra ( ) ( ) ' ,hch a a AH A a α α = = = ∩ · ( ) · ,a MAH α ⇒ = • Xác định góc giữa hai mặt phẳng Phương pháp :  Cách 1 : Dùng định nghĩa : ( ) ( ) · ( ) ¶ ( ) , ,P Q a b= trong đó : ( ) ( ) a P b Q ⊥    ⊥    Cách 2 : Dùng nhận xét : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) · ( ) · ( ) , , R P Q R P p P Q p q R Q q ⊥ ∆ = ∩   ∩ = ⇒ =   ∩ =  . Cuộc đời khó lường, lòng người khó đoán Hình học 11 Ôn tập chương III  Cách 3 : Dùng hệ quả : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) · ( ) · , P M Q H hch M P Q MNH HN m P Q ∈   = ⇒ =   ⊥ = ∩  . • Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng Phương pháp : Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau :  Cách 1 :  Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) .  Xác định ( ) ( ) m P Q= ∩ .  Dựng ( ) ( ) MH m P Q⊥ = ∩ , ( ) MH P⇒ ⊥ suy ra MH là đoạn cần tìm .  Cách 2: Dựng ( ) ( ) / /MH d α ⊥ o Chú ý :  Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / , ,MA d M d A α α α ⇒ = .  Nếu ( ) MA I α ∩ = ( ) ( ) ( ) ( ) , , d M IM d A IA α α ⇒ = • Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng:  Khi ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 a P d a P a P ∩ ⇒ =  ⊂   .  Khi ( ) / /a P ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d a P d A P⇒ = với ( ) A P∈ . • Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :  Khi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 P Q d P Q P Q ∩ ⇒ =  ≡   .  Khi ( ) ( ) / /P Q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d P Q d M Q⇒ = với ( ) A P∈ . • Khoảng cách giữa hai đường thẳng  Khi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' , ' 0 ' d ∆ ∩ ∆ ⇒ ∆ ∆ =  ∆ ≡ ∆   .  Khi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / ' , ' , ' ,d d M d N∆ ∆ ⇒ ∆ ∆ = ∆ = ∆ với ( ) ( ) , 'M N∈ ∆ ∈ ∆ .  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau : Cuộc đời khó lường, lòng người khó đoán Hình học 11 Ôn tập chương III • Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ( ) ∆ và ( ) '∆ là đường thẳng ( ) a cắt ( ) ∆ ở M và cắt ( ) '∆ ở N đồng thời vuông góc với cả ( ) ∆ và ( ) '∆ . • Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ( ) ∆ và ( ) '∆ . • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đườngthẳng đó . Phương pháp :  Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính khoảng cách từ b đến mp(P) .  Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm .  Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó . Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau :  Cách 1: Khi a b⊥ • Dựng một ( ) ( ) ,mp P b P a⊃ ⊥ tại H . • Trong (P) dựng HK b⊥ tại K . • Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b .  Cách 2: • Dựng ( ) ( ) , / /P b P a⊃ . • Dựng ( ) ' P a hch a= , bằng cách lấy M a∈ dựng đoạn ( ) MN α ⊥ , lúc đó a’ là đường thẳng đi qua N và song song a . • Gọi 'H a b= ∩ , dựng / /HK MN HK⇒ là đoạn vuông góc chung cần tìm .  Một số bài tập ôn tập chương Bài 1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , , 2AB BC a AD a= = = , các mặt phẳng ( ) SAB và ( ) SAD cùng vuông góc với mặt phẳng ( ) ABCD . a) Chứng minh ( ) SA ABCD⊥ . b) Chứng minh ( ) ( ) SAC ABCD⊥ . c) Chứng minh các mặt bên của hình chóp .S ABCD đều là các tam giác vuông . d) Khi 6SA a= . Tính góc giữa SD với mặt phẳng ( ) ABCD và góc giữa hai mặt phẳng ( ) ABCD và ( ) SCD . d) Tính các khoảng cách : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ; , ; ,d A SCD d CD SAB d SD AC . Bài 2. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy là a , tâm O, cạnh bên bằng a. a) Tính đường cao của hình chóp . b) Tính góc giữa các cạnh bên và các mặt bên với mặt đáy . c) Tính d(O, (SCD)) . d) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của BD và SC . e) Gọi ( α ) là mặt phẳng chứa AB và ( α ) vuông góc với (SCD) , ( α ) cắt SC, SD lần lượt C’ và D’. Tứ giác ABC’D’ là hình gì? Tính diện tích của thiết diện . Cuộc đời khó lường, lòng người khó đoán Hình học 11 Ơn tập chương III Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD có 6, 3 3AD AB= = . Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho 2MB MB= và N là trung điểm của AD . Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng ABCD tại M lấy điểm S sao cho 2 6SM = . a) Chứng minh ( ) ( ) ( ) ;AD SAB SBC SAB⊥ ⊥ ; b) Chứng minh ( ) ( ) SBN SMC⊥ ; c) Tính góc giữa đường thẳng SN và mặt phẳng ( ) SMC : d) Xác định vị trí điểm P SM∈ sao cho ( ) ( ) · ( ) 0 , 60PNC SMC = . (Thi Học kì 2 Trường chun Lê Hồng Phong HCM) . Bài 4. (*) Cho hình chóp S.ABC có đáy là ∆ ABC đều cạnh a . I là trung điểm của BC, SA vng góc với (ABC) . a) Chứng minh (SAI) vng góc với (SBC) . b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, AB . BE, CF lần lượt là đường cao của ∆ SBC. Chứng minh (MBE) vng góc với (SAC) và (NFC) vng góc với (SBC) . c) Gọi H, O lần lượt là trực tâm của ∆ SBC và ∆ ABC . Chứng minh OH vng góc với (SBC) . d) Cho ( α ) qua A và song song với BC và ( α ) vng góc với (SBC). Tính diện tích của thiết diện S.ABC bởi ( α ) khi SA = 2a . e) Gọi K là giao điểm của SA và OH .Chứng minh AK.AS khơng đổi . Tìm vị trí của S để SK ngắn nhất . a. Khi SA = 3a . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) , (SAC) và (SBC) . Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng ∆ SAB đều cạnh a, (SAB) vng góc với (ABCD) . a) Chứng minh ∆ SCD cân . b) Tính số đo góc của hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) . c) Tính đoạn vng góc với chung giữa AB và SC . Bài 6. Cho ∆ OAB cân tại O . OA = OB = a , · 0 120AOB = . Trên hai nửa đường thẳng Ax , By vng góc với (OAB) về cùng một phía , lấy M , N sao cho ,AM x BN y= = . a) Tính các cạnh của ∆ OMN theo a, x, y . Tìm hệ thức giữa x, y để ∆ OMN vng tại O . b) Cho ∆ OMN vng tại O và x + y = 2 3a . Tính x, y ( x < y ) . c) Với kết quả câu b) . Tính góc · ( ) ,OMN OAB . d) Giả sử M , N lưu động sao cho 2y x= . Chứng minh (OMN) quay quanh một đường thẳng cố định. Bài 7. (*) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a . Gọi I là điểm thuộc cạnh AB ; đặt ( ) , 0AI x x a= < < . a) Chứng minh khi ( ) 4 15x a= − thì góc giữa DI và AC’ bằng 0 60 . b) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (B’DI) . Tìm x để diện tích ấy nhỏ nhất . c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(B’DI) theo a và x . Bài 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có , 2AB a SA a= = . Gọi , ,M N P lần lượt là trung điểm của các cạnh , ,SA SB CD . Chứng minh rằng đường thẳng MN vng góc với đường thẳng SP . Tính khoảng cáh từ P đến ( ) SAB (CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009) . Bài 9. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vng tại B , , ' 2 ,AB a AA a= = ' 3A C a = . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng ' 'A C , I là giao điểm của AM và 'A C . Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) IBC . (KHỐI D NĂM 2009) . Bài 10. Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C có 'BB a = , góc giữa đường thẳng 'BB và mặt phẳng ( ) ABC bằng 60 0 ; ABC là tam giác vng tại C và · 0 60BAC = . Hình chiếu vng góc của điểm B’ lên mặt phẳng ( ) ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính khoảng cách ttừ 'A đến mặt phẳng ( ) ABC và diện tích của tam giác ABC . (KHỐI B NĂM 2009). Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D , 2 ,AB AD a CD a= = = , ; góc giữa hai mặt phẳng ( ) SBC và ( ) ABCD bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD . Biết hai mặt phẳng Cuộc đời khó lường, lòng người khó đốn Hình học 11 Ơn tập chương III ( ) SBI và ( ) SCI cùng vuông góc với mặt phẳng ( ) ABCD , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ) ABCD và diện tích của hình thang ABCD . (KHỐI A NĂM 2009). Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vng góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, 4 AC AH = . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ) SBC theo a. (KHỐI D NĂM 2010) . Bài 13. Cho hình lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C có AB a = , góc giữa hai mặt phẳng ( ) 'A BC và ( ) ABC bằng 60 0 . Gọi G là trọng tâm tam giác 'A BC . Tính koảng cách giữa hai mặt phẳng ( ) ABC và ( ) ' ' 'A B C . Tìm điểm M cách đều bốn điểm , , ,G A B C tính khoảng cách từ M đến các điểm đó theo a . (KHỐI B NĂM 2010) . Bài 14. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vng góc với mặt phẳng ( ) ABCD và 3SH a= . Tính diện tích của CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a . (KHỐI A NĂM 2010) . Bài 15. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vng , , ' 2AB BC a AA a= = = . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và 'B C . (KHỐI D NĂM 2008) . Bài 16. Trong mặt phẳng ( ) P cho nửa đường tròn đường kính 2AB R= và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC R= . Trên đường thẳng vng góc với ( ) P tại A lấy điểm S sao cho ( ) ( ) · ( ) 0 SAB , SBC 60= . Gọi ,H K lần lượt là hình chiếu của A trên ,SB SC .Chứng minh tam giác AHK vng và tính diện ABC∆ và khoảng cách từ S đến ( ) P . (KHỐI A NĂM 2007) .  Cuộc đời khó lường, lòng người khó đốn . lượt C’ và D’. Tứ giác ABC’D’ là hình gì? Tính diện tích của thiết diện . Cuộc đời khó lường, lòng người khó đoán Hình học 11 Ơn tập chương III Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD có 6, 3 3AD. lòng người khó đốn Hình học 11 Ơn tập chương III ( ) SBI và ( ) SCI cùng vuông góc với mặt phẳng ( ) ABCD , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ) ABCD và diện tích của hình thang ABCD P p P Q p q R Q q ⊥ ∆ = ∩   ∩ = ⇒ =   ∩ =  . Cuộc đời khó lường, lòng người khó đoán Hình học 11 Ôn tập chương III  Cách 3 : Dùng hệ quả : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) · ( ) · , P M Q H