Đề thi olympic toán ĐH GTVT Hà Nội

Olympic toán sinh viên đại học GTVT năm 2011 Đề thi môn: Đại số Thời gian: 180 phút CÂU 1: (6 điểm) Cho A=(a ij ) nxn là ma trận vuông cấp n (n )3≥ với A ij =        2011 /1 0 x x nếu 0 1 1 2 =− −=− =− ≥− ij ij ij ij Chứng minh rằng detA không phụ thuộc vào x. CÂU 2: (6 điểm) Cho A và B là các ma trận thự vuông cùng cấp thỏa mãn A 2010 = 0; AB = 2010A + 2009B. Chứng minh rằng: a) AB = BA. b) B 2010 = 0. c) Mọi số thực 0≠ λ đều không phải là giá trị riêng của A. CÂU 3: (6 điểm) Cho A là ma trận phức vông cấp 2. Với mỗi số nguyên dương n ta đặt x n = det(A n + I), ( I là ma trận đơn vị ). Chứng minh rằng nếu x 1 = x 2 = 1 thì x n ∈ { } 4,1 với mọi n. CÂU 4: ( 6 điểm) Cho ma trận A =           − − −− 466 8108 442 a) Tìm ma trận không suy biến T sao cho T -1 AT là ma trận đường chéo. b) Đặt B = 2 1 A. Hãy tính (B + I) 2011 . (I là ma trận đơn vị) c) Tính det(A 2011 – A 1005 + I). CÂU 5: (6 điểm) Thí sinh chọn một trong hai bài sau đây để làm. 1. Có tồn tại hay không các đa thức P(x), Q(x), R(y) và S(y) sao cho ta có: 1 + xy + x 2 y 2 = P(x).R(x) + Q(x).S(x)? 2. Cho A và B là hai ma trận thực vông cấp n. Chứng minh rằng hai mệnh đề sau tương đương: a) r(A) + r(B) ≤ n. b) Tồn tại ma trận không suy biến T sao cho ATB = 0. . Olympic toán sinh viên đại học GTVT năm 2011 Đề thi môn: Đại số Thời gian: 180 phút CÂU 1: (6 điểm) Cho A=(a ij ) nxn . A 2010 = 0; AB = 2010A + 2009B. Chứng minh rằng: a) AB = BA. b) B 2010 = 0. c) Mọi số thực 0≠ λ đều không phải là giá trị riêng của A. CÂU 3: (6 điểm) Cho A là ma trận phức vông cấp 2. Với mỗi. P(x).R(x) + Q(x).S(x)? 2. Cho A và B là hai ma trận thực vông cấp n. Chứng minh rằng hai mệnh đề sau tương đương: a) r(A) + r(B) ≤ n. b) Tồn tại ma trận không suy biến T sao cho ATB = 0.