tổng hợp đề thi cao học

Nguy n Văn Tú - Website: violet.vn/nguyentuc2thanhmyễ GI I Đ THI TUY N SINH CAO H C THÁNG 8/2008Ả Ề Ể Ọ MÔN C B N: Đ I S VÀ GI I TÍCHƠ Ả Ạ Ố Ả Bài 1: Cho ánh x tuy n tính f : Rạ ế 4 → R 3 xác đ nh b i ị ở f(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )=(x 1 +x 2 ,x 2 +x 3 ,x 3 +x 4 ) v i m i x=(xớ ọ 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) ∈ R 4 M={ (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) ∈ R 4 : x 1 -x 2 =0 và x 3 -x 4 =0} a. Tìm ma tr n f trong c s chính t c c a Rậ ơ ở ắ ủ 4 và R 3 . xác đ nh Imf và Kerfị b. CM f(M) là không gian vect con c a Rơ ủ 3 . tìm dimf(M) Gi i : ả • Tìm ma tr n f trong c s chính t c c a Rậ ơ ở ắ ủ 4 và R 3 Trong R 4 ta có e 1 =(1,0,0,0),e 2 =(0,1,0,0),e 3 =(0,0,1,0),e 4 =(0,0,0,1) Trong R 3 ta có e’ 1 =(1,0,0),e’ 2 =(0,1,0),e’ 3 =(0,0,1) Ma tr n f trong c s chính t c là ậ ơ ở ắ           =           = 1100 0110 0011 4321 4321 4321 )(),/( 34 cccc bbbb aaaa A eef mà f(e 1 )=(1,0,0)=a 1 e’ 1 +b 1 e’ 2 +c 1 e’ 3 ta tìm đ c (aượ 1 ,b 1 ,c 1 )=(1,0,0) f(e 2 )=(1,1,0) (a 2 ,b 2 ,c 2 )=(1,1,0) f(e 3 )=(0,1,1) (a 3 ,b 3 ,c 3 )=(0,1,1) f(e 4 )=(0,0,1) (a 4 ,b 4 ,c 4 )=(0,0,1) • Xác đ nh Imf,Kerfị • Kerf ={ x ∈ R 4 : f(x)=0 } Ta đ c h ượ ệ        ∈ −= = −= ⇔      =+ =+ =+ Rx xx xx xx xx xx xx 4 43 42 41 43 32 21 0 0 0 h có nghi m t ng quát là (-a,a,-a,a)ệ ệ ổ H nghi m c b n là (-1,1,-1,1)ệ ệ ơ ả V y dimKerf=1, c s c a Kerf =(-1,1,-1,1)ậ ơ ở ủ • Tìm Imf Ta có f(e 1 )=(1,0,0),f(e 2 )=(1,1,0), f(e 3 )=(0,1,1),f(e 4 )=(0,0,1) Nên Imf=<f(e 1 ),f(e 2 ),f(e 3 ),f(e 4 )> Ta có             →→             000 100 010 001 100 110 011 001 v y c s c a Imf là f(eậ ơ ở ủ 1 ),f(e 2 ),f(e 3 ) và dimf=3 b. Bài 2: Gi i và bi n lu n h ph ng trình ả ệ ậ ệ ươ Luy n gi i đ thi cao h c môn đ i sệ ả ề ọ ạ ố 1 Nguy n Văn Tú - Website: violet.vn/nguyentuc2thanhmyễ      =+++ =+++ =+++ 1 1 1 4321 4321 4321 xmxxx xxmxx xxxmx Gi iả : l p ma tr n các h sậ ậ ệ ố           −−−− −−→→           →           = mmmm mm m m m m m m m A 1.1200 0.0110 1.111 1.111 1.111 1.111 1.111 1.111 1.111 2 v y ta đ cậ ượ      =+++ =−+− −=−++− 1 0)1()1( 1)1()2)(1( 4321 32 43 xmxxx xmxm mxmxmm Bi n lu n:ệ ậ V i m=1 h có vô s nghi m ph thu c 3 tham s xớ ệ ố ệ ụ ộ ố 2 ,x 3 ,x 4 nghi m c a h là (1-a-b-c,a,b,c) a,b,c ệ ủ ệ ∈ R v i m=-2 h có vô s nghi m ph thu c tham s xớ ệ ố ệ ụ ộ ố 3 nghi m c a h là (a,a,a,1) a ệ ủ ệ ∈ R v i m khác 1,-2 h có vô s nghi m ph thu c tham s xớ ệ ố ệ ụ ộ ố 4 và m nghi m c a h là ệ ủ ệ            = + − = + − = + − = ax m a x m a x m a x 2 1 2 1 2 1 a ∈ R Bài 3: Cho chu i lu th a ỗ ỹ ừ ∑ ∞ = − +− 1 1 2. )2()1( n n nn n x a. Tìm mi n h i t c a chu iề ộ ụ ủ ỗ b. Tính t ng c a chu iổ ủ ỗ Gi i: ả a. ta có n nn n n x xU 2. )2()1( )( 1 +− = − tính C xx n xU n n n n n = + = + = ∞→∞→ 2 2 2 2 . 1 )( limlim theo tiêu chu n côsi n u chu i h i t khi C<1 t c là ẩ ế ổ ộ ụ ứ 041 2 2 <<−⇔< + x x t i x+2=2 và x+2=-2 ta có chu i ạ ỗ 0 1)1()1( 2. )2()1( 11 1 = − −− = ±− ∑∑ ∞ = ∞ = − n nnn n n nn n n h i t ộ ụ v y MHT là [-4;0]ậ b. Bài 4: Cho a>0 và ( )      == >+ + = 0yx, 0 0, 1 sin ),( 22 22 2 yx yx x yxf a Luy n gi i đ thi cao h c môn đ i sệ ả ề ọ ạ ố 2 Nguy n Văn Tú - Website: violet.vn/nguyentuc2thanhmyễ Tuỳ theo giá tr c a a>0 xét s kh vi c a f t i (0,0), s liên t c c a f’ị ủ ự ả ủ ạ ự ụ ủ x ,f’ y t i (0,0)ạ Gi i : ả Tính các đhr • t i xạ 2 +y 2 >0 ( ) aa x yx yx x yx xf 22 22 3 22 ' 1 cos 2 )( 1 sin2 + + − + = a y yxyx yx f )( 1 cos 2 2222 2 ' ++ − = • t i x=y=0ạ = − = → t ftf f t x )0,0()0,( lim 0 ' = − = → t ftf f t y )0,0(),0( lim 0 ' • xét s kh vi c a f t i (0,0) C n xét :ự ả ủ ạ ầ ),( lim 0, ts ts ϕ → V i ớ [ ] tfsfftsf ts ts yx )0,0()0,0()0,0(),( 1 ),( '' 22 −−− + = ϕ N u ế ),( lim 0, ts ts ϕ → =0 thì hàm s kh vi t i (0,0) ng c l i thì không kh viố ả ạ ượ ạ ả • xét s liên t c c a f’ự ụ ủ x ,f’ y t i 0(0,0) ạ n u : ế )0,0(),( '' 0, lim xx yx fyxf ≠ → , )0,0(),( '' 0, lim yy yx fyxf ≠ → thì hàm s không liên t c t iố ụ ạ (0,0) ng c l i thì liên t c ượ ạ ụ Bài 5: Cho (X,d ) là không gian Metric A ⊂ X khác r ng ỗ Cho f: X → R đ nh b i f(x)=d(x;A)=inf{d(x,y): yị ở ∈ A} a. CM: f liên t c đi u trên Xụ ề b. Gi s A là t p đóng , B là t p compác ch a trong X và Aả ử ậ ậ ứ  B = φ Đ t d(A,B)= inf{ d(x,y),x ặ ∈ A,y ∈ B } CM : d(A,B)>0 Gi i : ả a. đ CM f liên t c đi u trên X c n CM ể ụ ề ầ )',()'()( xxdxfxf ≤− ta có d(x,y) ≤ d(x,x’)+d(x’,y) l y inf 2 v ấ ế ⇒ d(x,A)-d(x’,A) ≤ d(x,x’) t ng t thay đ i vai trò v trí c a x và x’ nhau ta suy ra ĐPCMươ ự ổ ị ủ v y f liên t c t i x’, do x’ tuỳ ý nên f liên t c đi u trên Xậ ụ ạ ụ ề b. Gi s trái l i d(A,B)=0ả ử ạ Khi đó ta tìm đ c các dãy (xượ n ) ⊂ A, (y n ) ⊂ B sao cho limd(x n ,y n )=0 Do B comp c nên (yắ n ) có dãy con kn k y )( h i t ve yộ ụ 0 ∈ B Ta có ),(),(),( 00 yydyxdyxd kkkk nnnn +≤ Mà 0),(0),(),( 00 limlimlim =⇒== ∞→∞→∞→ yxdyydyxd kkkk n k n k nn k Do A là t p đóng dãy ậ kn k x )( ⊂ A, 0 )( yx kn k → nên y 0 ∈ A Đi u này mâu thu n v i gi thi t Aề ẩ ớ ả ế  B = φ .V y d(A,B)>0ậ GI I Đ THI TUY N SINH CAO H C THÁNG 9/2007Ả Ề Ể Ọ MÔN C B N: Đ I S VÀ GI I TÍCHƠ Ả Ạ Ố Ả Bài 1: Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ổ ỹ ừ Luy n gi i đ thi cao h c môn đ i sệ ả ề ọ ạ ố 3 Nguy n Văn Tú - Website: violet.vn/nguyentuc2thanhmyễ ( ) n n n x n n 2 0 2 32 1 −       + + ∑ ∞ = Gi i ả : Đ t X=(x-2)ặ 2 đk X 0 ≥ Ta tìm mi n h i t c a chu i ề ộ ụ ủ ổ n n n X n n ∑ ∞ =       + + 0 32 1 xét 32 1 + + = n n u n Ta có 2 1 32 1 limlim = + + == ∞→∞→ n n ul n n n n 2 1 ==⇒ l R nên kho ng h i t là (-2,2)ả ộ ụ Xét t i X= 2, X= -2ạ Ta có chu i ổ =       + + ± ∑ ∞ = n n n n n n 2 32 1 )1( 0 n n n n n ∑ ∞ =       + + ± 0 32 22 )1( 01 32 22 limlim ≠= + + =⇒ ∞→∞→ n n u n n n n nên chu i phân kì ổ v y mi n h i t theo X là (-2,2)ậ ề ộ ụ ⇒ mi n h i t theo x là ề ọ ụ 222222 +<<−⇔<− xx Bài 2: Cho hàm s ố      == >+         + + = 0y xkhi 0 0y xkhi 1 sin)( ),( 22 22 22 yx yx yxf Ch ng t r ng hàm s f(x,y)có đ o hàm riêng f’ứ ỏ ằ ố ạ x ,f’ y không liên t c t i 0(0,0)ụ ạ Nh ng hàm s f(x,y)kh vi t i 0(0,0).ư ố ả ạ Gi i : ả Tính các đhr t i (x,y)ạ ≠ (0,0) va t i (x,y)=(0,0) ạ • T i (x,y)ạ ≠ (0,0) Ta có         ++ −         + = 222222 ' 1 cos 21 sin2 yxyx x yx xf x         ++ −         + = 222222 ' 1 cos 21 sin2 yxyx y yx yf y • T i (x,y)=(0,0)ạ 1 t 1 sin do 0 1 sin )0,0()0,( 2 0 2 2 00 ' limlimlim ≤=≤= − = →→→ t t t t t ftf f ttt x 1 t 1 sin do 0 1 sin )0,0(),0( 2 0 2 2 00 ' limlimlim ≤=≤= − = →→→ t t t t t ftf f ttt y CM : f’ x ,f’ y không liên t c t i 0(0,0) Ta CM : ụ ạ 0 ' 0, lim ≠ → x yx f và 0 ' 0, lim ≠ → y yx f Hay CM : )0,0(),( '' 0, lim xx yx fyxf ≠ → , )0,0(),( '' 0, lim yy yx fyxf ≠ → Ta có : Luy n gi i đ thi cao h c môn đ i sệ ả ề ọ ạ ố 4 Nguy n Văn Tú - Website: violet.vn/nguyentuc2thanhmyễ Do 0 xkhi , 2 2 1 cos. 2 1 1 cos 0 xkhi ,02 1 sin2,1 yx 1 sin , 1 cos. 21 sin.2),( 22222222 22 2222 0, 22 0, ' 0, limlimlim →∞→≤ + ≤ ++ ⇒≤ + →→≤ + ⇒≤ + ++ − + = →→→ x yx x yxyx x yx x yx x yxyx x yx xyxf yxyx x yx nên )0,0(),( '' 0, lim xx yx fyxf ≠ → t ng t ta CM : đ c ươ ự ượ )0,0(),( '' 0, lim yy yx fyxf ≠ → v y f’ậ x ,f’ y không liên t c t i 0(0,0)ụ ạ • Ta CM : f(x,y)kh vi t i 0(0,0). ả ạ C n CM :ầ 0),( lim 0, = → ts ts ϕ V i ớ [ ] tfsfftsf ts ts yx )0,0()0,0()0,0(),( 1 ),( '' 22 −−− + = ϕ )1 ts 1 sin (do 0 1 sin.),( 2222 22 0,0, limlim ≤ + = + += →→ ts tsts tsts ϕ v y f(x,y)kh vi t i 0(0,0)ậ ả ạ Bài 3: Cho [ ] RR →*1,0: ϕ là m t hàm s liên t c ộ ố ụ CMR : Hàm F: C [0,1] → R xác đ nh b i ị ở ∫ = 1 0 ))(,()( dttxtxF ϕ khi x(t) [ ] 1,0 C∈ là hàm s liên t c trên Cố ụ [0,1] Gi i: ả C đ nh xố ị 0 , CM f liên t c t i xụ ạ 0 Đ t M=1+supặ )( 0 tx , t [ ] 1,0 C∈ Cho 0 > ε ϕ liên t c trên t p compac D= [0,1]*[-M,M] nên ụ ậ ϕ liên t c đ u trên Dụ ề t n t i s ồ ạ ố 1 δ >0 sao cho εϕϕδδ <−⇒<−<−⇒∈∀ )','(),(',')','(),,( 11 ststssttDstst đ t ặ [ ] δδδ <⇒∈∀= ),(1,0:),1min( 01 xxdx mà [ ] MMtxtxtx ,)(1)()( 00 −∈⇒<− [ ] εεϕϕεϕϕ <−⇒<−⇒<− ∫ )()())(,())(,())(,())(,( 0 1 0 00 xFxFdttxttxttxttxt ta CM đ c ượ εδδε <⇒<>∃>∀ ))(),((),(:0,0 00 xFxFdxxd v y F liên t c t i xậ ụ ạ 0 Bài 4: Cho ánh x tuy n tính ạ ế 34 : RRf → xác đ nh b i ị ở f(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )=(x 1 -2x 2 +x 4 ,-x 1 +x 2 +2x 3 ,-x 2 +2x 3 +x 4 ) 1. Tìm c s và s chi u c a kerf, Imfơ ở ố ề ủ 2. f có ph i là đ n c u , toàn c u không?ả ơ ấ ấ Gi i : ả 1. • Tìm c s và s chi u c a kerfơ ở ố ề ủ V i x=( xớ 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) Ta có : { } 0)(:ker 4 =∈= xfRxf Luy n gi i đ thi cao h c môn đ i sệ ả ề ọ ạ ố 5 Nguy n Văn Tú - Website: violet.vn/nguyentuc2thanhmyễ f(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )=(x 1 -2x 2 +x 4 ,-x 1 +x 2 +2x 3 ,-x 2 +2x 3 +x 4 )=0      =++− =++− =+− ⇔ 02 02 02 432 321 421 xxx xxx xxx l p ma tr n ậ ậ           − − →           − − − →           − − − = 0000 1210 1021 1210 1210 1021 1210 0211 1021 A v y Rank(A)=2ậ ta có      ∈ += −= Rxx xxx xxx 43 432 421 , 2 2 nên dimKerf=2 nghi m c b n là (1,1,0,1),(4,2,1,0) và là c s c a Kerfệ ơ ả ơ ở ủ do dimKerf =2 ≠ 0 nên f không đ n c u ơ ấ • Tìm c s , s chi u c a Im fơ ở ố ề ủ Im f là không gian con c a Rủ 3 sinh b i h 4 vectở ệ ơ f(e 1 )=(1,-1,0) v i eớ 1 =(1,0,0,0) f(e 2 )=(-2,1,-1) v i eớ 2 =(0,1,0,0) f(e 3 )=(0,2,2) v i eớ 3 =(0,0,1,0) f(e 4 )=(1,0,1) v i eớ 4 =(0,0,0,1) ta tìm h ng c a 4 vect trên ạ ủ ơ xét ma tr n ậ             −− − →             −− − →             −− − = 000 000 110 011 110 220 110 011 101 220 112 011 B Rank(B)=2, , dim Imf =2 , c s c a Imf là f(eơ ở ủ 1 ),f(e 2 ) Do , dim Imf =2 nên f không toàn c u ấ Bài 5: Cho '':,': VVgVVf →→ là nh ng ánh x tuy n tính sao cho ữ ạ ế gf kerker ⊂ H n n af là m t toàn c u . CMR t n t i duy nh t m t ánh x tuy n tínhơ ữ ộ ấ ồ ạ ấ ộ ạ ế ''': VVh → sao cho h.f=g Gi i:ả Bài 6: Cho d ng toàn ph ng trên Rạ ươ 3 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )= 3121 2 3 2 2 2 1 222 xaxxxxxx ++++ a. Đ a d ng toàn ph ng v d ng chính t c b ng ph ng pháp Lagrangeư ạ ươ ề ạ ắ ằ ươ b. V i giá tr nào c a a thì f xác đ nh d ng, không âmớ ị ủ ị ươ Gi i ả : a. f(x 1 ,x 2 ,x 3 )= 3121 2 3 2 2 2 1 222 xaxxxxxx ++++ =…… ……= 2 3 2 2 32 2 32 1 6 1 62 3 4 2 2 x a x a x axx x         −+       −+       + + Luy n gi i đ thi cao h c môn đ i sệ ả ề ọ ạ ố 6 Nguy n Văn Tú - Website: violet.vn/nguyentuc2thanhmyễ đ t ặ          = += −−= ⇔          = −= ++= 33 3 22 3 2 11 33 3 22 3 2 11 6 32 6 42 yx ay yx ay y yx xy ax xy ax x xy ta đ c c s f chính t c là uượ ơ ở ắ 1 =(1,0,0),u 2 =(-1/2,1,0),u 3 =(-a/3,a/6,1) ma tr n trong c s chính t c là ậ ơ ở ắ                 −− = 100 6 10 32 1 1 a a T u ε b. f xác đ nh d ng khi ị ươ 660 6 1 2 <<−⇔>− a a f xác đ nh không âm khi ị 60 6 1 2 ±=⇔=− a a GI I Đ THI TUY N SINH CAO H C THÁNG 5/2007Ả Ề Ể Ọ MÔN C B N: Đ I S VÀ GI I TÍCHƠ Ả Ạ Ố Ả Bài 1: Cho u=u(x,y), v=v(x,y) là hàm n suy ra t h ph ng trìnhẩ ừ ệ ươ      =− + − =−+ − + 02 1 . 012. x v u ey uvex vu vu tìm vi phân d u (1,2), d v (1,2) bi t u(x,y)=0, v(x,y)=0ế Gi i :ả lí thuy t : cho hàm n ế ẩ    = = 0),,,( 0),,,( vuyxG vuyxF xác đ nh b i u=u(x,y), v=v(x,y)ị ở Tính các đ o hàm riêng c a hàm n ạ ủ ẩ T h trên ta có ừ ệ ⇔      =+++ =+++ 0 0 '''' '''' vvuuyyxx vvuuyyxx dGdGdGdG dFdFdFdF    = = ⇔      +=−− +=−− v u vvuuyyxx vvuuyyxx d d dGdGdGdG dFdFdFdF '''' '''' Tính    = = )2,1( )2,1( v u d d Ta có : Bài 2: Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ổ ỹ ừ ∑ ∞ = + 2 2 )1( )(ln 1 n n x nn Gi i :ả Đ t X= x+1 ta đ c ặ ượ ∑ ∞ =2 2 )(ln 1 n n X nn Xét 2 1 2 ))1)(ln(1( 1 )(ln 1 ++ =⇒= + nn u nn u nn Luy n gi i đ thi cao h c môn đ i sệ ả ề ọ ạ ố 7 Nguy n Văn Tú - Website: violet.vn/nguyentuc2thanhmyễ Ta có : [ ] 2 2 1 )1ln()1( )(ln limlim ++ == ∞→ + ∞→ nn nn u u L n n n n Tính [ ] )1ln( ln . 1 1 1 ).1ln(.2 1 .ln.2 )1ln( )(ln limlimlim tan 2 2 + + = + + + ∞→∞→∞→ = n n n n n n n n n n nn lopi n Tính 1 1 1 1 )1ln( ln limlim tan = + + ∞→∞→ = n n n n n lopi n Nên 1 1 == L R , kho ng h i t là (-1,1)ả ộ ụ T i X=ạ 1± ta đ c chu i ượ ổ ∑ ∞ = ± 2 2 )1( )(ln 1 n n nn T đó ta có ừ [ ] ∞≠= ++ == ∞→ + ∞→ 1 )1ln()1( )(ln 2 2 1 limlim nn nn u u L n n n n Chu i phân kì , MHT theo X là (-1,1)ổ MHT theo x là (-2,0) Bài 3: Cho X là không gian metric compac f: X → X tho ả d(f(x),f(y))<d(x,y) v i xớ ≠ y a. CM t n t i duy nh t xồ ạ ấ 0 ∈ X sao cho f(x 0 )=x 0 b. Đ t Aặ 1 =f(X),A n+1 =f(A n ), n ∈ N và n n AA  ∞ = = 1 CM: A φ ≠ và f(A)=A Gi i :ả a. CM t n t i duy nh t xồ ạ ấ 0 ∈ X sao cho f(x 0 )=x 0 Đ t g(x)= d(x,f(x)), g: Xặ → R ,x ∈ X • Ta CM g liên t c ụ Ta co )',(2))'(),(()',())'(,'())(,()(')( xxdxfxfdxxdxfxdxfxdxgxg =+<−=− Mà lim d(x,x’)=0 nên g liên t c ụ Do X là t p compac nên t n t i xậ ồ ạ 0 sao cho g(x 0 )=min(g(x)) Đ CM f(xể 0 )=x 0 ta đi CM g(x 0 )=d(x 0 ,f(x 0 ))=0 Ta CM b ng ph n ch ng ằ ả ứ Gi s g(xả ử 0 )=d(x 0 ,f(x 0 ))>0 Khi đó g(f(x 0 ))=d(f(x 0 ),f(f(x 0 )))< d(x 0 ,f(x 0 ))=g(x 0 ) Đi u này mâu thu n v i s ki n g(xề ẩ ớ ự ệ 0 )=min(g(x)) V y g(xậ 0 )=d(x 0 ,f(x 0 ))=0 hay x 0 =f(x 0 ) CM tính duy nhât c a xủ 0 . Gi s có yả ử 0 ∈ X sao cho y 0 =f(x 0 ) Khi đó d(x 0 ,y 0 ) =d(f(x 0 ),f(y 0 ))<d(x 0 ,y 0 ) n u xế 0 ≠ y 0 Đi u này vô lí v y xề ậ 0 t n t i và duy nh t ồ ạ ấ b. Đ t Aặ 1 =f(X),A n+1 =f(An), n ∈ N và n n AA  ∞ = = 1 CM: A φ ≠ và f(A)=A • CM: A φ ≠ Do f liên t c ,X compac nên Aụ 1 = f(X) là t p compacậ Luy n gi i đ thi cao h c môn đ i sệ ả ề ọ ạ ố 8 Nguy n Văn Tú - Website: violet.vn/nguyentuc2thanhmyễ Gi s An là t p compackhi đó Aả ử ậ n+1 =f(A n ) là t p compacậ V y Aậ n là t p compac khác r ng ậ ỗ ∗ ∈∀ Nn nên A n la t p đóngậ H n n a do Aơ ủ 1 =f(X) ⊂ X nên A 2 =f(A 1 ) ⊂ f(X)=A 1 Gi s Aả ử n+1 ⊂ A n ta có A n+2 =f(A n+1 ) ⊂ f(A n )=A n+1 V y Aậ n+1 NnA n ∈∀⊂ , { } n A là h có tâm các t p đóng trong không gian compac ọ ậ Theo tính ch t ph n giao h u h n ta có A=ấ ầ ữ ạ φ ≠ ∞ = n n A  1 • CM: f(A)=A c n CM : f(A)ầ ⊂ A (1) , f(A) ⊃ A (2) • CM : f(A) ⊂ A (1) Do A ⊂ A n nên f(A) ⊂ f(A n )=A n+1 v i m i n, là dãy gi m nênớ ọ ả f(A) ⊂ AA n n = + ∞ = 1 1  • f(A) ⊃ A (2) l y tuỳ ý xấ ∈ A c n CM x ầ ∈ f(A) vì x ∈ A n+1 =f(A n ) v i m i n=1,2 … t n t i xớ ọ ồ ạ n ∈ A n : x=f(x n ) do X compact nên có dãy con (x nk ) k : ax k n k = ∞→ lim khi đó xxf k n k = ∞→ )( lim , do f liên t c nên ụ afxf k n k ()( lim = ∞→ ) ta c n CM a ầ ∈ A c đinh n ta có ố nnnnn AxAAx kkk ∈⇒⊂∈ khi n k ≥ n do A n đóng nn k Aax k ∈= ∞→ lim v y a ậ ∈ A n v i m i n=1,2 … ớ ọ do a ∈ A, x=f(a) ∈ f(A) v y ta CM đ c f(A)=Aậ ượ Bài 4: Gi i và bi n lu n h ả ệ ậ ệ      =+++ =+++ =+++ 1 1 1 4321 4321 4321 xmxxx xxmxx xxxmx Gi i :ả Ta có ma tr n m r ng ậ ở ộ           = 1.111 1.111 1.111 m m m A đ i ch dổ ổ 1 , d 3 , bi n đ i ma tr n v d ng ế ổ ậ ề ạ           −−+− −−= 1.1)2)(1(00 0.0110 1.111 mmmm mm m A bi n lu n ệ ậ • n u m=1 h có VSN ph thu c 3 tham s xế ệ ụ ộ ố 2 ,x 3 ,x 4 và RankA=1 nghi m c a h là xệ ủ ệ 1 =1-a-b-c, x 2 =a,x 3 =b,x 4 =c • n u m=-2 h có VSN ph thu c tham s xế ệ ụ ộ ố 3 và RankA=3 Luy n gi i đ thi cao h c môn đ i sệ ả ề ọ ạ ố 9 Nguy n Văn Tú - Website: violet.vn/nguyentuc2thanhmyễ nghi m c a h là xệ ủ ệ 1 =x 2 =x 3 =a,x 4 =1 • n u m ế ≠ 1và m ≠ -2 thì h có VSN ph thu c vào tham s xệ ụ ộ ố 4 va tham s m ố nghi m c a h là ệ ủ ệ 2 1 1 + − = m a x , 2 1 2 + − = m a x , 2 1 3 + − = m a x , Raax ∈= , 4 B ài 5: Trong R 3 cho c s :ơ ở u 1 =(1,1,1), u 2 = (-1,2,1), u 3 =(1,3,2) cho ánh x tuy n tính f: Rạ ế 3 → R 3 xác đ nh b iị ở f(u 1 )= (0,5,3), f(u 2 )=(2,4,3), f(u 3 )=(0,3,2) tìm ma tr n c a f trong c s đó là ma tr n chéo hoá đ c ậ ủ ơ ở ậ ượ Gi i :ả b1. Tìm ma tr n c a f trong c s uậ ủ ơ ở Ta có h ệ      ++= ++= ++= )3( )( )2( )( )1( )( 3322113 3322112 3322111 ucucucuf ubububuf uauauauf T (1) ta có (0,5,3)=aừ 1 (1,1,1)+a 2 (-1,2,1)+a 3 (1,3,2)      = = = ⇔      =++ =++ =+− ⇔ 1 1 0 02 032 0 3 2 1 321 321 321 a a a aaa aaa aaa T ng t t ( 2) ta đ c bươ ự ừ ượ 1 =1,b 2 =0,b 3 =1 T ng t t (3) ta đ c cươ ự ừ ượ 1 =1,c 2 =1,c 3 =0 V y ma tr n A trong c s f là ậ ậ ơ ở           =           = 011 101 110 333 222 111 )(/ cba cba cba A ufA B2. Tìm GTR- VTR c a A và c a f (GTR c a A chính là GTR c a f)ủ ủ ủ ủ Xét ma tr n đ t tr ng ậ ặ ư 2 )(1 023 11 11 11 3 = −= ⇔=++−=           − − − m kepm mm m m m A có 2 giá tr riêng, nên f có 2 giá tr riêng m=-1, m=2ị ị Tìm VTR c a A t đó suy ra VTR c a fủ ừ ủ • v i m=-1 ta có ớ 0 000 000 111 111 111 111 =           =           VTR c a A có d ng ủ ạ      = = −−=−−= ⇔    ∈ =++ bx ax baxxx Rxx xxx 3 2 321 32 321 , 0 a,b ∈ R D ng VTR c a A là (-a-b,a,b)ạ ủ V y A có 2 VTR (-1,0,1),(-1,1,0)ậ T đó VTR c a f có d ng n= xừ ủ ạ 1 u 1 +x 2 u 2 +x 3 u 3 =(-a-b)u 1 +au 2 +bu 3 = =(-a-b)(1,1,1)+a(-1,2,1)+b(1,3,2)=(-2a,a+2b,b) v y f có 2 VTR ĐLTT v i a=1,b=0 : VTR là nậ ớ 1 =(-2,1,0) v i a=0,b=1: VTR là nớ 2 =(0,2,1) • v i m=2 ta có ớ 0 000 330 211 112 121 211 211 121 112 =           − − =           − − − =           − − − Luy n gi i đ thi cao h c môn đ i sệ ả ề ọ ạ ố 10 [...]... GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2004 MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Bài 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm luỷ thừa n + 2 ∑ n +1   n =1  ∞ n ( n +1) xn Giải : n +1  1   u n = 1 + Xét    n + 1     Ta có L= lim n →∞ n n 1   u n = lim 1 +  n +1 n →∞  n +1 =e 1 1  1 1 = , khoảng hội tụ là  − ,  L e  e e 1 Xét tai 2 đầu mút x= ± e Nên R =      n giải đề thi cao học môn... 12004  Q −1 = Q  0  0  0 2 2004 0 0   0 Q −1 2 2004   GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2003 MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Bài 1: Bài 2: Bài 3: Cho (X,d) là không gian metric compắc a.Giả sử An là họ các tập con đóng trong X và An+1 ⊂ An mọi n ∈ N CMR nếu vơi mọi n ∈ N ,An ≠ φ thì ∞ A n ≠φ n =1      n giải đề thi cao học môn đại s  Luy ệ ố 22 Nguyễn Văn Tú - Website: violet.vn/nguyentuc2thanhmy... Ta có chuỗi ∑    (± e ) = ∑ ( ± 1)   n+d  n =1  n + d  n =1 n2 ( e ) ⇒ lim d n n →∞ Un = 1 ≠ 0 Vậy MHT của chuỗi là (-ed;ed)     ện giải đề thi cao học môn đại số Luy 23 Nguyễn Văn Tú - Website: violet.vn/nguyentuc2thanhmy GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2002 MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH  xy ( x 2 − y 2 )  Bài 1 : a Cho hàm số f ( x, y ) =  x 2 + y 2 0  ' x khi (x, y) ≠ (0,0)... sở chính tắc e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) b Tìm giá trị của a để f là một đẳng cấu Luyện giải đề thi cao học môn đại số 17 Nguyễn Văn Tú - Website: violet.vn/nguyentuc2thanhmy c khi f không là một đẳng cấu hãy tìm cơ sở và số chiều của Imf và Kerf d với a=-3 f có chéo hoá được không trong trường hợp f chéo hoá được háy tìm một cơ sở để ma trận f voéi cơ sở đó có dạng chéo Giải : Bài 5: Cho dạng... (0,0) =0 t b Tính tổng của chuỗi hàm ∞ ∑ nx n =1 n trong MHT của nó Giải : ta tìm được khoảng hội tụ là (-1,1) ∞ n −1 Ta có S ( x) = ∑ n.x Đặt n =1 ∞ 1 x S1 ( x ) = ∑ n.x n −1 (1) n =1 Lấy tích phân 2 vế của (1) trên đoạn [0,x] ta được x ∞ x ∞ 1 (2) là CSN 1− t n =1 0 n =1 0 1 đạo hàm 2 vế của (2) ta được S1 ( x) = (1 − x) 2 n −1 n ∫ S1 (t )dt =∑ ∫ n.t dt = ∑ t =     n giải đề thi cao học môn đại s ... = 0 ⇔  x 2 = a suy ra VTR (3a,a,a) với a=1 thì VTR (3,1,1) x = a x = a  3  3 0 − 2 3 0 0 0      • ma trận cần tìm là T= 1 − 1 1 và T-1AT= 0 6 0 1 1 1 0 0 3     GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2005 MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 1  2 2 ( x + y ) sin 2 x + y2 Bài 1: Cho hàm số f ( x, y ) =  0  khi x 2 + y 2 > 0 khi x = y = 0 ' ' CMR hàm số f(x,y ) có các đạo hàm riêng... 2 x sin x 2 + y 2 − x 2 + y 2 cos x 2 + y 2 f y' = 2 y sin 1 2y 1 − 2 cos 2 2 2 x +y x +y x + y2 2 • tại (x,y)=(0,0) f x' = lim t →0 f (t ,0) − f (0,0) = lim t t →0 t 2 sin t 1 t2 = 0      n giải đề thi cao học môn đại s  Luy ệ ố 15 Nguyễn Văn Tú f = lim ' y t →0 f (0, t ) − f (0,0) = lim t t →0 - Website: violet.vn/nguyentuc2thanhmy t 2 sin t 1 t2 = 0 ( do sin 1 ≤1 ) t2 • xét sự liên tục của các đhr... 3n + 2 = 1 ≠ 0 nên tại X=3,X=-3 chuổi không hội tụ n →∞ n →∞ ∞ MHT chuổi theo X là (-3,3) MHT chuổi theo x là (-1,5) Bài 3: Gọi M = { x ∈ C[ 0,1] : x(1) = 1,0 ≤ x(t ) ≤ 1, ∀t ∈ [ 0,1]}     ện giải đề thi cao học môn đại số Luy 16 Nguyễn Văn Tú - Website: violet.vn/nguyentuc2thanhmy a.CMR : M là tập đóng không rỗng và bị chặn trong không gian metric C([0,1]) với mêtric d(x,y)=max{ x(t ) − y (t ) : t∈... f có 3 VTR ĐLTT n1,n2,n3 do đó 3 VTR n1,n2,n3 làm thành 1 cơ sở của R3 và ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo hoá được ta có : A f /(n ) − 1 0 0 =  0 − 1 0   0 0 2   GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2006 MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 1  2 , x 2 + y2 > 0  x + y sin 2 x + y2 f ( x, y ) =  Bài 1: Cho 0 ,x = y =0  2 a Xét sự khả vi của f tại (x,y)∈ R đặc biệt tại (0,0) '... có ϕ ( s, t ) = 1 s +t t2 lim ϕ (s, t ) = lim s ,t → 0 sin s ,t →0 2 2 [ f (s, t ) − f (0,0) − f s2 + t2 sin ' x ] (0,0) s − f y' (0,0)t = 1 s +t 2 2 t 2 sin 1 t + s2 2 1 =0 s + t2 2      n giải đề thi cao học môn đại s  Luy ệ ố 11 Nguyễn Văn Tú - Website: violet.vn/nguyentuc2thanhmy 1 ≤ 1 nên f khả vi tại (0,0) s + t2 ' ' b.Xét sự liên tục của các ĐHR f x , f y tại (0,0) do sin 2 ' ' để Xét sự liên . )( ⊂ A, 0 )( yx kn k → nên y 0 ∈ A Đi u này mâu thu n v i gi thi t Aề ẩ ớ ả ế  B = φ .V y d(A,B)>0ậ GI I Đ THI TUY N SINH CAO H C THÁNG 9/2007Ả Ề Ể Ọ MÔN C B N: Đ I S VÀ GI I TÍCHƠ Ả Ạ. ủ 1 ),f(e 2 ),f(e 3 ) và dimf=3 b. Bài 2: Gi i và bi n lu n h ph ng trình ả ệ ậ ệ ươ Luy n gi i đ thi cao h c môn đ i sệ ả ề ọ ạ ố 1 Nguy n Văn Tú - Website: violet.vn/nguyentuc2thanhmyễ      =+++ =+++ =+++ 1 1 1 4321 4321 4321 xmxxx xxmxx xxxmx . a>0 và ( )      == >+ + = 0yx, 0 0, 1 sin ),( 22 22 2 yx yx x yxf a Luy n gi i đ thi cao h c môn đ i sệ ả ề ọ ạ ố 2 Nguy n Văn Tú - Website: violet.vn/nguyentuc2thanhmyễ Tuỳ theo