Ôn tập ĐS 9 HK II Có hướng dẫn giải

Tốn 9 – Ơn tập học kỳ II _2010 – 2011 1 CHỦ ðỀ : CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cho hệ phương trình: , 0 ( ) ' ' ', ' 0 ( ') ax by c a D a x b y c a D + = ≠   + = ≠  • (D) cắt (D’) ⇔ ' ' a b a b ≠ ⇔ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất. • (D) // (D’) ⇔ ' ' ' a b c a b c = ≠ ⇔ Hệ phương trình vơ nghiệm. • (D) ≡ (D’) ⇔ ' ' ' a b c a b c = = ⇔ Hệ phương trình có vơ số nghiệm. II. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1: Cho hệ phương trình 2 0 x y m x my + =   − =  (1) 1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –1 . 2. Xác định giá trị của m để: a) x = 1 và y = 1 là nghiệm của hệ (1). b) Hệ (1) vơ nghiệm. 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m. 4. Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1. HD: 1. Khi m = – 1, hệ (1) có nghiệm x = 1; y = 2. 2a) Hệ (1) có nghiệm x = 1 và y = 1 khi m = 2. 2b) Hệ (1) vơ nghiệm khi: ' ' ' a b c a b c = ≠ ⇔ 1 1 2 0 m m = ≠ − . ⇒ 1 1 2 1 2 0 m m  =  −    ≠   ⇒ 2 0 m m = −   ≠  ⇒ m = – 2: Hệ (1) vơ nghiệm. 3. Hệ (1) có nghiệm: x = 2 2 m m + ; y = 2 2 m m + . 4. Hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1 ⇔ 2 2 m m + + 2 2 m m + = 1 ⇔ m 2 + m – 2 = 0 ⇔ =   = −  1( ) 2( ) m thỏa ĐK cónghiệm m khôngthỏa ĐK cónghiệm . Vậy khi m = 1, hệ (1) có nghiệm (x,y) thỏa: x + y = 1. Bài tập 2: Cho hệ phương trình 2 2 4 9 x y k x y k + = +   + = −  (1) 1. Giải hệ (1) khi k = 1. 2. Tìm giá trị của k để hệ (1) có nghiệm là x = – 8 và y = 7. 3. Tìm nghiệm của hệ (1) theo k. HD: 1. Khi k = 1, hệ (1) có nghiệm x = 2; y = 1. Toán 9 – Ôn tập học kỳ II _2010 – 2011 2 2. Hệ (1) có nghiệm x = –8 và y = 7 khi k = – 3 . 3. Hệ (1) có nghiệm: x = 5 1 2 k − ; y = 5 3 2 k − . Bài tập 3: Cho hệ phương trình 3 2 1 x y x my + =   − =  (1) 1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –7 . 2. Xác ñịnh giá trị của m ñể: a) x = – 1 và y = 4 là nghiệm của hệ (1). b) Hệ (1) vô nghiệm. 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m. HD: 1. Khi m = – 7, hệ (1) có nghiệm x = 4; y = – 1. 2a) Hệ (1) có nghiệm x = –1 và y = 4 khi m = 3 4 − . 2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = – 2. 3. Hệ (1) có nghiệm: x = 3 1 2 m m + + ; y = 5 2 m + . Bài tập 4: Cho hệ phương trình 2 1 2 3 1 mx y x y − = −   + =  (1) 1. Giải hệ phương trình (1) khi m = 3 . 2. Tìm m ñể hệ phương trình có nghiệm x = 1 2 − và y = 2 3 . 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m. HD: 1. Khi m = 3, hệ (1) có nghiệm x = 1 13 − ; y = 5 13 . 2a) Hệ (1) có nghiệm x = 1 2 − và y = 2 3 khi m = 2 3 − . 2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = –2. 3. Hệ (1) có nghiệm: x = 1 3 4 m − + ; y = 2 3 4 m m + + . Bài tập 5 : Cho hệ phương trình 4 2 3 x y x y m + =   + =  (1) 1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –1. 2. Tìm m ñể hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa 0 0 x y >   <  . HD: 1. Khi m = –1, hệ(1) có nghiệm: x = 13 và y = – 9. 2. Tìm: • Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 12 – m ; y = m – 8 . • Theo ñề bài: 0 0 x y >   <  ⇒ 12 0 8 0 m m − >   − <  ⇔ 12 8 m m <   <  ⇔ m < 8. Bài tập 6: Cho hệ phương trình 2 3 1 3 2 2 3 x y m x y m + = +   + = −  Toán 9 – Ôn tập học kỳ II _2010 – 2011 3 1. Giải hệ phương trình khi m = – 1. 2. Với giá trị nào của m thì hệ pt có nghiệm (x; y) thỏa 1 6 x y <   <  . HD: 1. Khi m = – 1 , hệ pt có nghiệm: x = 1 và y = – 4. 2. Tìm: • Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 4m + 5 ; y = – 9 – 5m . • Theo ñề bài: 1 6 x y <   <  ⇒ 1 3 m m < −   > −  ⇔ – 3 < m < – 1 . Bài tập 7: Cho hệ phương trình : 2 5 3 1 mx y mx y − + =   + =  (1) 1. Giải hệ (1) khi m = 1. 2. Xác ñịnh giá trị của m ñể hệ (1): a) Có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất ñó theo m. b) Có nghiệm (x, y) thỏa: x – y = 2. HD: 1. Khi m = 1, hệ (1) có nghiệm: x = – 2 ; y = 1. 2a) Khi m ≠ 0, hệ (1) có nghiệm: 2 1 x m y  =−    =  . 2b) m = 2 3 − . Bài tập 8 : Cho h ệ ph ươ ng trình : 2 2 1 mx y m x y m − =   − + = +  ( m là tham s ố ) (I). a) Khi m = – 2, giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng. b) Tính giá trị của tham số m ñể hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất và tính nghiệm duy nhất ñó theo m. HD: a) Khi m = – 2, hệ (I) có nghiệm: x = 2 3 ; y = 1 3 . b) • Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi m ≠ 4. • Khi ñó hệ(I) có nghiệm duy nhất: 3 2 4 m x m + = − ; 2 3 4 m m y m + = − Toán 9 – Ôn tập học kỳ II _2010 – 2011 4 CHỦ ðỀ : VẼ ðỒ THỊ & TÌM TỌA ðỘ GIAO ðIỂM CỦA (P): y = ax 2 VÀ (D): y = ax + b (a ≠ 0) I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Hàm số y = ax 2 (a ≠ 0): Hàm s ố y = ax 2 (a ≠ 0) có nh ữ ng tính ch ấ t sau: • N ế u a > 0 thì hàm s ố ñồ ng bi ế n khi x > 0 và ngh ị ch bi ế n khi x < 0. • N ế u a < 0 thì hàm s ố ñồ ng bi ế n khi x < 0 và ngh ị ch bi ế n khi x > 0. ðồ th ị c ủ a hàm s ố y = ax 2 (a ≠ 0): • Là m ộ t Parabol (P) v ớ i ñỉ nh là g ố c t ọ a ñộ 0 và nh ậ n tr ụ c Oy làm tr ụ c ñố i x ứ ng. • N ế u a > 0 thì ñồ th ị n ằ m phía trên tr ụ c hoành. 0 là ñ i ể m th ấ p nh ấ t c ủ a ñồ th ị . • N ế u a < 0 thì ñồ th ị n ằ m phía d ướ i tr ụ c hoành. 0 là ñ i ể m cao nh ấ t c ủ a ñồ th ị . V ẽ ñồ th ị c ủ a hàm s ố y = ax 2 (a ≠ 0): • L ậ p b ả ng các giá tr ị t ươ ng ứ ng c ủ a (P). • D ự a và b ả ng giá tr ị → v ẽ (P). 2. Tìm giao ñiểm của hai ñồ thị :(P): y = ax 2 (a ≠ 0) và (D): y = ax + b: • L ậ p ph ươ ng trì nh hoà nh ñộ giao ñ i ể m củ a (P) và (D): cho 2 v ế phả i củ a 2 hà m s ố b ằ ng nhau → ñư a v ề pt b ậ c hai dạ ng ax 2 + bx + c = 0. • Giả i pt hoà nh ñộ giao ñ i ể m: + N ế u ∆ > 0 ⇒ pt có 2 nghi ệ m phân bi ệ t ⇒ (D) c ắ t (P) tạ i 2 ñ i ể m phân bi ệ t. + N ế u ∆ = 0 ⇒ pt có nghi ệ m ké p ⇒ (D) và (P) ti ế p xú c nhau. + N ế u ∆ < 0 ⇒ pt vô nghi ệ m ⇒ (D) và (P) không giao nhau. 3. Xác ñịnh số giao ñiểm của hai ñồ thị :(P): y = ax 2 (a ≠ 0) và (D m ) theo tham số m: • L ậ p ph ươ ng trì nh hoà nh ñộ giao ñ i ể m củ a (P) và (D m ): cho 2 v ế phả i củ a 2 hà m s ố b ằ ng nhau → ñư a v ề pt b ậ c hai dạ ng ax 2 + bx + c = 0. • L ậ p ∆ (ho ặ c ∆ ' ) củ a pt hoà nh ñộ giao ñ i ể m. • Bi ệ n lu ậ n: + (D m ) c ắ t (P) tạ i 2 ñ i ể m phân bi ệ t khi ∆ > 0 → giả i b ấ t pt → tì m m. + (D m ) ti ế p xú c (P) tạ i 1 ñ i ể m ∆ = 0 → giả i pt → tì m m. + (D m ) và (P) không giao nhau khi ∆ < 0 → giả i b ấ t pt → tì m m. II. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1: Cho hai hàm số y = 2 2 x có ñồ thị (P) và y = -x + m có ñồ thị (D m ). 1. Với m = 4, vẽ (P) và (D 4 ) trên cùng một hệ trục tọa ñộ vuông góc Oxy. Xác ñịnh tọa ñộ các giao ñiểm của chúng. 2. Xác ñịnh giá trị của m ñể: a) (D m ) cắt (P) tại ñiểm có hoành ñộ bằng 1. b) (D m ) cắt (P) tại 2 ñiểm phân biệt. c) (D m ) tiếp xúc (P). Xác ñịnh tọa ñộ tiếp ñiểm. HD: 1. Tọa ñộ giao ñiểm: (2 ; 2) và (– 4 ; 8). 2a). m = 3 2 . 2b) ' ∆ = 1 + 2m > 0 1 2 m ⇒ >− . 2c) m = 1 2 − → tọa ñộ tiếp ñiểm (-1 ; 1 2 ). Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x 2 có ñồ thị (P) và y = – 3x + m có ñồ thị (D m ). 1. Khi m = 1, vẽ (P) và (D 1 ) trên cùng một hệ trục tọa ñộ vuông góc Oxy. Xác ñịnh tọa ñộ các giao ñiểm của chúng. Toán 9 – Ôn tập học kỳ II _2010 – 2011 5 2. Xác ñịnh giá trị của m ñể: a) (D m ) ñi qua một ñiểm trên (P) tại ñiểm có hoành ñộ bằng 1 2 − . b) (D m ) cắt (P) tại 2 ñiểm phân biệt. c) (D m ) tiếp xúc (P). Xác ñịnh tọa ñộ tiếp ñiểm. HD: 1. Tọa ñộ giao ñiểm: ( 1 1 2 2 − ; ;) và (1 ; – 2). 2a). m = – 2. 2b) m < 9 8 . 2c) m = 9 8 → tọa ñộ tiếp ñiểm ( 3 9 4 8 − ; ). Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x 2 có ñồ thị (P). 1. Vẽ (P) trên một hệ trục tọa ñộ vuông góc 2. Gọi A( 2 7 3 ; − − ) và B(2; 1). a) Viết phương trình ñường thẳng AB. b) Xác ñịnh tọa ñộ các giao ñiểm của ñường thẳng AB và (P). 3. Tìm ñiểm trên (P) có tổng hoành ñộ và tung ñộ của nó bằng – 6. HD: 2a). ðường thẳng AB có phương trình y = = 3x – 5. 2b). Tọa ñộ giao ñiểm: (1;– 2) và ( 5 2 − ; 25 2 − ). 3. Gọi M(x M ; y M ) là ñiểm trên (P) thỏa ñề bài, ta có: x M + y M = – 6. Mặt khác: M(x M ; y M ) ∈ (P) ⇒ y M = – 2 2 M x nên: x M + y M = – 6 ⇔ x M + (– 2 2 M x ) = – 6 ⇔ – 2 2 M x + x M + 6 = 0 1 1 2 2 2 8 3 9 2 2 x y x y = ⇒ = −   ⇒  =− ⇒ = −   . Vậy có 2 ñiểm thỏa ñề bài: M 1 (2; – 8 ) và M 2 ( 3 9 2 2 − − ; ). Bài tập 4: Cho hàm số y = 3 2 − x 2 có ñồ thị (P) và y = – 2x + 1 2 có ñồ thị (D). 1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa ñộ vuông góc. 2. Xác ñịnh tọa ñộ các giao ñiểm của (P) và (D). 3. Tìm tọa ñộ những ñiểm trên (P) thỏa tính chất tổng hoành ñộ và tung ñộ của ñiểm ñó bằng – 4. HD: 2. Tọa ñộ giao ñiểm: ( 1 3 ; 1 6 − ) và (1 ; 3 2 − ). 3. Gọi M(x M ; y M ) là ñiểm trên (P) thỏa ñề bài, ta có: x M + y M = – 4. Mặt khác: M(x M ; y M ) ∈ (P) ⇒ y M = 3 2 − 2 M x nên: x M + y M = – 4 ⇔ x M +( 3 2 − 2 M x ) = – 4 ⇔ 3 2 − 2 M x + x M + 4 = 0 1 1 2 2 4 8 3 3 2 6 x y x y  =− ⇒ =−  ⇒  = ⇒ = −   . Vậy có 2 ñiểm thỏa ñề bài: M 1 ( 4 8 3 3 ; − − ) và M 2 (2; – 6). Toán 9 – Ôn tập học kỳ II _2010 – 2011 6 Bài tập 5: Cho hàm số y = 2 3 x 2 có ñồ thị (P) và y = x + 5 3 có ñồ thị (D). 1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa ñộ vuông góc. 2. Xác ñịnh tọa ñộ các giao ñiểm của (P) và (D). 3. Gọi A là ñiểm ∈ (P) và B là ñiểm ∈ (D) sao cho 11 8 A B A B x x y y =   =  . Xác ñịnh tọa ñộ của A và B. HD: 2. Tọa ñộ giao ñiểm: ( 2 1 3 − ; ) và ( 5 25 2 6 ; ). 3. ðặt x A = x B = t. • A(x A ; y A ) ∈ (P) ⇒ y A = 2 3 2 A x = 2 3 t 2 . • B(x B ; y B ) ∈ (D) ⇒ y B = x B + 5 3 = t + 5 3 • Theo ñề bài: 11 8 A B y y = ⇔ 11. 2 3 t 2 = 8.( t + 5 3 ) ⇔ 2 22 40 8 0 3 3 t t − − = ⇒ 1 2 2 10 11 t t =    =−   . • Với t = 2 8 8 2 2 3 3 11 11 2 2 3 3 ( ; ) ( ; ) A A B B x y A x y B  = ⇒ = ⇒   ⇒   = ⇒ = ⇒   . • Với t = 10 11 − 10 200 10 200 11 363 11 363 10 25 10 25 11 33 11 33 ( ; ) ( ; ) A A B B x y A x y B  =− ⇒ = ⇒ −   ⇒   =− ⇒ = ⇒ −   . Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa ñộ vuông góc Oxy, cho hai ñiểm A(1; –2) và B(–2; 3). 1. Viết phương trình ñường thẳng (d) ñi qua A, B. 2. Gọi (P) là ñồ thị của hàm số y = –2x 2 . a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa ñộ ñã cho. b) Xác ñịnh tọa ñộ các giao ñiểm của (P) và (d). HD: 1. Phương trình ñường thẳng AB: y = 5 3 − x 1 3 − . 2. Tọa ñộ giao ñiểm: (1; –2) và ( 1 6 − ; 1 18 − ). Bài tập 7: Vẽ ñồ thị (P) của hàm số y = –2x 2 trên mặt phẳng tọa ñộ vuông góc Oxy. 1. Gọi (D) là ñường thẳng ñi qua ñiểm A(–2; –1) và có hệ số góc k. a) Viết phương trình ñường thẳng (D). b) Tìm k ñể (D) ñi qua B nằm trên (P) biết hoành ñộ của B là 1. HD: 2a). • Phương trình ñường thẳng (D) có dạng tổng quát: y = ax + b. • (D) có hệ số góc k ⇒ (D): y = kx + b. • (D) ñi qua A(–2; –1) ⇒ –1 = k.( –2) + b ⇒ b = 2k – 1. • Phương trình ñường thẳng (D): y = kx + 2 k – 1. 2b) • ðiểm B(x B ; y B ) ∈ (P) ⇒ B(1; – 2). Toán 9 – Ôn tập học kỳ II _2010 – 2011 7 • (D) ñi qua B(1; –2) nên: –2 = k.1 +2k – 1 ⇒ k = 1 3 − . Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x 2 có ñồ thị (P) và y = x + 2 có ñồ thị (D). 1. Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa ñộ vuông góc Oxy. Xác ñịnh tọa ñộ các giao ñiểm của chúng. 2. Gọi A là ñiểm thuộc (D) có hoành ñộ bằng 5 và B là ñiểm thuộc (P) có hoành ñộ bằng – 2. Xác ñịnh tọa ñộ của A, B. 3. Tìm tọa ñộ của ñiểm I nằm trên trục tung sao cho: IA + IB nhỏ nhất. HD: 1. Tọa ñộ giao ñiểm: (2; 4) và (–1; 1). 2. Tọa ñộ của A(5; 7) và B(– 2 ; 4) 3. • I(x I , y I ) ∈ Oy ⇒ I(0: y I ). • IA + IB nhỏ nhất khi ba ñiểm I, A, B thẳng hàng. • Phương trình ñường thẳng AB: y = 3 7 x + 34 7 . • I(x I , y I ) ∈ ñường thẳng AB nên: y I = 3 7 .0 + 34 7 = 34 7 ⇒ I(0; 34 7 ) Bài tập 9: Cho hàm số y = – x 2 có ñồ thị (P) và y = x – 2 có ñồ thị (D). a) Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa ñộ vuông góc. Xác ñịnh tọa ñộ giao ñiểm của (P) và (D) bằng phương pháp ñại số. b) Gọi A là một ñiểm thuộc (D) có tung ñộ bằng 1 và B là một ñiểm thuộc (P) có hoành ñộ bằng – 1. Xác ñịnh tọa ñộ của A và B. c) Tìm tọa ñộ của ñiểm M thuộc trục hoành sao cho MA + MB nhỏ nhất. HD: a) Tọa ñộ giao ñiểm: (2; – 4) và (–1; 1). b) Tọa ñộ của A(3; 1) và B(– 1 ; – 1). c) • y A = 1 > 0, y B = – 1 < 0 ⇒ A, B nằm khác phía ñối với trục Ox do ñó MA + MB nhỏ nhất khi M, A, B thẳng hàng ⇒ M là giao ñiểm của AB với truc Ox. • ðường thẳng AB có dạng: y = ax + b. ðường thẳng AB ñi qua hai ñiểm A, B ⇒ 1 3 1 a b a b = +   − = − +  ⇔ 1 2 1 2 a b  =     = −   → ðường thẳng AB: y = 1 2 x – 1 2 . • Tọa ñộ M là nghiệm của hệ pt: 1 1 2 2 0 y x y  = −    =  ⇔ 0 1 y x =   =  . • Vậy: M(1; 0). Bài tập 10: Cho (P): y = x 2 và (D): y = – x + 2. 1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa ñộ vuông góc Oxy. Gọi A và B là các giao ñiểm của (P) và (D), xác ñịnh tọa ñộ của A, B. 2. Tính diện tích tam giác AOB (ñơn vị ño trên trục số là cm). 3. CMR: Tam giác AOB là tam giác vuông. HD: 1. Tọa ñộ giao ñiểm: (1; 1)và (– 2; 4). 2. Gọi H, K là hình chiếu của A, B trên trục Ox, ta có: Toán 9 – Ôn tập học kỳ II _2010 – 2011 8 • ∆ OHA vuông tại H ⇒ S OHA = 1 2 OH.OA = 1 2 .1. 1 = 1 2 (cm 2 ). • ∆ OKB vuông tại K ⇒ S OKB = 1 2 OK.KB = 1 2 .2. 4 = 4 (cm 2 ). • Gọi I là giao ñiểm của (D) với trục Ox ⇒ y I = 0 ⇒ x I = 2 ⇒ I(2; 0). • ∆ IKB vuông tại K ⇒ S IKB = 1 2 BK.KI = 1 2 .4. 4 = 8 (cm 2 ). • S OAB = S IKB – (S OHA + S OKB ) = 8 – ( 1 2 + 4) = 3,5 (cm 2 ). 3. • Phương trình ñường thẳng OA: y = a’x (D’). • (D’) ñi qua A(1; 1) ⇒ a = 1 ⇒ (D’): y = x. • (D) có a = – 1 và (D’) có a’ = 1 → a. a’ = – 1 ⇒ (D) ⊥ (D’) ⇒ OA ⊥ AB ⇒ ∆ OAB vuông tại A. Toán 9 – Ôn tập học kỳ II _2010 – 2011 9 CH Ủ ðỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Giải phương trình bậc hai dạng ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) a) Nh ẩ m nghi ệ m: • a + b +c = 0 ⇒ pt (1) có 2 nghi ệ m: 1 2 1 x c x a =    =  . • a – b +c = 0 ⇒ pt (1) có 2 nghi ệ m: 1 2 1 x c x a =−    = −  . b) Gi ả i v ớ i ' ∆ : N ế u b = 2b’ ⇒ b’ = 2 b ⇒ ' ∆ = (b’) 2 – ac. • N ế u ' ∆ > 0 ⇒ ph ươ ng trình có 2 nghi ệ m phân bi ệ t: 1 ' ' b x a − + ∆ = ; 2 ' ' b x a − − ∆ = • N ế u ' ∆ = 0 ⇒ ph ươ ng trình có nghi ệ m kép: 1 2 ' b x x a − = = . • N ế u ' ∆ < 0 ⇒ ph ươ ng trình vô nghi ệ m. c) Gi ả i v ớ i ∆ : Tính ∆ : ∆ = b 2 – 4ac. • N ế u ∆ > 0 ⇒ ph ươ ng trình có 2 nghi ệ m phân bi ệ t: 1 2 b x a − + ∆ = ; 2 2 b x a − − ∆ = • N ế u ∆ = 0 ⇒ ph ươ ng trình có nghi ệ m kép: 1 2 2 b x x a − = = . • N ế u ∆ < 0 ⇒ ph ươ ng trình vô nghi ệ m. 2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng: a) ðị nh lý: N ế u x 1 , x 2 là 2 nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có: 1 2 1 2 b S x x a c P x x a  = + = −     = =   . b) ðị nh lý ñả o: N ế u . u v S u v P + =   =  ⇒ u, v là 2 nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình x 2 – Sx + P = 0 ( ð K: S 2 – 4P ≥ 0). * Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét: • T ổ ng bình ph ươ ng các nghi ệ m: 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 x x x x x x + = + − = S 2 – 2P. • T ổ ng ngh ị ch ñả o các nghi ệ m: 1 2 1 2 1 2 1 1 S P x x x x x x + + = = . • T ổ ng ngh ị ch ñả o bình ph ươ ng các nghi ệ m: 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 S 2P ( ) P x x x x x x + − + = = . • Bình ph ươ ng c ủ a hi ệ u các nghi ệ m: − = + − 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 4 x x x x x x = S 2 – 4P. • T ổ ng l ậ p ph ươ ng các nghi ệ m: 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 3 ( ) x x x x x x x x + = + − + = S 3 – 3PS Ví d ụ : Cho ph ươ ng trình x 2 – 12x + 35 = 0. Hãy tính giá tr ị c ủ a các bi ể u th ứ c sau: a) 2 2 1 2 x x + . b) 1 2 1 1 x x + . c) 2 1 2 ( ) x x − d) 3 3 1 2 x x + Toán 9 – Ôn tập học kỳ II _2010 – 2011 10 Gi ả i: Ph ươ ng trình có ' ∆ = 1 > 0 ⇒ pt có 2 nghi ệ m, áp d ụ ng h ệ th ứ c Vi-ét cho pt (1): 1 2 1 2 12 35 b S x x a c P x x a  = + = − =     = = =   . a) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 x x x x x x + = + − = S 2 – 2P = 12 2 – 2.35 = 74. b) 1 2 1 2 1 2 1 1 S P x x x x x x + + = = = 12 35 . c) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 4 S - 4P x x x x x x− = + − = = 12 2 – 4.35 = 4. d) 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 3 ( ) x x x x x x x x + = + − + = S 3 – 3PS = 12 3 – 3.35.12 = 468. 3.Tìm hệ thức giữa hai nghiệm ñộc lập ñối với tham số: (Tìm h ệ th ứ c liên h ệ gi ữ a 2 nghi ệ m x 1 , x 2 không ph ụ thu ộ c vào tham s ố ). * Ph ươ ng pháp gi ả i: • Tìm ñ i ề u ki ệ n ñể ph ươ ng trình ñ ã cho có nghi ệ m ( ' 0 ∆ ≥ ; ∆ ≥ 0 ho ặ c a.c < 0). • L ậ p h ệ th ứ c Vi-ét cho ph ươ ng trình 1 2 1 2 b S x x a c P x x a  = + = −     = =   . • Kh ử tham s ố (b ằ ng ph ươ ng pháp c ộ ng ñạ i s ố ) tìm h ệ th ứ c liên h ệ gi ữ a S và P → ð ó là h ệ th ứ c ñộ c l ậ p v ớ i tham s ố . Ví d ụ : Cho ph ươ ng trình 2x 2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1) (m là tham s ố ). 1. CMR: Ph ươ ng trình (1) luôn có nghi ệ m v ớ i m ọ i m. 2. G ọ i x 1 , x 2 là 2 nghi ệ m c ủ a pt (1). Tìm h ệ th ứ c liên h ệ gi ữ a 2 nghi ệ m không ph ụ thu ộ c vào m. Gi ả i: 1. Ph ươ ng trình (1) có ∆ = b 2 – 4ac = + (2m – 1) 2 – 4.2.(m – 1) = 4m 2 – 12m + 9 = (2m – 3) 2 ≥ 0, ∀ m. V ậ y ph ươ ng trình (1) luôn có nghi ệ m v ớ i m ọ i m. 2. • Áp d ụ ng h ệ th ứ c Vi-ét cho ph ươ ng trình (1): 1 2 1 2 2 1 2 1 2 b m S x x a c m P x x a − +  = + = − =    −  = = =   ⇔ 2 2 1 2 1 S m P m =− +   = −  ⇔ 2 2 1 4 2 2 S m P m =− +   = −  ⇒ 2S + 4P = -1. Hay: 2(x 1 + x 2 ) + 4x 1 x 2 = -1 : ð ây là h ệ th ứ c c ầ n tìm. 4. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng – Lập phương trình bâc hai khi biết hai nghiệm của nó: * Ph ươ ng pháp gi ả i: • N ế u 2 s ố u và v c ó: . u v S u v P + =   =  ⇒ u, v là hai nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình: x 2 – Sx + P = 0 (*). • Gi ả i pt (*): + N ế u ' ∆ > 0 (ho ặ c ∆ > 0) ⇒ pt (*) có 2 nghi ệ m phân bi ệ t x 1 , x 2 . V ậ y 1 2 u x v x =   =  ho ặ c 2 1 u x v x =   =  . + N ế u ' ∆ = 0 (ho ặ c ∆ = 0) ⇒ pt (*) có nghi ệ m kép x 1 = x 2 = ' b a − . V ậ y u = v = ' b a − . + N ế u ' ∆ < 0 (ho ặ c ∆ < 0) ⇒ pt (*) vô nghi ệ m. V ậ y không có 2 s ố u, v th ỏ a ñề bài. Ví d ụ 1: Tìm 2 s ố u,v bi ế t u + v = 11 và u.v = 28 Gi ả i: Theo ñề bài ⇒ u, v là hai nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình: x 2 – Sx + P = 0 ⇔ x 2 – 11x + 28 = 0(*) [...]... xe I và xe II (x, y > 0) • Sau m t gi hai xe g p nhau nên t ng qng đư ng hai xe đi đư c b ng đo n đư ng AB, do đó ta có pt: x + y = 90 (1) • Th i gian xe I đi h t đo n đư ng AB: 90 (h) x 19 Tốn 9 – Ơn t p h c kỳ II _2010 – 2011 90 (h) y 9 90 9 90 Vì xe II t i A trư c xe I t i B là 27 phút = h nên ta có pt: – = (2) 20 x y 20  y = 90 − x (a )  x + y = 90   T (1) và (2) ta có h pt:  90 90 9 ⇔ 10 ... (x ∈ N, 0 < x ≤ 9) • Ch s hàng đơn v : 10 – x • S đã cho có d ng: 10.x + (10 – x) = 9x + 10 • Tích c a hai ch s y: x(10 – x) 15 Tốn 9 – Ơn t p h c kỳ II _2010 – 2011 • Theo đ bài ta có phương trình: (9x + 10) – x(10 – x)= 12 ⇔ x2 – 2 = 0 • Gi i pt trên ta đư c: x1 = –1( lo i); x2 = 2 (nh n) • V y s c n tìm là 28 Bài t p 4: Gi i bài tốn sau b ng cách l p phương trình: M t hình ch nh t có chu vi là 280m... trong 1h hai vòi cùng ch y đư c 5 5 5 b , 24 1 1 5 do đó ta có pt: + = (1) x y 24 • Trong 1h, vòi 1 ch y đư c: 18 Tốn 9 – Ơn t p h c kỳ II _2010 – 2011 • Vì lúc đ u ch m vòi th nh t và 9 gi sau m i m thêm vòi th hai thì sau nư c nên ta có pt: 6 gi 5 n am ib 9 61 1 +  +  = 1 (2) x 5 x y 1 5 1  x + y = 24  • T (1) và (2) ta có h pt:  (I) 9 6 1 1   + +  =1 x 5 x y    5 5    u + v = 24... hàng đơn v là 2 nên ta có pt: x – y = 2 (1) • Khi thêm ch s b ng ch s hàng ch c vào bên ph i thì đư c s m i: xyx =100x +10y + x = 101x +10y • Vì s m i l n hơn s ban đ u là 682 nên ta có phương trình: (101x + 10y) – (10x + y) = 682 ⇔ 91 x + 9y = 682 (2) x − y = 2 • T (1) và (2) ta có h pt:  91 x + 9 y = 682 x = 7 • Gi i h pt ta đư c  (th a ðK) ⇒ s c n tìm là 75 y = 5 Bài t p 2: Có hai s t nhiên, bi... ta có pt: + = (1) 24 x y 24 17 Tốn 9 – Ơn t p h c kỳ II _2010 – 2011 • Vì vòi th nh t trong 3 gi và vòi th hai trong 4 gi thì đư c 3 3 4 b nư c nên ta có pt: + = 4 x y 3 (2) 4 5 1 1 + = x y 24  • T (1) và (2) ta có h pt:  (I) 3 4 3  + = x y 4  5  u+ v =  1 1  24 (II) • ð t u = , v = , h (I) tr thành:  x y 3u + 4v = 3   4 1 1 1  = u=    12 ⇒  x 12 ⇒  x = 12 (th a ðK) • Gi i h (II) ,... Phương trình (1) có 2 nghi m trái d u khi a.c < 0 ⇔ 1.(2m – 3) < 0 ⇒ m < 2 Bài t p 5 : Cho phương trình b c hai x2 –2(m – 1)x + m2 = 0 (1) 1 Tìm m đ : a) Pt (1) có 2 nghi m phân bi t b) Pt (1) có m t nghi m là – 2 2 Gi s x1, x2 là 2 nghi m c a pt (1) CMR: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + 4 = 0 HD: 1a • Phương trình (1) có ∆ ' = 1 – 2m 12 Tốn 9 – Ơn t p h c kỳ II _2010 – 2011 • Phương trình (1) có hai nghi m... bài ta có h pt:   x + y = 45  x = 20 Gi i h pt ta đư c  (th a ðK)  y = 25 • V y đ dài hai c nh góc vng là 20cm và 25cm Bài t p 9: Cho tam giác vng có c nh huy n b ng 5cm, di n tích b ng 6cm2 Tìm đ dài các c nh góc vng HD: • G i x (cm), y (cm) là đ dài hai c nh góc vng (0 < x, y < 5) • Vì tam giác có c nh huy n 5cm nên ta có pt: x2 + y2 = 25 (1) • • Vì tam giác có di n tích 6cm2 nên ta có pt: 1... Phương trình (1) ln có nghi m v i m i m 3 Trong trư ng h p (1) có hai nghi m phân bi t.Tìm h th c liên h gi a x1, x2 khơng ph thu c vào m  x1 = 1 2 HD: 1 Khi m = 3, ta có phương trình: x – 4x + 3 = 0, pt có a + b + c = 1 +(–4) + 3 = 0 ⇒  c 3  x2 = = = 3  a 1 V y khi m = 3, phương trình (1) có 2 nghi m phân bi t: x1 = 1, x2 = 3 2 ∆ = (m – 1)2 ≥ 0, ∀m 3 m > 1 • ðK đ pt (1) có 2 nghi m phân bi... h th c liên h gi a x1, x2 khơng ph thu c vào m 2 HD:  x1 = − 1 1 Khi m = –2, ta có phương trình: x + 5x + 4 = 0, pt có a – b + c = 1 –5 + 4 = 0 ⇒  c 4  x2 = − = − = − 4  a 1 V y khi m = – 2, phương trình (1) có 2 nghi m phân bi t: x1 = –1, x2 = – 4 2 ∆ = m2 + 2m + 9 = (m + 1)2 + 8 > 0, ∀m 2 11 Tốn 9 – Ơn t p h c kỳ II _2010 – 2011 3 H th c: 2S + P = – 6 ⇒ 2(x1 + x2) + x1x2 = – 6 Bài t p 2: Cho... và tr l i u c u c a bài II BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài t p1: Gi i bài tốn sau b ng cách l p h phương trình: Tìm s t nhiên có hai ch s , bi t r ng ch s hàng ch c l n h n ch s hàng đơn v là 2 và n u vi t thêm ch s b ng ch s hàng ch c vào bên ph i thì đư c m t s l n hơn s ban đ u là 682 HD: • G i x là ch s hàng ch c (x ∈ N, 0 < x ≤ 9) • G i y là ch s hàng đơn v (y ∈ N, x ≤ 9) • S c n tìm có d ng xy = 10x + y • . 9 – Ôn tập học kỳ II _2010 – 2011 20 • Thời gian xe II ñi hết ñoạn ñướng AB: 90 y (h). • Vì xe II tới A trước xe I tới B là 27 phút = 9 20 h nên ta có pt: 90 x – 90 y = 9 20 . x • Số đã cho có dạng: 10.x + (10 – x) = 9x + 10 • Tích của hai chữ số ấy: x(10 – x) Toán 9 – Ôn tập học kỳ II _2010 – 2011 16 • Theo ñề bài ta có phương trình: (9x + 10) – x(10. =   − =  • Giải hệ pt ta ñược 100 70 x y =   =  (thỏa ðK). Toán 9 – Ôn tập học kỳ II _2010 – 2011 17 Bài tập 8: Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 4cm và