Đề cương ôn tập HK II cho HS

Tốn – Ơn t p h c kỳ II CH ð : CÁC BÀI TỐN V H PHƯƠNG TRÌNH I KI N TH C C N NH  ax + by = c , a ≠ ( D) Cho h phương trình:   a ' x + b ' y = c ', a ' ≠ ( D ') a b ≠ ⇔ H phương trình có nghi m nh t a' b' a b c = ≠ ⇔ H phương trình vơ nghi m • (D) // (D’) ⇔ a' b' c' a b c • (D) ≡ (D’) ⇔ = = ⇔ H phương trình có vơ s nghi m a' b' c' II BÀI T P V N D NG x + y = m p 1: Cho h phương trình  (1) x − my =  Gi i h phương trình (1) m = –1 Xác ñ nh giá tr c a m ñ : a) x = y = nghi m c a h (1) b) H (1) vô nghi m Tìm nghi m c a h phương trình (1) theo m Tìm m đ h (1) có nghi m (x, y) th a: x + y = x + y = k + p 2: Cho h phương trình  (1) 2 x + y = − k Gi i h (1) k = Tìm giá tr c a k đ h (1) có nghi m x = – y = Tìm nghi m c a h (1) theo k x + y = (1) p 3: Cho h phương trình   x − my = 1 Gi i h phương trình (1) m = –7 Xác ñ nh giá tr c a m ñ : a) x = – y = nghi m c a h (1) b) H (1) vô nghi m Tìm nghi m c a h phương trình (1) theo m  mx − y = −1 (1) p 4: Cho h phương trình  2 x + y = 1 Gi i h phương trình (1) m = 2 Tìm m đ h phương trình có nghi m x = − y = 3 Tìm nghi m c a h phương trình (1) theo m x + y = p : Cho h phương trình  (1) 2 x + y = m Gi i h phương trình (1) m = –1 x > Tìm m đ h (1) có nghi m (x; y) th a  y hàm s đ ng bi n x > ngh ch bi n x < • N u a < hàm s đ ng bi n x < ngh ch bi n x > ð th c a hàm s y = ax2(a ≠ 0): • Là m t Parabol (P) v i ñ nh g c t a ñ nh n tr c Oy làm tr c ñ i x ng • N u a > đ th n m phía tr c hồnh ñi m th p nh t c a ñ th • N u a < đ th n m phía dư i tr c hồnh ñi m cao nh t c a ñ th V ñ th c a hàm s y = ax2 (a ≠ 0): • L p b ng giá tr tương ng c a (P) • D a b ng giá tr → v (P) Tìm giao ñi m c a hai ñ th :(P): y = ax2(a ≠ 0) (D): y = ax + b: • L p phương trình hồnh đ giao m c a (P) (D): cho v ph i c a hàm s b ng → ñưa v pt b c hai d ng ax2 + bx + c = • Gi i pt hồnh ñ giao ñi m: + N u ∆ > ⇒ pt có nghi m phân bi t ⇒ (D) c t (P) t i ñi m phân bi t + N u ∆ = ⇒ pt có nghi m kép ⇒ (D) (P) ti p xúc + N u ∆ < ⇒ pt vô nghi m ⇒ (D) (P) không giao Xác ñ nh s giao ñi m c a hai ñ th :(P): y = ax2(a ≠ 0) (Dm) theo tham s m: • L p phương trình hồnh đ giao m c a (P) (Dm): cho v ph i c a hàm s b ng → ñưa v pt b c hai d ng ax2 + bx + c = • L p ∆ (ho c ∆ ' ) c a pt hồnh đ giao m • Bi n lu n: 2 Tốn – Ơn t p h c kỳ II + (Dm) c t (P) t i ñi m phân bi t ∆ > → gi i b t pt → tìm m + (Dm) ti p xúc (P) t i ñi m ∆ = → gi i pt → tìm m + (Dm) (P) không giao ∆ < → gi i b t pt → tìm m II BÀI T P V N D NG x Bài t p 1: Cho hai hàm s y = có đ th (P) y = -x + m có đ th (Dm) V i m = 4, v (P) (D4) m t h tr c t a đ vng góc Oxy Xác đ nh t a ñ giao ñi m c a chúng Xác ñ nh giá tr c a m ñ : a) (Dm) c t (P) t i ñi m có hồnh đ b ng b) (Dm) c t (P) t i ñi m phân bi t c) (Dm) ti p xúc (P) Xác ñ nh t a ñ ti p ñi m Bài t p 2: Cho hai hàm s y = – 2x2 có đ th (P) y = – 3x + m có ñ th (Dm) Khi m = 1, v (P) (D1) m t h tr c t a đ vng góc Oxy Xác đ nh t a ñ giao ñi m c a chúng Xác ñ nh giá tr c a m ñ : a) (Dm) ñi qua m t ñi m (P) t i m có hồnh đ b ng − b) (Dm) c t (P) t i ñi m phân bi t c) (Dm) ti p xúc (P) Xác ñ nh t a ñ ti p ñi m Bài t p 3: Cho hàm s y = – 2x2 có đ th (P) V (P) m t h tr c t a đ vng góc G i A( − ; −7 ) B(2; 1) a) Vi t phương trình đư ng th ng AB b) Xác ñ nh t a ñ giao ñi m c a ñư ng th ng AB (P) Tìm m (P) có t ng hồnh đ tung đ c a b ng – Bài t p 4: Cho hàm s y = − x2 có đ th (P) y = – 2x + có đ th (D) V (P) (D) m t h tr c t a đ vng góc Xác ñ nh t a ñ giao ñi m c a (P) (D) Tìm t a ñ nh ng ñi m (P) th a tính ch t t ng hồnh đ tung đ c a m b ng – Bài t p 5: Cho hàm s y = 2 x có đ th (P) y = x + có đ th (D) 3 V (P) (D) m t h tr c t a đ vng góc Xác đ nh t a đ giao ñi m c a (P) (D)  x A = xB Xác ñ nh t a ñ c a A B 11 y A = yB G i A ñi m ∈ (P) B ñi m ∈ (D) cho  Bài t p 6: Trong m t ph ng t a đ vng góc Oxy, cho hai m A(1; –2) B(–2; 3) Vi t phương trình ñư ng th ng (d) ñi qua A, B G i (P) ñ th c a hàm s y = –2x2 a) V (P) m t ph ng t a ñ ñã cho b) Xác ñ nh t a ñ giao ñi m c a (P) (d) Bài t p 7: V ñ th (P) c a hàm s y = –2x2 m t ph ng t a đ vng góc Oxy G i (D) ñư ng th ng ñi qua ñi m A(–2; –1) có h s góc k a) Vi t phương trình đư ng th ng (D) b) Tìm k đ (D) qua B n m (P) bi t hồnh đ c a B Tốn – Ơn t p h c kỳ II Bài t p 8: Cho hai hàm s y = x2 có đ th (P) y = x + có đ th (D) V (P) và(D) m t h tr c t a ñ vng góc Oxy Xác đ nh t a đ giao ñi m c a chúng G i A m thu c (D) có hồnh đ b ng B ñi m thu c (P) có hồnh đ b ng – Xác đ nh t a đ c a A, B Tìm t a ñ c a ñi m I n m tr c tung cho: IA + IB nh nh t Bài t p 9: Cho hàm s y = – x2 có đ th (P) y = x – có đ th (D) a) V (P) và(D) m t h tr c t a ñ vng góc Xác đ nh t a đ giao m c a (P) (D) b ng phương pháp ñ i s b) G i A m t m thu c (D) có tung đ b ng B m t ñi m thu c (P) có hồnh đ b ng – Xác ñ nh t a ñ c a A B c) Tìm t a đ c a m M thu c tr c hoành cho MA + MB nh nh t Bài t p 10: Cho (P): y = x2 (D): y = – x + V (P) (D) m t h tr c t a đ vng góc Oxy G i A B giao ñi m c a (P) (D), xác ñ nh t a ñ c a A, B Tính di n tích tam giác AOB (ñơn v ño tr c s cm) CMR: Tam giác AOB tam giác vuông -CH ð : CÁC BÀI TOÁN V PHƯƠNG TRÌNH B C HAI I KI N TH C C N NH Gi i phương trình b c hai d ng ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (1) a) Nh m nghi m:  x1 = • a + b +c = ⇒ pt (1) có nghi m:   x2 = c a   x1 = − • a – b +c = ⇒ pt (1) có nghi m:   x2 = − c a  b) Gi i v i ∆ ' : b N u b = 2b’ ⇒ b’ = ⇒ ∆ ' = (b’)2 – ac −b ' + ∆ ' −b ' − ∆ ' ; x2 = a a −b ' • N u ∆ ' = ⇒ phương trình có nghi m kép: x1 = x2 = a • N u ∆ ' < ⇒ phương trình vơ nghi m c) Gi i v i ∆ : Tính ∆ : ∆ = b2 – 4ac −b + ∆ −b − ∆ • N u ∆ > ⇒ phương trình có nghi m phân bi t: x1 = ; x2 = 2a 2a −b • N u ∆ = ⇒ phương trình có nghi m kép: x1 = x2 = 2a • N u ∆ < ⇒ phương trình vơ nghi m H th c Vi ét ng d ng: • N u ∆ ' > ⇒ phương trình có nghi m phân bi t: x1 = Tốn – Ơn t p h c kỳ II b  S = x1 + x2 = − a  a) ð nh lý: N u x1, x2 nghi m c a phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) ta có:  P = x x = c  a  u + v = S b) ð nh lý ñ o: N u  ⇒ u, v nghi m c a phương trình x2 – Sx + P = (ðK: S2 – 4P ≥ 0) u.v = P * M t s h th c áp d ng h th c Vi-ét: • T ng bình phương nghi m: x12 + x2 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = S2 – 2P 1 x +x S • T ng ngh ch ñ o nghi m: + = = x1 x2 x1 x2 P 1 x + x2 S2 − 2P + = = x12 x2 ( x1 x2 )2 P2 • T ng ngh ch đ o bình phương nghi m: • Bình phương c a hi u nghi m: ( x1 − x2 )2 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = S2 – 4P • T ng l p phương nghi m: x13 + x2 = ( x1 + x2 )3 − x1 x2 ( x1 + x2 ) = S3 – 3PS Ví d : Cho phương trình x2 – 12x + 35 = Hãy tính giá tr c a bi u th c sau: 1 a) x12 + x2 b) + c) ( x1 − x2 )2 d) x13 + x2 x1 x2 Gi i: b  S = x1 + x2 = − a = 12  Phương trình có ∆ ' = > ⇒ pt có nghi m, áp d ng h th c Vi-ét cho pt (1):   P = x x = c = 35  a  2 2 a) x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = S – 2P = 12 – 2.35 = 74 1 x +x S 12 b) + = = = x1 x2 x1 x2 P 35 c) ( x1 − x2 )2 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = S2 - 4P = 122 – 4.35 = d) x13 + x2 = ( x1 + x2 )3 − x1 x2 ( x1 + x2 ) = S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468 3.Tìm h th c gi a hai nghi m ñ c l p ñ i v i tham s :(Tìm h th c liên h gi a nghi m x1, x2 không ph thu c vào tham s ) * Phương pháp gi i: • Tìm u ki n đ phương trình cho có nghi m ( ∆ ' ≥ ; ∆ ≥ ho c a.c < 0) b  S = x1 + x2 = − a  • L p h th c Vi-ét cho phương trình  P = x x = c  a  • Kh tham s (b ng phương pháp c ng ñ i s ) tìm h th c liên h gi a S P → ðó h th c ñ c l p v i tham s Ví d : Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = (1) (m tham s ) CMR: Phương trình (1) ln có nghi m v i m i m G i x1, x2 nghi m c a pt (1) Tìm h th c liên h gi a nghi m không ph thu c vào m Gi i: Phương trình (1) có ∆ = b2 – 4ac = + (2m – 1)2 – 4.2.(m – 1) = 4m2 – 12m + = (2m – 3)2 ≥ 0, ∀ m V y phương trình (1) ln có nghi m v i m i m Toán – Ôn t p h c kỳ II b − 2m +  S = x1 + x2 = − a = 2 S = − m +  • Áp d ng h th c Vi-ét cho phương trình (1):  ⇔ 2 P = m − P = x x = c = m −1  a  2 S = − m + ⇔ ⇒ 2S + 4P = -1 Hay: 2(x1 + x2) + 4x1x2 = -1 : ðây h th c c n tìm 4 P = 2m − Tìm hai s bi t t ng tích c a chúng – L p phương trình bâc hai bi t hai nghi m c a nó: * Phương pháp gi i: u + v = S • N u s u v c ó:  ⇒ u, v hai nghi m c a phương trình: x2 – Sx + P = (*) u.v = P • Gi i pt (*): u = x1  u = x2 ho c  + N u ∆ ' > (ho c ∆ > 0) ⇒ pt (*) có nghi m phân bi t x1, x2 V y  v = x2 v = x1   b' b' + N u ∆ ' = (ho c ∆ = 0) ⇒ pt (*) có nghi m kép x1 = x2 = − V y u = v = − a a + N u ∆ ' < (ho c ∆ < 0) ⇒ pt (*) vơ nghi m V y khơng có s u, v th a đ Ví d 1: Tìm s u,v bi t u + v = 11 u.v = 28 Gi i: Theo ñ ⇒ u, v hai nghi m c a phương trình: x2 – Sx + P = ⇔ x2 – 11x + 28 = 0(*)  x1 = Phương trình (*) có ∆ = > ⇒ ∆ = ⇒   x2 = u = u = V y:  hay  v = v = Ví d 2: Cho hai s a = +1 b = – Vi t phương trình b c hai có hai nghi m a b Gi i: • a + b = ( +1) + (3 – ) = • a.b = ( +1) (3 – 3)=2 Suy ra: a, b nghi m c a phương trình: x2 – Sx + P = ⇔ x2 – 4x + = 0: ðây pt c n tìm Ch ng minh phương trình b c hai ln có hai nghi m phân bi t v i m i giá tr c a tham s m: * Phương pháp gi i: • L p bi t th c ∆ ' (ho c ∆ ) • Bi n đ i ∆ ' ñưa v d ng : ∆ ' = (A ± B)2 + c > 0, ∀ m (v i c m t s dương) • K t lu n: V y phương trình cho ln có hai nghi m phân bi t v i m i tham s m Ch ng minh phương trình b c hai ln có nghi m v i m i giá tr c a tham s m: * Phương pháp gi i: • L p bi t th c ∆ ' (ho c ∆ ) • Bi n đ i ∆ ' ñưa v d ng : ∆ ' = (A ± B)2 ≥ 0, ∀ m • K t lu n: V y phương trình cho ln nghi m v i m i tham s m Bi n lu n phương trình b c hai theo tham s m: * Phương pháp gi i: • L p bi t th c ∆ ' (ho c ∆ ) • Bi n lu n: + Phương trình có nghi m phân bi t khi: ∆ ' > → gi i b t pt → tìm tham s m → k t lu n + Phương trình có nghi m kép ∆ ' = → gi i pt → tìm tham s m → k t lu n Tốn – Ơn t p h c kỳ II + Phương trình vơ nghi m ∆ ' < → gi i b t pt → tìm tham s m → k t lu n + Phương trình có nghi m ∆ ' ≥ → gi i b t pt → tìm tham s m → k t lu n * Phương trình có nghi m trái d u khi: a.c < → gi i b t pt → tìm tham s m → k t lu n Xác ñ nh giá tr nh nh t c a bi u th c: * Phương pháp gi i: • ðưa bi u th c P c n tìm v d ng: P = (A ± B)2 + c ⇒ P = (A ± B)2 + c ≥ c • Giá tr nh nh t c a P: Pmin = c A ± B = → gi i pt → tìm tham s m → k t lu n Xác ñ nh giá tr l n nh t c a bi u th c: * Phương pháp gi i: • ðưa bi u th c Q c n tìm v d ng: Q = c – (A ± B)2 ⇒ Q = c – (A ± B)2 ≤ c Giá tr nh nh t c a Q: Qmax = c A ± B = → gi i pt → tìm tham s m → k t lu n Bài t Bài t Bài t Bài t Bài t Bài t Bài t Bài t II BÀI T P V N D NG p 1: Cho phương trình b c hai x – (m – 3)x – 2m = (1) Gi i phương trình (1) m = – 2 CMR: Phương trình (1) ln có hai nghi m phân bi t v i m i m Tìm h th c liên h gi a x1, x2 không ph thu c vào m p 2: Cho phương trình b c hai x2 – (m + 1)x + m = (1) Gi i phương trình (1) m = CMR: Phương trình (1) ln có nghi m v i m i m Trong trư ng h p (1) có hai nghi m phân bi t.Tìm h th c liên h gi a x1, x2 không ph thu c vào m p : Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = (m tham s ) (1) Gi i phương trình (1) m = 2 CMR: Phương trình (1) ln có nghi m v i m i m Trong trư ng h p (1) có hai nghi m phân bi t.Thi t l p h th c liên h gi a x1, x2 ñ c l p v i m p : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – = (m tham s ) (1) Gi i phương trình (1) m = CMR: Phương trình (1) ln có nghi m v i m i m Trong trư ng h p (1) có hai nghi m phân bi t.Thi t l p h th c liên h gi a x1, x2 ñ c l p v i m Tìm m đ phương trình (1) có nghi m trái d u p : Cho phương trình b c hai x2 –2(m – 1)x + m2 = (1) Tìm m đ : a) Pt (1) có nghi m phân bi t b) Pt (1) có m t nghi m – 2 Gi s x1, x2 nghi m c a pt (1) CMR: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + = p : Cho phương trình b c hai x2 –2(m + 1)x + m – = (1) Gi i phương trình (1) m = –2 CMR: ∀m , phương trình (1) ln có hai nghi m phân bi t G i x1, x2 hai nghi m c a pt (1) Ch ng minh bi u th c: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không ph thu c vào m p : Cho phương trình b c hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = (1) Gi i phương trình (1) m = – 2 CMR: V i m i m, phương trình (1) ln có hai nghi m phân bi t 2 G i x1, x2 hai nghi m c a (1) Tính A = x1 + x2 theo m Tìm giá tr c a m ñ A ñ t giá tr nh nh t p : Cho phương trình b c hai x2 – (m – 1)x + 2m – = (1) Gi i phương trình (1) m = –1 CMR: V i m i m, phương trình (1) ln có hai nghi m phân bi t Tìm m đ phương trình (1) có nghi m trái d u Thi t l p m i quan h gi a nghi m x1, x2 không ph thu c m Toán – Ôn t p h c kỳ II 2 Tìm m đ x1 + x2 = 10 Bài t p : Cho phương trình b c hai x2 + 2x + 4m + = (1) Gi i phương trình (1) m = –1 Tìm m đ : a) Phương trình (1) có hai nghi m phân bi t b) Phương trình (1) có hai nghi m trái d u c) T ng bình phương nghi m c a pt (1) b ng 11 Bài t p 10 : Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m tham s ) (1) a) Tìm m đ phương trình (1) có nghi m kép tính nghi m kép b) Trong trư ng h p phương trình (1) có hai nghi m phân bi t x1, x2 tìm h th c liên h gi a nghi m x1, x2 mà không ph thu c m CH ð : GI I BÀI TOÁN B NG CÁCH L P H PHƯƠNG TRÌNH – L P PHƯƠNG TRÌNH I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các bư c gi i: L p phương trình ( ho c h phương trình): • Ch n n s xác ñ nh ñi u ki n thích h p cho n; • Bi u di n ñ i lư ng chưa bi t theo n qua ñ i lư ng ñã bi t ; • L p phương trình ( ho c h phương trình) bi u th m i quan h gi a ñ i lư ng Gi i phương trình ( ho c h phương trình) v a l p ñư c Tr l i: Ch nh n nghi m th a ðK tr l i yêu c u c a II BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài t p1: Gi i toán sau b ng cách l p h phương trình: Tìm s t nhiên có hai ch s , bi t r ng ch s hàng ch c l n h n ch s hàng ñơn v n u vi t thêm ch s b ng ch s hàng ch c vào bên ph i đư c m t s l n s ban ñ u 682 Bài t p 2: Có hai s t nhiên, bi t r ng: t ng c a hai s b ng 59; hai l n s bé ba l n s Tìm hai s Bài t p 3: Gi i toán sau b ng cách l p phương trình: Cho m t s t nhiên có hai ch s T ng c a hai ch s c a b ng 10; tích hai ch s y nh s ñã cho 12 Tìm s cho Bài t p 4: Gi i toán sau b ng cách l p phương trình: M t hình ch nh t có chu vi 280m N u gi m chi u dài c a hình ch nh t 2m tăng chi u r ng thêm 3m di n tích c a tăng thêm 144m2 Tính kích thư c c a hình ch nh t Bài t p 5: Gi i toán sau b ng cách l p phương trình: M t khu vư n hình ch nh t có chu vi 320m N u chi u dài c a khu vư n tăng 10m chi u r ng gi m 5m di n tích c a tăng thêm 50m2 Tính di n tích c a khu vư n ban ñ u Bài t p 6: Gi i toán sau b ng cách l p phương trình: M t hình ch nh t có chu vi 160cm có di n tích 1500m2 Tính kich thư c c a Bài t p 7: Gi i toán sau b ng cách l p h phương trình: M t sân trư ng hình ch nh t có chu vi 340m Ba l n chi u dài l n chi u r ng 20m Tính di n tích c a sân trư ng Bài t p 8: Cho m t tam giác vng N u tăng c nh góc vng lên 4cm 5cm di n tích tam giác s tăng thêm 110cm2 N u gi m c hai c nh 5cm di n tích s gi m 100cm2 Tình hai c nh góc vuông c a tam giác Bài t p 9: Cho tam giác vng có c nh huy n b ng 5cm, di n tích b ng 6cm2 Tìm đ dài c nh góc vng Tốn – Ơn t p h c kỳ II Bài t p 10: Gi i toán sau b ng cách l p h phương trình: Hai vịi nư c ch y vào m t b khơng có nư c gi 48 phút s ñ y b N u m vòi th nh t gi vịi th hai gi đư c b nư c H i m i vòi ch y m t m i đ y b ? Bài t p11: Gi i tốn sau b ng cách l p h phương trình: Hai vòi nư c ch y vào m t b khơng có nư c gi 20 phút đ y b N u đ vịi th nh t ch y m t 10 phút vịi th hai ch y m t 12 phút ch đư c th tích c a b nư c H i m i vòi ch y m t 15 s ñ y b ? Bài t p 12: Gi i toán sau b ng cách l p h phương trình: Hai vịi nư c ch y vào m t b c n (khơng có nư c) sau th hai sau gi gi ñ y b N u lúc ñ u ch m vòi th nh t gi sau m i m thêm vòi n a m i b nư c H i n u t ñ u ch m vịi th hai sau m i ñ y b ? Bài t p13: Gi i toán sau b ng cách l p phương trình: Hai vịi nư c ch y vào m t b c n chưa có nư c sau 18 gi ñ y b N u ch y riêng vịi th nh t s ch y đ y b ch m vòi th hai 27 gi H i n u ch y riêng m i vòi m t m i ch y ñ y b ? Bài t p 14: Gi i tốn b ng cách l p h phương trình: Hai t nh A B cách 90 km Hai mơ tơ kh i hành đ ng th i, xe th nh t t A xe th hai t B ñi ngư c chi u Sau gi chúng g p Ti p t c ñi, xe th hai t i A trư c xe th nh t t i B 27 phút Tính v n t c m i xe Bài t p 15: Gi i toán b ng cách l p h phương trình: Hai t nh A B cách 110 km Hai mơ tơ kh i hành đ ng th i, xe th nh t t A xe th hai t B ñi ngư c chi u Sau gi chúng g p Ti p t c ñi, xe th hai t i A trư c xe th nh t t i B 44 phút Tính v n t c m i xe CH ð : HÌNH H C I KI N TH C C N NH ð nh nghĩa – ð nh lý H qu Ký hi u toán h c Hình v Góc tâm: Trong m t (O,R) có: AOB tâm ch n AmB đư ng trịn, s đo c a góc ⇒ AOB = sđ AmB tâm b ng s ño cung b ch n Góc n i ti p: * ð nh lý: Trong m t đư ng (O,R) có: BAC n i ti p ch n BC trịn, s đo c a góc n i ti p ⇒ BAC = sđ BC b ng n a s ño c a cung b ch n * H qu : Trong m t đư ng trịn: a) Các góc n i ti p b ng a) (O,R) có: ch n cung b ng BAC n.tiếp chắn BC    EDF n.tiếp chắn EF ⇒ BC = EF  BAC = EDF   Tốn – Ơn t p h c kỳ II b) Các góc n i ti p ch n b) (O,R) có: m t cung ho c ch n cung BAC n.tieáp chắn BC   b ng b ng  ⇒ BAC = BDC BDC n.tiếp chắn BC   (O,R) có: c) Góc n i ti p (nh ho b ng 900) có s đo b ng n s đo c a góc tâm ch m t cung d) Góc n i ti p ch n n đư ng trịn góc vng BAC n.tiếp chắn BC  EDF n.tiếp chắn EF   ⇒ BAC = EDF  BC = EF   c c) (O,R) có: a n BAC n.tiếp chắn BC    ⇒ BAC = BOC BOC tâm chắn BC  a d) (O,R) có: BAC n i ti p ch n n a đư ng trịn đư ng kính BC ⇒ BAC = 900 Góc t o b i tia ti p n dây cung: * ð nh lý: Trong m t ñư ng (O,R) có: trịn, s đo c a góc t o b i tia BAx t o b i tia ti p n dây cung ti p n dây cung b ng ch n AB ⇒ BAx = sñ AB n a s ño c a cung b ch n * H qu : Trong m t đư ng trịn, góc t o b i tia ti p n dây cung góc n i ti p ch n m t cung b ng Góc có đ nh bên đư ng trịn: * ð nh lý: Góc có đ nh bên đư ng trịn b ng n a t ng s ño hai cung b ch n (O,R) có: BAx tạo tt & dc chắnAB   ⇒ BAx = ACB ACB nội tiếp chắn AB   (O,R) có: BEC có đ nh bên đư ng trịn ⇒ BEC = ( sđ BC + sđ AD ) Góc có đ nh bên ngồi (O,R) có: đư ng trịn: BEC có đ nh bên ngồi đư ng trịn * ð nh lý: Góc có đ nh bên ngồi đư ng tròn b ng n a ⇒ BEC = ( sñ BC − sñ AD ) hi u s ño hai cung b ch n 10 Toán – Ôn t p h c kỳ II Cung ch a góc: * T p h p m nhìn đo n th ng AB dư i m t góc α khơng đ i hai cung trịn ch a góc α * ð c bi t: a) Các ñi m D, E, F a) ADB = AEB = AFB = α nhìn thu c n a m t ph ng b AB, ño n AB ⇒ A, B, D, E, F thu c nhìn đo n AB dư i m t m t đư ng trịn góc khơng đ i ⇒ Các ñ m A, B, D, E, F thu c m t đư ng trịn b) Các m C, D, E, F nhìn đo n AB dư i m t góc vng ⇒ Các đ m A, B, C, D, E, F thu c đư ng trịn đư ng kính AB T giác n i ti p: * ð nh nghĩa: M t t giác có b n ñ nh n m m t dư ng trịn đư c g i t giác n i ti p đư ng trịn * ð nh lý: Trong m t t giác n i ti p, t ng s đo hai góc đ i di n b ng 1800 b) ACB = ADB = AEB = AFB = 90 nhìn đo n AB ⇒ A, B, C, D, E, F thu c m t ñư ng trịn đư ng kính AB * T giác ABCD có A, B, C, D ∈ (O) ⇔ ABCD t giác n i ti p (O) * T giác ABCD n i ti p (O)  A + C = 1800  * ð nh lý ñ o: N u m t t ⇔  giác có t ng s đo hai góc đ i  B + D = 180  di n b ng 180 t giác * T giác ABCD có: n i ti p đư c đư ng trịn ð dài ñư ng tròn, cung tròn: * Chu vi ñư ng trịn: * ð dài cung trịn: Di n tích hình trịn, hình qu t trịn: * Di n tích hình trịn: A + C = 1800 ⇔ ABCD t giác n.ti p Ho c: B + D = 1800 ⇔ ABCD t giác n.ti p C = 2π R =π d ℓ= π Rn 1800 d2 S = πR = π 11 Toán – Ôn t p h c kỳ II S = * Di n tích hình qu t trịn: * Di n tích hình viên phân: * Di n tích hình vành khăn: π R 2n 360 = ℓ.R Sviên phân = Squ t - SABC S = π ( R12 − R2 ) HÌNH KHƠNG GIAN 1.Hình tr : * Di n tích xung quanh: S xq = 2π Rh * Di n tích tồn ph n: Stp = Sxq + 2.Sñáy Stp = 2π Rh + 2π R * Th tích: V = S h = π R h S: di n tích đáy; h: chi u cao 2.Hình nón: * Di n tích xung quanh: * Di n tích tồn ph n: S xq = π R.l Stp = Sxq + Sñáy Stp = π Rℓ + π R * Th tích: Vnón = V = Vtr π R 2h S: di n tích đáy; h: chi u cao, l: đư ng sinh Hình nón c t: * Di n tích xung quanh: l = h2 + R S xq = π ( R1 + R2 )l 12 Tốn – Ơn t p h c kỳ II * Di n tích tồn ph n: Stp = Sxq + Sñáy l n + Sñáy nh Stp = π ( R1 + R2 )l + π ( R12 + R2 ) * Th tích: Hình c u: * Di n tích m t c u: * Th tích: V = π h( R12 + R2 + R1R2 ) S = 4π R = π d V = π R3 BÀI T P V N D NG Bài 1: Cho ∆ ABC có ba góc nh n n i ti p đư ng trịn tâm O bán kính R Các phân giác c a góc ABC , ACB l n lư t c t đư ng trịn t i E, F CMR: OF ⊥ AB OE ⊥ AC G i M giao ñi m c a c a OF AB; N giao ñi m c a OE AC CMR: T giác AMON n i ti p tính di n tích hình trịn ngo i ti p t giác G i I giao ñi m c a BE CF; D ñi m ñ i x ng c a I qua BC CMR: ID ⊥ MN CMR: N u D n m (O) BAC = 600 Bài 2: Cho hình vng ABCD có c nh b ng a G i M ñi m c nh BC N ñi m c nh CD cho BM = CN Các ño n th ng AM BN c t t i H CMR: Các t giác AHND MHNC nh ng t giác n i ti p Khi BM = a Tính di n tích hình trị ngo i ti p t giác AHND theo a Tìm giá tr nh nh t c a đ dài ño n MN theo a Bài 3: Cho ∆ ABC có ba góc nh n n i ti p đư ng tròn tâm O ðư ng cao BH CK l n lư t c t (O) t i E F a) CMR: T giác BKHC n i ti p b) CMR: OA ⊥ EF EF // HK c) Khi ∆ ABC tam giác đ u có c nh b ng a Tính di n tích hình viên phân ch n cung nh BC c a (O) Bài 4: Cho hình vng ABCD có c nh b ng a G i E m t ñi m b t kỳ c nh BC Qua B v đư ng th ng vng góc v i tia DE t i H, ñư ng th ng c t tia DC t i F a) CMR: Năm ñi m A, B, H, C, D n m m t đư ng trịn b) CMR: DH.HE = BE.CE 13 Tốn – Ơn t p h c kỳ II c) Tính đ dài đo n th ng DH theo a E trung ñi m c a BC d) CMR: HC tia phân giác c a DHF Bài 5: M t hình vng ABCD n i ti p đư ng trịn Tâm O bán kính R M t ñi m M di ñ ng cung ABC , M không trùng v i A,B C, MD c t AC t i H 1) CMR:T giác MBOH n i ti p ñư c ñư ng tròn DH.DM = 2R2 2) CMR: MD.MH = MA.MC 3) ∆ MDC ∆ MAH b ng M m t v trí đ c bi t M’ Xác ñ nh ñi m M’ Khi ñó M’D c t AC t i H’ ðư ng th ng qua M’ vng góc v i AC c t AC t i I Ch ng minh r ng I trung ñi m c a H’C Bài 6: Cho hai đư ng trịn (O; 20cm) (O’; 15cm) c t t i A B Bi t AB = 24cm O O’ n m v hai phía so v i dây chung AB V đư ng kính AC c a đư ng trịn (O) đư ng kính AD c a đư ng trịn (O’) a) CMR: Ba m C, B, D th ng hàng b) Tính đ dài đo n OO’ c) G i EF ti p n chung c a hai đư ng trịn (O) (O’) (E, F ti p ñi m) CMR: ðư ng th ng AB ñi qua trung ñi m c a ño n th ng EF Bài 7: Cho n a đư ng trịn tâm O đư ng kính AB = 2R T A B l n lư t k hai ti p n Ax By v i n a đư ng trịn Qua m M thu c n a đư ng trịn (M khác A B) k ti p n th ba c t ti p n Ax By l n lư t t i C D CMR: a) T giác AOMC n i ti p b) CD = CA + DB COD = 900 c) AC BD = R2 Khi BAM = 600 Ch ng t ∆ BDM tam giác đ u tính di n tích c a hình qu t trịn ch n cung MB c a n a đư ng trịn cho theo R Bài 8: T m M ngồi đư ng trịn (O) v cát n MCD khơng ñi qua tâm O hai ti p n MA MB đ n đư ng trịn (O), A, B ti p ñi m C n m gi a M, D a) CMR: MA2 = MC MD b) G i I trung ñi m c a CD CMR: ñi m M, A, O, I, B n m m t ñư ng trịn c) G i H giao m c a AB MO CMR: T giác CHOD n i ti p đư c đư ng trịn Suy AB phân giác c a CHD d) G i K giao ñi m c a ti p n t i C D c a ñư ng trịn (O) CMR: m A, B, K th ng hàng Bài 9: Cho hình vng c nh a , l y ñi m M b t kỳ thu c c nh BC (M khác B,C) Qua B k đư ng th ng vng góc v i đư ng th ng DM t i H, kéo dài BH c t ñư ng th ng DC t i K Ch ng minh: BHCD t giác n i ti p Ch ng minh: KM ⊥ DB Ch ng minh: KC KD = KH KB Kí hi u SABM , SDCM di n tích c a tam giác ABM, tam giác DCM CMR: (SABM + SDCM ) khơng đ i Xác đ nh v trí c a M BC đ S2ABM + S2DCM đ t giá tr nh nh t Tìm giá tr nh nh t theo a 14 ... có nghi m trái d u Thi t l p m i quan h gi a nghi m x1, x2 không ph thu c m Toán – Ôn t p h c kỳ II 2 Tìm m đ x1 + x2 = 10 Bài t p : Cho phương trình b c hai x2 + 2x + 4m + = (1) Gi i phương trình... Ơn t p h c kỳ II + (Dm) c t (P) t i ñi m phân bi t ∆ > → gi i b t pt → tìm m + (Dm) ti p xúc (P) t i ñi m ∆ = → gi i pt → tìm m + (Dm) (P) không giao ∆ < → gi i b t pt → tìm m II BÀI T P V N... (D) cho  Bài t p 6: Trong m t ph ng t a đ vng góc Oxy, cho hai m A(1; –2) B(–2; 3) Vi t phương trình ñư ng th ng (d) ñi qua A, B G i (P) ñ th c a hàm s y = –2x2 a) V (P) m t ph ng t a ñ ñã cho