Tổng hợp đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán có đáp án

a/ Chứng minh OADP là tứ giác nội tiếp đường tròn.. 2 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Chứng minh rằng BM = CD và góc BAM = góc OAC.. Chứng minh rằng trong 6 thành phố n

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TP.ĐÀ NẴNG Năm học: 2014 – 2015

Bài 2: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

Bài 3: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và hàm số y = 4x + m có đồ thị (dm)

1)Vẽ đồ thị (P)

2)Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (dm) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt, trong đó tung độ của một trong hai giao điểm đó bằng 1.

Bài 4: (2,0 điểm) Cho phương trình x2 + 2(m – 2)x – m2 = 0, với m là tham số.

1)Giải phương trình khi m = 0.

2)Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với x1 < x2, tìm tất cả các giá trị của m sao

Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc BC) Vẽ đường tròn (C) có tâm

C, bán kính CA Đường thẳng AH cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là D.

1)Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn (C).

2)Trên cung nhỏ của đường tròn (C) lấy điểm E sao cho HE song song với AB Đường thẳng BE cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là F Gọi K là trung điểm của EF Chứng minh rằng:

2) Phương trình hoành độ giao điểm của y = x2 và đường thẳng y = 4x + m là :

Vậy m = 5 thỏa yêu cầu bài toán.

Bài 5:

1)Ta có nên BA là tiếp tuyến với (C)

BC vuông góc với AD nên

H là trung điểm AD Suy ra

nên BD cũng là tiếp tuyến với (C)

2)a)

Trong tam giác vuông ABCta có (1)

Xét hai tam giác đồng dạng ABE và FBA

(vì góc H đối đỉnh, HD = HA, (do AD // AF)

Suy ra HE = HN, nên H là trung điểm của EN Suy ra HK là đường trung bình của tam giác EAF Vậy HK // AF.

K N

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

2/ Cho phương trình x2  (3m + 1)x + 2m2 + m  1 = 0 (1) với m là tham số.

a/ Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b/ Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1) Tìm m để biểu thức

B = x1 + x2  3x1x2 đạt giá trị lớn nhất.

Bài 3: (2,0 điểm)

Để chuẩn bị cho một chuyến đi đánh bắt cá ở Hoàng Sa, hai ngư dân đảo Lý Sơn cần chuyển một số lương thực, thực phẩm lên tàu Nếu người thứ nhất chuyển xong một nửa số lương thực, thực phẩm; sau đó người thứ hai chuyển hết số còn lại lên tàu thì thời gian người thứ hai hoàn thành lâu hơn người thứ nhất là 3 giờ Nếu cả hai cùng làm chung thì thời gian chuyển hết số lương thực, thực phẩm lên tàu là giờ Hỏi nếu làm riêng một mình thì mỗi người chuyển hết số lương thực, thực phẩm đó lên tàu trong thời gian bao lâu?

Bài 4: (3,5 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Gọi M là điểm chính giữa của cung AB; P là điểm thuộc cung

MB (P khác M và P khác B) Đường thẳng AP cắt đường thẳng OM tại C; đường thẳng OM cắt đường thẳng BP tại

D Tiếp tuyến của nửa đường tròn ở P cắt cắt CD tại I.

a/ Chứng minh OADP là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b/ Chứng minh OB.AC = OC.BD.

c/ Tìm vị trí của điểm P trên cung MB để tam giác PIC là tam giác đều Khi đó hãy tính diện tích của tam giác PIC theo R.

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho biểu thức A = (4x5 + 4x4  5x3 + 5x  2)2014 + 2015 Tính giá trị của biểu thức A khi x =

HẾT

-Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

GỢI Ý BÀI GIẢI TOÁN VÀO 10 KHÔNG CHUYÊN LÊ KHIẾT QUẢNG NGÃI.

Bài 1: a/ Tính: = 10 + 6 = 16

ĐỀ CHÍNH THỨC

b/ Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A(1;  2) nên a + b =  2, và B(3; 4) nên 3a  b = 4.

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b/ Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1) Ta có x1 + x2 = 3m + 1; x1x2 = 2m2 + m  1

B = x1 + x2  3x1x2 = (x1 + x2)2  5x1x2 = (3m + 1)2  5(2m2 + m  1) =  (m2  m  6)

B = (m  )2 +  Dầu “=” xảy ra  m  = 0  m =

Vậy Bmin = khi m =

Bài 3: Gọi x (giờ) là thời gian người thứ I một mình làm xong cả công việc

và y (giờ) là thời gian người thứ II một mình làm xong cả công việc (Với x, y > )

Ta có hệ phương trình: 

Từ (1) và (2) ta có phương trình: Giải phương trình được x1 = 4, x2 = 

Chọn x = 4

Vậy thời gian một mình làm xong cả công việc của người thứ I là 4 giờ,

của người thứ II là 10 giờ.

Bài 4:

a/ C/minh AOD = APD = 900

O và P cùng nhìn đoạn AD dưới một góc 900

 OADP tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AD

b/ C/ minh  AOC DOB (g.g) 

 OB.AC = OC.BD (đpcm)

c/ Ta có IPC = PBA (cùng chắn cung AP của (O))

và có ICP = PBA (cùng bù với OCP)

Suy ra IPC = ICP  IPC cân tại I.

Để IPC là tam giác đều thì IPC = 600 PBA = 600

C

A

UBND tỈNH BẮC NINH ĐỂ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2014 - 2015

Môn Thi : Toán ( Dành cho tất cả thí sinh )

Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian giao đề )

Ngày thi : 20 tháng 6 năm 2014

Câu I ( 1, 5 điểm )

Cho phương trình (1) , với ẩn x , tham số m

1) Giải phương trình (1) khi m = 1

2) Xác định giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 sao cho nhỏ nhất.

Câu II ( 1,5 điểm )

Trong cùng một hệ toạ độ , gọi (P ) là đồ thị của hàm số y = x2 và (d) là đồ thị của hàm số y = -x + 2

1) Vẽ các đồ thị (P) và (d) Từ đó , xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng đồ thị

2) Tìm a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b song song với (d) và cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng -1

Câu III ( 2,0 điểm )

1) Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B , quãng đường AB dài 24 km Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km so với lúc đi , vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B

2 ) Giải phương trình

Câu IV ( 3,0 điểm )

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và ba đường cao AA’ , BB’ ,CC’ cắt nhau tại H Vẽ hình bình hành BHCD Đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng AH tại M

1) Chứng minh rằng năm điểm A, B ,C , D , M cùng thuộc một đường tròn.

2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng BM = CD

và góc BAM = góc OAC

3) Gọi K là trung điểm của BC , đường thẳng AK cắt OH tại G Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC.

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu V ( 2, 0 điểm )

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2014

2) Có 6 thành phố trong đó cứ 3 thành phố bất kỳ thì có ít nhất 2 thành phố liên lạc được với nhau Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại 3 thành phố liên lạc được với nhau.

.Hết

(Đề này gồm có 01 trang)

Họ và tên thí sinh : Số báo danh :

Hướng dẫn sơ lược đề thi môn toán dành cho tất cả thí sinh năm học 2014-2015

Thi vào THPT chuyên Tỉnh Bắc Ninh và câu V chuyên toán Câu I ( 1, 5 điểm )

Cho phương trình (1) , với ẩn x , tham số m

1) Giải phương trình (1) khi m = 1

2) Xác định giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 sao cho nhỏ nhất.

(luôn đúng ) với mọi m => PT (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m

+ Mặt khác áp dụng hệ thức viét vào PT ( 1) ta có : (I)

+ Lại theo đề và (I) có :A = x1 + x2

Câu II ( 1,5 điểm )

Trong cùng một hệ toạ độ , gọi (P ) là đồ thị của hàm số y = x2 và (d) là đồ thị của hàm số

y = -x + 2

1) Vẽ các đồ thị (P) và (d) Từ đó , xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng đồ thị

2) Tìm a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b song song với (d) và cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng -1

HD : 1) v ẽ ch ính xác và xác định đ ược giao đi ểm của (P) v à (d) l à M ( 1 ; 1) v à N ( -2 ; 4 )

2)T ìm đ ư ợc a = -1 v à b = 0 =>PT của là y = - x

Câu III ( 2,0 điểm )

1) Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B , quãng đường AB dài 24 km Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km so với lúc đi , vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B

1) Chứng minh rằng năm điểm A, B ,C , D , M cùng thuộc một đường tròn.

2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng BM = CD

và góc BAM = góc OAC

3) Gọi K là trung điểm của BC , đường thẳng AK cắt OH tại G Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC

HD : HS tự vẽ hình

1) Chứng minh các tứ giác ABMD , AMDC nội tiếp => A, B ,C,D , M nằm trên cùng một đường tròn

2) Xét (O) có dây MD//BC => sđ cung MB = sđ cung CD => dây MB = dây CD hay BM = CD

+ Theo phần 1) và BC//MD => góc BAM =góc OAC

3)Chứng minh OK là đường trung bình của tam giác AHD => OK//AH và OK =

hay (*)

+ Chứng minh tam giác OGK đồng dạng với tam giác HGA => , từ đó suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC

Câu V ( 2, 0 điểm )

1)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2014

2)Có 6 thành phố trong đó cứ 3 thành phố bất kỳ thì có ít nhất 2 thành phố liên lạc được với nhau Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại 3 thành phố liên lạc được với nhau.

HD :

1) Giá trị nhỏ nhất của P là 2011 khi a =b = 1

2) Gọi 6 th ành phố đã cho l à A,B,C,D,E,F

+ X ét thành phố A theo nguyên l í Dirichlet ,trong 5 thành phố còn lại thì có ít nhất 3 thành phố

liên lạc được với A hoặc có ít nhất 3 thành phố không liên lạc được với A ( v ì nếu số thành phố liên lạc được với A cũng không vượt quá 2 và số thành phố không liên lạc được với A cũng không vượt quá 2 thì ngoài A , số thành phố còn lại cũng không vượt quá 4 ) Do đó chỉ xảy ra các khả năng sau :

 Khả năng 1 :

số thành phố liên lạc được với A không ít hơn 3 , giả sử B,C,D liên lạc được với A Theo đề bài trong 3 thành phố B,C,D có 2 thành phố liên lạc được với nhau Khi đó 2 thành phố này cùng với A tạo thành 3 thành phố đôi một liên lạc được với nhau

 Khả năng 2 :

số thành phố không liên lạc được với A , không ít hơn ,giả sử 3 thành phố không liên lạc được với A là D,E,F Khi đó trong bộ 3 thành phố ( A,D,E) thì D và E liên lạc được với nhau ( v ì D,E không

liên lạc được với A )

Tương tự trong bộ 3 ( A,E,F) v à ( A,F,D) th ì E,F liên lạc được với nhau , F và D liên lạc

được với nhau và như vậy D,E,F l à 3 thành phố đôi một liên lạc được với nhau Vậy ta

có ĐPCM

C âu V : đ ề chuyên toán ng ày thi 20-6-2014

Cho tập A = { 1 ; 2 ; 3 ; ….; 16 } Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt a, b mà a2 + b2 là một số nguyên tố.

HD :

Nếu a , b chẵn thì a2 + b2 là hợp số Do đó nếu tập con X của A có 2 phần tử phân biệt a,b m à

a2 + b2 là số nguyên tố thì X không thể chỉ chứa các số chẵn => K

Bây giờ ta đi chứng minh K = 9 là giá trị nhỏ nhất cần tìm của bài toán

Thật vậy với tập con X gồm 9 phần tử bất kì của A luôn tồn tại 2 phần tử phân biệt a,b m à

a2 + b2 l à số nguyên tố Thật vậy : ta chia tập hợp A thành các cặp 2 phần tử

phân biệt a , b mà a2 + b2 là số nguyên tố ,ta có tất cả 8 cặp l à : ( 1;4) , ( 2;3) , ( 5;8) , ( 6;11) , ( 7; 10) ,

( 9 ;16 ) , ( 12 ;13) , ( 14 ; 15 ) Theo nguyên lí Dirichlet thì 9 phần tử của X có 2

Cho nửa đường tròn (O) đường kình AB = 2R Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B

Trên cung lấy điểm M tùy ý (M khác A và B), tia AM cắt d tại N Gọi C là trung điểm của

b)Vì A  (P) có hoành độ xA = -2 nên yA = 2 Vậy A(-2; 2)

Lấy M(xM; 0) bất kì thuộc Ox,

Ta có: MA – MB  AB (Do M thay đổi trên Ox và BĐT tam giác)

Dấu “=” xẩy ra khi 3 điểm A, B, M thẳng hàng, khi đó M là giao điểm của đường thẳng AB và trục Ox

- Lập pt đường thẳng AB

- Tìm giao điểm của đường thẳng AB và Ox, tìm M (4; 0)

Bài 4: (2,00 điểm)

Cho nửa đường tròn (O) đường kình AB = 2R Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B

Trên cung lấy điểm M tùy ý (M khác A và B), tia AM cắt d tại N Gọi C là trung điểm của

a) Chứng minh rằng: OBNC nội tiếp

HD: Tứ giác OBNC nội tiếp có

b) Chứng minh rằng: NO  AD

HD: AND có hai đường cao cắt nhau tại O,

suy ra: NO là đường cao thứ ba hay: NO  AD

c) Chứng minh rằng: CA CN = CO CD

HD: CAO CDN  CA CN = CO CD

d) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN) đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có: 2AM + AN  2 (BĐT Cauchy – Côsi)

Ta chứng minh: AM AN = AB2 = 4R2. (1)

Suy ra: 2AM + AN  2 = 4R

Đẳng thức xẩy ra khi: 2AM = AN  AM = AN/2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AM = R  AOM vuông tại O  M là điểm chính giữa cung AB

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TP.HCM Năm học: 2014 – 2015

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số và đường thẳng (D): trên cùng một hệ trục toạ độ

b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu

b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1):

Tính giá trị của biểu thức :

Bài 5: (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC) Các đường cao AD và CF của tam giácABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp Suy ra

b) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C) và N là điểm đối xứng của M qua

AC Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp

c) Gọi I là giao điểm của AM và HC; J là giao điểm của AC và HN

Chứng minh d) Chứng minh rằng : OA vuông góc với IJ

(D) đi qua b) PT hoành độ giao điểm của (P) và (D) là

y(-1) = 1, y(3) = 9

Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (D) là

Bài 3:Thu gọn các biểu thức sau

(x>0)

Câu 4:

Cho phương trình (1) (x là ẩn số)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu

Ta có a.c = -1 < 0 , với mọi m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m

b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1):

Tính giá trị của biểu thức :

N

b) cùng chắn cung AC

Vậy ta có và bù nhau

tứ giác AHCN nội tiếp

c) Ta sẽ chứng minh tứ giác AHIJ nội tiếp

tứ giác HIJA nội tiếp

bù với mà bù với (do AHCN nội tiếp)

Cách 2 :

Ta sẽ chứng minh IJCM nội tiếp

Ta có = do AN và AM đối xứng qua AC

Mà = (AHCN nội tiếp) vậy =

IJCM nội tiếp

d) Kẻ OA cắt đường tròn (O) tại K và IJ tại Q ta có =

Xét hai tam giác AQJ và AKC :

Tam giác AKC vuông tại C (vì chắn nửa vòng tròn ) 2 tam giác trên đồng dạng

Vậy Hay AO vuông góc với IJ

Cách 2 : Kẻ thêm tiếp tuyến Ax với vòng tròn (O) ta có =

mà = do chứng minh trên vậy ta có = JQ song song Ax

vậy IJ vuông góc AO (do Ax vuông góc với AO)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2014 – 2015

Ngày thi : 21 tháng 6 năm 2014

Môn thi : TOÁN (Không chuyên) Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

-ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi)

Câu 1 : (1điểm) Thực hiện các phép tính

Câu 2 : (1 điểm) Giải phương trình:

Câu 3 : (1 điểm) Giải hệ phương trình:

Câu 4 : (1 điểm) Tìm a và b để đường thẳng có hệ số góc bằng 4 và đi qua điểm

.

Câu 5 : (1 điểm) Vẽ đồ thị của hàm số

Câu 6 : (1 điểm) Lớp 9A dự định trồng 420 cây xanh Đến ngày thực hiện có 7 bạn không tham gia do

được triệu tập học bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi của nhà trường nên mỗi bạn còn lại phải trồng thêm 3 cây mới đảm bảo kế hoạch đặt ra Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh.

Câu 7 : (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Câu 8 : (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc BC), biết ,

Tính AB và AC theo a.

Câu 9 : (1 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định, CD là đường kính thay đổi của đường

tròn (O) (khác AB) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt AC và AD lần lượt tại N và M Chứng minh tứ giác CDMN nội tiếp.

Câu 10 : (1 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tếp đường tròn tâm O, bán kính bằng a Biết AC vuông góc với

HẾT

-Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh : Số báo danh :

Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2 :

Vậy

Câu 3 : (1 điểm) Điều kiện

(nhận).

Câu 4 : (1 điểm) Tìm a và b để có hệ số góc bằng 4 và qua

Câu 5 : (1 điểm) Vẽ đồ thị của hàm số

BGT

Câu 6 : (1 điểm)

Theo kế hoạch, mỗi em phải trồng (cây).

Trên thực tế số học sinh còn lại là :

Trên thực tế, mỗi em phải trồng (cây).

Do lượng cây mỗi em trồng trên thực tế hơn 3 cây so với kế hoạch nên ta có phương trình :

(không phụ thuộc vào m).

GT (O) đường kính AB cố định, đường kính CD thay đổi, MN là tiếp tuyến tại B của (O).

KL Tứ giác CDMN nội tiếp

Chứng minh tứ giác CDMN nội tiếp

Vẽ đường kính CE của đường tròn (O).

ABDE là hình thang cân (hình thang nội tiếp (O)) (cạnh bên hình thang cân).

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

HÀ NỘI Năm học: 2012 – 2013

Môn thi: Toán

Ngày thi: 21 tháng 6 năm 2012

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì xong Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhấthoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thờigian để xong công việc?

Bài III (1,5 điểm)

4) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặtphẳng bờ AB và Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK

Bài V (0,5 điểm) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Kết hợp ĐK , để nguyên thì

Bài II: (2,0 điểm)

Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là x (giờ), ĐK

Thì thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ)

Mỗi giờ người thứ nhất làm được (cv), người thứ hai làm được (cv)

Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong giờ nên mỗi giờ cả hai đội làm được = (cv)

Do đó ta có phương trình

 5x2 – 14x – 24 = 0

’ = 49 + 120 = 169,

Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ,

người thứ hai làm xong công việc trong 4+2 = 6 giờ

Bài III: (1,5 điểm) 1)Giải hệ: , (ĐK: )

Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(2;1).

1) Ta có ( do chắn nửa đường tròn đk AB)

(do K là hình chiếu của H trên AB)

=> nên tứ giác CBKH nội tiếp trong đường tròn đường kính HB

2) Ta có (do cùng chắn của (O))

Vậy

3) Vì OC  AB nên C là điểm chính giữa của cung AB  AC = BC và

Xét 2 tam giác MAC và EBC có

MA= EB(gt), AC = CB(cmt) và = vì cùng chắn cung của (O)

MAC và EBC (cgc)  CM = CE  tam giác MCE cân tại C (1)

 (tính chất tam giác MCE cân tại C)

Từ (1), (2) tam giác MCE là tam giác vuông cân tại C (đpcm)

4) Gọi S là giao điểm của BM và đường thẳng (d), N là giao điểm của BP với HK.

Xét PAM và  OBM :

Mặt khác ta có (vì cùng chắn cung của (O))

 PAM ∽  OBM

Vì (do chắn nửa đtròn(O))

 tam giác AMS vuông tại M 

và (4)

Mà PM = PA(cmt) nên

Từ (3) và (4)  PA = PS hay P là trung điểm của AS

Vì HK//AS (cùng vuông góc AB) nên theo ĐL Ta-lét, ta có: hay

mà PA = PS(cmt) hay BP đi qua trung điểm N của HK (đpcm)

Vậy GTNN của M là , đạt được khi x = 2y

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TP.HCM Năm học: 2012 – 2013

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số và đường thẳng (D): trên cùng một hệ trục toạ độ

b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính

Cho phương trình (x là ẩn số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình

Tìm m để biểu thức M = đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 5: (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn (O) Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME<MF)

Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đốivới đường thẳng MO)

e) Chứng minh rằng MA.MB = ME.MF

f) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp

g) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp

tuyến tại E của (O) ở K Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF Chứng minh rằng đường thẳng

MS vuông góc với đường thẳng KC

h) Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS và T là trung điểm của KS Chứng

Đặt u = x2  0, phương trình thành : u2 + u – 12 = 0 (*)

Do đó, (C)  x2 = 3  x = Cách khác : (C)  (x2 – 3)(x2 + 4) = 0  x2 = 3  x = 

 x2 + 2x – 8 = 0

Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (D) là

Bài 3:Thu gọn các biểu thức sau:

Câu 5

a) Vì ta có do hai tam giác đồng dạng MAE và MBF

(Phương tích của M đối với đường tròn tâm O)

b) Do hệ thức lượng trong đường tròn ta có

MA.MB = MC2, mặt khác hệ thức lượng

trong tam giác vuông MCO ta có

MH.MO = MC2 MA.MB = MH.MO

nên tứ giác AHOB nội tiếp trong đường tròn

c) Xét tứ giác MKSC nội tiếp trong đường

tròn đường kính MS (có hai góc K và C vuông)

Vậy ta có : MK2 = ME.MF = MC2 nên MK = MC

Do đó MF chính là đường trung trực của KC

nên MS vuông góc với KC tại V

d) Do hệ thức lượng trong đường tròn ta có MA.MB = MV.MS của đường tròn tâm Q

Tương tự với đường tròn tâm P ta cũng có MV.MS = ME.MF nên PQ vuông góc với MS và là đường trung trực của VS (đường nối hai tâm của hai đường tròn) Nên PQ cũng đi qua trung điểm của KS (do định lí trung bình của tam giác SKV) Vậy 3 điểm T, Q, P thẳng hàng

2) Gọi M và N là các giao điểm của đường thẳng

y = x + 4 với parabol Tìm tọa độ của các điểm M và N.

Bài 4: (2,0 điểm)

Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0, với m là tham số.

1) Giải phương trình khi m = 1.

2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa điều kiện

1) Theo đồ thị ta có y(2) = 2  2 = a.22  a = ½

2) Phương trình hoành độ giao điểm của y = và đường thẳng y = x + 4 là :

C

E D

Mặt khác, ta có góc BAD = 900 (nội tiếp nửa đường tròn)

Vậy ta có góc DAC = 1800 nên 3 điểm D, A, C thẳng hàng

3) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông DBC ta có DB2 = DA.DC

Mặt khác, theo hệ thức lượng trong đường tròn (chứng minh bằng tam giác đồng dạng) ta có DE2 = DA.DC  DB =DE.

SỞ GD&ĐT

VĨNH PHÚC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013

ĐỀ THI MÔN : TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 21 tháng 6 năm 2012

Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức :P=

ĐỀ CHÍNH THỨC

1 Tìm điều kiện xác định của biểu thức P.

2 Rút gọn P

Câu 2 (2,0 điểm) Cho hệ phương trình :

1 Giải hệ phương trình với a=1

2 Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Câu 3 (2,0 điểm) Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng một nửa chiều dài Biết rằng nếu giảm mỗi chiều đi 2m thì diện tích

hình chữ nhật đã cho giảm đi một nửa Tính chiều dài hình chữ nhật đã cho

Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) (điểm O cố định, giá trị R không đổi) và điểm M nằm bên ngoài (O) Kẻ hai tiếp

tuyến MB, MC (B,C là các tiếp điểm ) của (O) và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC Qua B kẻ đường thẳng song song với

Mx, đường thẳng này cắt (O) tại điểm thứ hai là A Vẽ đường kính BB’ của (O) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc vớiBB’,đường thẳng này cắt MC và B’C lần lượt tại K và E Chứng minh rằng:

1 4 điểm M,B,O,C cùng nằm trên một đường tròn

2 Đoạn thẳng ME = R

3 Khi điểm M di động mà OM = 2R thì điểm K di động trên một đường tròn cố định, chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó

Câu 5 (1,0 điểm) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+ b + c =4 Chứng minh rằng :

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013

ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN : TOÁN

Ngày thi: 21 tháng 6 năm 2012

(1,0

điểm)

-Nếu a = 0, hệ có dạng: => có nghiệm duy nhất

-Nếu a , hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:

(luôn đúng, vì với mọi a)

Do đó, với a , hệ luôn có nghiệm duy nhất

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a

0,25

0,25

0,25

0,25C3 (2,0

điểm)

Gọi chiều dài của hình chữ nhật đã cho là x (m), với x > 4

Vì chiều rộng bằng nửa chiều dài nên chiều rộng là: (m)

0,25

0,25

=> diện tích hình chữ nhật đã cho là: (m2)

Nếu giảm mỗi chiều đi 2 m thì chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là:

(m)khi đó, diện tích hình chữ nhật giảm đi một nửa nên ta có phương trình:

………….=> (thoả mãn x>4);

(loại vì không thoả mãn x>4)

Vậy chiều dài của hình chữ nhật đã cho là (m)

0,25

0,250,25

0,5

0,25C4.1

Mà M1 = M2 (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) => M2 = O1 (1)

C/m được MO//EB’ (vì cùng vuông góc với BC)

0,25

M

OB

=> O1 = E1 (so le trong) (2)

Từ (1), (2) => M2 = E1 => MOCE nội tiếp

=> MEO = MCO = 900

=> MEO = MBO = BOE = 900 => MBOE là hình chữ nhật

=> ME = OB = R (điều phải chứng minh)

0,25

0,25

0,25C4.3

(1,0

điểm)

3) Chứng minh khi OM=2R thì K di động trên 1 đường tròn cố định:

Chứng minh được Tam giác MBC đều => BMC = 600

=> BOC = 1200

=> KOC = 600 - O1 = 600 - M1 = 600 – 300 = 300

Trong tam giác KOC vuông tại C, ta có:

Mà O cố định, R không đổi => K di động trên đường tròn tâm O, bán kính =

(điều phải chứng minh)

0,250,25

0,25

0,25C5 (1,0

-Mỗi câu đều có các cách làm khác

câu 5

Cach 2: Đặt x = => x, y , z > 0 và x4 + y4 + z4 = 4