H ớng dẫn giải đề thi HSG tĩnh Hà tĩnh Bài 1: Cho phơng trình ( ) + + = ữ 3 3 1 1 x m 1 x m 3 0 xx (*) a) Giải phơng trình khi m = 3 b) Tìm m để phơng trình có đúng hai nghiệm dơng phân biệt Giải tóm tắt: ĐKXĐ: x 0 Đặt = 1 x t x phơng trình (*) trở thành ( ) ( ) 2 t 1 t t 3 m 0 + + = a) m = 3 (Tự giải) b) Với t = 1 x 2 x 1 = 0 phơng trình này luôn có 1 nghiệm dơng (vì ac < 0) Để phơng trình (*) có đúng 2 nghiệm dơng phân biệt thì phơng trình t 2 + t + 4 m = 0 phải có nghiệm kép khác 1. Hay m = 11 4 Bài 2: a) Cho a, b, c Z thỏa mãn điều kiện + + = + + ữ 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 chia hết cho 3 b) Giải phơng trình x 3 + ax 2 + bx + 1 = 0, biết rằng a, b, c là số hữu tỉ và 1 + 2 là nghiệm của phơng trình Giải tóm tắt: a) ĐK: a, b, c 0. Từ gt suy ra a + b + c = 0. Mà a 3 + b 3 + c 3 (a + b + c) = a(a 1)(a + 1) + b(b 1 )(b + 1) + c(c 1)(c + 1) chia hết cho 3 và a + b + c = 0 chia hết cho 3 nên a 3 + b 3 + c 3 chia hết cho 3 b) Vì 1 + 2 là nghiệm của phơng trình nên ta có ( ) ( ) + + + + + =2 2a b 5 3a b 8 0 vì a, b là số hữu tỉ nên + + = + + = 2a b 5 0 3a b 8 0 = = a 3 b 1 . Thay vào HS tự giải tiếp Bài 3: Cho x, y N * thỏa mãn x + y = 2011. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức P = ( ) ( ) + + + 2 2 x x y y y x Giải tóm tắt: Cách 1: Vì x, y N * nên 1 x y 2009 ( ) 2 2 1 x y 2009 Mà (x y) 2 = (x + y) 2 4xy = 2011 2 4xy. Do đó xy = ( ) 2 1 x y 4044121 4 Vậy P = 2011 3 - 6031xy = 2011 3 + 6031 ( ) 2 1 x y 4044121 4 Ta có 2011 3 + 6031. ( ) 2 1 1 4044121 4 P 2011 3 + 6031. ( ) 2 1 2009 4044121 4 Hay 2035205401 P 8120605021. Vậy GTNN của P là 2035205401. Dấu = xảy ra khi x = 1006 và y = 1005 hoặc x = 1005 và y = 1006. GTLN của P là 8120605021. Dấu = xảy ra khi x = 2010 và y = 1 hoặc x = 1 và y = 2010 Cách 2: P = 2011 3 - 6031xy theo bài ra ta có 1 x, y 2010 Ta chứng minh 2010 xy 1005. 1006. Thật vậy xy 2010 = x(2011 x) 2010 = 2011x x 2 2010 = 2010x x 2 + x 2010 = (2010 x)(x 1) 0 (vì 1 x, y 2010) Ta có xy 2010. Do đó P 8120605021 Mặt khác 1005.1006 xy = 1005. 1006 x(2011 x) = = (1005 x)(1006 x) 0 Ta có 1005.1006 xy 0 Do đó 2035205401 P Bài 4: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R, một dây cung MN = R di chuyển trên nửa đờng tròn. Qua M kẻ đờng thẳng song song ON cắt đờng thẳng AB tại E. Qua N kẻ đờng thẳng song song OM cắt đờng thẳng AB tại F. a) CMR: MNE NFM b) Gọi K là giao điểm của EN và FM. Hãy xác định vị trí của dây MN để chu vi tam giác MKN lớn nhất Giải tóm tắt: a) Dễ dàng chứng minh đợc ã ã = = 0 EMN FNM 120 Mặt khác EMO ONF = = ME MO ME MN NO NF MN NF (vì MON đều) b) MNE NFM ã ã ã = =MNE NFM FMO mà ã ã ã ( ) ã ã ( ) = + = + = = 0 0 0 0 0 MKN 180 MNE NMF 180 FMO NMF 180 60 120 không đổi K thuộc cung tròn chứa góc 120 0 dựng trên đoạn thẳng MN = R không đổi. Từ đó suy ra K là điểm giữa cung MKN hay MK = NK. Kéo dài EM và FN cắt nhau tại I và ta chứng minh đợc MN ở vị trí sao cho AM = MN = NB = R Bài 5: Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + 3 3 3 a b c 3 1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 4 Giải tóm tắt: áp dụng BĐT CauChy ta có ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + = + + + + 3 3 3 a 1 b 1 c a 1 b 1 c 3a 3 . . 1 b 1 c 8 8 1 b 1 c 8 8 4 tơng tự rồi cộng lại đợc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + 3 3 3 a b c a b c 3 1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 3 4 Mà + + = 3 a b c 3 abc 3 ruy ra đpcm Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1 . ớng dẫn giải đề thi HSG tĩnh Hà tĩnh Bài 1: Cho phơng trình ( ) + + = ữ 3 3 1 1 x m 1 x m 3 0 xx (*) a) Giải phơng trình khi m = 3 b) Tìm m để phơng trình có đúng hai nghiệm dơng phân. 120 0 dựng trên đoạn thẳng MN = R không đổi. Từ đó suy ra K là điểm giữa cung MKN hay MK = NK. Kéo dài EM và FN cắt nhau tại I và ta chứng minh đợc MN ở vị trí sao cho AM = MN = NB = R Bài 5: Cho. 2a b 5 3a b 8 0 vì a, b là số hữu tỉ nên + + = + + = 2a b 5 0 3a b 8 0 = = a 3 b 1 . Thay vào HS tự giải tiếp Bài 3: Cho x, y N * thỏa mãn x + y = 2011. Tìm GTNN và GTLN của biểu