THI TOÁN L2-2011( CHUYÊN NGUYỄN HUỆ)

Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y = 1 x x − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua điểm M và điểm I(1; 1). Câu II: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: ( ) 3 2 cos cos 2 1 sin . sin cos x x x x x − = + + 2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 ( ) 4 1 ( ) 2 7 2 x x y y x x x y y x  + + = −   + − = +   Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: 1 ln 1 ln e x dx x x+ ∫ Câu IV: (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C; đường thẳng BC’ tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 0 60 và AB = AA’ = a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CC’, BC và Q là một điểm trên cạnh AB sao cho BQ = 4 a . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh rằng (MAC) (NPQ)⊥ . Câu V: (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện 3ab bc ca+ + = , ta có: 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2a b c + + ≤ + + + Câu VI: (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC = 2BD. Điểm M 1 (0; ) 3 thuộc đường thẳng AB, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ dương. 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng : 1 : 4 1 2 x t d y t z t =   = −   = − +  ; d 2 : 2 1 3 3 x y z− = = − − và d 3 : 1 1 1 5 2 1 x y z+ − + = = . Viết phương trình đường thẳng ∆, biết ∆ cắt ba đường thẳng d 1 , d 2 , d 3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC. Câu VII: (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn : 2 2 2 . 8z z z z+ + = và 2z z+ = Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên:……………………………………………… SBD:……………… ========================================= SƯU TẦM: VŨ PHẤN (YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HN) ========================================= TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN CÂU NỘI DUNG ĐIỂM I-1 (1 điểm) TXĐ : D = R\{1} y’ = 2 1 0 ( 1)x − < − 0,25 lim ( ) lim ( ) 1 x x f x f x →+∞ →−∞ = = nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 1 1 lim ( ) , lim x x f x + − → → = +∞ = −∞ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 0,25 Bảng biến thiên 1 + ∞ - ∞ 1 - - y y' x - ∞ 1 + ∞ Hàm số nghịch biến trên ( ;1)−∞ và (1; )+∞ Hàm số không có cực trị 0,25 Đồ thị : Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm đối xứng 0,25 ========================================= SƯU TẦM: VŨ PHẤN (YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HN) ========================================= I-2 (1 điểm) Với 0 1x ≠ , tiếp tuyến (d) với (C) tại M(x 0 ; 0 0 1 x x − ) có phương trình : 0 0 2 0 0 1 ( ) ( 1) 1 x y x x x x = − − + − − 2 0 2 2 0 0 1 0 ( 1) ( 1) x x y x x ⇔ + − = − − 0,25 (d) có vec – tơ chỉ phương 2 0 1 ( 1; ) ( 1) u x = − − r 0 0 1 ( 1; ) 1 IM x x = − − uuur 0,25 Để (d) vuông góc IM điều kiện là : 0 0 2 0 0 0 0 1 1 . 0 1.( 1) 0 2 ( 1) 1 x u IM x x x x =  = ⇔ − − + = ⇔  = − −  r uuur 0,25 + Với x 0 = 0 ta có M(0,0) + Với x 0 = 2 ta có M(2, 2) 0,25 II-1 (1 điểm) ĐK: sin cos 0x x + ≠ 0,25 Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 sin cos 1 2 1 sin sin cosPT x x x x x⇔ − − = + + ( ) ( ) 1 sin 1 cos sin sin .cos 0x x x x x⇔ + + + + = ( ) ( ) ( ) 1 sin 1 cos 1 sin 0x x x⇔ + + + = 0,25 sin 1 cos 1 x x = −  ⇔  = −  (thoả mãn điều kiện) 0,25 2 2 2 x k x m π π π π  = − +  ⇔  = +  ( ) ,k m ∈Z Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 2 2 x k π π = − + và 2x m π π = + ( ) ,k m ∈Z 0,25 II-2 (1 điểm) Với x = 0 không nghiệm đúng phương trình Với 0x ≠ , ta có: 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 4 ( ) 2 2 7 1 ( ) 2 7 y x y x y xy x x x x y y x y x y x  + + + =   + + + =  ⇔   + − − = +   + − =   0,25 Đặt 2 1 , y u v x y x + = = + ta có hệ: 2 2 4 4 3, 1 2 7 2 15 0 5, 9 u v u v v u v u v v v u + = = − = =    ⇔ ⇔    − = + − = = − =    0,25 +) Với 3, 1v u= = ta có hệ: 2 2 2 1, 2 1 1 2 0 2, 5 3 3 3 y x y x y x y y y x x y x y x y = =    + = + = + − =  ⇔ ⇔ ⇔     = − = + = = − = −     . 0,25 ========================================= SƯU TẦM: VŨ PHẤN (YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HN) ========================================= +) Với 5, 9v u= − = ta có hệ: 2 1 9 5 y x x y  + =  + = −  , hệ này vô nghiệm. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; ) (2;1), ( ; ) (5; 2).x y x y= = − 0,25 III (1 điểm) Đặt t = 1 ln x+ có 2tdt = 1 dx x x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2 0,25 2 2 1 1 ln 1 2 1 ln e x t dx tdt t x x − = = + ∫ ∫ 0,25 2 3 1 2( ) 3 t t= − = 0,25 2(2 2) 3 − = 0,25 IV (1 điểm) Gọi I là trung điểm A’B’ thì ' ' ' ' ( ' ') ' AA' C I A B C I ABA B C I ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  suy ra góc giữa BC’ và mp(ABB’A’) chính là góc · 'C BI . Suy ra · 0 ' 60C BI = · 15 ' .tan ' 2 a C I BI C BI= = 0,25 3 . ' ' ' ' ' ' 1 . 15 . . AA'. AA' . ' ' 2 4 ABC A B C A B C a V S CI A B= = = 0,25 / / ' ( ) / /( ' ) / / ' NP BC NPQ C BI PQ C I  ⇒   (1) 0,25 · · · · 0 ' ( ) ' ' 90 AM BI ABM BB I c g c suy ra AMB BIB suy ra AMB B BI = − − = + = ⇒ ⊥ V V . Mặt khác theo chứng minh trên C’I ⊥ AM nên AM ⊥ ( ' )C BI Suy ra (AMC) ⊥ ( ' )C BI (2) Từ (1) và (2) suy ra (MAC) (NPQ)⊥ 0,25 V (1 điểm) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4a b b c c a a b c+ + + ≥ 0,25 Đặt x = ab, y = bc, z = ca ta cần chứng minh 2 2 2 4x y z xyz+ + + ≥ với mọi x, y, z không âm thỏa mãn: x + y + z = 3 0,25 ========================================= SƯU TẦM: VŨ PHẤN (YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HN) ========================================= Không làm mất tính tổng quát giả sử x ≤ y; x ≤ z thì x ≤ 1 ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 ( ) ( 2) 4 ( ) ( ) ( 2) 4 4 x y z xyz x y z yz x x y z y z x+ + + − = + + + − − ≥ + + + + − − = 0,25 2 2 2 2 1 (3 ) 4 ( 1) ( 2) 0 4 4 x x x x x + = + − − = − + ≥ Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 0,25 VI 1 (1 điểm) Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua I thì N’ thuộc AB, ta có : ' ' 2 4 2 5 N I N N I N x x x y y y = − =   = − = −  0,25 Phương trình đường thẳng AB: 4x + 3y – 1 = 0 Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB: 2 2 4.2 3.1 1 2 4 3 d + − = = + 0,25 AC = 2. BD nên AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x trong tam giác vuông ABI có: 2 2 2 1 1 1 4d x x = + suy ra x = 5 suy ra BI = 5 0,25 Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x + 3y – 1 = 0 với đường tròn tâm I bán kính 5 Tọa độ B là nghiệm của hệ: 2 2 4x 3y – 1 0 ( 2) ( 1) 5x y + =   − + − =  B có hoành độ dương nên B( 1; -1) 0,25 VI -2 (1 điểm) Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d 1 , d 2 , d 3 Ta có A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v) 0,25 A, B, C thẳng hàng và AB = BC ⇔ B là trung điểm của AC ( 1 5 ) 2 4 (1 2 ) 2.(2 3 ) 1 2 ( 1 ) 2( 3 ) t v u t v u t v u + − + =   ⇔ − + + = −   − + + − + = −  0,25 Giải hệ trên được: t = 1; u = 0; v = 0 Suy ra A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1) 0,25 Đường thẳng ∆ đi qua A, B, C có phương trình 2 1 1 1 x y z− = = 0,25 VII (1 điểm) Gọi z = x + iy ta có 2 2 2 2 ;z x iy z z zz x y= − = = = + 0,25 2 2 2 2 2 2 2 . 8 4( ) 8 ( ) 2 (1)z z z z x y x y+ + = ⇔ + = ⇔ + = 0,25 2 2 2 1 (2)z z x x+ = ⇔ = ⇔ = 0,25 ========================================= SƯU TẦM: VŨ PHẤN (YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HN) ========================================= Từ (1) và (2) tìm được x = 1 ; y = 1± Vậy các số phức cần tìm là 1 + i và 1 - i 0,25 ========================================= SƯU TẦM: VŨ PHẤN (YÊN SỞ - HOÀNG MAI – HN) ========================================= . HN) ========================================= TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ HƯỚNG. thời gian giao đề TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN CÂU NỘI DUNG ĐIỂM I-1 (1 điểm) TXĐ : D = R{1} y’ = 2 1 0 (. Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y = 1 x x − 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C)