Cõu I: (2,0 im) Cho hm s mxxmxy ++= 9)1(3 23 , vi m l tham s thc. 1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho ng vi 1 = m . 2. Xỏc nh m hm s ó cho t cc tr ti 21 , xx sao cho 1 2 2x x = . Cõu II: (2,0 im) 1. Gii phng trỡnh: 1 3cos cos2 2cos3 4sin .sin 2x x x x x + + = 2. Gii h phng trỡnh: 2 2 2 3 2 1 x x y y xy xy x y + + + = + + = (x, y R) Cõu III: (1,0 im) Tỡm cotx dx sinx.sin x 4 + ữ Cõu IV: (1,0 im) Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 0 . Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A 1 B 1 C 1 ) thuộc đờng thẳng B 1 C 1 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A 1 B 1 C 1 và tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AA 1 và B 1 C 1 theo a. Cõu V: (1,0 im) Xột cỏc s thc dng a, b, c tha món iu kin 1a b c + + = . Tỡm giỏ tr nh nht ca : 3 1 1 1 1 1 1P ab bc ca = ữ ữ ữ Cõu VI (2,0 im) 1. Trong mt phng vi h ta Oxy cho hai ng trũn : (C 1 ): x 2 + y 2 = 13 v (C 2 ): (x - 6) 2 + y 2 = 25 ct nhau ti A(2; 3). Vit phng trỡnh ng thng i qua A v ln lt ct (C 1 ), (C 2 ) theo hai dõy cung phõn bit cú di bng nhau. 2. Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho tam giỏc vuụng cõn ABC cú BA = BC. Bit A(5 ; 3 ; - 1), C (2 ; 3 ; - 4) v B l im nm trờn mt phng cú phng trỡnh : 6 0x y z+ = . Tỡm ta im B. Cõu VII (1,0 im) Gii phng trỡnh : ( ) 3 9 3 4 2 log log 3 1 1 log x x x = Ht Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ them H v tờn: SBD: TRNG THPT CHUYấN NGUYN HU K THI TH I HC LN TH NHT NM HC 2010 2011 THI MễN: TON KHI A,B Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian giao TRNG THPT CHUYấN NGUYN HU HNG DN CHM THI TH I HC LN TH NHT NM HC 2010 2011 THI MễN: TON KHI A, B CU NI DUNG IM I-1 (1im) Với 1 = m ta có 196 23 += xxxy . * Tập xác định: D = R * Sự biến thiên Chiều biến thiên: )34(39123' 22 +=+= xxxxy Ta có < > > 1 3 0' x x y , 310' <<< xy . Do đó: + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng )1,( và ),3( + . + Hm số nghịch biến trên khoảng ).3,1( 0,25 Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 1=x và 3)1( == yy CD ; đạt cực tiểu tại 3=x và 1)3( == yy CT . Giới hạn: +== + yy xx lim;lim . 0,25 Bảng biến thiên: 0,25 * Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại điểm )1,0( . 1 2 3 4 -1 1 2 3 x y O 0,25 I-2 (1im) Ta có .9)1(63' 2 ++= xmxy 0,25 Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại 21 , xx phơng trình 0'=y có hai nghiệm pb là 21 , xx Pt 03)1(2 2 =++ xmx có hai nghiệm phân biệt là 21 , xx . < +> >+= 31 31 03)1(' 2 m m m )1( 0,25 +) Theo định lý Viet ta có .3);1(2 2121 =+=+ xxmxx Khi đó ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 4 1 12 4x x x x x x m = + = + = 2 3 ( 1) 4 (2) 1 m m m = + = = 0,25 x y y 3 -1 + 0 0 3 1 + + + Tõ (1) vµ (2) suy ra gi¸ trÞ cña m = - 3 ; m = 1 0,25 II-1 (1 điểm) PT ( ) 1 3cos cos2 2cos 2 4sin .sin 2x x x x x x ⇔ + + − + = ⇔ ( ) 1 3cos cos2 2 cos .cos2 sin .sin 2 4sin .sin 2x x x x x x x x + + − − = 0,25 ⇔ ( ) 1 3cos cos2 2 cos .cos2 sin .sin 2 0x x x x x x + + − + = ⇔ 1 3cos cos2 2cos 0x x x + + − = ⇔ 1 cos cos2 0x x + + = 0,25 ⇔ 2 2cos cos 0x x + = ⇔ cos 0 1 cos 2 x x = = − 0,25 ⇔ 2 2 2 3 x K x K π π π π = + = ± + 0,25 II-2 (1 điểm) 2 2 2 2 2 3 2 3 (1) 2 1 2 1 (2) x x y y xy x xy y x y xy x y xy x y + + + = − + + + + = ⇔ + + = + + = Cộng (1) và (2) theo vế được 2 ( ) 3( ) 4 0x y x y+ + + − = 0,25 Suy ra 1 4 x y x y + = + = − 0,25 Với 1x y+ = thay vào (2) được 2 2 0y y− + = Tìm được (x;y) = (1;0); (x;y) = (-1; 2) 0,25 Với 4x y+ = − thay vào (2) được 2 3 5 0y y− − − = Phương trình vô nghiệm Hệ có 2 nghiệm (x;y) = (1;0); (x;y) = (-1; 2) 0,25 III (1 điểm) ( ) cot cot 2 sinx sinx cos sin x sin 4 x x dx dx x x π = = + + ÷ ∫ ∫ 0,25 = ( ) 2 cot 2 sin x 1 cot x dx x+ ∫ 0,25 cot 1 1 2 (cot ) cot 1 x d x x + − = − + ∫ 0,25 ( ) 2 cot ln cot 1x x− + + +C 0,25 IV (1 điểm) Do )( 111 CBAAH ⊥ nªn gãc 1 AA H lµ gãc gi÷a AA 1 vµ (A 1 B 1 C 1 ), theo gi¶ thiÕt th× gãc 1 AA H b»ng 30 0 . 0,25 C A B C 1 B 1 K H A 1 XÐt tam gi¸c vu«ng AHA 1 cã AA 1 = a, gãc 1 AA H =30 0 2 a AH⇒ = . 1 1 1 1 1 2 3 1 1 a a 3 3 . 3 3 2 4 24 ABCA B C A B C a V AH S = = × × = 0,25 XÐt tam gi¸c vu«ng AHA 1 cã AA 1 = a, gãc 1 AA H =30 0 2 3 1 a HA =⇒ . Do tam gi¸c A 1 B 1 C 1 lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, H thuéc B 1 C 1 vµ 2 3 1 a HA = nªn A 1 H vu«ng gãc víi B 1 C 1 . MÆt kh¸c 11 CBAH ⊥ nªn )( 111 HAACB ⊥ KÎ ®êng cao HK cña tam gi¸c AA 1 H th× HK chÝnh lµ kho¶ng c¸ch gi÷a AA 1 vµ B 1 C 1 0,25 Ta cã AA 1 .HK = A 1 H.AH 4 3 . 1 1 a AA AHHA HK ==⇒ 0,25 V (1 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ab bc ca A P ab bc ca abc − − − = = − − − = ÷ ÷ ÷ 0,25 Áp dụng Bất đẳng thức Trung bình cộng và trung bình nhân có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 1 1 4 4 4 1 1 1 2 a b c a b a b a b ab c a b + + + + + + + − − − ≥ − = = + + + ≥ Tương tự có: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 a c b bc + + + − ≥ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 b c a ca + + + − ≥ 0,25 Suy ra 2 1 1 1 1 1 1 1 8 A a b c ≥ + + + ÷ ÷ ÷ ÷ 0,25 Mà: 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 4 a b c abc + + + ≥ + ≥ ÷ ÷ ÷ ÷ Do đó min P = 8 đạt được khi a = b = c = 1 3 0,25 VI- 1 (1 điểm) Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng cần tìm với (C 1 ) và (C 2 ) lần lượt là M và N Gọi M(x; y) 2 2 1 ( ) 13C x y∈ ⇒ + = (1) 0,25 Vì A là trung điểm của MN nên N(4 – x; 6 – y). Do N 2 2 2 ( ) (2 ) (6 ) 25C x y∈ ⇒ + + − = (2) 0,25 Từ (1) và (2) ta có hệ 2 2 2 2 13 (2 ) (6 ) 25 x y x y + = + + − = Giải hệ ta được (x = 2 ; y = 3) ( loại vì trùng A) và (x = 17 5 − ; y = 6 5 ). Vậy M( 17 5 − ; 6 5 ) 0,25 Đường thẳng cần tìm đi qua A và M có phương trình : x – 3y + 7 = 0 0,25 VI-2 (1 điểm) AC = 3 2 suy ra BA = BC = 3 0,25 Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 ( 5) ( 3) ( 1) 9 ( 2) ( 3) ( 4) 9 6 0 x y z x y z x y z − + − + + = − + − + + = + − − = 0,25 2 2 2 2 2 2 ( 5) ( 3) ( 1) 9 ( 5) (4 2 ) (2 ) 9 1 0 1 6 0 7 2 x y z x x x x z z x x y z y x − + − + + = − + − + − = ⇔ + − = ⇔ = − + − − = = − 0,25 Tìm được: (2;3; 1)B − hoặc (3;1; 2)B − 0,25 VII. (1 điểm) Đk: x > 0, 1 3, 9 x x≠ ≠ 0,25 ( ) 1 xlog1 4 3logxlog2 3 x93 = − −− ( ) 1 xlog1 4 x9log 1 xlog2 33 3 = − −−⇔ 1 xlog1 4 xlog2 xlog2 33 3 = − − + − ⇔ 0,25 Đặt: t = log 3 x pt thành : { 2 2 4 1, 2 1 1 4 3 4 0 2 1 t t t t t t t t t − ≠ ≠ − = − − = ⇔ ⇔ = − − = + − 0,25 So sánh điều kiện được 2 nghiệm 1 ; 81 3 x x= = 0,25 . coi thi khụng gii thớch gỡ them H v tờn: SBD: TRNG THPT CHUYấN NGUYN HU K THI TH I HC LN TH NHT NM HC 2010 2011 THI MễN: TON KHI A,B Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian giao TRNG THPT. HU HNG DN CHM THI TH I HC LN TH NHT NM HC 2010 2011 THI MễN: TON KHI A, B CU NI DUNG IM I-1 (1im) Với 1 = m ta có 196 23 += xxxy . * Tập xác định: D = R * Sự biến thi n Chiều biến thi n: )34(39123' 22 +=+=. cực đại tại 1=x và 3)1( == yy CD ; đạt cực tiểu tại 3=x và 1)3 ( == yy CT . Giới hạn: +== + yy xx lim;lim . 0,25 Bảng biến thi n: 0,25 * Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại điểm )1,0( . 1