ĐỀ THI HSG_TOÁN 9_NĂM HỌC 2008-2009

PHÒNGGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO HUYỆNLỤCYÊN ĐỀTHICHỌNHỌCSINHGIỎICẤPTHCSNĂMHỌC2008– 2009 Môn:Toán Thờigian : 150phút(khôngkể thờigiangiaođề) Bài1 (4điểm) Chobasốdương a,b,c thỏa mãnđiều kiện: 2 2 2 a b c 2 (1) a b c 2 (2) + + = ì í + + = î Chứngminhrằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 b )(1 c ) (1 a )(1 c ) (1 a )(1 b ) a. b. c. 2 1 a 1 b 1 c + + + + + + + + = + + +  Bài2 (4điểm) Giảicácphươngtrình: a) 2 x 8x 15 3 x 3 2 x 5 6 + + = + + + - b) 2 x 2x 2 2 2x 3 - + = -  Bài3 (4điểm) ChođiểmMthuộcmiềntrongtamgiácABC.CáctiaAM,BM,CMcắtcác cạnhcủatam giácABCtheothứtựởP,Q, R.Chứngminhrằng: a) MP MQ MR 1 AP BQ CR + + = b) MA MB MC 2 AP BQ CR + + =  Bài4 (4điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuônglấycácđiểmE,F,G,HsaochoAE=BF=CG=DHđểđượchìnhvuông EFGH.VớigiátrịnàocủaAEthìdiệntích EFGH đạtgiátrịnhỏnhất?  Bài5 (4điểm) Tìmtấtcảcácsốtựnhiêna,b khác0saocho: (a,b)=1 và 2 2 a b 9 a b 41 + = + PHÒNGGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO HUYỆNLỤCYÊN HƯỚNGDẪNCHẤMTHIHỌCSINHGIỎICẤPTHCSNĂMHỌC2008– 2009 MÔNTOÁN Bài1 (4điểm) Từ(1)suyra: a 2 +b 2 +c 2 +2(ab+bc+ ca)=4(3) (0,5điểm) Từ(2)và(3)suyra: 2(ab+bc+ca)=2 Ûab+ bc+ ca=1 (0,5điểm) Xét: 1+b 2 = ab+ bc+ ca+ b 2 =(b+c)(a+ b) (0,5điểm) 1+c 2 =ab +bc+ ca +c 2 =(a +c)(b+c) (0,5điểm) 1+a 2 =ab +bc+ ca +a 2 =(a +b)(a+c) (0,5điểm) Dođó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 b )(1 c ) (1 a )(1 c ) (1 a )(1 b ) a b c 1 a 1 b 1 c + + + + + + + + = + + + 2 2 2 a (b c) b (a c) c (a b) = + + + + + = (0,5điểm) =a(b+c)+ b(a+c)+ c(a+b)= (0,5điểm) =2(ab+bc+ ca)=2 (0,5điểm)  Bài2 (4điểm) a)Điềukiện:x ≥–3,tacó: (0,5điểm) (1) Û (x 3)(x 5) 3 x 3 2 x 5 6 0 + + - + - + + = Û( x 3 2)( x 5 3) 0 + - + - = (0,5điểm) Û x 3 2 x 3 4 x 1 x 5 9 x 4 x 5 3 é + = + = = é é Û Û ê ê ê + = = + = ë ë ê ë (0,5điểm) Vậy: phươngtrìnhđã chocó hainghiệm:x 1 =1;x 2 =4 (0,5điểm) b)Điềukiện: 3 x 2 ³ .Tacó: (0,5điểm) 2 x 2x 2 2 2x 3 - + = - Û 2 x 4x 4 2x 3 2 2x 3 1 0 - + + - - - + = (0,5điểm) 2 2 (x 2) ( 2x 3 1) 0 x 2 0 x 2 2x 3 1 Û - + - - = - = ì ï Û Û = í - = ï î (0,5điểm) Vậy:Phươngtrình đãchocómộtnghiệmx=2 (0,5điểm) Bài3 (4điểm) a)KẻAHvàMKvuônggócvớiBC Þ MBC ABC S MK S AH = (1) (0,5điểm) Mặtkhác: MK //AH (cùngvuônggócvớiBC) TheoTalét: MK MP AH AP = (2) (0,5điểm) Từ(1)và(2)suyra: MBC ABC MP S AP S = Tươngtự: AMC ABC MQ S BQ S = và AMB ABC MR S CR S = (0,5điểm) Vậy: BMC AMC AMB ABC ABC ABC MP MQ MR S S S S 1 AP BQ CR S S + + + + = = = (0,5điểm) MA MB MC AP MP BQ MQ CR MR b) AP BQ CR AP BQ CR - - - + + = + + (1điểm) MP MQ MR 3 3 1 2 AP BQ CR æ ö = - + + = - = ç ÷ è ø (1điểm)  Bài4 (4điểm) Gọidiệntích củaEFGHlàS Theogiảthiết: AE=BF =CG=DH ÞBE=CF=CG=AH Suyra:AE+AH=avà∆AEH=∆BEF=∆CGF=∆DGH (0,5điểm) Tacó:S=S ABCD –4.S AEH ÛS=a 2 –2.AE.AH DođóSnhỏnhất ÛAE.AHlớnnhất (1điểm) Tacóvớimọix,y Î R:(x –y) 2 ≥0 Ûx 2 +y 2 ≥2xy Ûx 2 +y 2 +2xy ≥4xy Û(x+y) 2 ≥4xy Û 2 (x y) xy 4 + £ Dấu“=” xảyra Ûx=y (0,5điểm) Suyra:S=a 2 – 2.AE.AH ≤ 2 2 2 2 2 (AE AH) a a a a 2 2 2 + - = - = (1điểm) Dấu“=” xảyra ÛAE=AH ÛAE= a 2 (0,5điểm) Vậy: 2 a a minS AE 2 2 = Û = (0,5điểm) H K R P Q B C A M H G F BA D C E Bài5 (4điểm) Vì(a,b)=1suyra:(a+b,a 2 +b 2 )=1 (0,5điểm) Thậtvậy,giảsử(a+b,a 2 +b 2 )=d(d≠1).Suyra: 2 2 2 a b d a b d a b d (1) ab d (2) a b d (a b) 2ab d + + + ì ì ì Û Û í í í + + - î î î M M M M M M (0,5điểm) –Vì(a,b)=1nêntừ(2)suyra:aMdhoặcbMd (0,5điểm) +NếuaMdthìtừ(1)suyrabMd(vôlívìa, bnguyêntốcùngnhau) +NếubMdthìtừ(1)suyraaMd(vôlívìa, bnguyêntốcùngnhau) –Vậy:(a+b,a 2 +b 2 )=1 (1điểm) Vì(a+b,a 2 +b 2 )=1.Kếthợpgiảthiếtsuyra: 2 2 2 a b 9 a b 9 a b 9 a 4 ab 20 b 5 a b 41 (a b) 2ab 41 + = + = + = = ì ì ì ì Û Û Û í í í í = = + = + - = î î î î hoặc a 5 b 4 = ì í = î (1điểm) Vậy:Cóhaicặpsốthỏa mãnđiềukiệnđầubàilàa= 4;b=5 hoặca=5;b= 4 (0,5điểm) Chúý:Nếuhọcsinhcócáchgiảikhácvớiđápánmàvẫnchokếtquảhợplý,chính xácthìvẫnchođiểmtheothangđiểmtrên . khác0saocho: (a,b)=1 và 2 2 a b 9 a b 41 + = + PHÒNGGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO HUYỆNLỤCYÊN HƯỚNGDẪNCHẤM THI HỌCSINHGIỎICẤPTHCSNĂMHỌC2008– 20 09 MÔNTOÁN Bài1 (4điểm) Từ(1)suyra: a 2 +b 2 +c 2 +2(ab+bc+. bnguyêntốcùngnhau) –Vậy:(a+b,a 2 +b 2 )=1 (1điểm) Vì(a+b,a 2 +b 2 )=1.Kếthợpgiả thi tsuyra: 2 2 2 a b 9 a b 9 a b 9 a 4 ab 20 b 5 a b 41 (a b) 2ab 41 + = + = + = = ì ì ì ì Û Û Û í í í. PHÒNGGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO HUYỆNLỤCYÊN ĐỀ THI CHỌNHỌCSINHGIỎICẤPTHCSNĂMHỌC2008– 20 09 Môn:Toán Thờigian : 150phút(khôngkể thờigiangiaođề) Bài1 (4điểm) Chobasốdương