SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ Đề chính thức Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học: 2010 – 2011 Môn Toán, Lớp 12 THPT Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề. CâuI (4,0 điểm) Cho hàm số 3 2 2 ( 1) (4 ) 1 2y x m x m x m= − + − − − − ( ) m C 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi 1m = − . 2. Tìm các giá trị của m để đồ thị ( ) m C có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Câu II (6,0 điểm) 1. Giải phương trình : cos 2 cos3 sin cos 4 sin 6x x x x x + − − = . 2. Giải bất phương trình: 2 4 2 6( 3 1) 1 0x x x x− + + + + ≤ . 3. Tìm số thực a để phương trình 9 9 3 cos( ) x x a x π + = có nghiệm thực duy nhất. Câu III (2,0 điểm) Tính tích phân: 2 3 0 sin (sin 3cos ) x dx x x π + ∫ . Câu IV. (6,0 điểm) 1. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt ,AM x AN y= = . Tìm ,x y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất. 2. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng : 5 0x y∆ − + = và hai elíp 2 2 2 2 1 2 2 2 ( ) : 1, ( ) : 1 ( 0) 25 16 x y x y E E a b a b + = + = > > có cùng tiêu điểm. Biết rằng 2 ( )E đi qua điểm M thuộc đường thẳng ∆ . Tìm toạ độ điểm M sao cho 2 ( )E có độ dài trục lớn nhỏ nhất. 3. Trong không gian Oxyz cho điểm M(0;2;0) và hai đường thẳng 1 2 1 2 3 2 : 2 2 : 1 2 ( , ) 1 x t x s y t y s t s z t z s = + = + ∆ = − ∆ = − − ∈ = − + = ¡ . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M song song với trục Ox , sao cho (P) cắt hai đường thẳng 1 ∆ và 2 ∆ tại lần lượt A, B thoả mãn AB = 1. Câu V. (2,0 điểm) Cho các số thực , ,a b c thoả mãn 2 2 2 6 3 a b c ab bc ca + + = + + = − . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 6 6 6 P a b c= + + . Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Gợi ý Câu II 1. Giải phương trình : cos 2 cos3 sin cos 4 sin 6x x x x x+ − − = . PT tương đương: cos2x - cos4x - sinx = sin6x - cos3x ( ( ) ( ) 2 18 3 8 2 (2sin 3 1) sinx os3 0 , 5 2 18 3 4 x k x k x c x k l x k x l π π π π π π π π = + = + − − = ⇔ ∨ ∈ = + = − + ¢ ) II 2. Giải bất phương trình: 2 4 2 6( 3 1) 1 0x x x x− + + + + ≤ . D = R x = 0 không là nghiệm x > 0. Chia 2 vế cho x, ( ) ( ) 2 2 1 1 6 3 ; 2 0 2 3 11 2 5 5 36 55 0 BPT t t t x do x x t x t t ⇔ − ≤ − = + ≥ > ≤ ≤ ⇔ → ≤ ≤ − + ≥ x < 0. ( ) ( ) 2 1 1 6 3 ; 2 0BPT t t t x do x VN x ⇔ − ≤ − = + ≤ − < II 3. Tìm số thực a để phương trình 9 9 3 cos( ) x x a x π + = có nghiệm thực duy nhất NX x và 2 - x là nghiệm suy ra ĐK cần x = 1 suy ra a = - 6 Thử lại thấy thỏa mãn III. Tính tích phân: I = 2 3 0 sin (sin 3cos ) x dx x x π + ∫ . HD dùng liên kết: Xét: 2 3 0 s (sin 3cos ) co x J dx x x π = + ∫ . Sau đó tính tích phân: 3 1 3 3 ; 3 3 3 6 I J I J I+ = − = → = . IV. 2. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng : 5 0x y∆ − + = và hai elíp 2 2 2 2 1 2 2 2 ( ) : 1, ( ) : 1 ( 0) 25 16 x y x y E E a b a b + = + = > > có cùng tiêu điểm. Biết rằng 2 ( )E đi qua điểm M thuộc đường thẳng ∆ . Tìm toạ độ điểm M sao cho 2 ( )E có độ dài trục lớn nhỏ nhất. (E 2 ) có c 2 = a 2 - b 2 = 9 và qua M(t; t + 5). Vậy tìm t để: ( ) ( ) 2 2 2 2 5 1 * 9 t t a a + + = − . có a > 0 nhỏ nhất. PT(*) tương đương ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 9 10 34 0 **a t a t a a− + − − = có nghiệm t khi TH1: 3 2 a = loại TH2: 2 2 17 0 9 ( ) a a loai ≥ ∆ ≥ ⇔ ≤ . Vậy 17a = nên t = -17/5 suy ra M(-17/5;8/5) IV 3. Trong không gian Oxyz cho điểm M(0;2;0) và hai đường thẳng 1 2 1 2 3 2 : 2 2 : 1 2 ( , ) 1 x t x s y t y s t s z t z s = + = + ∆ = − ∆ = − − ∈ = − + = ¡ . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M song song với trục Ox , sao cho (P) cắt hai đường thẳng 1 ∆ và 2 ∆ tại lần lượt A, B thoả mãn AB = 1. Vì (P) song song Ox suy ra (P): b(y - 2) + cz = 0. Mặt khác b = 0 không thỏa mãn nên (P): y + mz - 2 = 0. (P) giao với hai đường thẳng lần lượt tai 2 2 6 6 3 1;2 ; 1 ; 3 ; 1 ; 2 2 2 2 2 2 m m m A B m m m m m m + − − + + − − ÷ ÷ − − − − − − AB = 1. Đặt ( ) 1 3 1 2 13 / 9 4 t VN m t m t m = − = → − − = → = . Vậy (P): 4y - z - 8 = 0. 4. IV 1. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt ,AM x AN y= = . Tìm ,x y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất. (HSG TP Hà Nội năm 2006 - 2007) HD: mp(DMN) chứa đường cao DO của tứ diện. CM được x + y = 3xy. 5. quy về tìm GTNN của ( ) 2 2 3 6 6 3 4 6 6 x y xy x y xy xy xy+ + + + − ≥ + . V. Cho các số thực , ,a b c thoả mãn 2 2 2 6 3 a b c ab bc ca + + = + + = − . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 6 6 6 P a b c= + + . tiếp tục cập nhật . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ Đề chính thức Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học: 2010 – 2011 Môn Toán, Lớp 12 THPT Thời gian làm bài 180 phút,. phẳng (ABC). Đặt ,AM x AN y= = . Tìm ,x y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất. (HSG TP Hà Nội năm 2006 - 2007) HD: mp(DMN) chứa đường cao DO của tứ diện. CM được x + y = 3xy. 5.