CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc • Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 900... Chứng minh rằng các cặp cạnh đối
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II, MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2010 - 2011
A ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN
1/ Chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0.
Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |u n | ≤ v n, ∀n và lim v n = 0 thì limu n = 0
- Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0: lim1 0
n= , lim 1 0
n = , limq n =0với |q| < 1
2/ Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số.
Phương pháp: Vận dụng các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực
- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số:
+) Nếu limun = +∞ thì lim 1 0
n
- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số:
+) Nếu ( )
0
lim
x x f x
( )
0
lim 1 0
x→x f x =
- Chú ý khi gặp các dạng vô định: ; ;0 ;0
0
∞ ta phải khử các dạng vô định đó bằng cách: chia tử
và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử và mẫu với một lượng liên hợp;…
3/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cho CSN (un) lùi vô hạn (với q <1), ta có :
1
1
S u u q u q
q
+
−
4/ Xét tính liên tục của hàm số
Phương pháp: Xét tính liên tục của hsố f(x) tại x:
limun limvn = L lim(unvn)
+∞ L >0 +∞
+∞ L < 0 −∞
−∞ L >0 −∞
−∞ L < 0 +∞
limun=L limvn Dấu củav
n
lim n n
u v
L >0
0
) (
lim
0
x f
x
0
x g
x
0
x g x f
x
x→
+ ∞ L > 0 + ∞
+ ∞ L < 0 - ∞
) ( lim
0
x f
x
0
x g
x
x→
Dấu của g(x) ( )
) ( lim
0 g x
x f
x
x→
L > 0
0
Trang 2+) Tính f(x 0 )
0
lim
x x f x
0
lim
→ không tồn tại⇒ f(x) gián đoạn tại x 0
lim
lim
5/ Chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình.
Phương pháp: Vận dụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn
[a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong (a ; b)
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
1/ Tìm đạo hàm của hàm số
Phương pháp: Áp dụng các công thức tính đạo hàm
+) Các quy tắc tính đạo hàm:
'
2 '
2
( ) ' ' '
( ) ' '
' '
v
=
−
=
÷
= −
÷
( )
( )
( )
1 '
2
' 0 ; ' 1 '
1 ' 2
x
x
−
=
= −
÷
=
( )
( )
1 '
2
' '
' ' 2
u
u u
u
−
=
= −
÷
=
+) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu y= f u x[ ( )] thì y x' = f u u' 'x
+) Đạo hàm của các hàm số lượng giác:
2
sin ' cos
cos ' sin
1 tan '
cos 1 (cot ) '
sin
x
x x
x
=
= −
=
= −
2
sin ' '.cos cos ' '.sin
' tan '
cos ' (cot ) '
sin
u u
u u u
u
=
= −
=
= −
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng:
y = f’(x 0 ) (x – x 0 ) + f(x 0 )
3/ Vi phân
- Vi phân của hàm số tại nột điểm: df x( )0 = f x'( ).0 ∆x
- Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: f x( 0+ ∆ ≈x) f x( )0 + f x'( )0 ∆x
- Vi phân của hàm số: df x( )= f x dx'( ) hay dy= y dx'
4/ Đạo hàm cấp cao:
- Đạo hàm cấp hai của hàm số: f’’= (f’)’
- Đạo hàm cấp n của hàm số: f(n) = [f(n-1)]’
Trang 3II BÀI TẬP
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
Bài 1: Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0:
( )
2
1
)
2 1
n
n
a u
n
−
=
+
sin 2 )
1
n
n
b u
n
=
cos3 ) n n n
c u
+
= +
cos )
1
n
n
d u
n n
= +
( )
1
1
)
3
n
3 1
n
)
n
Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
3
3 2
2 3 1
) lim n n
a
+
3 2
3 2 ) lim
2 1
b
n
3 2 ) lim
2 1
n c
− +
5
1 2 3 ) lim
( 2) (5 1)
d
2
) lim
1 2
e
n
+ +
−
3 2.5 ) lim
3.5 4
−
3 4 1 ) lim
2.4 2
+
) lim
2
h
n
) lim n
n n
+
ĐS: a) -3 b) +∞ c) 0 d) -3/25 e) -1 f) -2/3 g) -1/2 h) 1 i) 1
Bài 3 : Tính các giới hạn sau:
2
) lim(3 1)
a n + −n b) lim( 2− n4 + − +n2 n 3) c) lim 3( n2+nsin 2n) d) lim 3n2+ −n 1
) lim 2.3n 5.4n
e − f) lim 3n2+ −1 2n g) lim n2+ −1 n h)lim( n2− +n n)
) lim 3 6 1 7
i n − n+ − n k) lim n( n− −1 n) l) lim( n2−3n n− ) m) lim(3 n3+n2 −n)
ĐS: a) +∞ b) - ∞ c) +∞ d) +∞ e) - ∞ f) - ∞ g) 0 h) +∞ i) -∞ k) -1/2 l) -3/2 m) 1/3
Bài 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:
a)
1
1, , , , , ,
n−
1
1 1 1 1
1, , , , , ,
3 9 27 3
n−
÷
ĐS: a) 2/3 b) 3/2
Bài 5: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ∞
∞):
a)
3
3 2
5 1 lim
x
→+∞
3
3 2 lim
2 1
x
x x
→−∞
3 2 2
lim 3
x
→−∞
− + + d)
5 3
2 3
2 4
lim
1 3 2
x
→+∞
2
3 2
5 1 ) lim
x
x e
→+∞
−
2 2 4 2 1 lim
2 5
x
x
→−∞
−
ĐS: a) -1/2 b) -∞ c) - ∞ d) -∞ e) 0 f) -1/5
Bài 6: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.∞):
a) xlim ( 2→−∞ − x3 +x2 −3x+1) b) lim ( 4 3 5 3)
d) lim 2 3 2
ĐS: a) +∞ b) - ∞ c) + ∞ d) +∞ e) - ∞ f) + ∞
Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):
Trang 43
1
lim
3
x
x
x
−
→
+
1 lim
4
x
x x
→
−
− c) 3
2 1 lim
3
x
x x
+
→
−
− d) 2
2 1 lim
2
x
x x
+
→−
− +
2 lim
x
−
→
+
− f) 1
3 1 lim
1
x
x x
−
→−
− +
ĐS: a) - ∞ b) - ∞ c) +∞ d) +∞ e) 1 f) +∞
Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0
0):
a/ 2
3
9
lim
3
x
x
x
→
−
− b/
2 1
3 2 lim
1
x
x
→
− +
− c) 3 2
3 lim
2 3
x
x
→−
+ + − d)
3 2 1
1 lim
1
x
x x
→
−
− e)
2 2 1
2 3 lim
x
→
− − f) lim2 2
7 3
x
x
x
→
−
+ − g)
2 3
9 lim
1 2
x
x x
→
− + − h) 4
2 1 3 lim
2
x
x x
→
+ −
− i) 1
2 1 lim
5 2
x
x x
→−
+ − + − k)
2 2
3 2 lim
2
x
x
−
→
− +
−
ĐS: a) 6 b) -1 c) -4 d) 3/2 e) 4/3 f) -6 g) 24 h) 4/3 i) 2 k) 0
Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0 ∞):
a)
0
1 1
1
x→ − x x
b) 1 ( ) 2
2 3 lim 1
1
x
x x
x
+
→
+
−
− c)
2 3
2 1 lim 9
3
x
x x
x
+
→
+
−
− d/ ( 3 )
2 2
lim 8
2
x
x x
x
−
−
ĐS: a) -1 b) 0 c) +∞ d) 0
Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ∞ - ∞):
a) lim( 2 1 )
ĐS: a) 0 b) 1 c) 1/4 d) 1/2
Bài 11: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Áp dụng
0
sin
x
x x
a)
0
sin 3
lim
x
x
x
0
sin sin 2 lim
3
x
x
→ c)
2 0
1 cos lim sin
x
x
→
−
d)
0
sin sin 2 sin
x
x
→
ĐS: a) 3 b) 2/3 c) 1 d) n!
Bài 12: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)
2 4
-2 ( ) 2
4 -2
x
khi x
khi x
= +
tại x0 = -2 b)
2 4 3
khi x<3
5 khi 3
x
− +
tại x0 = 3
c)
2
1
7 1
khi x
khi x
tại x0 = 1 d)
3 ( ) 3
3 3
x
khi x
khi x
tại x0 = 3
e/
2 2
2
2 2 2
x
khi x
khi x
= −
tại x0 = 2 f)
2 2
3 4 2
x
khi x
−
tại x0 = 2
ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục
Bài 13: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
a)
2 3 2
2
1 2
khi x
khi x
b) ( )2
1 2 2
( )
3 2
x
khi x x
f x
khi x
−
−
=
c) ( )
2 2
x 2 2
khi
− − >
= −
d) ( ) 2
2
0
0 1
2 1 1
<
= ≤ <
− − + ≥
Trang 5ĐS: a) hsliên tục trên R ; b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 2), (2; +∞) và bị gián đọan tại x = 2.
c) hsliên tục trên R ; d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 1), (1; +∞) và bị gián đọan tại x = 1
Bài 14: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0
a) ( )
2 2
1 1
1
khi x
− − ≠ −
= +
với x0 = -1 b)
2 1 ( )
2 3 1
f x
<
= − ≥
với x0 = 1
c)
7 3 2
1 2
x
khi x
≠
với x0 = 2 d)
2
3 1 1 ( )
2 1 1
f x
− <
= + ≥
với x0 = 1
ĐS: a) a = -3 b) a = 2 c) a = 7/6 d) a = 1/2
Bài 15: Chứng minh rằng phương trình:
a) x4−5x+ =2 0 có ít nhất một nghiệm
b) x5− − =3x 7 0 có ít nhất một nghiệm
c) 2x3−3x2+ =5 0 có ít nhất một nghiệm
d)2x3−10x− =7 0 có ít nhất 2 nghiệm
e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π/3)
f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm
g) x3+3x2− =1 0 có 3 nghiệm phân biệt
h) ( 2) ( )3 2
1−m x+1 + − − =x x 3 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m
i) ( )3( 2 ) 4
m x− x − + − =x luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m
CHƯƠNG V : ĐẠO HÀM Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau:
a) y x= 3 b)y=3x2+1 c) y= x+1 d) 1
1
y x
=
−
Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:
1) = 3 − 2 + −5
3 2
2
2 5 − +
7
y
4) y=5x2(3x−1) 5) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1) 6)y=(x2 +5)3 7)
) 3 5
)(
1
(x2 x2
y= + − 8)y=x(2x−1)(3x+2) 9)y=(x+1)(x+2)2(x+3)3
10) = + ( − )
x 11)y= 2x3 12)y = ( 5x3 + x2 – 4 )5
13)y= 3x4+x2 14) y=(2x2+1) (x−2 3) ( x+7) 15)
2
2 5 2
x y x
−
= + 16) 2 1
2 3 5
y
=
3 2
2 1
y
−
= + + 18)
=
−
2 2
7 5 3
y
x x
19)y= x2 +6x+7 20)y= x−1+ x+2 21)y=(x+1) x2 + x+1 22)
1
2
3 2
2
+
+
−
=
x
x
x
1 x
+
=
2
Trang 625) ( )3
y= x + x + x − x 26) y = x (x2- x +1) 27)
3 2
2 3
2
x
x
−
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = 5sinx – 3cosx 2) y = cos (x3) 3) y = x.cotx 4)y=(1+cotx)2 5)
x x
cos cos
3
y= x− x 7)
2 sin4 x
y= 8)
x x
x x
y
cos sin
cos sin
−
+
= 9)
3
y cot (2x )
4
π
= + 10) y=sin (cos3 )2 x 11) y cot 1 x= 3 + 2 12) y=3sin2 x.sin3x
13) y= 2 tan x+ 2 14) y cosx3 4cot x
3sin x 3
= − + 15)y=sin(2sin )x 16) y=sin4 p- 3x
) 2 sin
1
(
1
x
y
+
= 18) y xsin x
1 tan x
= + 19)
sin x x y
x sin x
= + 20) y= 1 2 tan x+
Bài 4: Cho hai hàm số : f x( ) sin= 4x+cos4 x và ( ) 1cos 4
4
Chứng minh rằng: '( )f x =g x'( ) (∀ ∈ℜx ).
Bài 5: Cho y=x3−3x2+2 Tìm x để: a) y’ > 0 b) y’ < 3
ĐS: a) 0
2
x
x
<
>
b) 1− 2< < +x 1 2
Bài 6: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x + sin x + x b) f(x) = 3sinx−cosx+x
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1
Bài 7: Cho hàm số f(x)= 1 x Tính :+ f(3) (x 3)f '(3)+ −
Bài 8: a) Cho hàm số:
2
2 2
2 + +
y Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2
b) Cho hàm số y =
4 x
3 x
+
− Chứng minh rằng: 2(y’)2 =(y -1)y’’
c) Cho hàm số y = 2x x − 2 . Chứng minh rằng:y y" 1 03 + =
Bài 9: Chứng minh rằng '( ) 0 f x > ∀ ∈ℜx , biết:
a/ ( ) 2 9 6 2 3 3 2 6 1
3
f x = x − +x x − x + x− b/ ( ) 2f x = x+sinx
Bài 10: Cho hàm số 2
2
y x
+
=
− (C) a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1
Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)
a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > 0
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2
Bài 12: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y x= −3 5x2+2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
a) Tại M (0;2)
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1
Trang 7c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =1
7x – 4.
Bài 13: Cho đường cong (C): 2
2
x y x
+
=
− Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
a) Tại điểm có hoành độ bằng 1
b) Tại điểm có tung độ bằng 1
3
c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là − 4
Bài 14: Tính vi phân các hàm số sau:
a) y=x3 −2x+1 b)
2 sin4 x
y= c) y= x2 +6x+7 d) y=cosx.sin2 x e) y=(1+cotx)2
Bài 15: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
2
x
y
x
+
=
− 2) 2
2 1 2
x y
+
= + − 3) 2 1
x y x
=
5) y x= 2sinx 6) y= −(1 x2) cosx 7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x
ĐS: 1) ( )3
6 ''
2
y
x
=
3 2
3 2
4 10 30 14 ''
2
y
=
+ − 3)
2 3 2
''
1
x x y
x
+
=
3
2 3 ''
y
+
=
5) y''= −(2 x2)sinx+4 cosx x 6) y'' 4 sin= x x+(x2−3) cosx 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x
8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x
Bài 16: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a) 1
1
y
x
=
ĐS: a) ( ) ( ) ( ) 1
! 1
1
n n
n
n y
= −
n
Trang 8B HÌNH HỌC
I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc
• Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 900
• Phương pháp 2: a b ⊥ ⇔ u v r r = 0 (u v r r ,
lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).
• Phương pháp 3: Chứng minh a ⊥ ( ) α ⊃ b hoặc b ⊥ ( ) β ⊃ a
• Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( a⊥ ⇔ ⊥b a b' với b’ là hình chiếu của đt b lên
mp chứa đt a)
Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P).
• Phương pháp 1: Chứng minh: d ⊥ a và d ⊥ b với a ∩ b = M; a,b ⊂ (P)
• Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ⊥ (P)
• Phương pháp 3: Chứng minh: d ⊂ (Q) ⊥ (P), d ⊥ a = (P) ∩ (Q)
• Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) ∩ (R) và (Q) ⊥(P), (R) ⊥ (P)
Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc.
• Phương pháp 1: Chứng minh (P) ⊃ a ⊥ (Q)
• Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ⊥ (Q)
• Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ⊥ (Q)
Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b.
• Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ ∩ b’ = O)
- Khi đó: (a, b) = (a’, b’)
Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P).
• Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là ϕ
+) Nếu d ⊥ (P) thì ϕ = 900
+) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)
- Khi đó: ϕ = (d,d’)
Dạng 6: Tính góc ϕ giữa hai mp (P) và (Q)
• Phương pháp 1:
- Xác định a ⊥ (P), b ⊥ (Q)
- Tính góc ϕ = (a,b)
• Phương pháp 2: Nếu (P) ∩ (Q) = d
- Tìm (R) ⊥ d
- Xác định a = (R) ∩ (P)
- Xác định b = (R) ∩ (Q)
- Tính góc ϕ = (a,b)
Dạng 7: Tính khoảng cách.
Phương pháp: d M a ( , ) = MH (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).
Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).
- d(M, (P)) = AH
• Tính khoảng giữa đt ∆ và mp (P) song song với nó: d( ∆ , (P)) = d(M, (P))(M là điểm thuộc ∆)
+) Phương pháp 1: Nếu a ⊥ b :
Trang 9- Dựng (P) ⊃ a và (P) ⊥ b
- Xác định A = (P) ∩ b
- Dựng hình chiếu H của A lên b
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b
+) Phương pháp 2:
- Dựng (P) ⊃ a và (P) // b
- Dựng hình chiếu b’ của b lên (P) b’ // b, b’ ∩ a = H
- Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b
+) Phương pháp 2:
- Dựng đt (P) ⊥ a tại I cắt b tại O
- Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O)
- Kẻ IK ⊥ b’ tại K
- Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H
- Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b
II BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA ⊥ (ABC)
a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB)
b) Gọi AH là đường cao của ∆SAB Chứng minh: AH ⊥ SC
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA ⊥ (ABCD) Chứng minh rằng:
a) BC ⊥ (SAB)
b) SD ⊥ DC
c) SC ⊥ BD
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: BC ⊥ AD
b) Gọi AH là đường cao của ∆ADI Chứng minh: AH ⊥ (BCD)
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = a 2
a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD)
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh IK⊥SD
c) Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD)
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, BC ⊥ AD Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD) Chứng minh: a) H là trực tâm ∆BCD
b) AC ⊥ BD
Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau từng
đôi một
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a 3, SA ⊥ (ABCD) a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông
b) Gọi I là trung điểm của SC Chứng minh IO⊥ (ABCD)
c) Tính góc giữa SC và (ABCD)
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA ⊥(ABCD) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu
Trang 10· 0
BAD 60 =
a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC)
b) Chứng minh SC ⊥ (AHK)
c) Chứng minh HK ⊥ (SAC)
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC = a, SA ⊥ (ABC)
Gọi I là trung điểm BC
a) Chứng minh BC ⊥ (SAI)
b) Tính SI
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC)
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA ⊥ (ABC) và SA = a, AC = 2a a) Chứng minh rằng: (SBC) ⊥ (SAB)
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC)
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC)
d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BC
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a.
Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC
1 CMR: BC⊥(OAI)
2 CMR: (OAI)⊥(OHK)
3 Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC) ĐS:a / 3
5 Tính côsin của góc giữa OA và mp (OHK) ĐS:cosα = 6 / 3
6 Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC) ĐS: tanϕ = 2
7 Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI Tính khoảng cách giữa hai
đường ấy ĐS: a / 2
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD) và SA a 2 =
1 CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
2 CMR: mp (SAC)⊥mp(SBD)
3 Tính góc α giữa SC và mp (ABCD), góc β giữa SC và mp (SAB) ĐS: α =45 , 300 β = 0
4 Tính tang của góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) ĐS: tanϕ =2
5 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD).
ĐS: a 6 / 3
6 Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng ấy ĐS: a / 2
7 Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, C, D và tính SI ĐS: SI a=
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, SA SB SD a 3 / 2 = = =
và Gọi H là hình chiếu của S trên AC
1 CMR: BD (SAC)⊥ và SH⊥(ABCD).
2 CMR: AD SB⊥
3 CMR: (SAC)⊥(SBD)
4 Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) và SC ĐS: SH a 15 / 6= và SC = a 7 / 2
5 Tính sin của góc α giữa SD và (SAC), côsin của góc βgiữa SC và (SBD)
ĐS: sinα = 3 / 3 và cosβ =3 / 14
6 Tính khoảng cách từ H đến (SBD) ĐS: a 10 / 12
7 Tính góc giữa(SAD)và (ABCD) ĐS: tanϕ = 5
8 Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SH và BC Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng ấy ĐS: a 3 / 3