Đề cương ôn tập học kỳ II lớp 11 A – ĐẠI SỐ. Chương IV: GIỚI HẠN. I – Giới hạn dãy số. Lý thuyết: 1) Các giới hạn đặc biệt. 1)lim 2)lim ; k C C C k Z n + = = +∞ ∈ 3)lim 0; 1 4)lim ; 1 5)lim ; n n k q q q q n k Z + = < = +∞ > = +∞ ∈ 2) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 ; 1. 1 u S q q = < − Với 1 2 3 n S u u u u= + + + + + 3) Định lý: lim ) lim 0 lim lim 0 )lim 0 lim 0; * lim ) lim . lim 0 n n n n n n n n n n n n n u a u a v v u a u b v v v n N u c u v v a = ⇒ = = ±∞ = > = ⇒ = +∞ > ∀ ∈ = +∞ ⇒ = +∞ = > Bài 1: Tính các giới hạn sau: a) 2 2 4 lim 4 5 n n n n + + + b) 1 lim n n + c) 2 1 lim 2 3 n n + + d) 2 4 1 lim 2 5 n n + + e) 3 lim( 6 5)n n− − f) 5 2 4 lim 4 5 n n n + + + 2 5 2 3 1 )lim 2 2009 n n g n n − + + + 3 2 2 10 )lim 2 2009 n n h n − + − + ( ) 2 )lim 2 3k n n n+ − − (HD: nhân với lượng liên hợp) ( ) 2 )lim 2 3l n n n+ − + (HD: Đặt n làm nhân tử chung) m) 1 4 lim 1 4 n n − + n) 1 2 4 lim 1 3 4 n n n n − + + − (HD: chia cả tử và mẫu cho 4 n áp dụng: lim 0; 1 n q q= < ) Bài 2: Tính tổng: a) 3 1 9 3 1 3 n S − = + + + + + b) 1 1 1 1 1 2 4 2 n S − = + + + + + c) 2 1 1 1 ( 1) 1 10 10 10 n n S − − = − + − + + + Bài 3: Một cấp số nhân có 1 3 1 1; 16 u u= = . Tính 1 2 n S u u u= + + + + ? II – Giới hạn hàm số. Lý thuyết: 1) Các giới hạn đặc biệt. 0 1) lim x x C C → = 0 0 2) lim x x x x → = 3) lim ; k x x k Z + →+∞ = +∞ ∈ 1 Đề cương ôn tập học kỳ II lớp 11 4) lim k x x →−∞ = +∞ (k là số lẻ) 5) lim k x x →−∞ = −∞ (k là số chẵn). 2) Giới hạn một bên: • Nếu 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x L + − → → = = thì 0 lim ( ) x x f x L → = . • Nếu 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x + − → → ≠ thì không tồn tại 0 lim ( ) x x f x → . 3) Một vài quy tắc về giới hạn vô cực. a/ Giới hạn của tích f(x).g(x). b/ Giới hạn của thương f(x) g(x) 0 lim ( ) x x f x → 0 lim ( ) x x g x → 0 lim ( ). ( ) x x f x g x → L>0 + ∞ + ∞ - ∞ - ∞ L<0 + ∞ - ∞ - ∞ + ∞ 0 lim ( ) x x f x → 0 lim ( ) x x g x → Dấu của g(x) 0 ( ) lim ( ) x x f x g x → L ± Tùy ý 0 L>0 0 + + ∞ - - ∞ L<0 + - ∞ - + ∞ 2 Đề cương ôn tập học kỳ II lớp 11 Bài 1: Tính các giới hạn sau: 10 0 1 2 2 2 2 1 2 1 3 3 2 1.lim( 2009) 2 1 2.lim 2 3 2 3.lim 2 2 3 4.lim 2 1 8 3 5.lim 2 3 2 1 6. 1 3 2 2 7. lim 2 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x lim x x x x x → → → → → →±∞ →±∞ + + + + − + − + − − − + − + − + − − + − + − 3 2 4 3 2 2 5 2 3 2 2 0 10 3 2 1 8. lim 4 3 2 2 2 9. lim 3 1 3 1 10. lim 2 2 3 2 11. lim 3 1 3 2 12. lim 3 1 1 13.lim 2 14. lim ( 2009) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →±∞ →−∞ →−∞ →−∞ →+∞ → →−∞ − − + − − − − − − + − + − − + − − + − − ÷ + + x 2 x 2 10 x 0 1 1 2 2 2 7 15. 2 2 7 16. 2 1 1 17. 3 3 18. lim 1 3 3 19. lim 1 20. lim ( 3 2 ) 21. lim ( 3 2 ) lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + − + − → → → →− →− →+∞ →−∞ + − + − − ÷ − + + − + + − + − − + − Bài 2: Cho hàm số: 2 1 , 1 ( ) 5 3, 1 x x f x x x x − > = + ≤ . Tính: 1 1 1 lim ( );lim ( );lim ( ) x x x f x f x f x + − → → → (nếu có). Bài 3: Cho f(x) = |x – 2| + 1. Tính: 2 2 2 lim ( ); lim ( );lim ( ) x x x f x f x f x + − → → → ( nếu có) III – Hàm số liên tục. Phương pháp: * Hàm số f(x) liên tục tại x o ⇔ o o x x lim f (x) f (x ) → = . * Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b). Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x 0 = 0: 2 2 , 0 ( ) 5 2, 0 x x x f x x x x − ≠ = + = . Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x 0 = 0: 2 2 , 0 ( ) 1, 0 x a x f x x x x + < = + + ≥ . Bài 3: Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x 0 = 1: 2 1 , 1 ( ) 1 , 1 x x f x x x a x − ≠ = − + = . Bài 4: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm thuộc (-1; 1): 4 3 2 3 1 0x x x x+ − + + = . Bài 5: Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm thuộc (-1;1): 4 2 4 2 3 0x x x+ − − = . Bài 6: Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm: a) 5 3 5 4 1 0x x x− + − = . b) sinx = x. c) cosx = x. d) sinx – x + 1 = 0. Chương IV: ĐẠO HÀM. 3 Đề cương ôn tập học kỳ II lớp 11 Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong. Phương pháp: Phương trình tiếp tyến có dạng: y- y 0 = f’(x 0 )(x – x 0 ) Bài 1: Cho đường cong (C): y = x 3 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong các trường hợp sau: a) Tại M(-1; -1). b) Tại điểm có hoành độ bằng 1. c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3. d) Tại giao điểm của (C) với trục hoành. Bài 2: Cho đường cong (C): 2 2 x y x + = − . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. Dạng 2: Tính đạo hàm dựa vào quy tắc. Lý thuyết: 1) Quy tắc tính đạo hàm: ' 2 ' 2 ' ' ' ( )' ' ' ' ( )' ' ( )' ' ' ' ' 1 ' . x u x u v w u v w ku ku uv u v uv u u v uv v v v v v y y u + − = + − = = + − = ÷ − = ÷ = 2) Bảng đạo hàm: ( ) 1 ' 2 ' ( )' 1 1 1 2 n n x nx x x x x − = = − ÷ = ( ) 1 ' 2 ' ( )' . ' 1 ' ' 2 n n u nu u u u u u u u − = = − ÷ = 2 2 (sin )' cos (cos )' sin 1 (tan )' cos 1 (cot )' sin x x x x x x x x = = − = = − 2 2 (sin )' 'cos (cos )' 'sin ' (tan )' cos ' (cot )' sin u u u u u u u u u u u u = = − = = − Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 4 Đề cương ôn tập học kỳ II lớp 11 2 4 2 2 3 1. 4 3 1 2. 2 2009 4 3. ( 1)( 2) 4. ( 1) (( 2) 1 5. 6 5 y x x y x x y x x y x x y x = − + = − + = − − = + + = + 2 2 2 2 1 6. 3 4 2 3 7. 2 1 8. 2 1 2 1 9. 2 10. 4 3 y x x x y x x y x x x y x y x x = + + − = + + = − + − = − = − + 2 2 2 2 2 2 2 11. 4 1 1 12. 1 1 13. 2 2 1 14. ( 1) 1 15. 1 1 y x x x y x y x x y x x y x x x x = + + − = + = + − − = + + = + + − − + Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác sau: 1. 2sin 3cos sin cos 2. sin cos 3. cos2 .cos3 y x x x x y x x y x x = − − = + = 2 3 2 4. (1 cot ) 5. cot 2 4 6. 2 tan y x y x y x π = + = + ÷ = + 2 3 2 7. 3sin 2sin 8 1 cos 2 9. sin y x x x y y y ax = − = + = = ( a là hằng số) Dạng 3: Đạo hàm cấp hai. Phương pháp: y (n) = (y n – 1 )’ Bài 1: cho hàm số: y = acosx + bsinx (a; b là các hàng số tùy ý). Chứng minh: y” + y = 0. Bài 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: 2 2 1. 1 1 2. 1 3 3 3. 3 y x x x y x x x y x = + − = + − + = − 2 3 2 4. 5. 6. .sin 2 y ax bx c y ax bx cx d y x x = + + = + + + = 7. sin 2 8. cos 1 9. y x y x y x = = = Bài 3: Chứng tỏ rằng mỗi hàm số sau đây thõa mãn một hệ thức tương ứng: 2 3 1. 2 ; ". 1 0y x x y y= − + = 2 3 2. ;2( ') ".( 1) 4 x y y y y x − = = − + B – HÌNH HỌC. Bài 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Phương pháp: 1) Các quy tắc về vecto: a ) Quy tắc 3 điểm: ;AB BC AC AB OB OA+ = = − uuur uuur uuur uuur uuur uuur . b) Quy tắc hình bình hành: AB AD AC+ = uuur uuur uuur c) Quy tắc hình hộp: AA' 'AB AD AC+ + = uuur uuur uuur uuuur d) Tính chất của trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác. • I là trung điểm của AB: 0; 2IA IB MA MB MI+ = + = uur uur r uuur uuur uuur (M tùy ý). • G là trọng tâm ABC ∆ : 0; 3GA GB GC MA MB MC MG+ + = + + = uuur uuur uuur r uuur uuur uuuur uuuur (M tùy ý) 2) Điều kiện đồng phẳng của 3 vecto: 5 Đề cương ôn tập học kỳ II lớp 11 • Ba vecto được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mp. • Cho hai vecto ;a b r r không cùng phương. Khi đó ba vecto ; ;a b c r r r đồng phẳng c ma nb⇔ = + r r r ( cặp (m; n) là duy nhất). Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành . Chứng minh rằng: SDSBSCSA +=+ . Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho MDAM 3= và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho NCNB 3−= . Chứng minh rằng ba vectơ MNDCAB ,, đồng phẳng. Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi O và O’ theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCD và A’B’C’D”. a. Hãy biểu diễn các vectơ ', AOAO theo các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương đó b. Chứng minh rằng: ABADCDAD =++ '''' . Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M, N sao cho )0( >== kk BD BN AC AM . Chứng minh răng ba vectơ PNPMPQ ,, đồng phẳng. Bài 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Phương pháp: Cách 1: Chứng minh một trong hai đường thẳng ấy vuông góc với mp chứa đường thẳng còn lại. Cách 2: Nếu hai đường thẳng đồng phẳng ta có thể dùng các phương pháp trong hình học phẳng. Cách 3: dùng định lý ba đường vông góc. Bài 1: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều. a. Chứng minh rằng AB và CD vuông góc với nhau. b. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC, BD, DA. Chứng minh răng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng đường thẳng AO vuông góc với đường thẳng CD. Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ a. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DA’. b. Chứng minh BD ⊥ AC’ Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD Bài 5: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, BC, AD và có MN = PQ. Chứng minh rằng AB ⊥ CD. Bài 6: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2 . a. Tính góc giữa hai vectơ AB và SC . b. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC. Bài 7: Cho tứ diện ABCD trong đó AB ⊥ AC, AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau. Bài 3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Phương pháp: Chứng minh đường thảng a vuông góc với mp(P)? Cách 1: Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P). 6 Đề cương ôn tập học kỳ II lớp 11 Cách 2: Chứng minh a song song với đường thẳng b//(P). Cách 3: Chứng minh a vuông góc với (Q)//(P). Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA ⊥ (ABCD). Gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên cạnh SB, SC và SD. a. Chứng minh: BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC). b. Chứng minh: SC ⊥ (AHK) và điểm I thuộc (AHK). c. Chứng minh: HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥ AI. Bài 2: Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SA = SC, SB = SD. a. Chứng minh SO ⊥ (ABCD). b. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. Chứng minh rằng IK ⊥ (SBD) và IK ⊥ (SD). Bài 3: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại H. Chứng minh: a. OA ⊥ BC, OB ⊥ CA, OC ⊥ AB. b. H là trực tâm của tam giác ABC. c. 2222 1111 OCOBOAOH ++= . Bài 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh bên SA ⊥ (ABC). Gọi D là điểm đối xứng với điểm B qua trung điểm O của cạnh AC. Chứng minh rằng: CD ⊥ CA và CD ⊥ (SCA). Bài 5: Hai tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mặt phẳng khac nhau có chung cạnh đáy BC tạo nên tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. a. Chứng minh: BC ⊥ AD. b. Gọi AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh AH ⊥ (BCD). Bài 4: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Phương pháp: Cách 1: Chứng minh mp này chứa một đường thẳng vuông góc với mp kia. Cách 2: Chứng minh góc giữa hai mp bằng 90 0 . Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD). Trong tam giácBCD vẽ các đường cao BE; DF cắt nhau tại O. Trong (ADC) vẽ DK vuông góc với AC tại K. Chứng minh: a) (ADC) ⊥ (ABE) b) (ADC) ⊥ DFK) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. M; N là hai điểm nằm trên cạnhBC; DC sao cho 3 ; 2 4 a a BM DN= = . Chứng minh rằng: (SAM) ⊥ (SMN). Bài 5: KHOẢNG CÁCH Phương pháp: Dạng 1: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d: Kẻ MH ⊥ d (H ∈ d). Khi đó MH chính là khảng cách cần tìm. Dạng 2: Tính Khoảng cách từ điểm M đến mp(P): Kẻ MH ⊥ (P) với H ∈ (P). Tính MH. Dạng 3: Tính khoảng cách giữ hai đường thẳng chéo nhau: Cách 1: Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. Cách 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại. Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh là a; SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của SC, AB. 7 Đề cương ôn tập học kỳ II lớp 11 a) Chứng minh: IO ⊥ (ABCD) b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM. Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh a. O là giao điểm của AC và BD. a) Chứng minh: SO ⊥ (ABCD). b) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD). Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a. Gọi I là trung diểm của BC. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng: a) OA và BC. b) AI và OC. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa các cặp dường thẳng: a) SB và CD. b) SC và BD. c) SC và AB. 8 . (P). 6 Đề cương ôn tập học kỳ II lớp 11 Cách 2: Chứng minh a song song với đường thẳng b//(P). Cách 3: Chứng minh a vuông góc với (Q)//(P). Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD. đồng phẳng của 3 vecto: 5 Đề cương ôn tập học kỳ II lớp 11 • Ba vecto được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mp. • Cho hai vecto ;a b r r không cùng phương. Khi đó ba. u= + + + + ? II – Giới hạn hàm số. Lý thuyết: 1) Các giới hạn đặc biệt. 0 1) lim x x C C → = 0 0 2) lim x x x x → = 3) lim ; k x x k Z + →+∞ = +∞ ∈ 1 Đề cương ôn tập học kỳ II lớp 11 4) lim k x x →−∞ =