Bựi Vn Phỳc THPT Xuõn Giang Đề cơng ôn tập học kỳ i I. Khảo sát hàm số và một số bài toán về ứng dụng của đạo hàm. Dạng 1. Khảo sát các hàm số cơ bản. 1. Cơ sở lí thuyết. +) Các bớc khảo sát hàm sô: 1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số. a) Xét chiều biến thiên của hàm số Tính đạo hàm. Tìm các điểm tới hạn. Xét dấu của đạo hàm. Suy ra chiều biến thiên của hàm số trên các khoảng. b) Tìm cực trị. c) Tìm các giới hạn của hàm số Khi x dần tới vô cực ( , + ) Khi x dần tới bên trái, bên phải giá trị làm cho hàm số không xác định. Tìm các tiệm cận (nếu có). d) Xét tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số (đối với hàm bậc 3, trùng phơng) Tính đạo hàm cấp 2. Xét dấu đạo hàm cấp 2. Suy ra tính lồi, lõm và điểm uốn. e) Lập bảng biến thiên. 3. Vẽ đồ thị. Chính xác hóa đồ thị. Vẽ đồ thị. 2. Bài tập. Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) 3 2 1y x x x= + . b) 3 2 2 6 1y x x x= + c) 3 2 3 9 2y x x x= + + + d) 3 2 2 3 1y x x= + Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) 4 2 1 3 3 2 2 y x x= + b) 4 2 10 9y x x= + c) 4 2 4 3y x x= + d) 4 2 2 3 5y x x= + Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) 3 2 2 x y x + = + b) 3 1 x y x + = + Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) 1 1 y x x = + b) 2 3 1 x x y x + = c) 2 1 1 x x y x + + = + Bựi Vn Phỳc THPT Xuõn Giang Dạng 2. Tính đơn điệu của hàm số. 1.Cơ sở lí thuyết. +) Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm trên khoảng (a; b). Khi đó Nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b và đẳng thức chỉ xảy tại hữu hạn điểm trên (a; b) thì ( )y f x= đồng biến trên khoảng đó. Nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b và đẳng thức chỉ xảy tại hữu hạn điểm trên (a; b) thì ( )y f x= nghịch biến trên khoảng đó. +) Các bớc xét tính đơn điệu của hàm số ( )y f x= : Tính đạo hàm y'. Tìm các điểm tới hạn (làm cho ( )f x bằng 0 hoặc không xác định). Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn. Từ kêt quả tìm đợc kết luận về tính đơn điệu của hàm số trên từng khoảng. Chú ý: Dấu của y' không đổi trong khoảng xác định bởi 2 điểm tới hạn kề nhau. 2. Bài tập. Bài 1. Cho hàm số 3 2 1 ( 1) ( 3) 4 3 y x m x m x= + + + . Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó. Bài 2. Cho hàm số 2 2 2 3 2 x mx m y x m + = a) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. b) Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (1; )+ . Dạng 3. Các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số. 1. Cơ sở lí thuyết. a) Điều kiện để hàm số có cực trị. +) Điều kiện cần: Nếu hàm số ( )y f x= có đạo hàm tại 0 x và đạt cực trị tại đó thì 0 ( ) 0f x = . +) Điều kiện đủ: Hàm số ( )y f x= đạt cực trị tại 0 x nếu ( )f x đổi dấu khi x đi qua 0 x . b) Qui tắc tìm cực trị. +) Qui tắc 1: i) Tìm ( )f x ii) Tìm các điểm tới hạn (làm cho ( )f x bằng 0 hoặc không xác định) iii) Xét dấu của đạo hàm iv) Từ biến thiên suy ra các điểm cực trị. +) Qui tắc 2: i) Tìm ( )f x . Giải phơng trình ( )f x = 0, gọi i x là các nghiệm. ii) Tính ( )f x . iii) Từ dấu của ( ) i f x suy ra tính chất cực trị của điểm i x . c) Một số chú ý khi giải toán cực trị. +) Nếu hàm số ( )y f x= có đạo hàm 2 ( ) ( 0)f x ax bx c a = + + thì ( )y f x= có cực trị khi 2 4 0b ac = > . Bựi Vn Phỳc THPT Xuõn Giang +) Cho hm s y = f(x), nu x 0 l im cc tr ca hm s thỡ f(x 0 ) gi l giỏ tr cc tr ca hm s v M(x 0 ; f(x 0 )) gi l im cc tr ca th hm s. +) i vi hm bc ba: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d cú 2 im cc tr x 1 ; x 2 . tớnh giỏ tr cc tr ca hm s ta cú th thc hin theo cỏch sau: Thc hin phộp chia a thc f(x) cho f(x) f(x) = f(x) (mx + n) + Ax + B (trong ú mx + n l thng ca phộp chia v Ax + B l s d ca phộp chia). Vỡ f(x 1 ) = f(x 2 ) = 0 nờn - f(x 1 ) = Ax 1 + B - f(x 2 ) = Ax 2 + B Khi đó đờng thẳng đi qua các điểm cực trị có phơng trình là y Ax B= + . +) i vi hm hu t = u(x) y v(x) . Nu hm s t cc tr ti x = x 0 vi v(x 0 ) 0 thỡ: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u(x ) u'(x ) y'(x ) = 0 u'(x )v(x ) - u(x )v'(x ) = 0 v(x ) v '(x ) = Vy giỏ tr cc tr ca hm s l 0 0 0 0 0 u(x ) u'(x ) y(x ) v(x ) v '(x ) = = . 2. Bi tp rốn luyn. Bài 1. Cho hàm số 3 2 3 3(2 1) 1y x mx m x= + + . a) Khảo sát SBT và vẽ đồ thị hàm số với m = 1. b) Xác định m để hàm số có cực trị Bi 2. Cho hm s 2 1x mx y x m + + = + . Tỡm m hm s t cc i ti x = -1. Bi 3. Cho hm s + + + + + = + 2 2 x (2m 1)x m m 4 y 2(x m) . Chng minh rng th hm s luụn cú 2 im cc tr v khong cỏch 2 im cc tr khụng i. Bi 4. Cho hm s = + + 3 2 1 y x mx x m 1 3 . Chng minh rng vi mi m hm s luụn cú cc i, cc tiu. Hóy xỏc nh m sao cho khong cỏch gia 2 im cc i, cc tiu l nh nht. Bi 5. Cho hm s + + = 2 2 x (m 1)x m 4m 2 y x 1 a) Xỏc nh m hm s cú cc tr b) Tỡm m tớch cỏc giỏ tr cc i v cc tiu t giỏ tr nh nht Bài 6. Cho hàm số 4 2 4( 1) 2 1y x m x m= + có đồ thị (C m ). Tìm m để đồ thị (C m ) có 3 điểm cực trị. Bùi Văn Phúc THPT Xn Giang Dạng 4. Các bài tốn liên quan đến tiếp tuyến. 1. Cơ sở lí thuyết. +) Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường cong. Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm tại x 0 . Khi đó, tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 0 0 ( ; )M x y có phương trình là: 0 0 0 ( )( )y y f x x x ′ − = − , trong đó 0 0 ( )y f x= +) Tiếp tuyến với hệ số góc cho trước. Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x= , biết tiếp tuyến đó có hệ số góc k cho trước ta có thể làm như sau: Bước 1: Gọi 0 0 ( ; ) ( )M x y C∈ là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) Bước 2: Tìm x 0 bằng cách giải phương trình : ' 0 ( )f x k= , từ đó suy ra 0 0 ( )y f x= =? Bước 3 : Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y 0 = k ( x - x 0 ) ta sẽ được pttt cần tìm. +) Tiếp tuyến đi qua một điểm bất kì (khơng thuộc đồ thị). • Đường thẳng d đi qua điểm 1 1 1 ( ; )M x y và có hệ số góc k có phương trình là: 1 1 1 1 ( ) ( )y y k x x y k x x y− = − ⇔ = − + • Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x= thì hệ phương trình sau phải có nghiệm: 1 1 ( ) ( ) ( ) f x k x x y f x k = − + ′ = +) Hoặc đường thẳng d: y ax b= + tiếp xúc (là tiếp tuyến) với đồ thị hàm số ( )y f x= khi và chỉ khi phương trình ( )ax b f x+ = có nghiệm kép. 2. Bài tập. Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thò (C) của hàm số xxxy 32 3 1 23 +−= tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất Bài 2: Cho đường cong (C): 2 1 2 + −+ = x xx y . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2:)( −=∆ xy Bài 3: Cho hàm số 3 1 23 1 23 ++= x m xy (C m ). Gọi M là điểm thuộc (C m ) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (C m ) tại điểm M song song với đường thẳng 5x-y=0 Bài 4: Cho đường cong (C): 23 23 +−= xxy Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(2;-7) Bài 5. Cho hàm số 4 2 1 2 2 2 y x x= − + . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết nó đi qua điểm A(0; 2). Bài 6. Cho hàm số 4 2 8 7y x x= − + . Tìm các giá trị thực của m để đường thẳng 9y mx= − tiếp xúc với đồ thị hàm số. Dạng 5. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị. Bùi Văn Phúc THPT Xn Giang 1. Cơ sở lí thuyết. Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình f(x) = g(x) (1) Nghiệm x 0 của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của (C 1 ):y=f(x) và (C 2 ):y=g(x) Dạng 1 : Bằng đồ thò hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình : f(x) = m (*) Phương pháp: Bước 1: Xem (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thò: ( ): ( ) : (C) là đồ thò cố đònh ( ): : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox và cắt Oy tại M(0;m) C y f x y m • = • ∆ = ∆ Bước 2: Vẽ (C) và ( ∆ ) lên cùng một hệ trục tọa độ Bước 3: Dựa vào đồ thò, biện luận theo m số giao điểm của ( ∆ ) và (C) Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*) Minh họa : y x )(:)( xfyC = );0( m 1 m 2 m my = ∆ O y x 0 x )( 1 C )( 2 C Bùi Văn Phúc THPT Xn Giang Dạng 2: Bằng đồ thò hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình : f(x) = g(m) (* *) Phương pháp: Đặt k=g(m) Bước 1: Xem (**) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thò: ( ): ( ) : (C) là đồ thò cố đònh ( ): : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox và cắt Oy tại M(0;k) C y f x y k • = • ∆ = ∆ Bước 2: Vẽ (C) và ( ∆ ) lên cùng một hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo k số giao điểm của ( ∆ ) và (C) . Dự a vào hệ thức k=g(m) để suy ra m Từ đó kết luận về số nghiệm của phương trình (**). Minh họa: 2. Bài tập. Bài 1. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số 41292 23 −+−= xxxy 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 041292 23 =−−+− mxxx 3) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: mxxx =+− 1292 2 3 Bài 2. a) Khảo sát SBT và vẽ đồ thị của hàm số 4 2 1 3 ( ) 3 2 2 f x x x= − + b) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt 4 2 6 3x x m− + = Bài 3: Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: 3 2 3 2 3 3 0x x k k− + + − = D¹ng 6. Gi¸ trÞ lín nhÊt nhá nhÊt cđa hµm sè. *) Chó ý: §Ĩ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt nhá nhÊt cđa hµm sè trªn mét ®o¹n ta vËn dơng qui t¾c t×m GTLN, GTNN cđa hµm sè trªn m«t ®o¹n. NÕu ®Çu bµi ®· chØ râ ®o¹n cÇn t×m GTLN, GTNN th× ta t×m trªn ®o¹n ®ã, nÕu ®Çu bµi kh«ng chØ râ ®o¹n th× ta hiĨu lµ t×m GTLN, GTNN trªn TX§ cđa hµm sè ®ã. §Ĩ t×m GTLN, GTNN cđa hµm sè trªn mét kho¶ng ta lËp b¶ng biÕn thiªn cđa hµm sè trªn kho¶ng ®ã vµ c¨n cø vµo BBT ®Ĩ kÕt ln. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cđa hµm sè sau x y ∆ ky = );0( k K 1 M O 2 K Bựi Vn Phỳc THPT Xuõn Giang a) 3 2 ( ) 3 9 1f x x x x= + + trên đoạn [-4; 4] b) 4 2 ( ) 8 16f x x x= + trên đoạn [-1; 3] c) 1 ( ) 2 1 f x x x = + + trên khoảng (1; + ) d) 2 ( ) 1f x x x= e) 2 ( ) 4f x x x= g) 3 2 ( ) cos 6cos 9cos 5f x x x x= + + II. Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit. Lí thuyết. 1. Định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỷ, số mũ thực. 2. Tính chất của luỹ thừa với số mũ thực. 3. Định nghĩa và tính chất của lôgarit. 4. Kết quả khảo sát hàm số luỹ thừa (TXĐ, Chiều biến thiên ) và đặc điểm về đồ thị của hàm số luỹ thừa. 5. Kết quả khảo sát hàm số mũ, hàm số lôgarit (TXĐ, Chiều biến thiên ) và đặc điểm về đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit. Bài tập. Dạng 1. Tính giá trị biểu thức có chứa luỹ thừa và lôgarit Bài 1. Tính các giá trị sau a) 4 0,75 3 1 1 16 8 + ữ ữ b) 5 4 2 3 5 4 5 0,2 + ữ ữ c) 3 2 1 2 4 2 4 .2 .2 + d) 1 2 3 2 3 3 27 ( 2) 3 8 + ữ Bài 2. Tính các giá trị sau a) 3 1 log 4 2 1 9 ữ b) 3 log5 10 c) 2 4 1 2 3log (log 16) log 2+ d) 2 2 3 3 1 log 24 log 72 2 1 log 18 log 72 3 . Dạng 2. Rút gon biểu thức có chứa luỹ thừa và lôgarit. Bài 3. Rút gọn biểu thức sau a) 4 1 2 3 3 3 1 3 1 4 4 4 ( ) ( ) a a a a a a + + b) 1 1 3 3 6 6 a b b a a b + + c) 1 1 3 3 3 3 : 2 a b a b b a + + + ữ ữ Bài 4. Rút gọn biểu thức sau a) ( ) ( ) log log 2 log log log 1 a b a ab b b a b b a+ + Bựi Vn Phỳc THPT Xuõn Giang b) ( ) 2 log (log 1) 2 2 4 2 2 4 1 log 2 log . log 2 x x x x x x + + + Dạng 3. So sánh hai lũy thừa, lôgarit. So sánh các số sau a) 3 và 3 5 b) 3 log 2 và 2 log 3 c) 3 6 log 5 và 3 5 log 6 d) 2 1 2 2log 5 log 9 2 + và 8 Dạng 4. Tìm tập xác định của hàm số luỹ thừa và hàm số lôgarit. Tìm TXĐ của các hàm số sau a) 3 3( 1)y x= b) ( ) 1 2 3 6y x x= + c) 2 3 log ( 2 )y x x= + d) 2 0,2 log (4 )x . Dạng 5. Tính đạo hàm của hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) ( ) 2 2 4 3y x x = + b) ( ) 1 3 2 4 3 2y x x x= + c) 2 8 log ( 3 4)y x x= + d) 1 3 log (3 9) x y = e) 2 2 . ln(2 1) x y x e x= + Dạng 6. Giải phơng trình mũ. *) Phơng pháp đa về cùng cơ số Giải các phơng trình sau a) 2 2 3 1 1 7 7 x x x + = ữ b) ( ) 5 10 15 10 16 0,125.8 x x x x + + = c) 1 1 2 2 3 3 2 x x x x + = d) 3 2 2 3 7 9.5 5 9.7 x x x x + = + e) ( ) ( ) 3 1 5 8 2 3 2 3 x x+ + + = f) 31 2 1 3 2 . 4 .8 2 2.0,125 x x x+ = g) 3 1 2 1 2 2 9 2 2 3 x x x x + + + = . *) Phơng pháp lôgarit hoá. a) 1 2 2 1 3 18 .2 .3 x x x x + = b) 2 3 .8 6 x x x+ = c) 1 5 .8 100 x x x+ = *) Phơng pháp đặt ẩn phụ a) 2 1 3 9 4 x x+ + + = b) 3 7 4 2 17 0 x x+ + + = c) 3 5 5 20 0 x x = d) 1 1 1 49 35 25 x x x = e) 2 2 2 2.49 9.14 7.4 0 x x x + = f) 2 4 2 2 3 45.6 9.2 0 x x x+ + + = g) ( ) ( ) 2 3 2 3 14 x x + + = h) ( ) ( ) 1 5 1 5 1 2 x x x+ + = i) 2 2 3.25 (3 10).5 3 0 x x x x + + = k) 9 2( 2).3 2 5 0 x x x x+ + = Dạng 7. Giải phơng trình lôgarit. *) Phơng pháp đa về cùng cơ số a) .1)7(log)1(log)1(log 2 1 2 1 2 1 =++ xxx b) 2 3 3 1 1 1 4 4 4 3 log ( 2) 3 log (4 ) log ( 6) 2 x x x+ = + + Bùi Văn Phúc THPT Xuân Giang c) )1(log)1(log 2 1 2 2 −=− xx d) .225log.3logloglog 9535 =+ xx e) 3)3(logloglog 4 3 3 3 1 3 =++ xxx f) 02)26(log)8(log 39 =++−+ xx . *) Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô a) 3 2 log 2log 2 logx x x− + = − b) 1 lg1 2 lg5 1 = + + − xx c) 2 2 log (3 1).log (2.3 2) 2 x x − − = d) 1log 5 log 2 55 =+ x x x e) 0 6 7 log2log 4 =+− x x e) 4log.27log. 9 2 += xxx x f) 04)9124(log)992(log 2 )3( 2 )23( =−+−++− −− xxxx xx *) Ph¬ng ph¸p mò hãa a) 1 3 log (4.3 1) 2 1 x x − − = − b) [ ] 2 3 2 log log (log ) 1x = D¹ng 8. BÊt ph¬ng tr×nh mò vµ l«garit. *) BÊt ph¬ng tr×nh mò a) 2 4 6 2 72 (0,3) (0,3) ; x x Z + + + + + > ∈ b) 2 6 2 1 x x− − > c) 2 4 15 13 3 4 1 4 4 x x x − + − < ÷ d) 2 2 1 8 8 7 7 ( 7) 6 x x x x − − < + e) ( ) 3 2 (4 2) 2.8 x x x + ≥ *) BÊt ph¬ng tr×nh l«garit. a) )114(log)16(log 2 2 2 −≥− xx b) )3(log 32 4 log 3 1 3 1 x x x −< − + c) 2 3 log (3 1).log(3 9) 3 x x+ − − > − d) 2 4 2 2 7 log log 4x x− + > . định) iii) Xét dấu của đạo hàm iv) Từ biến thiên suy ra các i m cực trị. +) Qui tắc 2: i) Tìm ( )f x . Gi i phơng trình ( )f x = 0, g i i x là các nghiệm. ii) Tính ( )f x . iii) Từ. x = . +) i u kiện đủ: Hàm số ( )y f x= đạt cực trị t i 0 x nếu ( )f x đ i dấu khi x i qua 0 x . b) Qui tắc tìm cực trị. +) Qui tắc 1: i) Tìm ( )f x ii) Tìm các i m t i hạn (làm. Tìm các gi i hạn của hàm số Khi x dần t i vô cực ( , + ) Khi x dần t i bên tr i, bên ph i giá trị làm cho hàm số không xác định. Tìm các tiệm cận (nếu có). d) Xét tính l i, lõm và i m uốn