Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O, H là trực tâm của tam giác.. Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.. Gọi N và P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm)
a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, , an Đặt S = a13 + a32 + + a3n
và P a = +1 a2 + + an
Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6
b) Cho A = n6 − n4 + 2n3 + 2n2 (với n N, ∈ n > 1) Chứng minh A không phải là số chính phương
Câu 2 (4,5 điểm)
a) Giải phương trình: 10 x3 + =1 3x2 +6
b) Giải hệ phương trình:
1
y 1
z 1
x
+ =
+ =
+ =
Câu 3 (4,5 điểm)
a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và 1 1 1
4
1 2x+y+z + x 2y z + x y 2z ≤
b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn x2011 + y2011 + z2011 = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M x = 2 + y2 + z2
Câu 4 (4,5 điểm).
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A (M không trùng với B và C) Gọi N và P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC
a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng
b) Khi BOC 120 · = 0, xác định vị trí của điểm M để 1 1
MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 5 (2,5 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C) Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định
Hết
-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN - BẢNG B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (5,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2 + + n 2 không chia hết cho 3
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là một số chính phương
Câu 2 (5,0 điểm)
a) Giải phương trình: x2 + 4x+5 = 2 2x+3
b) Giải hệ phương trình:
2 2
2x+y = x 2y+x = y
Câu 3 (3,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4x+32
A
= +
Câu 4 (4,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H
a) Chứng minh rằng BH.BE + CH.CF = BC2
b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh rằng K∈(O)
Câu 5 (2,5 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C) Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định
Hết
-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC