Tóm tắc chương Giới hạn

i s 11 Trn S Tựng Trang 60 I. Gii hn ca dóy s Gii hn hu hn Gii hn vụ cc 1. Gii hn c bit: 1 lim0 n n đ+Ơ = ; 1 lim0() k n k n + đ+Ơ =ẻ  lim0(1) n n qq đ+Ơ =< ; lim n CC đ+Ơ = 2. nh lớ : a) Nu lim u n = a, lim v n = b thỡ ã lim (u n + v n ) = a + b ã lim (u n v n ) = a b ã lim (u n .v n ) = a.b ã lim n n u a vb = (nu b ạ 0) b) Nu u n 0, " n v lim u n = a thỡ a 0 v lim n ua = c) Nu nn uv Ê , " n v lim v n = 0 thỡ lim u n = 0 d) Nu lim u n = a thỡ lim n ua = 3. Tng ca cp s nhõn lựi vụ hn S = u 1 + u 1 q + u 1 q 2 + = 1 1 u q - ( ) 1 q < 1. Gii hn c bit: lim n =+Ơ lim() k nk + =+Ơẻ  lim(1) n qq =+Ơ> 2. nh lớ: a) Nu lim n u =+Ơ thỡ 1 lim0 n u = b) Nu lim u n = a, lim v n = Ơ thỡ lim n n u v = 0 c) Nu lim u n = a ạ 0, lim v n = 0 thỡ lim n n u v = .0 .0 n n neỏuav neỏuav ỡ +Ơ> ớ -Ơ< ợ d) Nu lim u n = + Ơ , lim v n = a thỡ lim(u n .v n ) = 0 0 neỏua neỏua ỡ +Ơ> ớ -Ơ< ợ * Khi tớnh gii hn cú mt trong cỏc dng vụ nh: 0 0 , Ơ Ơ , Ơ Ơ , 0. Ơ thỡ phi tỡm cỏch kh dng vụ nh. Mt s phng phỏp tỡm gii hn ca dóy s: ã Chia c t v mu cho lu tha cao nht ca n. VD: a) 1 1 11 limlim 3 232 2 n n n n + + == + + b) 2 1 13 3 limlim1 1 12 2 nnn n n n +- +- == - - c) 22 2 41 lim(41)lim1nnn n n ổử -+=-+=+Ơ ỗữ ốứ ã Nhõn lng liờn hp: Dựng cỏc hng ng thc ( ) ( ) ( ) ( ) 33 22333 ; ababababaabbab -+= ++=- VD: ( ) 2 lim3 nnn = ( ) ( ) ( ) 22 2 33 lim 3 nnnnnn nnn + -+ = 2 3 lim 3 n nnn - -+ = 3 2 - CHNG IV GII HN Trn S Tựng i s 11 Trang 61 ã Dựng nh lớ kp: Nu nn uv Ê , " n v lim v n = 0 thỡ lim u n = 0 VD: a) Tớnh sin lim n n . Vỡ 0 Ê sin1 n nn Ê v 1 lim0 n = nờn sin lim0 n n = b) Tớnh 2 3sin4cos lim 21 nn n - + . Vỡ 2222 3sin4cos(34)(sincos)5 nnnn -Ê++= nờn 0 Ê 22 3sin4cos5 2121 nn nn - Ê ++ . M 2 5 lim0 21 n = + nờn 2 3sin4cos lim0 21 nn n - = + Khi tớnh cỏc gii hn dng phõn thc, ta chỳ ý mt s trng hp sau õy: ã Nu bc ca t nh hn bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú bng 0. ã Nu bc ca t bng bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú bng t s cỏc h s ca lu tha cao nht ca t v ca mu. ã Nu bc ca t ln hn bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú l + Ơ nu h s cao nht ca t v mu cựng du v kt qu l Ơ nu h s cao nht ca t v mu trỏi du. Baứi 1: Tớnh cỏc gii hn sau: a) 2 2 23 lim 321 nn nn -+ ++ b) 32 21 lim 43 n nn + ++ c) 32 3 32 lim 4 nnn n ++ + d) 4 2 lim (1)(2)(1) n nnn +++ e) 2 4 1 lim 21 n nn + ++ f) 42 32 23 lim 321 nn nn +- -+ Baứi 2: Tớnh cỏc gii hn sau: a) 13 lim 43 n n + + b) 1 4.37 lim 2.57 nn nn + + + c) 12 46 lim 58 nn nn ++ + + d) 1 25 lim 15 nn n + + + e) 12.37 lim 52.7 nn nn +- + f) 1 12.36 lim 2(35) nn nn+ -+ - Baứi 3: Tớnh cỏc gii hn sau: a) 2 2 4121 lim 41 nn nnn ++- +++ b) 2 2 34 lim 2 nn nn + ++ c) 3 26 42 1 lim 1 nn nn +- ++ d) 2 2 412 lim 41 nn nnn ++ +++ e) (21)(3) lim (1)(2) nnn nn ++ ++ f) 22 2 441 lim 31 nnn nn + ++ Baứi 4: Tớnh cỏc gii hn sau: a) 111 lim 1.33.5(21)(21) nn ổử +++ ỗữ -+ ốứ b) 111 lim 1.32.4(2) nn ổử +++ ỗữ + ốứ c) 222 111 lim11 1 23 n ổửổửổử ỗữỗữỗữ ốứốứốứ d) 111 lim 1.22.3(1) nn ổử +++ ỗữ + ốứ e) 2 12 lim 3 n nn +++ + f) 2 2 122 2 lim 133 3 n n ++++ ++++ Đại số 11 Trần Sĩ Tùng Trang 62 Baøi 5: Tính các giới hạn sau: a) ( ) nnn 2 lim21 + b) ( ) nnn 22 lim2 +-+ c) ( ) nnn 3 3 lim21 -+- d) ( ) nnn 24 lim131 +-++ e) ( ) 2 lim nnn f) 22 1 lim 24 nn +-+ g) 2 2 4121 lim 41 nn nnn + ++- h) 3 26 42 1 lim 1 nn nn +- +- i) 22 2 441 lim 31 nnn nn + +- Baøi 6: Tính các giới hạn sau: a) 2 2 2cos lim 1 n n + b) 2 (1)sin(3) lim 31 n nn n -+ - c) 22cos lim 31 nn n - + d) 62 2 3sin5cos(1) lim 1 nn n ++ + e) 232 2 3sin(2) lim 23 nn n ++ - f) 2 322 lim (3cos2) nn nn -+ + Baøi 7: Cho dãy số (u n ) với u n = 222 111 11 1 23 n æöæöæö ç÷ç÷ç÷ èøèø èø , với " n ³ 2. a) Rút gọn u n . b) Tìm lim u n . Baøi 8: a) Chứng minh: 111 1(1)1 nnnnnn =- ++++ ("n Î N * ). b) Rút gọn: u n = 111 122123321(1) nnnn +++ +++++ . c) Tìm lim u n . Baøi 9: Cho dãy số (u n ) được xác định bởi: 1 1 1 1 (1) 2 nn n u uun + ì = ï í =+³ ï î . a) Đặt v n = u n+1 – u n . Tính v 1 + v 2 + … + v n theo n. b) Tính u n theo n. c) Tìm lim u n . Baøi 10: Cho dãy số (u n ) được xác định bởi: 12 21 0;1 2,(1) nnn uu uuun ++ ì == í =+³ î a) Chứng minh rằng: u n+1 = 1 1 2 n u -+ , "n ³ 1. b) Đặt v n = u n – 2 3 . Tính v n theo n. Từ đó tìm lim u n . Trần Sĩ Tùng Đại số 11 Trang 63 II. Giới hạn của hàm số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực 1. Giới hạn đặc biệt: 0 0 lim xx xx ® = ; 0 lim xx cc ® = (c: hằng số) 2. Định lí: a) Nếu 0 lim() xx fxL ® = và 0 lim() xx gxM ® = thì: [ ] 0 lim()() xx fxgxLM ® +=+ [ ] 0 lim()() xx fxgxLM ® -=- [ ] 0 lim().(). xx fxgxLM ® = 0 () lim () xx fxL gxM ® = (nếu M ¹ 0) b) Nếu f(x) ³ 0 và 0 lim() xx fxL ® = thì L ³ 0 và 0 lim() xx fxL ® = c) Nếu 0 lim() xx fxL ® = thì 0 lim() xx fxL ® = 3. Giới hạn một bên: 0 lim() xx fxL ® = Û Û 00 lim()lim() xxxx fxfxL -+ ®® == 1. Giới hạn đặc biệt: lim k x x ®+¥ =+¥ ; lim k x nếukchẵn x nếuklẻ ®-¥ ì +¥ = í -¥ ỵ lim x cc ®±¥ = ; lim0 k x c x ®±¥ = 0 1 lim x x - ® =-¥ ; 0 1 lim x x + ® =+¥ 00 11 limlim xxxx -+ ®® ==+¥ 2. Định lí: Nếu 0 lim() xx fxL ® = ¹ 0 và 0 lim() xx gx ® =±¥ thì: 0 0 0 lim() lim()() lim() xx xx xx nếuLvàgxcùngdấu fxgx nếuLvàgxtráidấu ® ® ® ì +¥ ï = í -¥ ï ỵ 0 00 0 0lim() () limlim()0.()0 () lim()0.()0 xx xxxx xx nếugx fx nếugxvàLgx gx nếugxvàLgx ® ®® ® ì =±¥ ï ï =+¥=> í ï -¥=< ï ỵ * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vơ định: 0 0 , ¥ ¥ , ¥ – ¥ , 0. ¥ thì phải tìm cách khử dạng vơ định. Một số phương pháp khử dạng vơ định: 1. Dạng 0 0 a) L = 0 () lim () xx Px Qx ® với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. VD: 322 2 222 8(2)(24)2412 limlimlim3 (2)(2)24 4 xxx xxxxxx xxx x ®®® ++++ ==== -++ - b) L = 0 () lim () xx Px Qx ® với P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. VD: ( ) ( ) ( ) 000 24242411 limlimlim 4 24 24 xxx xxx x x xx ®®® +- === +- +- c) L = 0 () lim () xx Px Qx ® với P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x) là biêåu thức chứa căn khơng đồng bậc Giả sử: P(x) = 00 ()()()() mn mn uxvxvớiuxvxa -== . Ta phân tích P(x) = ( ) ( ) ()() mn uxaavx -+- . i s 11 Trn S Tựng Trang 64 VD: 33 00 111111 limlim xx xxxx xxx đđ ổử + + =+ ỗữ ốứ = 02 33 11115 lim 326 11 (1)11 x x xx đ ổử +=+= ỗữ ỗữ +- ++++ ốứ 2. Dng Ơ Ơ : L = () lim () x Px Qx đƠ vi P(x), Q(x) l cỏc a thc hoc cỏc biu thc cha cn. Nu P(x), Q(x) l cỏc a thc thỡ chia c t v mu cho lu tha cao nht ca x. Nu P(x), Q(x) cú cha cn thỡ cú th chia c t v mu cho lu tha cao nht ca x hoc nhõn lng liờn hp. VD: a) 2 2 2 2 53 2 253 limlim2 63 63 1 xx xx x x xx x x đ+Ơđ+Ơ +- +- == ++ ++ b) 2 2 3 2 23 limlim1 1 1 11 xx x x xx x đ-Ơđ-Ơ - - ==- +- -+- 3. Dng Ơ Ơ : Gii hn ny thng cú cha cn Ta thng s dng phng phỏp nhõn lng liờn hp ca t v mu. VD: ( ) ( ) ( ) 111 lim1limlim0 11 xxx xxxx xx xxxx đ+Ơđ+Ơđ+Ơ +-++ +-=== ++++ 4. Dng 0. Ơ : Ta cng thng s dng cỏc phng phỏp nh cỏc dng trờn. VD: 2 22 2.0.2 lim(2)lim0 2 2 4 xx xxx x x x ++ đđ - -=== + - Baứi 1: Tỡm cỏc gii hn sau: a) 23 0 1 lim 1 x xxx x đ +++ + b) 2 1 31 lim 1 x xx x đ- +- - c) 2 sin 4 lim x x x đ ổử - ỗữ ốứ p p d) 4 1 1 lim 3 x x xx đ- - +- e) 2 2 1 lim 1 x xx x đ -+ - f) 2 1 23 lim 1 x xx x đ -+ + g) 1 83 lim 2 x x x đ +- - h) 3 2 2 3432 lim 1 x xx x đ + i) 2 0 1 limsin 2 x x đ Baứi 2: Tỡm cỏc gii hn sau: a) 32 2 1 1 lim 32 x xxx xx đ + -+ b) x x xx 4 32 1 1 lim 21 đ - -+ c) 5 3 1 1 lim 1 x x x đ- + + d) 32 42 3 539 lim 89 x xxx xx đ -++ e) 56 2 1 54 lim (1) x xxx x đ -+ - f) 1 1 lim 1 m n x x x đ - - g) 0 (1)(12)(13)1 lim x xxx x đ +++- h) 2 1 lim 1 n x xxxn x đ +++- - i) 4 32 2 16 lim 2 x x xx đ- - + Trn S Tựng i s 11 Trang 65 Baứi 3: Tỡm cỏc gii hn sau: a) 2 2 413 lim 4 x x x đ +- - b) 3 3 1 1 lim. 442 x x x đ - +- c) 2 0 11 lim x x x đ +- d) 2 22 lim 73 x x x đ +- +- e) 1 2231 lim 1 x xx x đ +-+ - f) 2 02 11 lim 164 x x x đ +- +- g) 3 0 11 lim 11 x x x đ +- +- h) 2 3 32 lim 3 x xx xx đ- +- + i) 0 9167 lim x xx x đ +++- Baứi 4: Tỡm cỏc gii hn sau: a) 3 0 11 lim x xx x đ +-+ b) 3 2 2 8117 lim 32 x xx xx đ +-+ -+ c) 3 0 218 lim x xx x đ + d) 3 2 0 1416 lim x xx x đ +-+ e) 3 2 2 8117 lim 252 x xx xx đ +-+ -+ f) 3 32 2 1 57 lim 1 x xx x đ + - g) 0 14.161 lim x xx x đ ++- h) 3 0 12.141 lim x xx x đ ++- i) 3 0 11 lim x xx x đ + Baứi 5: Tỡm cỏc gii hn sau: a) 2 2 1 lim 21 x x xx đ+Ơ + -+ b) 2 21 lim 2 x xx x đƠ -+ - c) 2 32 21 lim 32 x x xx đ+Ơ + -+ d) 2 2 2341 lim 412 x xxx xx đƠ ++++ ++- e) 2 2 4212 lim 932 x xxx xxx đƠ -++- -+ f) 2 1 lim 1 x xx xx đ+Ơ + ++ g) 2 2 (21)3 lim 5 x xx xx đ-Ơ - h) 2 2 23 lim 412 x xxx xx đ+Ơ ++ +-+ i) 2 52 lim 21 x xx x đ-Ơ -+ + Baứi 6: Tỡm cỏc gii hn sau: a) 2 lim x xxx đ+Ơ ổử +- ỗữ ốứ b) 2 lim21443 x xxx đ+Ơ ổử ỗữ ốứ c) 3 23 lim11 x xx đ+Ơ ổử + ỗữ ốứ d) lim x xxxx đ+Ơ ổử ++- ỗữ ốứ e) ( ) 33 lim2121 x xx đ+Ơ + f) ( ) 3 32 lim312 x xx đ-Ơ -++ g) 3 1 13 lim 1 1 x x x đ ổử - ỗữ - - ốứ h) 22 2 11 lim 3256 x xxxx đ ổử + ỗữ -+-+ ốứ Baứi 7: Tỡm cỏc gii hn sau: a) 2 15 lim 2 x x x + đ - - b) 2 15 lim 2 x x x - đ - - c) 2 3 132 lim 3 x xx x + đ +- - d) 2 2 4 lim 2 x x x + đ - - e) 2 2 2 lim 252 x x xx + đ - -+ f) 2 2 2 lim 252 x x xx - đ - -+ Baứi 8: Tỡm cỏc gii hn mt bờn ca hm s ti im c ch ra: a) 3 11 0 11 ()0 3 0 2 x khix x fxtaùix khix ỡ +- > ù ù +- == ớ ù Ê ù ợ b) 2 9 3 ()3 3 13 x khix fxtaùix x xkhix ỡ - ù < == ớ - ù - ợ Đại số 11 Trần Sĩ Tùng Trang 66 c) 2 3 4 2 2 8 ()2 16 2 2 xx khix x fxtaïix x khix x ì - > ï ï - == í - ï < ï - î d) 2 2 32 1 1 ()1 1 2 xx khix x fxtaïix x khix ì -+ > ï ï - == í ï -£ ï î Baøi 9: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:: a) 3 1 1 ()1 1 21 x khix fxtaïix x mxkhix ì - ï < == í - ï +³ î b) 3 22 13 1 ()1 1 1 331 khix fxtaïix x x mxmxkhix ì -> ï == - í - ï -+£ î c) 2 0 ()0 1003 0 3 xmkhix fxtaïix xx khix x ì +< ï == í++ ³ ï + î d) 2 31 ()1 31 xmkhix fxtaïix xxmkhix ì +<- ==- í +++³- î Trn S Tựng i s 11 Trang 67 III. Hm s liờn tc 1. Hm s liờn tc ti mt im: y = f(x) liờn tc ti x 0 0 0 lim()() xx fxfx đ = ã xột tớnh liờn tc ca hm s y = f(x) ti im x 0 ta thc hin cỏc bc: B1: Tớnh f(x 0 ). B2: Tớnh 0 lim() xx fx đ (trong nhiu trng hp ta cn tớnh 0 lim() xx fx + đ , 0 lim() xx fx - đ ) B3: So sỏnh 0 lim() xx fx đ vi f(x 0 ) v rỳt ra kt lun. 2. Hm s liờn tc trờn mt khong: y = f(x) liờn tc ti mi im thuc khong ú. 3. Hm s liờn tc trờn mt on [a; b]: y = f(x) liờn tc trờn (a; b) v lim()(),lim()() xaxb fxfafxfb +- đđ == 4. ã Hm s a thc liờn tc trờn R. ã Hm s phõn thc, cỏc hm s lng giỏc liờn tc trờn tng khong xỏc nh ca chỳng. 5. Gi s y = f(x), y = g(x) liờn tc ti im x 0 . Khi ú: ã Cỏc hm s y = f(x) + g(x), y = f(x) g(x), y = f(x).g(x) liờn tc ti x 0 . ã Hm s y = () () fx gx liờn tc ti x 0 nu g(x 0 ) ạ 0. 6. Nu y = f(x) liờn tc trờn [a; b] v f(a). f(b)< 0 thỡ tn ti ớt nht mt s c ẻ (a; b): f(c) = 0. Núi cỏch khỏc: Nu y = f(x) liờn tc trờn [a; b] v f(a). f(b)< 0 thỡ phng trỡnh f(x) = 0 cú ớt nht mt nghim c ẻ (a; b). M rng: Nu y = f(x) liờn tc trờn [a; b]. t m = [ ] ; min() ab fx , M = [ ] ; max() ab fx . Khi ú vi mi T ẻ (m; M) luụn tn ti ớt nht mt s c ẻ (a; b): f(c) = T. Baứi 1: Xột tớnh liờn tc ca hm s ti im c ch ra: a) 3 1 ()1 1 11 x khix fxtaùix x khix ỡ + ù ạ ==- ớ - ù -= ợ b) 32 1 1 ()1 1 1 4 x khix x fxtaùix khix ỡ +- ạ ù ù - == ớ ù = ù ợ c) 23 2 275 2 ()2 32 12 xxx khix fxtaùix xx khix ỡ -+- ù ạ == ớ -+ ù = ợ d) 2 5 5 ()5 213 (5)35 x khix fxtaùix x xkhix ỡ - > ù == ớ ù -+Ê ợ e) 1cos0 ()0 10 xkhix fxtaùix xkhix ỡ -Ê == ớ +> ợ f) 1 1 ()1 21 21 x khix fxtaùix x xkhix ỡ - < ù == ớ ù - ợ Baứi 2: Tỡm m, n hm s liờn tc ti im c ch ra: a) xkhix fxtaùix mxkhix 2 1 ()1 231 ỡ < == ớ - ợ b) xxx khix fxtaùix x xmkhix 32 22 1 ()1 1 31 ỡ -+- ù ạ == ớ - ù += ợ i s 11 Trn S Tựng Trang 68 c) mkhix xx fxkhixxtaùixvaứx xx nkhix 2 0 6 ()0,303 (3) 3 ỡ = ù ù =ạạ== ớ - ù =ù ợ d) xx khix fxtaùix x mkhix 2 2 2 ()2 2 2 ỡ ù ạ == ớ - ù = ợ Baứi 3: Xột tớnh liờn tc ca cỏc hm s sau trờn tp xỏc nh ca chỳng: a) 3 3 2 1 1 () 4 1 3 xx khix x fx khix ỡ ++ ạ- ù ù + = ớ ù =- ù ợ b) 2 342 ()52 212 xxkhix fxkhix xkhix ỡ -+< ù ớ == ù +> ợ c) 2 4 2 () 2 42 x khix fx x khix ỡ - ù ạ- = ớ + ù -=- ợ d) 2 2 2 () 2 222 x khix fx x khix ỡ - ạ ù = ớ - ù = ợ Baứi 4: Tỡm cỏc giỏ tr ca m cỏc hm s sau liờn tc trờn tp xỏc nh ca chỳng: a) 2 2 2 () 2 2 xx khix fx x mkhix ỡ ù ạ = ớ - ù = ợ b) 2 1 ()21 11 xxkhix fxkhix mxkhix ỡ +< ù ớ == ù +> ợ c) 32 22 1 () 1 31 xxx khix fx x xmkhix ỡ -+- ù ạ = ớ - ù += ợ d) 2 1 () 231 xkhix fx mxkhix ỡ < = ớ - ợ Baứi 5: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau cú 3 nghim phõn bit: a) 3 310 xx -+= b) 32 6910 xxx +++= c) 3 2613 xx +-= Baứi 6: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim: a) 5 330 xx -+= b) 5 10 xx +-= c) 432 310 xxxx +-++= Baứi 7: Chng minh rng phng trỡnh: 53 5410 xxx -+-= cú 5 nghim trờn (2; 2). Baứi 8: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca tham s: a) 3 (1)(2)230 mxxx +-= b) 42 220 xmxmx + = c) ()()()()()()0 axbxcbxcxacxaxb + + = d) 232 (1)(1)30 mxxx -++ = e) coscos20 xmx += f) (2cos2)2sin51 mxx -=+ Baứi 9: Chng minh cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim: a) 2 0 axbxc ++= vi 2a + 3b + 6c = 0 b) 2 0 axbxc ++= vi a + 2b + 5c = 0 c) 32 0 xaxbxc +++= Baứi 10: Chng minh rng phng trỡnh: 2 0 axbxc ++= luụn cú nghim x ẻ 1 0; 3 ộự ờỳ ởỷ vi a ạ 0 v 2a + 6b + 19c = 0. Trần Sĩ Tùng Đại số 11 Trang 69 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài 1. Tìm các giới hạn sau: a) n n 3 123 lim 3 ++++ b) n nn n 2sin lim 1 2 æö + + ç÷ + èø c) 1 3 2 lim 2 2 + + + n n nn d) nn nn 2 2 2 lim 231 + +- e) n n 51 52 23 lim 31 + + + + f) nn nn 1 (1)4.3 lim (1)2.3 + -+ g) ( ) nnn 22 lim31 + g) ( ) nnn 3 32 lim3 +- h) ( ) nnn 24 lim1 +-+ i) n n 2 2 2cos lim 1 + k) n nn 22 lim 311 + l) ( ) nnn 3 23 lim22 + Bài 2. Tìm các giới hạn sau: a) x xx xx 2 2 3 56 lim 815 ® -+ -+ b) x x xx 2 2 1 2 81 lim 651 ® - -+ c) x xxx xx 32 2 3 443 lim 3 ® -+- - d) x xxx xxx 432 432 1 2531 lim 3861 ® -++ -+- e) x xx xx 3 4 1 32 lim 43 ® -+ -+ f) x xxx xx 32 42 2 248 lim 816 ® + -+ g) x xx xx 3 5 1 21 lim 21 ® h) x x xx 2 2 2 lim 252 ®- + ++ i) x x x 2 2 1 (2)1 lim 1 ®- +- - Bài 3. Tìm các giới hạn sau: a) x x x 2 2 lim 37 ® - -+ b) x x x 2 0 11 lim ® +- c) x x xx 2 1 83 lim 23 ® +- +- d) x x x 4 123 lim 2 ® +- - e) x x x 1 273 lim 32 ® +- +- f) x x x 2 02 11 lim 416 ® +- -+ g) 2 3 1 75 lim 1 x xx x ® + - h) x xx x 33 0 11 lim ® + i) x x x 3 2 42 lim 2 ® - - k) x x x 3 0 1 lim 1 ® - - l) x x x 3 2 2 0 11 lim ® +- m) x xx x 2 275 lim 2 ® +++- - Bài 4. Tìm các giới hạn sau: a) x xx x 2 2 232 lim 2 + ®- -+ + b) x x xx 2 1 1 lim 34 - ® - +- c) x xx x 3 1 341 lim 1 + ®- -+ + d) x xx x 2 2 2 252 lim (2) - ® -+ - e) x x x 3 34 lim 3 + ® + - f) x xx xx 0 lim + ® + - g) x x x 2 822 lim 2 + ®- +- + h) x xx x 2 2 3 253 lim (3) - ®- +- - i) ( ) x x x x 2 2 lim2 4 + ® - - Bài 5. Tìm các giới hạn sau: a) x xxx xxxx 32 432 2341 lim 523 ®-¥ -+- -+-+ b) x xx xx 2 2 1 lim 21 ®+¥ +- ++ c) x xx xx 23 32 (23)(47) lim (31)(109) ®+¥ -+ ++ d) x xxx xx 43 42 2 lim 327 ®+¥ -+ +- e) ( ) x xx 2 lim1 ®-¥ ++ f) x xxx 2 lim(1) ®-¥ +-+ . Trần Sĩ Tùng Đại số 11 Trang 63 II. Giới hạn của hàm số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực 1. Giới hạn đặc biệt: 0 0 lim xx xx ® = ; 0 lim xx cc ® = . 0 lim() xx fxL ® = thì 0 lim() xx fxL ® = 3. Giới hạn một bên: 0 lim() xx fxL ® = Û Û 00 lim()lim() xxxx fxfxL -+ ®® == 1. Giới hạn đặc biệt: lim k x x ®+¥ =+¥ ; lim k x nếukchẵn x nếuklẻ ®-¥ ì +¥ = í -¥ ỵ . 2a + 6b + 19c = 0. Trần Sĩ Tùng Đại số 11 Trang 69 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài 1. Tìm các giới hạn sau: a) n n 3 123 lim 3 ++++ b) n nn n 2sin lim 1 2 æö + + ç÷ + èø c)