gọi ý giải đề thi học sinh giỏi lớp 11 , Bình định 2011

GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11 ( BÌNH ĐỊNH NGÀY 18-03-2011) Bài 1 : Giải phương trình : 3 sin ( ) 2 sinx 4 x π − = HD : Đặt 4 x y π = + , phương trình trở thành : 3 sin 2 sin( ) 4 y y π = +  3 sin sin cosy y y= +  2 sin (1 sin ) cos 0y y y− + =  (sin cos 1)cos 0y y y+ =  cosy=0  , 2 y k k Z π π = + ∈  Nghiệm của phương trình : 3 , 4 x k k Z π π = + ∈ Bài 2 : Cho P(x) , Q(x) là các đa thức với hệ số nguyên , thoã mãn P(x 3 )+xQ(x 3 ) chia hết cho x 2 +x+1 , d = UCLN (P(2011),Q(2011)) , CMR : d chia hết cho 2010 HD: Theo giả thiết ta có : P(x 3 )+xQ(x 3 ) = (P(x 3 )-P(1))+x(Q(x 3 )-Q(1))+P(1)+xQ(1) chia hết cho x 2 +x+1 , mà P(x 3 )-P(1) , Q(x 3 )-Q(1) chia hết cho x 3 -1 nên P(1) +xQ(1) chia hết cho x 2 +x+1 => P(1)+xQ(1)=0 mọi x thuộc R => P(1)=Q(1)=0 => P(x), Q(x) chia hết cho x-1 => đpcm Bài 3 : Cho f(x) khả vi trên [0,1] , f(0)=0,f(1)=1 .Chứng minh rằng tồn tại hai số a,b phân biệt thuộc (0,1) sao cho f’(a).f’(b)=1 HD :Đặt g(x)=f(x)+x-1 liên tục trên [0,1] , ta có g(0)=f(0)+0-1 =-1 , g(1)=f(1)+1-1 =1 =>g(0).g(1)<0  g(x 0 )=0 , x 0 thuộc (0,1) => f(x 0 )=1-x 0 x 0 thuộc (0,1) Khi đó : a∃ ∈ (0,x 0 ) , b∃ ∈ (x 0, 1) : f’(a)= 0 0 0 0 ( ) (0) 1 0 f x f x x x − − = − , f’(b)= 0 0 0 0 (1) ( ) 1 1 f f x x x x − = − −  f’(a)f’(b)=1 (đpcm) Bài 4 : Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC vuông góc với nhau từng đôi một , hạ OH vuông góc với (ABC) , Gọi , , α β γ lần lượt là số đo góc hợp bởi OA,OB,OC với OH và ,A,B,C là các góc trong tam giác ABC , CMR : 2 2 2 sin sin sin sin 2 sin 2 sin 2A B C α β γ = = HD : Theo giả thiết => H là trực tâm của tam giác ABC ,Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , M là trung điểm của BC .Khi đó : AH=2IM , góc CAB=gócMBI sin2A=2sinAcosA= 2 . 2. . 2. . 2 2 2R MB IM BC AH BC AH IB IB BI BI = = Gọi A’ là giao điểm của AH và BC => tam giác AOA’ vuông tại O => OA 2 =AH.OA’ => 2 2 2 sin ' AH AH OA AA α = = Khi đó : 2 2 2 sin 2R sin 2A AA'. ABC R BC S α = = , tương tự ta có : 2 2 2 sin sin sin 2 sin 2 ABC R B C S β γ = = đpcm Bài 5 : Cho a,b,c>0 , chứng minh rằng : 2 1 1 1 ( ) a b c a b c b c a a b c     + + ≥ + + + +  ÷  ÷     HD : Ta có : 2 2 2 2 a b c a b c a c b a c b b c a b c a c b a c b a             + + = + + + + + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷             Mà 2 2 2 a b c a b c b c a b c a       + + ≥ + +  ÷  ÷  ÷       , 3 a c b c b a   + + ≥  ÷   Nên 2 1 1 1 3 ( ) a b c a b c a c b a b c b c a b c a c b a a b c         + + ≥ + + + + + + = + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷         (đpcm) Đẳng thức xảy ra  a=b=c Lê quang Dũng – Trường THPT số 2 Phù Cát . GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11 ( BÌNH ĐỊNH NGÀY 18-03-2 011) Bài 1 : Giải phương trình : 3 sin ( ) 2 sinx 4 x π − = HD : Đặt 4 x y π = + , phương trình trở. = UCLN (P(2 011) ,Q(2 011) ) , CMR : d chia hết cho 2010 HD: Theo giả thi t ta có : P(x 3 )+xQ(x 3 ) = (P(x 3 )-P(1))+x(Q(x 3 )-Q(1))+P(1)+xQ(1) chia hết cho x 2 +x+1 , mà P(x 3 )-P(1) , Q(x 3 )-Q(1). trên [ 0,1 ] , ta có g(0)=f(0)+0-1 =-1 , g(1)=f(1)+1-1 =1 =>g(0).g(1)<0  g(x 0 )=0 , x 0 thuộc ( 0,1 ) => f(x 0 )=1-x 0 x 0 thuộc ( 0,1 ) Khi đó : a∃ ∈ (0,x 0 ) , b∃ ∈ (x 0, 1) :