phòng giáo dục - đào tạo vĩnh tờng Đề giao lu hsg lớp 8 năm học: 2010-2011 Môn: toán Thời gian làm bài 150 phút Cõu 1: Phõn tớch ủa thc thnh nhõn t: 2 )3 5 2 a x x + 2 2 ) 10 9 b x xy y + Cõu 2: a) Tỡm cỏc hng s a v b sao cho 3 x ax b + + chia cho 1 x + thỡ d 7, chia cho 3 x thỡ d 5 . b) Chng minh rng vi mi s nguyờn n thỡ phõn s: 3 4 2 2 3 1 n n n n + + + l phõn s ti gin. Cõu 3: Cho 0 ax by cz + + = . Rỳt gn biu thc: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) bc y z ca z x ab x y A ax by cz + + = + + Cõu 4: a) Tỡm cỏc s t nhiờn x, y tho món: 2 2 1 x y + = . b) Gii phng trỡnh: 2 2 (8 1) (4 1) 9 x x x = . Cõu 5: Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD). Cỏc ủim M, N thuc cỏc cnh AD, BC sao cho AM CN MD NB = . Gi cỏc giao ủim ca MN vi BD, AC theo th t l E, F. Qua M k ủng thng song song vi AC, ct DC H. Gi O l giao ủim ca AC v BD. a) Chng minh rng: HN // BD. b) Gi I l giao ủim ca HO v MN. Chng minh rng: IE = IF, ME = NF. Cõu 6: a) Cho x, y, z l ba s nguyờn dng nguyờn t cựng nhau tho món 1 1 1 x y z + = . Hi x y + cú l s chớnh phng khụng ? Vỡ sao ? b) Cho x, y, z l cỏc s dng tho món: 60; 100 z x y z + + = . Tỡm giỏ tr ln nht ca A xyz = . Đề chính thức phòng giáo dục - đào tạo vĩnh tờng hớng dẫn chấm giao lu hSG lớp 8 năm học 2010-2011 Môn: toán Cõu Ni dung trỡnh by im a) (1ủ) ( ) ( ) 2 2 3 5 2 3 6 2 2 3 1 x x x x x x x + = + = + 1ủ 1 (2ủ) b) (1ủ) ( ) ( ) 2 2 2 2 10 9 9 9 9 x xy y x xy xy y x y x y + = + = 1ủ a) (1ủ) Ta cú: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 7 3 5 x ax b x P x x Q x + + = + + = Thay x = -1 v x = 3 vo ủng thc trờn ta ủc: 8;3 32 10; 2 a b a b a b = + = = = 0,5ủ 0,5ủ 2 (2ủ) b) (1ủ) Gi ( ) ( ) ( ) 3 4 2 3 4 2 2 4 2 4 2 2 2 4 2 2 , 3 1 2 2 1 3 1 3 1 1 2 1 1 d n n n n n n d n n d n d n n d n n d n n n d d d = + + + + + + + + + + + + = Vy phõn s 3 4 2 2 3 1 n n n n + + + ti gin vi mi s nguyờn n. 0,5ủ 0,5ủ 3 (1ủ) Ta cú: 2 2 2 2 2 2 0 2( ) 0(1) ax by cz a x b y c z bcyz acxz abxy+ + = + + + + + = Ta li cú: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2( ) 0(2) B bc y z ca z x ab x y bcy bcz caz acx abx aby bcyz acxz abxy = + + = + + + + + + + = T (1) v (2) suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) B ax b c by a c cz a b a x b y c z a x b y c z a b c = + + + + + + + + = + + + + Do ủú 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )bc y z ca z x ab x y A a b c ax by cz + + = = + + + + 0,5ủ 0,5ủ a) (1ñ) Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 1 2 ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 3 2 3 x x m m n n m n n y y y y m n y n x m y − + = ⇒ = + − + = ⇒ > ⇒ − = − = − = = = ⇒ ⇒ = = 0,5ñ 0,5ñ 4 (2ñ) b) (1ñ) 2 2 2 (8 1) (4 1) 9 8 (8 1) (8 2) 72 x x x x x x − − = ⇔ − − = Đặt 8x – 1 = y ta có: ( ) ( ) 2 2 1 1 72 9 1 2 3 1 4 y y y y x y x + − = ⇔ = = ⇔ = ± ⇔ = − 0,5ñ 0,5ñ I K Q H F E O A B D C M N G a) (1ñ) Theo ñịnh lí Ta-let ta có: / / DH DM BN HN BD HC MA NC = = ⇒ (theo ñịnh lí Ta-let ñảo) 0,5ñ 0,5ñ 5 (2ñ) b)(1ñ) Gọi G là giao ñiểm của HM và BD, Q là giao ñiểm của HN và AC. Ta có: / / MG AO BO NQ GQ MN GH OC OD QH = = = ⇒ Gọi K là giao ñiểm của HO và GQ. Do OGHQ là hình bình hành nên GK = KQ. Do ñó: IE = IF, IM = IN, ME = NF. 0,5ñ 0,5ñ a)( 0,5ñ) Ta có: ( ) ( )( ) 2 1 1 1 z x y xy x z y z z x y z + = ⇒ + = ⇔ − − = Gọi ( ) , 1 d x z y z z d x d y d d = − − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = ⋮ ⋮ ⋮ Do ñó x – z và y – z ñều là số chính phương. Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) 2 2 x z k k m N z km z km y z m x y x z y z z k m km k m − = ∈ ⇒ = ⇒ = − = ⇒ + = − + − + = + + = + Vậy x + y là số chính phương. 0,25ñ 0,25ñ 6 (1ñ) b) (0,5ñ) Ta có ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 60; 100 60 60 60 0 3600 60 0 60 60 60 60 60 60 15.40 24000 4 z x y z y y z y z yz yz y z x y z A xyz x y z ≥ + + = ⇒ < ⇒ − − ≤ ⇒ − + + ≤ ⇒ ≤ + − + + − ⇒ = ≤ + − ≤ = = (áp dụng bất ñẳng thức Côsi) Dấu “=” xảy ra khi 60 60 60 100 20 , 0 z x x y z z x y z x y x y = = + + − = ⇔ + + = = = ≥ Vậy Max A = 24000 60 20 z x y = ⇔ = = 0,25ñ 0,25ñ . ⇒ = = 0,5ñ 0,5ñ 4 (2ñ) b) (1ñ) 2 2 2 (8 1) (4 1) 9 8 (8 1) (8 2) 72 x x x x x x − − = ⇔ − − = Đặt 8x – 1 = y ta có: ( ) ( ) 2 2 1 1 72 9 1 2 3 1 4 y y y y x y x +. 0,5ñ 0,5ñ 5 (2ñ) b)(1ñ) Gọi G là giao ñiểm của HM và BD, Q là giao ñiểm của HN và AC. Ta có: / / MG AO BO NQ GQ MN GH OC OD QH = = = ⇒ Gọi K là giao ñiểm của HO và GQ. Do OGHQ là hình. th t l E, F. Qua M k ủng thng song song vi AC, ct DC H. Gi O l giao ủim ca AC v BD. a) Chng minh rng: HN // BD. b) Gi I l giao ủim ca HO v MN. Chng minh rng: IE = IF, ME = NF. Cõu 6: a)