Bài 2. Luyện tập

Chương 2: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Bài 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP TRƯỜNG THPT ABC TỔ TOÁN – TIN NĂM HỌC 2012 - 2013 BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Luyện tập: 1. Cho số nguyên dương n và số nguyên k với . CMR : 0 k n ≤ ≤ 2. Cho số nguyên n và k với . CMR : 1 k n ≤ ≤ 1 1 k k k n n n C C C − + = + Chứng minh: 1. Ta có : ( ) ! ! ! k n n C k n k = − ( ) ( ) ( ) ! ! ! ( ) ! ! ! n k n n n C n k n n k k n k − = = − − − − Vậy : k n k n n C C − = 2. Ta có : ( ) ( ) 1 1 ! ! 1 ! k n n C k n k + + = − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ! 1 ! ! ! ! ! 1 ! 1 ! ! 1 ! k k n n n n k n k n n C C k n k k n k k n k − − + + + = + = − − − + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! 1 ! 1 1 ! ! 1 ! ! 1 ! ! 1 ! n n k k n n n k n k k n k k n k − + + + + = = = − + − + − + ( ) ( ) ( ) ! 1 1 !n k n k n k− − + = − + ( ) 1 ! !k k k − = kn n k n CC − = BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Bài 5 (sgk): Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng đá có 5 đội bóng ? ( giả sử rằng không có hai đội nào có điểm trùng nhau). Hướng dẫn: Theo giả thiết bài toán thì không có hai đội nào có điểm trùng nhau Nên khả năng hai đội cùng hạng là không thể xảy ra và khả năng xếp hạng từ thứ nhất đến thứ năm của các đội là như nhau. Bài giải : Vì không có hai đội nào bằng điểm nhau, nên kết quả xếp thứ tự từ 1 đến 5 giữa 5 đội trong một giải bóng đá là số hoán vị của 5 phần tử. Vậy khả năng xảy ra là: P 5 = 5! = 120 (kết quả) Bài 6 (sgk): Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi. Nếu không kể trường hợp có 2 vận động viên về đích cùng một lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì và thứ ba ? Hướng dẫn : Theo đề bài thì không có trường hợp 2 vận động viên về đích cùng một lúc, nên khả năng hai vận động viên có cùng một ví trí xếp hạng là không thể xảy ra. Trong 8 vận động viên, ta cần chọn ra 3 người để xếp vào 3 vị trí nhất, nhì, ba… Vậy nên dùng chỉnh hợp hay tổ hợp ? BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Giải: Việc chọn và sắp xếp 3 vận động viên trong 8 vận động viên tham gia chạy thi là số chỉnh hợp chập 3 của 8 phần tử. Vậy số kết quả có thể xảy ra : 3 8 336A = Chỉnh hợp Bài 7 (sgk): Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm n điểm. Hỏi a) Có bao nhiêu đoạn thẳng mà 2 đầu mút thuộc tập P ? b) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không mà điểm đầu và điểm cuối thuộc tập P ? Hướng dẫn: BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Đoạn thẳng : AB BA = Vectơ : AB BA≠ uuur uuur Giải: a) Việc chọn 2 điểm trong n điểm của tập hợp P để tạo thành một đoạn thẳng là số tổ hợp chập 2 của n phần tử. Vậy có : ( ) ( ) 2 1 ! 2! 2 ! 2 n n n n C n − = = − (đoạn thẳng) b) Việc chọn 2 điểm trong n điểm của tập hợp P để tạo thành một vec tơ khác vectơ - không là số chỉnh hợp chập 2 của n phần tử. Vậy có : ( ) ( ) 2 ! 1 2 ! n n A n n n = = − − (vectơ) Bài 8 (sgk): Trong một Ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người vào ban thường vụ. a) Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ? b) Nếu chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ: Bí thư, Phó bí thư và Ủy viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ? Hướng dẫn: BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Giải: a) Việc chọn 3 người trong 7 người để bầu ban thường vụ là số tổ hợp chập 3 của 7 phần tử. Vậy có : 3 7 35C = (cách chọn) b) Việc chọn 3 người trong 7 người để bầu vào ban thường vụ với các chức vụ: BT, PBT, UVTV là số chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử. Vậy có : 3 7 210A = (cách chọn) a) Không ràng buộc về chức vụ b) Có sự ràng buộc về chức vụ BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Bài 11 (sgk): Xét mạng đường nối các tỉnh A,B,C,D,E,F. Trong đó số Viết trên một cạnh cho biết số con đường nối 2 tỉnhnăm ở 2 đầu mút của cạnh.Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh G ? . C A B D 2 3 3 4 F E G 2 5 2 2 . . . . . . Phương án 1: A B D E G Phương án 2: A B D F G Phương án 3: A C D E G Phương án 4: A C D F G Giải: 2 3 2 5 2 3 2 2 3 4 2 5 3 4 2 2 Lộ trình 1(A B D E G) có : 2.3.2.5 = 60 cách đi → → → → Lộ trình 2(A B D F G) có : 2.3.2.2 = 24 cách đi → → → → Lộ trình 3(A C D E G) có : 3.4.2.5 = 120 cách đi → → → → Lộ trình 4(A C D F G) có : 3.4.2.2 = 48 cách đi → → → → Vậy có: 252 cách đi từ A đến G BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Cho tập hợp A = { 1; 3; 4; 7; 8 } . Có bao nhiêu cách lập ra một số có 3 chữ số khác nhau từ tập A, sao cho: a) Số tạo thành là số chẵn. b) Số tạo thành là một số không có chữ số 4. c) Số tạo thành là một số nhỏ hơn 378. Giải: Gọi: 1 2 3 n a a a= là số cần tìm . a) n là số chẵn Chọn a 3 : có 2 cách, chọn vào 2 vị trí còn lại với 4 chữ số còn lại là số chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử. Vậy có : số 2 4 2. 24A = b) n là số không có chữ số 4 là số chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử. Vậy có : số 3 4 24A = BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Cho tập hợp A = { 1; 3; 4; 7; 8 } . Có bao nhiêu cách lập ra một số có 3 chữ số khác nhau từ tập A, sao cho: a) Số tạo thành là số chẵn. b) Số tạo thành là một số không có chữ số 4. c) Số tạo thành là một số nhỏ hơn 378. Giải: Gọi: 1 2 3 n a a a= là số cần tìm . c) n nhỏ hơn 378 Ta có : { } 1 1;3a ∈ Ta xét 2 trường hợp: Trường hợp 1 Trường hợp 2 a 1 = 1 : có 1 cách chọn Chọn vào 2 vị trí còn lại với 4 chữ số còn lại là số chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử ⇒ Có : số 2 4 1. 12A = a 1 = 3 : có 1 cách chọn Nếu a 2 = 7 : có 1 cách chọn Chọn a 3 : có 2 cách chọn 8≠ ⇒ Có : 1.2.3 = 6 số Nếu a 2 là 1 hoặc 4 có 2 cách chọn Chọn a 3 : có 3 cách chọn Vậy có tất cả: 12 + 2 + 6 = 20 số ⇒ Có : 1.1.2 = 2 số . G Giải: 2 3 2 5 2 3 2 2 3 4 2 5 3 4 2 2 Lộ trình 1(A B D E G) có : 2. 3 .2. 5 = 60 cách đi → → → → Lộ trình 2( A B D F G) có : 2. 3 .2. 2 = 24 cách đi → → → → Lộ trình 3(A C D E G) có : 3.4 .2. 5 = 120 cách. Chương 2: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Bài 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP TRƯỜNG THPT ABC TỔ TOÁN – TIN NĂM HỌC 20 12 - 20 13 BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Luyện tập: 1. Cho số nguyên. 3.4 .2. 2 = 48 cách đi → → → → Vậy có: 25 2 cách đi từ A đến G BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Cho tập hợp A = { 1; 3; 4; 7; 8 } . Có bao nhiêu cách lập ra một số có 3 chữ số khác nhau từ tập