http://www.violet.vn/haimathlx ĐÁP ÁN THI HSG TOÁN 11 Câu Nội dung Điểm I Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 4 2 2 + + = − + = y xy y xy x x 2.00 -Nhận thấy y = 0 không là nghiệm. -Đặt x = ky. Được hệ: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) 2 ) 4 2 4 2 1 1 2 2 1 2 ) 2 2 2 ( ( + + = + + = + − ⇔ ⇒ = + + − + = − + = k y y y ky k k k k k y y ky k k k k x 2 k 3k 4 0 k 1;k 4. ⇔ + − = ⇔ = = − - Với k = 1. Khi đó x = y, thế vào (1) được: 4x 2 = 4 x 1 y 1. ⇔ = ± ⇒ = ± Vậy (1; 1), (-1; -1) là nghiệm. - Với k = -4. Khi đó thế x = -4y vào (1) được: 14y 2 = 4 2 y . 7 ⇔ = ± Vậy 2 2 2 2 ( 4 ; ),( 4 ; ) 7 7 7 7 − − là nghiệm. KL. Hệ có 4 nghiệm: (1; 1), (-1; -1), 2 2 2 2 ( 4 ; ),( 4 ; ) 7 7 7 7 − − 0.25 0.50 0.50 0.50 0.25 II Tìm tất cả các nghiệm x (2010;2011) ∈ của phương trình: | cosx | |sinx | cos2x 1 sin 2x 0 − − + = (*) 2.00 Có: 1+sin2x = (sinx + cosx) 2 , cos2x=|cosx| 2 - |sinx| 2 = (|cosx – sinx|).(|cosx|+|sinx|) - PT (| cosx | |sinx |)[1 (| cos x | |sinx |) |cos x | | sin x | ] 0 ⇔ − − + + = | cos x | | sinx | (1) 1 (| cosx | | sinx |)| sinx cosx |(2) = ⇔ = + + (1) ⇔ cos2x = 0. 2 (2) 1 [(| cosx | | sinx |) |sinx cos x | ] (1 | sin 2x |)( 1 sin 2x) sin 2x |sin 2x | sin 2x |sin 2x | 0 (3) ⇔ = + + = + + ⇔ + + = - Nhận thấy sin2x = 0 là nghiệm. - Nếu sin2x > 0 ⇒ VT(3) > 0, (3) vô nghiệm. - Nếu sin2x <0 ⇒ VT(3) =-sin 2 2x < 0, (3) vô nghiệm. Vậy (2) ⇔ sin2x = 0. - (*) ⇔ sin 4x = 0 k x ,k Z. 4 π ⇔ = ∈ Với k x (2010;2011) 2010 2011 2561 k 2561 4 π ∈ ⇔ < < ⇔ ≤ ≤ . Vậy k = 2561. PT có nghiệm duy nhất 2561 x (2010;2011). 4 π = ∈ 0.25 0.25 0.50 0.5 0.5 III Cho dãy số (u n ) xác định bởi: 1 n 1 n n n n u 1 u u (u 1)(u 2)(u 3) 1, n 1. + = = + + + + ∀ > 2.00 1. Chứng minh rằng (u n ) là dãy các số tự nhiên tăng vô hạn. - Dễ thấy : n u 0, n N*. ≥ ∀ ∈ - Ta có: n 1 n n n n n n n n u u (u 1)(u 2)(u 3) 1 [u (u 3)][(u 1)(u 2)] 1 + = + + + + = + + + + 0.25 http://www.violet.vn/haimathlx 2 2 2 2 n n n n n n ( u 3u ) 2(u 3u ) 1 u 3u 1 = + + + + = + + (1) Từ (1) n n 1 n n 1 n u N; u 3u u u , n N*. + + ⇒ ∈ > ⇒ > ∀ ∈ (2). Vậy (u n ) là dãy các số tự nhiên tăng n l imu . ⇒ = +∞ (3) 0.25 0.25 0.25 2. Đặt n n i 1 i 1 S . u 2 = = + ∑ Tính n l imu Từ (1) có: 2 n 1 n n n n 2 n 1 n n n n 1 1 1 1 u u 3u 2 (u 1)(u 2) u u 3u 2 u 1 u 2 + + = + + = + + ⇒ = = − + + + + n n n 1 1 1 1 , n N*. u 2 u 1 u 1 + ⇒ = − ∀ ∈ + + + - Khi đó: n n i 1 i n n 1 n 1 n 1 2 1 1 1 1 1 1 1 S ( ) ( ) ( ) u 2 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 = + − = = − + − + + − + + + + + + + ∑ n n n 1 n 1 1 1 1 1 1 S lím lim . 2 u 1 2 u 1 2 + + ⇒ = − ⇒ = − = + + ( Do (3)) 0.50 0.25 0.25 IV 1. Cho elip 2 2 x y ( E): 1 25 9 + = và điểm M(2; 1). Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua M và cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung điểm AB. 1.00 -Đặt 1 1 2 2 A (x ;y ),B(x ;y ) (E). ∈ 2 2 1 1 2 2 2 2 x y 1 (1) 25 9 x y 1 (2) 25 9 + = ⇒ + = - M là trung điểm AB 1 2 1 2 x x 4; y y 2. ⇒ + = + = (3) - T ừ (1),(2),(3) có: 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x y x y (x x )(x x ) (y y )(y y ) ( ) 0 0 2 5 9 25 9 25 9 + − + − + − + = ⇔ + = 2 1 2 1 2 1 2 1 4(x x ) 4(y y ) 0 18(x x ) 25(y y ) 0. 2 5 9 − − ⇒ + = ⇔ − + − = (4) - Từ (4) suy ra 2 1 2 1 A B(x x ;y y ) n(18;25) n(18;25) − − ⊥ ⇒ là vtpt của (∆). Pt (∆): 18( x- 2) + 25( y- 1) = 0 ⇔ 18x + 25y – 61 = 0. - Thử lại thấy (∆) cắt (E) tại hai điểm thỏa mãn điều kiện. Vậy: (∆ ∆∆ ∆): 18x + 25y – 61 = 0. 0.25 0.25 0.25 0.25 2.a. Chứng minh rằng: O M ON OP A B AC AD + + không đổi. - Gọi 1 D OD BC, = ∩ trong mp(ADD 1 ) đường thẳng đi qua O, song song với AD cắt AD 1 tại P. - Tương tự ta dựng được M,N. - Ta có: 1 1 1 1 O B OC OM ON ; ; A B BB AC CC = = 1 1 O D OP . A D DD = 1.00 0.25 0.25 C 1 B 1 D 1 O B D A P M N http://www.violet.vn/haimathlx 1 1 1 1 1 1 O B OC OD OM ON OP A B AC AD BB CC DD ⇒ + + = + + OCD OBD OCB BCD BCD BCD S S S 1 . S S S = + + = ( Do O nằm trong tam giác BCD) 2.b. Tìm vị trí của M để tích OM.ON.OP đạt giá trị lớn nhất. - Áp dụng BĐT Côsi có: 3 O M ON OP OM.ON.OP 1 ( ) 27 A B AC AD AB.AC.AD = + + ≥ A B.AC.AD O M.ON.OP . 2 7 ⇒ ≤ Dấu “=” OCD OBD OCB BCD BCD BCD S S S O M ON OP 1 A B AC AD S S S 3 ⇔ = = ⇔ = = = ⇔ O là trọng tâm tam giác BCD. Vậy max AB.AC.AD OM.ON.OP 2 7 = ⇔ O là trọng tâm tam giác BCD. 0.25 0.25 1.00 0.50 0.25 0.25 V Cho a, b, c là ba cạnh một tam giác. Chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b c 3abc a(b c ) b(c a ) c(a b ) (*) + + + ≥ + + + + + 1.00 - Có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c b c a c a b ( *) 0 2 ab 2bc 2ac + − + − + − ⇔ + + ≥ 3 c osA cosB cosC . 2 ⇔ + + ≤ (**). - Có: c osA cosB cosC (cosA cos B) cos(A B) + + = + − + ( cosA cosB).1 sin Asin B cosAcosB = + + − 2 2 2 1 1 3 [(cos A cosB) 1] (sin A sin B) cosA cosB 2 2 2 ≤ + + + + − = Dấu “=” cosA cosB 1 A B A B C sin A sin B 3 3 + = π π ⇔ ⇔ = = ⇔ = = = = Vậy (*) được chứng minh. Dấu đẳng thức khi tam giác ABC đều. 0.25 0.50 0.25 (Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa) VT. 02-2011. Soạn đề-đáp án Nguyễn Minh Hải Tổ trưởng: Nguyễn Thị Hạnh . http://www.violet.vn/haimathlx ĐÁP ÁN THI HSG TOÁN 11 Câu Nội dung Điểm I Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 4 2 2 + + = − + = y. 0.50 0.25 (Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa) VT. 02-2011. Soạn đề -đáp án Nguyễn Minh Hải Tổ trưởng: Nguyễn Thị Hạnh