Đề chọn HSG tỉnh 20102011

Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 – thcs năm học 2010 – 2011 Môn: toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: cho phương trình 3 3 1 1 ( 1)( ) 3 0x m x m x x − − + − + − = a) Giải phương trình khi m = 2. b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm dương phân biệt. Bài 2: a) Cho a, b, c là những số nguyên thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c   + + = + +  ÷   . Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 chia hết cho 3. b) Giải phương trình x 3 +ax 2 + bx + c = 0 biết rằng a, b là các số hữu tỉ và 1 2+ là nghiệm của phương trình. Bài 3: Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn x + y = 2011. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = x(x 2 + y) + y(y 2 + x). Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, một dây cung MN = R di chuyển trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng song song với ON cắt đường thẳng AB tại E. Qua N kẻ đường thẳng song song với OM cắt đường thẳng AB tại F. a) Chứng minh rằng hai tam giác MNE và NFM đồng dạng. b) Gọi K là giao điểm của EN và FM. Hãy xác định vị trí của dây MN để tam giác MKN có chu vi lớn nhất. Bài 5: Cho a, b, c là những số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 4 a b c b c a c b a + + ≥ + + + + + + . . Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 – thcs năm học 2010 – 2011 Môn: toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: