nhi thuc Niu Ton thao giang

KiÓm tra bµi cò KiÓm tra bµi cò Nªu c«ng thøc tÝnh sè tæ hîp chËp k cña n phÇn tö, Nªu c¸c tÝnh chÊt cña tæ hîp chËp k cña n phÇn tö k n k n k n kn n k n k n CCC CC knk n C =+ = − = − − − − 1 1 1 )!(! ! Tiết 79 Tiết 79 Khai triển các hằng đẳng thức sau: (a + b) 2 (a + b) 3 (a + b) 4 = a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3 = a 4 + a 3 b + a 2 b 2 + ab 3 + b 4 Tính nhanh: 0 2 C 202 2 111 2 020 2 2 )( baCbaCbaCba ++=+ 303 3 212 3 121 3 030 3 3 )( baCbaCbaCbaCba +++=+ 404 4 313 4 222 4 131 4 040 4 4 )( baCbaCbaCbaCbaCba ++++=+ Vậy với mọi số tự nhiên n 1 và với mọi cặp số (a; b) ta có công thức sau gọi là công thức nhị thức Niutơn nn n kknk n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba ++++++=+ )( 222110 (1) 0 3 C 0 4 C = a 2 + ab + b 2 1 2 C 3 2 C 1 3 C 2 3 C 3 3 C 1 4 C 2 4 C 3 4 C 4 4 C = 2 = 1 = 1 = 1 = 3 = 3 = 1 = 1 = 4 = 1 = 4 = 6 1 3 31 1 2 1 1 1 6 4 4 0 2 C 1 2 C 2 2 C 0 3 C 1 3 C 2 3 C 3 3 C 0 4 C 1 4 C 2 4 C 3 4 C 4 4 C Chứng minh: Ta chứng minh bằng phơng pháp qui nạp theo n Chứng minh: Ta chứng minh bằng phơng pháp qui nạp theo n * Khi n = 1, ta có ( a + b) 1 = a + b = => Vậy công thức (1) đúng khi n = 1 * Giả sử (1) đúng khi n = m, tức là ta có Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n = m + 1, tức là ta có Thật vậy, ta có: Vì nên ta có (2) Vậy công thức nhị thức Niutơn (1) là đúng với mọi số tự nhiên n 11110110 110 1101 )( )( )( ) ( ) ()()()( +++ + +++++++++ =+++++ ++++++=++=+ mm m mm m m m kkmk m k m m mm m m mm m kkmk m m m m m mm m kkmk m m m m m mm bCabCCbaCCbaCCaC bbCbaCbaCaC abCbaCbaCaCbababa bCaC 1 1 0 1 + mm m kkmk m m m m m m bCbaCbaCaCba +++++=+ )( 110 11 1 1 1 1 1 10 1 1 )( ++ + + ++ + + + +++++=+ mm m kkmk m m m m m m bCbaCbaCaCba k m k m k m m m m mmm CCCCCCC 1 11 1 0 1 0 ,1,1 + + ++ =+==== (2) 1 Dùng dấu , ta có thể viết công thức nhị thức Niutơn dới dạng sau: Dùng dấu , ta có thể viết công thức nhị thức Niutơn dới dạng sau: = =+ n k kknk n n baCba 0 )( Ví dụ 1: a/ Khai triển ( x + y) 6 thành đa thức bậc 6 b/ Khai triển ( 3x - 4) 5 thành đa thức bậc 5 c/ Khai triển ( 2x + 1) 7 thành đa thức bậc 7 6542332456 606 6 515 6 424 6 333 6 242 6 151 6 060 6 6 61520156 )( yxyyxyxyxyxx yxCyxCyxCyxCyxCyxCyxCyx ++++++= ++++++=+ 102438405760143201620243)4()3()4()3( )4()3()4()3()4()3()4()3()43( 2345515 5 424 5 333 5 242 5 151 5 050 5 5 ++=+ ++++= xxxxxxCxC xCxCxCxCx 11484280672448128 1)2(1)2(1)2( 1)2(1)2(1)2(1)2(1)2()12( 234567 707 7 616 7 525 7 434 7 343 7 252 7 161 7 070 7 7 ++++++= =++ +++++=+ xxxxxx xCxCxC xCxCxCxCxCx nn n kknk n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba ++++++=+ )( 222110 Ví dụ 2: Tìm số hạng thứ 7 kể từ trái sang phải của khai triển (-2x + 1) Ví dụ 2: Tìm số hạng thứ 7 kể từ trái sang phải của khai triển (-2x + 1) 9 9 Giải: 456789 909 9 818 9 727 9 636 9 545 9 454 9 363 9 272 9 181 9 090 9 9 20164032537646082034512 1)2(1)2(1)2(1)2(1)2( 1)2(1)2(1)2(1)2(1)2()12( xxxxxx xCxCxCxCxC xCxCxCxCxCx +++= +++++ ++++=+ Từ công thức => số hạng đứng thứ 7 kể từ trái sang phải của khai triển trên là: kknk n baC === 336 9 6696 9 )8.(841)2(1)2( xxCxC Ví dụ 3: Chọn đáp án đúng Ví dụ 3: Chọn đáp án đúng Hệ số của x Hệ số của x 8 8 trong khai triển (4x - 1) trong khai triển (4x - 1) 12 12 là: là: A: 32440320 A: 32440320 C: 495 C: 495 B: -32440320 B: -32440320 D: -495 D: -495 Ví dụ 4: Tính hệ số x Ví dụ 4: Tính hệ số x 12 12 y y 13 13 trong khai triển (x + y) trong khai triển (x + y) 25 25 Giải: Từ công thức => n = 25 nên phải có 25 - k = 12 => k = 13. Vậy hệ số của x 12 y 13 trong khai triển là: kknk n baC 300.200.5 !12!13 !25 13 25 == C 118144 2 ++ xx 3 672x 3 672x Từ công thức : suy ra các công thức sau: Từ công thức : suy ra các công thức sau: ( b + a ) ( b + a ) n n = ? và ( a - b ) = ? và ( a - b ) n n = ? = ? = =+=+ n k knkk n nn baCabba 0 )()( = = ==+= n k n k kknk n kkknk n nn baCbaCbaba 0 0 )1()())(()( = = n k kk n kn xCx 0 )1()1( (Khai triển theo luỹ thừa tăng của x) = = n k knk n knn xCx 0 )1()1( (Khai triển theo luỹ thừa giảm của x) = =+ n k kknk n n baCba 0 )( +/ Sè c¸c sè h¹ng cña c«ng thøc b»ng ? +/ Tæng c¸c sè mò cña a vµ b trong mçi sè h¹ng b»ng ? +/ Sè h¹ng sè d¹ng lµ sè h¹ng thø mÊy trong khai triÓn ? kknk n baC − 1. Số các số hạng của công thức bằng n + 1 2. Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức (n - k) + k = n 3. Số hạng tổng quát có dạng ( k = 0, 1, 2, , n) (Đó là số hạng thứ k + 1 trong sự khai triển của nhị thức (a + b) n ) 4. Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau vì kknk nk baCT + = 1 kn n k n CC = 5. Ta có thể viết công thức nhị thức Niutơn d\ới dạng t\ờng minh hơn nh\ sau: nnkknnnnn bn abba k knnn ba nn bnaaba +++ + ++ ++=+ 1221 3.2.1 )1) (1( 2 )1( )( n n k nnnn nn CCCCC ++++++=+= )11(2 210 n n nk n k nnn n CCCCC )1( )1( )11(0 210 +++++== Tiết 80 Tiết 80 6. 7. 0 1 C 0 0 C 0 3 C 0 2 C 1 2 C 1 1 C 2 2 C 1 2 C 1 3 C 3 3 C 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 + = n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1 n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 . baCbaCbaCbaCba +++=+ 404 4 313 4 222 4 131 4 040 4 4 )( baCbaCbaCbaCbaCba ++++=+ Vậy với mọi số tự nhi n n 1 và với mọi cặp số (a; b) ta có công thức sau gọi là công thức nhị thức Niutơn nn n kknk n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba ++++++=+ . = m + 1, tức là ta có Thật vậy, ta có: Vì nên ta có (2) Vậy công thức nhị thức Niutơn (1) là đúng với mọi số tự nhi n n 11110110 110 1101 )( )( )( ) ( ) ()()()( +++ + +++++++++ =+++++ ++++++=++=+ mm m mm m m m kkmk m k m m mm m m mm m kkmk m m m m m mm m kkmk m m m m m mm bCabCCbaCCbaCCaC bbCbaCbaCaC abCbaCbaCaCbababa bCaC 1 1 0 1 + mm m kkmk m m m m m m bCbaCbaCaCba +++++=+ . )( ++ + + ++ + + + +++++=+ mm m kkmk m m m m m m bCbaCbaCaCba k m k m k m m m m mmm CCCCCCC 1 11 1 0 1 0 ,1,1 + + ++ =+==== (2) 1 Dùng dấu , ta có thể viết công thức nhị thức Niutơn dới dạng sau: Dùng dấu , ta có thể viết công thức nhị thức Niutơn dới dạng sau: = =+ n k kknk n n baCba 0 )( Ví dụ 1: a/