bat dang thuc luyen thi dai hoc

Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức . . K _ Xỏc - 1 - A. lý DO CHọN Đề TàI Trang bị những tri thức cơ bản ,cần thiết ,tiên tiến nhất đặc biệt là những tri thức phơng ph áp và phát triển trí tuệ cho họ c sinh là các mục tiêu đợc đặt lên hàng đầu trong các mục tiêu dạy học môn toán. Bất đẳng thức là một vấn đề đợc giáo viên và học sinh thâm nhập với một lợng thời gian khá nhiều vì đây là vấn đề có thể phát triển khả năng t duy toán học cho học sinh. Thế nhng qua việc tìm hiểu vấn đề này trong quá trình dạy học tôi thấy mặc dù đã có rất nhiều phơng pháp giả i cho những bài toán bất đẳng thức điển hình cụ thể có nhiều dạng. Có những bài toán bất đẳng thức khó khi bồi dỡng học sinh khá giỏi việc sử dụng những phơng pháp đã có gặp nhiều khó khăn, vì thế với hớng suy nghĩ khắc phục những hạn chế về phơng pháp giải đã có trớc tôi đã tìm kiếm thêm đợc một phơng pháp tiện lợi để giải quyết những bài toán khó và cũng để khơi dậy trí tìm tòi của học sinh và giáo viên trong quá trình tự học, khơi dậy lòng say mê tìm kiếm những cái mới. Vì những lý do đó. Dới đây tôi xin đợc trao đổi với quý đồng nghiệp một phơng pháp giải cho những bài toán bất đẳng thức ( Thờng là những bài bất đẳng thức khó, xảy ra trong các kỳ thi học si nh giỏi, thi Đại học). Và trong một số bài tôi khai thác sâu thêm bằng những hoạt động trí tuệ nh tổng quát, phân tích, so sánh, đặc biệt hóa. Nội dung đề tài gồm ba phần : Phần I: một biến là ẩn phụ t=h(x,y,z, ) Phần II: Một biến là x(y hoặc z) Phần III: Khai thác phơng pháp trong lợng giác b.nội dung đề tài */ Bài toán: Xét bài toán : với điều kiện R (nếu có) . Chứng minh rằng p=f(x,y,z, ) A (hoặc A) phơng pháp giải: Chứng minh p )(tg với Dt Chứng minh Atg )( với t D Vấn đề đặt ra là đánh giá biểu thức p để đa về biểu thức một biến g(t) và chứng minh Atg )( - Việc chứng minh Atg )( ở đây tôi chỉ sử dụng cách biến đổi ( dự đoán dấu bằng xảy ra),ngoài ra đối với hoc sinh lớp 12 có thể làm một cách nhanh chóng hơn bằng cách sử dụng đạo hàm lập bảng biến thiên để giải. - Còn đánh giá p nói chung là phong phú tùy thuộc từng bài toán để lựa chọn cách đánh giá thích hợp (dùng cách biến đổi , sử dụn g bất đẳng thức cổ điển bunhiacopki,côsi, ) . Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức . . K _ Xỏc - 2 - */ kiến thức bổ sung 1.Bất đẳng thức cơ bản : a.Bất đẳng thức côsi: cho )2(, ,, 21 nxxx n số không âm khi đó: n nn xxxnxxx 2121 đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n xxx 21 b. Bất đẳng thức bunhiacopxki: 2 2211 22 2 2 1 22 2 2 1 ) () )( ( nnnn yxyxyxyyyxxx đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n n y x y x y x 2 2 1 1 c. Bất đẳng thức svac-xơ(hệ quả của bất đẳng thức bunhiacopxki ) : với )2(, ,, 21 nyyy n là số dơng: n n n n yyy xxx y x y x y x ) ( 21 2 21 2 2 2 2 1 2 1 đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : n n y x y x y x 2 2 1 1 2.Tính chất: a. Nếu p có giá tri không đổi khi ta hoán vị vò ng quanh các biến x,y,z chẳng hạn p=f(x,y,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y) . khi đó không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x=max(x,y,z, ) hoặc x=min(x,y,z, ) b. Nếu p có giá trị không đổi khi ta hoán vị một cách bất kì các biến x,y,z chẳng hạn p=f(x,y,z)=f(x ,z,y)=f(y,x,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y)=f(z,y,x) . khi đó không mất tính tổng quát ta có thể sắp xếp các biến theo một thứ tự zyx I. một biến là ẩn phụ t=h(x,y,z, ). Sau đây là một số ví dụ mở đầu Bài toán 1 :Với x,y là số dơng chứng minh rằng: 2233 yxxyyx (1) Giải: Vì x là số dơng nên: (1) x y x y x y 23 1 . đặt x y =t thì t>0 (1) trở thành t 3 -t 2 -t+1 0 (t-1) 2 (t+1) 0 (đúng với mọi t>0) đpcm Tổng quát ta có bài toán sau: Cho x,y là số dơng. Cmr: ),2( 11 Nnnyxxyyx nnnn Chứng minh hoàn hoàn tơng tự! Bài toán 2 : Với x,y khác không chứng minh rằng: Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức . . K _ Xỏc - 3 - )2(2 2 2 2 2 4 4 4 4 x y y x x y y x x y y x Giải: Đặt t= x y y x thì 2 x y y x x y y x t (áp dụng bđt côsi) khi đó (2) trở thành: 02)2(2)2( 222 ttt (t+2)(t 3 -2t 2 -t+3) 0(2') +) Với t 2: ta có t 3 -2t 2 -t+3=(t-2)(t 2 -1)+1>0 nên bất đẳng thức (2') đúng +) Với t -2: ta có t 3 -2t 2 -t+3=(t+2)[(t-2) 2 +3] - 11 > 0 và t+2 0 nên bất đẳng thức (2') đúng vậy bất đẳng thức (2) đúng dấu bằng xảy ra khi t= -2 hay x=-y đpcm Bài toán 3:(Đề chọn đội tuyển dự thi HSG toán QG 2006-2007) x,y,z là số thực thỏa mãn 2 222 zyx .Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức xyzzyxP 3 333 -Nhận xét : Dự đoán dấu giá trị LN,NN đạt đợc kh i x=y=z hoặc tại các điểm biên.Thử vào ta có phán đoán 2222 P Giải: Từ đẳng thức 2222 )()(2 zyxzxyzxyzyx ))((3 222333 zxyzxyzyxzyxxyzzyx và điều kiện ta có: ) 2 2)( 2)(())(( 2 222 zyx zyxzxyzxyzyxzyxp đặt 60 tzyxt 2222)22()2( 2 1 3 2 ) 2 2 2( 2 32 ttt tt tp dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2t vậy P min = 22 khi x= 2 ,y=z=0 hoặc hoán vị P max = 22 khi x= 2 ,y=z=0 hoặc hoán vị Sau đây ta xét một số ví dụ mà phải đánh giá biểu thức P mới thấy đợc ẩn phụ Bài toán 4: Cho 2 3 0,, zyx zyx Cmr: 2 15111 zyx zyx Giải: áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: zyx zyx xyz zyx zyx zyx 91 3 111 3 Đặt 2 3 0 tzyxt Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức . . K _ Xỏc - 4 - Vậy: 2 15 2 3 .4 27 4 9 .2 4 27 4 99111 t t tt t t t zyx zyx dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z= 2 1 đpcm Tổng quát ta có bài toán: Cho )2(, ,, 21 nxxx n là số dơng ; )( * 21 Rkkxxx n 22 ;0 bnakb . Cmr : k akbn xxx bxxxa n n 22 21 21 ) 1 11 () ( (*) Sơ lợc lời giải: k akbn k bn ak k bn k bn at k t t bn t bn at xxx bn xxxa xxx bxxxa n n n n 22 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 21 21 21 )( 1 .2.)() 1 ( ) () 1 11 () ( Nhận xét1: - Từ bài toán (*) ta Đặc biệt hóa 1.Với a=1; b=4 ; n=3 ; k= 2 3 ta có bài toán : Cho 2 3 0,, zyx zyx Cmr: 2 51 ) 111 (4 zyx zyx kết hợp bất đẳng thức bunhiacopxki ta có bài toán 2':(olimpic-toán sơ cấp -Đại Học Vinh) Cho 2 3 0,, zyx zyx C mr: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 17 3. 2 x y z y z x Thật vậy : áp dụng bất đẳng thức bunhacopxki ta có ) 4 ( 17 114 )41)( 1 ( 2 222 2 2 y x y x y x y x tơng tự sau đó cộng lại kết hợp bài toán trên ta suy ra điều phải chứng minh Với a=1;b=9;n=3;k=1 kết hợp bất đẳng thức bunhiacopxki ta có bài toán Cho 1 0,, zyx zyx CMR : 82 111 2 2 2 2 2 2 z z y y x x (đề thi đại học ,cao đẳng năm 2003 -2004) 2.với a= -1; b=1 ; n=2 ; k= 2 ta có bài toán : Cho 2 0, yx yx Cmr: 2)( 11 yx yx bằng cách thay đổi giả thiết , đặt ẩn phụ ta có bài toán 2'': Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức . . K _ Xỏc - 5 - cho 1 0, yx yx Cmr: 2 11 y y x x Thật vậy: bằng cách đặt: a= x1 ; b= y1 và kết hợp bất đẳng thức bunhacopxki và bài toán trên ta suy ra điều phải chứng minh Tổng quát: (tạp chí crux ) )2(, ,, 21 nxxx n là số dơng và mxxx n 21 ,m>0: Cmr:: 1 2 2 1 1 n mn xm x xm x xm x n n Chứng minh hoàn toàn tơng tự ! - Nếu đổi chiều của bất đẳng thức ở điều kiện (bài toán (*))thì bài toán thay đổi nh thế nào? Trả lời câu hỏi này ta có bài toán mới : Cho )2(, ,, 21 nxxx n là số dơng; )( * 21 Rkkxxx n 22 ;0 bnakb . Cmr : k akbn xxx bxxxa n n 22 21 21 ) 1 11 () ( (**) từ bài toán (**) ta có thể khai thác ta đợc những bài toán mới khá thú vị *)Nh vậy khi làm một bài toán ta có thể dùng hoạt động trí tuệ để khai thác sâu bài toán_ở trên có một chu kì hoạt động khá hay đó là :bài toán cụ thể tổng quát đặc biệt (phân tích , so sánh ) bài toán mới tổng quát. (chú ý tổng quát có nhiều h ớng :theo hằng số ,theo số biến hoặc số mũ) Bài toán 5:(THTT/ T4/352/2007 ) Với x,y,z là số dơng và xyz 1 Cmr: 2 3 xyz z xzy y yzx x (5) Giải: Đặt a= x , b= y , c= z Bài toán trở thành : a,b,clà số dơng và abc 1 cmr 2 3 2 2 2 2 2 2 abc c acb b bca a (4') áp dụng bất đẳng thức svac-xơ ta có: VT 2 (5') abcacbbca cba 222 2 )( 2 = 2 222 4 )( abcacbbca cba ]3)[(3 )( )](3)[(3 )( )(3 )( 2 4 2 4 222 4 cba cba cabcabcba cba cabcabcba cba {vì ab+bc+ca 3 2 )(3 abc 3} đặt t=(a+b+c) 2 thì t 9 { vì a+b+c 3 3 abc 3} Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức . . K _ Xỏc - 6 - ta có )3(3 2 t t = 3 3 . 12 3 2 12 159.3 3 3 12 3 12 153 t t t tt = 2 9 VT 2 (5') 2 9 VT(4') 2 3 dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 đpcm Tổng quát ta có bài toán sau:với )2(, ,, 21 nxxx n dơng và 1 21 n xxx Cmr: 2 1211432 2 321 1 n xxxx x xxxxx x xxxx x nn n nn Bài toán 6: Cho 1 0,, zyx zyx Cmr: 10 9 111 222 z z y y x x P Nhận xét: Ta nghĩ đến áp dụng bđt svac-xơ nhng ở đây chiều của bất đẳng thức lại ngợc.Một ý nghĩ nảy sinh là biến đổi P để là m đổi chiều bất đẳng thức ? Giải : Ta có : 333 2 222 3 4 3 4 3 4 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 1)(1 ) 111 (1) 1 1() 1 1() 1 1( zyxzyx zyx zz z yy y xx x z z y y x x z z z y y y x x xP Đặt 222 zyxt từ đk 3 1 t áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki và côsi ta có: 32 1 2 3 ) 3 (3)](1[ 2 1 3))(( 3 222 222222 222333 t tt zyx zyxzyx xyzzxyzxyzyxzyxzyx Vậy 10 9 10 9 3103 )957)( 3 1 ( 10 9 10 9 3103 3103 3 13 2 1 3 231 2 1 22 2 2 22 tt tt tt tt t tt t t tt t P dấu bằng xảy khi và chỉ khi x=y=z= 3 1 đpcm Khi gặp bài toán có điều kiện phức tạp khó sủ dụng thì phải xử lí điều kiện . Ta xét bài toán sau: Bài toán 7:(Tạp chí toán học tuổi thơ) Cho )1)(1)(1)(1( )1;0(,, zyxxyz zyx Cmr: x 2 +y 2 +z 2 4 3 Giải: Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức . . K _ Xỏc - 7 - (1) 1-(x+y+z)+xy+yz+zx=2xyz x 2 +y 2 +z 2 =2-2(x+y+z)+(x+y+z) 2 -4xyz áp dụng bđt Côsi ta có : xyz zyx 3 3 nên x 2 +y 2 +z 2 2-2(x+y+z)+(x+y+z) 2 -4 3 3 zyx Đặt t=x+y+z thì 30 t .Khi đó: x 2 +y 2 +z 2 3 2 2 4 1 15 3 3 2 2 (2 3) ( ) 27 27 4 4 4 t t t t t dấu bằng xảy ra khi t= 2 3 hay x=y=z= 2 1 đpcm Nhận xét 2 : Từ ý tởng phơng pháp giải ở trên ta có thể sáng tạo các bất đẳng thức : chẳng hạn -Từ bất đẳng thức cô si 1.C ho x,y là số dơng.Cmr: xyyxyx 888)( 22322 2.(THTT-248 - 1998):Cho x,y,z là số dơng không lớn hơn 1. Cmr: a. 3 )1)(1)(1( 3 11 zyx zyx b. )1)(1)(1( 3 11 zyx zyx Từ đó ta có bài toán tổng quát : (chú ý: câu b chặt hơn câu a) Cho )2(, ,, 21 nxxx n là số dơng không lớn hơn : Cmr: )) ()(( 21 21 1 n n n n xaxaxa n a xxx a Hd: áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: n n n n xxxna xaxaxa ) ( )) ()(( 21 21 bất đẳng thức trở thành: 1 1 1 1 ( ) 0(*) n n n n n n n a a na t na t n a t na t t n n n tn áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: nnnnn n antnatan n nan tnatnatnatn 11 )()1( )1( )) ()(()1( kết hợp điều kiện bài toán nên bất đẳng thức (*) đúng ngoài ra từ cách chứng minh ta có bất đẳng thức chặt h ơn sau: Cho )2(, ,, 21 nxxx n là số dơng không lớn hơn a .Cmr: )) ()(( 1 1 21 1 21 1 1 n n n n n n xaxaxa n a n n xxx a n n Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức . . K _ Xỏc - 8 - chứng minh hoàn toàn tơng tự ! 3.Cho 3 0,, 222 zyx zyx Cmr: 3027 xyzzyx 4.Cho 2 0,, zyxxyz zyx Cmr: 6 zyx - Từ bất đẳng thức bunhiacôsxki, svac -xơ và đẳng thức 2222 )()(2 zyxzxyzxyzyx 1. Cho x,y,z nằm trong đoạn [1;2] .Cmr : 6)(0 zyxzxyzxy 2. Cho 1 0,, xyz zyx Cmr: 3 101 222 zxyzxy zyx 3. Cho 0,, 1 zyx xyz Cmr: 4 3 222 zyx x z z y y x 4. Cho 2 1 0,, zyx zyx Cmr: 5 108111 222 zzyyxx 5.(THTT- 346/2006) Cho 0,, 1 zyx zyx Cmr: ))((8 222222222 xzzyyxzyxzxyzxy 6. Cho ]2;1[,, zyx zyxzxyzxy Cmr: 4 3 )(4)(4)(4 2 2 2 2 2 2 yx z xz y zy x - Hay từ bất đẳng thức schur : 2 )( 9 )(40))(())(())(( zyx zyx xyz zxyzxyyzxzzxyzyyzxyxx 1: Cho xyz là số không âm . Cmr: )(212 222 zxyzxyzyxxyz sơ lợc lời giải: Bất đẳng thức của bài toán tơng đơng với 12)()(4)(412)( 22 xyzzyxzxyzxyhayzxyzxyxyzzyx kết hợp bất đẳng thức trên và bất đẳng thức côsi ta cần chứng minh: 1 27 )29( 2 tt với zyxt 2 9 , t { còn 2 9 t hiển nhiên đúng} Bằng cách thêm bớt các biểu thức vào ta có nhiều bài toán khác nhau Chẳng hạn: zyxtctbxyz t axyz ctbxyzzyxzxyzxya ; 9 ])()(4[ 2 ta có: Chọn a,b sao cho: cba cba 2 0,, thì: Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức . . K _ Xỏc - 9 - )(233)()( 222 zxyzxyacbazyxcbxyzzyxa với a=3 b=5 c=1 ta có bài toán: 2.Cho x,y,z là số không âm . chứng minh rằng : )(61)(5)(3 222 zxyzxyzyxxyzzyx Bằng cách tơng tự ta có bài toán: 3.Cho x,y,z là số dơng chứng minh rằng )(58)(2 222 zyxzyxxyz (THTT-số 356) 4.Cho x,y,z là số dơng chứng minh rằng )1)(1)(1(32 222 zyxxyzzyx 5.Cho ] 3 4 ;0[,, 3 zyx zxyzxy Cmr: 13)(4 zyxxyz Từ đẳng thức ,bất đẳng th ức cơ bản,đơn giản ta có thể tạo vô số bài toán! để kết thúc phần I tôi xin đa ra thêm một số bài toán làm theo phơng pháp này: * Một số bài toán * I 1 .Chứng minh rằng: 4 44 4 2 27 2 1 12 27 2 1 yx yx với mọi x,y thuộc R HD: yxt I 2 .Cho )2;0(,, 3 zyx zyx Cmr: 222222 4 1 4 1 4 1 )2)(2)(2( 27 zyxzyx HD: t = 2 )( zyx : I 3 .Cho 1 0,, zyx zyx Cmr : 12 1 )()()( 444 yxzxzyzyx HD: Giả sử 0 zyx đặt )( zyxt ta chứng minh đợc )31()()()( 444 ttyxzxzyzyx I 4 . Cho 0,, 4 222 zyx xyzzyx Cmr: 3 zyx I 5 . Cho ]1;0(,, zyx zyxzxyzxy Cmr: 3 )()()( 2 2 2 2 2 2 zyx z yxz y xzy x I 6 . Cho ),2(, ,, 21 Nnnxxx n là số dơng và )0( 21 knkxxx n . Chứng minh rằng: )( 1 11 3 22 22 2 11 knk n xxxxxx nn Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức . . K _ Xỏc - 10 - I 7 . Với )2(, ,, 21 nxxx n dơng và 1 21 n xxx . Cmr: n n xxx xxx n n 1 1 2 21 21 Nhận xét 3: - Nếu chứng minh g(t) 0 bằng cách biến đổi nh trên thì trớc tiên phải dự đoán đợc dấu bằng xảy ra tại đâu để đánh giá hay tách nhóm hợp lý . -Khi đặt ẩn phụ thì phải tìm điều kiện sát của ẩn phụ đặc biệt là chứng minh g(t) 0 bằng phơng pháp đạo hàm. II. Một biến là x(y hoặc z): ở ví dụ trên thì chúng ta phải làm xuất hiện ẩn phụ.sau đây ta xét một lớp bài toán mà ẩn phụ chính là x hoặc y hoặc z 1.Đa về một biến nhờ điều kiện : Bài toán 8: Cho 0,, 1 zyx zyx Cmr: 27 8 xyzzxyzxy Giải: Từ đk bài toán ta thấy 0110 zz áp dụng bđt côsi ta có: xy+yz+zx-xyz=z(x+y)+xy(1 -z) z(x+y)+ 2 2 yx (1-z) xy+yz+zx-xyz=z(1-z)+ 2 2 1 z (1-z)= 4 1 23 zzz = 27 8 27 8 ) 3 5 () 3 1 ( 4 1 2 zz với mọi z, 10 z dấu bằng xảy ra khi x=y=z= 3 1 đpcm Bài toán số 9: Cho 0,, 3 zyx zyx Cmr: )9()(25 zxyzxyxyz Giải: Không mất tính tổng quát giả sử z=min(x,y,z) Từ điều kiện dễ thấy 10 z 0 4 )2()1( 0 4 23 0)3(2)2() 2 3 (5 0)(2)2() 2 (50)(2)2(5)9( 2 3 2 2 zz zz zzz z yxzz yx yxzzxy đúng với ]1;0[z . Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 đpcm Nhận xét4: - Nếu lấy điều kiện 30 z thì bất đẳng thức đánh giá biểu thức trên là không đúng. ở đây chúng ta sử dụng tính chất 1 để làm hạn chế điều kiện của biến để có thể đánh giá đợc biểu thức . . những bài toán bất đẳng thức ( Thờng là những bài bất đẳng thức khó, xảy ra trong các kỳ thi học si nh giỏi, thi Đại học). Và trong một số bài tôi khai thác sâu thêm bằng những hoạt động trí tuệ. biến đổi ( dự đoán dấu bằng xảy ra),ngoài ra đối với hoc sinh lớp 12 có thể làm một cách nhanh chóng hơn bằng cách sử dụng đạo hàm lập bảng biến thi n để giải. - Còn đánh giá p nói chung là phong. : 82 111 2 2 2 2 2 2 z z y y x x (đề thi đại học ,cao đẳng năm 2003 -2004) 2.với a= -1; b=1 ; n=2 ; k= 2 ta có bài toán : Cho 2 0, yx yx Cmr: 2)( 11 yx yx bằng cách thay đổi giả thi t , đặt ẩn phụ ta