Các chuyên đề hình học giải tích

CHUYÊN ĐỀ 1 TỌA ĐỘ PHẲNG Trong các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng thường gặp các yêu cầu như tìm tọa độ một điểm, một vectơ, tính độ dài một đoạn thẳng, số đo góc giữa hai vectơ, quan hệ cùng phương hoặc vuông góc giữa hai vectơ, 3 điểm thẳng hàng. Ta vận dụng các kiến thức cơ bản sau đây: Cho a r = () 1 2 a, a , b r = ( ) 1 2 b, b ta có: a r = b r ⇔ 1 2 1 2 a = b a = b ⎧ ⎨ ⎩ a r + b r = ( 1 1 a + b, 2 2 a + b) a r – b r = ( 1 1 a - b, 2 2 a - b) k a r = (k 1 a , k 2 a ) (k ∈ R) α a r + β b r = (α 1 a + β 1 b , α 2 a + β 2 b ) a r . b r = 1 a 1 b + 2 a 2 b . Với các quan hệ về độ dài ta có: a r = ( 1 a , 2 a ) ⇒ a r = 22 1 2 a + a () () AA BB A x, y Bx, y ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⇒ A B uuur = ( B x – A x , B y – A y ) và AB = ()() 22 BA BA x - x y - y+ . Với quan hệ cùng phương hoặc vuông góc ta có: a r ⊥ b r ⇔ 1 a 1 b + 2 a 2 b = 0 a r cùng phương b r ⇔ r r sin(a, b) = 0 ⇔ 1 a 2 b – 2 a 1 b = 0 ⇔ 1 1 a b = 2 2 a b ( 1 b , 2 b ≠ 0) A, B, C thẳng hàng ⇔ A B u uur cùng phương A C u uur ⇔ BABA CACA x - x y - y x - x y - y = 0 . Với việc tìm góc của hai vectơ ta có: - Góc hình học tạo bởi hai vectơ a r , b r được suy từ công thức: cos(  a, b r r ) = 11 22 ab + ab a.b r r (1) - Số đo góc đònh hướng của hai vectơ a r , b r ngoài (1) còn được suy thêm từ một trong hai công thức: r r sin(a, b) = 12 1 r r 2 ab - ab a.b r r tg(a, b) = 12 1 11 2 2 2 ab - ab ab + ab Ngoài ra trong các bài toán về tọa độ phẳng ta có thể áp dụng các kết quả sau đây: . M( M x , M y ) là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ 2 2 AB M AB M x + x x = y + y y = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ . G( G x , G y ) là trọng tâm của Δ ABC ⇔ 3 3 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ABC G ABC G x + x + x x = y + y + y y = . I( I x , I y ) và J( J x , J y ) là chân đường phân giác trong và ngoài của góc A trong ΔABC thì: IB IC uur uur = − uuur uuur JB JC = − A B A C . Với A( A x , A y ), B( B x , B y ), C( C x , C y ) thì diện tích tam giác ABC là: S = 1 2 Δ với Δ = BABA CACA x - x y - y x - x y - y Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2). a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua B. b) Tìm tọa độ điểm M để 2 AM u uuur + 3BM u uuur - 4CM u uuur = 0 r c) Tìm tọa độ điểm E để ABCE là hình thang có một cạnh đáy là AB và E nằm trên Ox. d) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm I đường tròn ngoại tiếp Δ ABC. e) Chứng tỏ H, G, I thẳng hàng. Giải a) D là điểm đối xứng của A qua B ⇔ B là trung điểm của AD ⇔ AD B AD B x + x x = 2 y + y y = 2 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⇔ ( ) () −−−⎧ ⎪ ⎨ − ⎪ ⎩ DBA DBA x = 2x x = 20 2 = 2 y = 2y y = 2 3 + 1 = 7 hay D(–2, 7) b) Ta có: 2 AM uuuur + 3BM u uuur – 4 CM u uuur = 0 r = ( 0, 0 ) ⇔ ()() ( ) ()()() −−−−⎧ ⎪ ⎨ −− − ⎪ ⎩ MMM MMM 2x 2 + 3x 0 4x 4 = 0 2 y + 1 + 3 y 3 4 y 2 = 0 ⇔ − ⎧ ⎨ − ⎩ M M x =12 y =1 hay M(–12, –1) c) ABCE là hình thang có đáy AB và E nằm trên Ox. ⇔ E y = 0 CE ⎧ ⎪ ⎨ ΑΒ ⎪ ⎩ uuur uuur // ⇔ E EE y = 0 x - 4 y - 2 = 0 - 2 3 + 1 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⇔ E E y = 0 x = 5 ⎧ ⎨ ⎩ hay E(5, 0) d) H là trực tâm của ΔABC ⇔ A H BC BH AC ⊥ ⎧ ⎨ ⊥ ⎩ ⇔ A H.BC = 0 BH.AC = 0 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ u uuur uuur uuuur uuur ⇔ ()() ( ) ( ) ()()()() 41230 42 321 0 −−++−=⎧ ⎪ ⎨ −−+−+= ⎪ ⎩ HH HH x2 0y x0 y ⇔ 490 2390 HH HH xy xy −−= ⎧ ⎨ +−= ⎩ ⇔ 18 7 9 7 H H x y ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ hay H 18 7 9 , 7 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ G là trọng tâm ΔABC ta có: 204 2 33 132 4 333 ABC G ABC G xxx x yyy y ++ ++ ⎧ === ⎪ ⎪ ⎨ ++ −+ + ⎪ === ⎪ ⎩ hay G 4 2 3 , ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ + I là tâm đường tròn ngoại tiếp Δ ABC ⇔ IA = IB = IC ⇔ 22 22 IA IB IA IC ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ ⇔ ()( )()() ()( )()() 2222 2222 2103 2142 IIII IIII xyxy xyxy ⎧ −+−−=−+− ⎪ ⎨ −+−−=−+− ⎪ ⎩ ⇔ 4840 46150 II II xy xy −+ −= ⎧ ⎨ +−= ⎩ ⇔ 24 12 14 7 19 14 I I x y ⎧ == ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ hay I 12 19 714 , ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ e) Ta có : HG uuuur = 41 721 , ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ và HI u uur = 61 714 , ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ ⇒ 4 7 6 7 − − = 1 21 1 14 = 2 3 ⇒ HG uuuur cùng phương với HI u uur ⇒ H, I, G thẳng hàng. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, 2 3 ), B(1, 3 3 ), C (-1, 3 ) . Tính cos ( A O uuur , A B uuur ) và diện tích tam giác ABC. Giải Ta có: A O uuur = ( – 2, –2 3 ), A B u uur = ( – 1, 3 ) = ( a 1 ;a 2 ) cos( A O uuur , A B uuur ) = 26 41213 . − + + = 1 2 − uuur A C = ( – 3, – 3 ) = = ( b 1 ; b 2 ) ⇒ 12 21 1 2 =− ABC Sabab = 1 1333 2 − −−−()( ) () = 2 3 CHUYÊN ĐỀ 2 ĐƯỜNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG Các bài toán về phần đường và phương trình đường thường yêu cầu xác đònh quỹ tích các điểm trong mặt phẳng tọa độ theo những điều kiện cho trước, quỹ tích này là một đường mà ta phải tìm phương trình của nó dựa vào đònh nghóa: F(x, y) = 0 là phương trình của đường (L) nếu ta có : M( M x , M y ) ∈ (L) ⇔ F( M x , M y ) = 0 Nếu M ∈ (L) và M có tọa độ phụ thuộc tham số t: ( ) () xft ygt =⎧ ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ (t ∈ R) thì đó là phương trình tham số của đường (L). Từ phương trình tham số, ta khử t thì có thể trở về dạng F(x, y) = 0 Lưu ý việc giới hạn của quỹ tích tuỳ theo các điều kiện đã cho trong đầu bài. Ví du1: Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, 1), B(–3, 2). Tìm quỹ tích điểm M để ( MA uuuur + MB u uuur ) A B u uur = 1 Giải Gọi (L) là quỹ tích phải tìm. M( M x , M y ) ∈ (L) ⇔ (MA u uuur + MB u uuur ) A B u uur = 1 ⇔ [ (2 – M x ) + (–3 – M x ) ] (–3 – 2) + (1 – M y + 2 – M y ) (2 – 1) = 1 ⇔ 5 + 10 M x + 3 – 2 M y = 1 ⇔ 10 M x – 2 M y + 7 = 0 ⇔ M( M x , M y ) có tọa độ thỏa phương trình F(x, y) = 10x – 2y + 7 = 0 Vậy quỹ tích phải tìm là đường thẳng (L) có phương trình 10x – 2y + 7 = 0. Ví dụ 2: Lập phương trình quỹ tích tâm của những đường tròn tiếp xúc với trục Ox và đi qua điểm A(1, 2). Giải Gọi (L) là quỹ tích những tâm đường tròn tiếp xúc với trục Ox và đi qua điểm A(1, 2). I( I x , I y ) ∈ (L) ⇔ I là tâm đường tròn qua A(1, 2) và tiếp xúc với Ox tại M ⇔ IM Ox tại M IM = IA ⊥ ⎧ ⎨ ⎩ ⇔ ()()()() 22 22 00 MI M MI MI AI AI xx và y xx yy xx yy −= = ⎧ ⎪ ⎨ −+−= −+− ⎪ ⎩ ⇔ 2 I x – 2 I x – 4 I y + 5 = 0 ⇔ I( I x , I y ) có tọa độ thỏa phương trình F(x, y) = x 2 – 2x – 4y + 5 = 0 Đó là phương trình của quỹ tích phải tìm (Parabol). CHUYÊN ĐỀ 3 ĐƯỜNG THẲNG I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, muốn viết phương trình một đường thẳng () Δ ta cần phải biết: 1) () Δ qua điểm M 0 (x 0 , y 0 ) và có vectơ chỉ phương a r = (a 1 , a 2 ) sẽ có: . Phương trình tham số : 01 02 xx ta yy ta =+ ⎧ ⎨ =+ ⎩ (t ∈ R) . Phương trình chính tắc : 0 1 xx a − = 0 2 yy a − (a 1 , a 2 ≠ 0) Từ phương trình chính tắc ta có thể đổi thành dạng phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 (A 2 + B 2 > 0) 2) () Δ qua điểm M 0 (x 0 , y 0 ) và có 1 pháp véctơ là (a,b) có phương trình : a(x – x 0 ) + b(y – y 0 ) = 0 3) i) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có dạng Ax + By + C = 0 với A 2 + B 2 > 0 (1) ii) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có dạng x = x 0 hoặc y = kx + m (2). Ta dễ dàng thấy (1) và (2) là tương đương. + (2) ⇔ kx –y + m = 0 ⇒ (2 ) thỏa (1) với A = k, B = - 1 , C = m. + Nếu B = 0 ⇒ = − C x A , có dạng x = x 0 với x 0 = . Nếu B≠ 0 ⇒ =− − A C yx BB , có dạng y = kx + m. 3) () Δ qua hai điểm A(x A , y A ), B(x B , y B ) có phương trình : A BA xx xx − − = A BA yy yy − − nếu 0 − −≠ BABA (x x )(y y ) Nếu () Δ qua A(a, 0) ∈ Ox và B(0, b) ∈ Oy với a.b ≠ 0; ta nói () Δ có đoạn chắn a, b với phương trình: − C A x a + y b = 1 * Ghi chú: Nếu đề bài toán yêu cầu ta viết phương trình của đường thẳng, thông thường ta nên viết phương trình ở dạng tổng quát và lưu ý : () Δ : Ax + By + C = 0 thì ( ) Δ có : . một pháp vectơ n r = (A, B) . một vectơ chỉ phương a r = (–B, A) . hệ số góc k = tg( Ox uuur , Δ ) = A B − . () ′ Δ // () Δ ⇒ ( ) ′ Δ : Ax + By + C 0 = 0 . () ′ Δ ⊥ () Δ ⇒ ( ) ′ Δ : Bx – Ay + C 0 = 0 Ta tìm được C 0 nếu biết thêm một điểm nằm trên ( ) ′ Δ . Ngoài ra khi viết phương trình của một đường thẳng ( ) Δ theo hệ số góc k, bài toán có thể bò thiếu nghiệm do trường hợp ( ) Δ ⊥ x ′ x (hệ số góc k không tồn tại), do đó ta phải xét thêm trường hợp ( ) Δ có phương trình x = C để xem đường thẳng ( ) Δ này có thỏa mãn điều kiện của đầu bài không. Ghi chú - Nếu n r = (A, B) là 1 pháp véc tơ của đường thẳng ( ) Δ thì k. n r = (kA, kB) cũng là pháp véc tơ của ( ) Δ với mọi số thực k ≠ 0. - Nếu 12 = ur a(a,a) là 1 véc tơ chỉ phương của đường thẳng () Δ thì k. 12 = ur a(ka,ka) cũng là véc tơ chỉ phương của ( ) Δ với mọi số thực k khác 0. II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Để xét vò trí tương đối của hai đường thẳng ta cần nhớ Cho (d 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 và (d 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 Đặt : D = 11 22 A B A B ; D x = 11 22 BC BC ; D y = 11 22 CA CA thì : D ≠ 0 ⇔ (d 1 ) cắt (d 2 ) tại I 1 x I y D x D D y D ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ D = 0 và D x ≠ 0 hoặc D y ≠ 0 ⇔ (d 1 ) / / (d 2 ) D = D x = D y = 0 ⇔ (d 1 ) ≡ (d 2 ) hoặc với A 2 , B 2 , C 2 ≠ 0 ta có : 1 2 A A ≠ 1 2 B B ⇔ (d 1 ) cắt (d 2 ) 1 2 A A = 1 2 B B ≠ 1 2 C C ⇔ (d 1 ) / / (d 2 ) 1 2 A A = 1 2 B B = 1 2 C C ⇔ (d 1 ) ≡ (d 2 ) Ghi chú 11 22 BC BC = 11 22 − CB CB ; 11 22 CA CA = 11 22 − A C A C III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Để tìm góc giữa hai đường thẳng, ta gọi α là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng (d 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 (d 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 thì cos α = 12 12 22 22 1122 AA BB A B.A B + ++ IV. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Để tìm khoảng cách từ điểm M(x M , y M ) đến đường thẳng () Δ : Ax + By + C = 0 ta áp dụng công thức : d(M, Δ) = 22 MM A xByC AB + + + Khoảng cách đại số từ đường thẳng ( ) Δ đến điểm M(x M , y M ) là : t = 22 MM A xByC AB ++ + Đặt pháp vectơ n r = (A, B) có gốc lên ( ) Δ thì : . t > 0 nếu điểm M và n r nằm cùng một bên đối với ( ) Δ . t < 0 nếu điểm M và n r nằm khác bên đối với ( ) Δ Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi 2 đường thẳng (d 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 và (d 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 là : 111 22 11 A xByC AB ++ + = ± 222 22 22 A xByC AB + + + Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với A(–2, 1), B(4, 3), C(2,–3) a) Tìm phương trình tham số và tổng quát cạnh BC. b) Tìm phương trình đường cao AH. c) Tìm phương trình đường thẳng qua A(–2, 1) và song song với BC. Giải a) Đường thẳng qua cạnh BC nhận BC u uur = (–2, –6) hay (1,3) làm vectơ chỉ phương và qua B(4, 3) nên có phương trình tham số : 4 33 = + ⎧ ⎨ = + ⎩ xt yt (t ∈ R) ⇔ 4 1 −x = 3 3 −y (phương trình chính tắc) ⇔ 3x – y – 9 = 0 là phương trình tổng quát của BC. b) Δ ABC có đường cao AH ⊥ BC : 3x – y – 9 = 0 ⇒ pt AH : x + 3y + C 1 = 0 A(–2, 1) ∈ AH ⇔ –2 + 3(1) + C 1 = 0 ⇔ C 1 = –1 Vậy pt AH : x + 3y – 1 = 0 c) Đường thẳng Au // BC ⇒pt Au : 3x – y + C 2 = 0 [...]... N(1, 4) là x = 1, và 5x – 2y – 13 = 0 CHUYÊN ĐỀ 7 PARABOL Các bài toán về parabol thường qui về việc xác đònh các yếu tố của parabol (tiêu điểm, đường chuẩn), lập phương trình của parabol và các vấn đề về tiếp tuyến của parabol Do đó ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau đây : Parabol (P) = { M∈ (Oxy) / MF = d M ( Δ ) } F là tiêu điểm và ( Δ ) là đường chuẩn Các dạng phương trình chính tắc : y y... + a r r = – 2b + c CHUYÊN ĐỀ 9 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Các bài toán về tọa độ trong không gian thường có các yêu cầu xác đònh tọa độ của điểm, vectơ, độ dài đoạn thẳng, tính góc 2 vectơ, các vấn đề về mặt phẳng và đường thẳng trong không gian (phương trình, vò trí tương đối, song song, vuông góc, số đo góc, khoảng cách,… ) Tùy theo từng trường hợp ta cần lưu ý vận dụng các kiến thức cơ bản... trên 2/ Nếu đề bài cho biết phương trình 3 cạnh của tam giác ABC thì từ phương trình 3 cạnh đó, ta tìm được tọa độ các điểm A, B, C bằng cách giải hệ phương trình tọa độ giao điểm và sử dụng cách giải như phần 1 Ngoài ra còn có thể giải bằng kiến thức miền tạo bởi 1 đường thẳng và khoảng cách đại số từ một điểm đến đường thẳng B/ Trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm : 1/ Cho hai đường... Vậy 2 tiếp điểm phải tìm là (3; 2 6 ) và (3; –2 6 ) CHUYÊN ĐỀ 8 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Các đònh nghóa và phép toán của vectơ trong không gian cũng giống như trong mặt phẳng, ta cần lưu ý đến các vấn đề cơ bản thông dụng như : uuur uuur uuur Qui tắc 3 điểm : ∀ A, B, C thì AB + BC = AC Cộng 2 vectơ cùng gốc là một vectơ cùng gốc và là đường chéo hình bình hành có 2 cạnh là 2 vectơ đã cho I là trung... của A và B là: 7 ⎛2 4 3⎞ ⎛2 4 3⎞ ⎛2 4 3⎞ ⎛2 4 3⎞ A⎜ , ⎟ và B ⎜ , − ⎟ hoặc A ⎜ , − ⎟ và B ⎜ , ⎜7 7 ⎟ ⎜7 7 ⎟ ⎟ ⎜7 ⎜7 7 ⎟ 7 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Giả sử A (a, CHUYÊN ĐỀ 6 HYPEBOL Để giải các bài toán có liên quan đến đường hypebol ta cần nắm vững các vấn đề cơ bản sau: Hypebol (H) có tâm O, hai trục đối xứng là x ′ x, y ′ y Hypebol có tiêu điểm trên x ′ x Phương trình chính tắc x2 y2 – 2 =1 a2 b với c2 =... 1 Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho hai đường tròn: (C1) : x2 + y2 – 10x = 0; (C2) : x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = 0 1) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C1), (C2) và có tâm nằm trên đường thẳng x + 6y – 6 = 0 2) Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C1) và (C2) Giải 1) Phương trình chùm đường tròn qua các giao điểm của (C1), (C2) là : m(x2... (4, 0) Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x – y = 0 và d2 : 2x + y – 1 = 0.Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành Giải A ∈ d1 ⇔ A (m; m) C ∈ d2 ⇔ C (n; 1 – 2n) Vì B, D ∈ Ox và ABCD là hình vuông nên : ⎧m = 1 ⎧m = n ⇔ ⎨ ⎩m = 2n − 1 ⎩n = 1 A và C đối xứng nhau qua Ox ⇔ ⎨ Suy ra A(1; 1), C(1; -1) Gọi... + 2a1x + 2b1y + c1 = 0 (1) (C2) : x2 + y2 + 2a2x + 2b2y + c2 = 0 (2) Trục đẳng phương của (C1) và (C2) là tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với (C1) và (C2) và có phương trình là : 2(a1 – a2)x + 2(b1 – b2)y + c1 – c2 = 0 2/ Ứng dụng : Trong chương trình Hình học lớp 10 ta đã biết cách dựng trục đẳng phương của (C1) và (C2) • Nếu (C1) và (C2) cắt nhau tại 2 điểm A và B thì trục đẳng phương của... c) Tỉ số uuur OG uuuu r uuur OM = –2 OG ⇒ uuuu r OM uuur = –2 OG Ví dụ 2: r r uuuu r r uuur r uuuu Cho hình hộp ABCD A ′ B ′ C′ D ′ với AA ′ = a , AB = b , AC / = c Hãy biểu uuur uuuu uuuu uuuu r r r r r r thò các vectơ AD , A ′C , B ′D , BD ′ theo các vectơ a , b , c A D r b B Giải r a Ta có với hình hộp ABCD A ′ B ′ C′ D ′ thì : r uuuu uuur r uuuu r uuuuu AD = AC′ + C ′D / + D′D r r r =c– b –a C... lưu ý thêm 2 bài toán thường gặp : Bài 1 : Cho (C1) và (C2) ở ngoài nhau Tìm quỹ tích những điểm M từ đó vẽ được đến (C1) và (C2) những đoạn tiếp tuyến bằng nhau Cách giải : • M Gọi MA và MB (như hình vẽ) là 2 tiếp tuyến từ M đến (C1) và (C2) Ta có : MA = MB ⇔ MA2 = MB2 A• •B (C1) (C2) ⇔ PM /(C1 ) = PM /(C2 ) Do đó quỹ tích M là trục đẳng phương của (C1) và (C2) Bài 2 : Tìm tiếp điểm M của hai đường . đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d 1 , đỉnh C thuộc d 2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. Giải A ∈ d 1 ⇔ A (m; m). C ∈ d 2 ⇔ C (n; 1 – 2n) Vì B, D ∈ Ox và ABCD là hình vuông. hạn của quỹ tích tuỳ theo các điều kiện đã cho trong đầu bài. Ví du1: Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, 1), B(–3, 2). Tìm quỹ tích điểm M để ( MA uuuur + MB u uuur ) A B u uur = 1 Giải Gọi. Vậy quỹ tích phải tìm là đường thẳng (L) có phương trình 10x – 2y + 7 = 0. Ví dụ 2: Lập phương trình quỹ tích tâm của những đường tròn tiếp xúc với trục Ox và đi qua điểm A(1, 2). Giải Gọi