Rèn kỹ năng giải hpt, bpt và hình phẳng oxy

Rèn kỹ năng giải hpt, bpt và hình phẳng oxy Rèn kỹ năng giải hpt, bpt và hình phẳng oxy Rèn kỹ năng giải hpt, bpt và hình phẳng oxy Rèn kỹ năng giải hpt, bpt và hình phẳng oxy Rèn kỹ năng giải hpt, bpt và hình phẳng oxy Rèn kỹ năng giải hpt, bpt và hình phẳng oxy Rèn kỹ năng giải hpt, bpt và hình phẳng oxy

Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 4 1 6 2 1 7 1 x x y y x y y x y x y y  + − + = +    + + = + − + +  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 3 2 3 2 2 1 2 2 1 9 33 29 4 4 4 4 1 2 x x y x y y y y x x y x y  + + + − + − = − +   + + + = + +   Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC, 3 1 ; 2 2   −     N là điểm trên cạnh AC sao cho 1 4 = AN AC . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng đường thẳng DM có phương trình 1 0. − = x Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có M là điểm thuộc cạnh AC sao cho 2 AM AB = , đường tròn tâm ( ) 0;3 I đường kính CM cắt đường thẳng BM tại D (D khác M), biết đường thẳng CD: 3 13 0 x y + − = và đường thẳng BC đi qua điểm ( ) 7;14 K . Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C và điểm C có hoành độ dương. Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3  + − + = + −   + + = −   x x xy y xy xy y x y x x y Lời giải: ĐK: 2 2 0; 0; 0; 0 x xy xy y x y − ≥ − ≥ ≥ ≥ Từ phương trình (1) ta có 2 2 2 2 2 x x xy y xy xy y + − + = + − ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 1 0 0 x y x y x y x xy xy y >   ⇔ − + = ⇒ − = ⇒ =   − + −    Thay x y = vào phương trình (2) ta có 2 2 2 2 3 x y x x y + + = − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 2 0 ⇔ + + = − ⇔ + − + + = x x x x x x x x x 2 2 1 5 1 5 1 5 1 2 2 2 2 1; 2 4 4    − ±     − + − +  + = =    = =     ⇔ ⇒ ⇒ ⇒         + =      = − = = =    x x x x y x x x x x y Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( ) ( ) 2 2 1 5 1 5 ; ; , 4;4 2 2         − + − +     =                   x y Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 4 2 2 16 4  − + + − + = +   − + = +   x y y x y y x y y x y Lời giải: Từ phương trình (1) ta có 2 2 2 4 2 x y y x y y − + + − + = + RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 1) Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 ( ) 2 0 1 1 2 0 2 2 4 2 2 >   ⇔ − + = ⇔ =   − + + − + +    x y x y x y x y y y Thay 2 x y = vào phương trình (2) ta có 2 2 4 2x x x y + = + 2 4 4 2x x x x ⇔ + = + 4 4 2 8 0 x x x x ⇔ + − + − = Đặt 4 ( 0) t x t x = + > 2 2 2 0 0 ( ) =  ⇒ − = ⇔  =  t t t t loai Với 2 4 2 2 4 4 0 2 1 t x x x x y x = ⇒ + = ⇔ − + = ⇔ = ⇒ = Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ; ) (2;1) x y = Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia BA và trên cạnh BC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho BE BF = , gọi 12 29 ; 5 5 N       là giao điểm của 2 đường thẳng CE và AF, biết phương trình đường thẳng : 5 0 EF y − = và ( ) 3;4 B . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD. Lời giải: Dễ thấy / / EF BD (vì cùng tạo với AB góc 0 45 ). Khi đó: EF AC AF CE CB AB ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  ( do F là trực tâm ) Phương trình : 4 0 BD y − = , gọi ( ) ;4 I t ta có: IB IN = . Khi đó: ( ) ( ) 2 2 2 12 29 3 4 0 0;4 5 5 t t t I     − = − + − ⇔ = ⇒         Từ đó suy ra ( ) 3;4 D − khi đó phương trình AC là : 0 x = Gọi ( ) 0; A u ta có: ( ) ( ) ( ) 2 1 0;1 . 0 9 4 0 7 0;7 u A AB AD u u A = ⇒ = ⇔ − + − = ⇔  = ⇒     Vì A và B cùng phía với EF nên ta loại ( ) 0;7 A Khi đó: ( ) ( ) 0;1 ; 0;7 A C . Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) 0;1 ; 3;4 ; 0;7 ; 3;4 A B C D − là các điểm cần tìm. Ví dụ 8. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 4 4 2 4 6 4 1  − + + + = +  − −   + + − = + +  y x y y x y y y xy x y x x Lời giải ĐK : 1 1; ; 2 1 0 4 y x y y ≥ ≥ − − − ≠ Xét phương trình (1) ta có ( ) 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 y x y y x y y y − + + + = + − − ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 1 2 1 0 2 2 0 2 0 2 1 1 x y y y x y x y y x y y x x y > ⇔ + − + + − − =   ⇔ + − + = ⇒ + − = ⇔ = +   + + −    +16y +8x Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Thay 2 2 y x ⇔ = + vào phương trình 2 ta có ( ) 4 4 2 4 6 4 1 xy x y x x + + − = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 4 6 6 4 6 4 1 1 1 5 1 4 1 4 1 5 4 1 x x x x x x x x x x x ⇔ + + + = + + ⇔ + + + + + = + + + + + Xét hàm số ( ) 3 2 5 f t t t t = + + với 0 t > Ta có 2 3 2 5 0 t t + + > với 0 t ∀ > Suy ra hàm số đồng biến ( ) f t với 0 t ∀ > Mà ( ) ( ) 2 2 6 1 4 1 1 4 1 2 0 0 2 x y f x f x x x x x x y = ⇒ =  + = + ⇒ + = + ⇒ − = ⇔  = ⇒ =  Đối chiếu điều kiện ban đầu thấy thỏa mãn, vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2;6) và (0;2) Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của AB, N thuộc BD sao cho BN = 3ND, đường thẳng MC có phương trình 3 13 0 + − = x y và (2;2) N . Xác định toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD, biết điểm C có hoành độ lớn hơn 3. Lời giải: Gọi I là tâm của hình vuông và G BI CM = ∩ suy ra G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt 2 AB a = ta có: 2 2 5 3 3 a CG CM= = ; 2 2 BD a = . Khi đó 2 2 2 2 5 2 10 ; ; 3 2 6 2 a a a a GI IN GN CN CI IN= = ⇒ = = + = Do vâỵ   2 2 2 0 1 cos 45 2 . 2 GC CN GN GCN MCN GC CN + − = = ⇒ = Ta có  ( ) 5 .sin ; 5 10 NC GCN d N CM NC= = ⇒ = Gọi ( ) ( ) ;13 3 3 C t t t − > ta có 2 5 NC = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4;1 2 11 3 5 3 t C t t t loai = ⇒ ⇔ − + − = ⇔  =   . Vậy ( ) 4;1 C là điểm cần tìm. Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 1 2 3 4 1 2 6 3 2  − + + − + + = −   + − + + = + +   y x y x y x y y x y x x y x . Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ( ) 2 2 1 2 2 2 1 3 1 3 2 2 3 3 2 4 3  + = + + − + + − + +   + + = + +   x y x y x y x x y x x x y . Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong và trung tuyến qua đỉnh B là 1 2 : 2 0; : 4 5 9 0 d x y d x y + − = + − = . Điểm 1 2; 2 M       thuộc cạnh AB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 15 . 6 R = Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình thoi ABCD có phương trình đường chéo : 2 4 0 BD x y + − = , gọi I là điểm thuộc đường chéo BD, đường tròn ( ) C tâm I đi qua A và C cắt các đường thẳng AB và AD lần lượt tại ( ) 3; 3 E − và 23 9 ; 5 5 F       .Tìm toạ độ các đỉnh của hình thoi và viết phương trình đường tròn ( ) C biết C có tung độ dương. Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 2 4 3 1 1 3 4 3 1  − + = + −   − − = + −   x y x y x y y x x x Lời giải: ĐK: 1 4; 0 y x − ≤ ≤ > Từ phương trình (1) ta có 2 4 3 1 1 3 x y x y x − + = + − ( ) 2 4 0 3 1 0 1 0 1 1 x y x x y y x x y >   ⇔ − + + = ⇒ − + = ⇒ = −   + +    Thay 2 1 y x = − vào phương trình (2) ta có: 4 3 1 y y x x x − − = + − 2 5 3 1 1 x x x x x − ⇔ − − = + − ( ) 2 2 0 2 2 2 0 2 3 1 5 x x x x x y x > +   ⇔ − + + + = ⇒ = ⇒ =   + −    Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ) ; (2;3) =x y Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 3 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 9 3 1 2  + − + + = + +   − + = +   x x y xy y x y x x y Lời giải: ĐK: 2 4 0; 2 x y x − + ≥ ≥ Từ phương trình (1) ta có 3 2 2 2 2 4 2 4 2 2 x x y xy y x y + − + + = + + ( ) 2 2 0 1 2 2 0 2 2 4 2 x y x y x y x y >   ⇔ − + + = ⇒ =   − + +    RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 2) Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Thay 2 x y = vào phương trình (2) ta có 2 2 9 3 1 2 x x y − + = + ( ) ( ) 2 2 2 2 4 3 1 9 1 0 4 12 8 9 1 1 0 1 2 3 2 0 2 4 9 3 2 4 0 9 1 1 4 0, (3) 1 1 ⇔ − − + − = ⇔ − + + − + − =  = ⇒ =  − + = ⇔   = ⇒ =     ⇔ − + + = ⇔    − − −   + =  − − −   y y y y y y y y x y y y x y y y y y y Xét phương trình (3) ta có 9 4 0 1 1y y + = − − − Đặt 2 2 9 1 4 0 4 4 9 0 t y t t t t = − ⇒ + = ⇔ − + = − do 0 ∆ < nên phương trình (3) vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là ( ) { } ; (2;1);(4;2) =x y Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn ( ) ( ) 2 2 : 1 25 C x y − + = tâm I, trung tuyến AE và đường cao CD cắt đường tròn (C) lần lượt tại điểm thứ 2 là ( ) 2; 4 M − − và ( ) 4; 4 N − . Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC và viết phương trình đường tròn ( ) C biết B có tung độ âm. Lời giải: Do tam giác ABC cân nên tâm I của đường tròn ( ) C thuộc trung tuyến AE. Do I là trung điểm của AM nên ( ) 4;4 A Phương trình đường thẳng AM: 4 3 4 0 x y − − = . Gọi H AM CD = ∩ là trực tâm tam giác ABC . Ta có :   BAE BCD = ( cùng phụ với góc  ABC ) do đó   BN BM = Khi đó : BN BM = , lại có IN IM = nên IB là trung trực của MN Phương trình IB là: ( ) ( ) 2 1 1; 25 1; 5 x B t t B = ⇒ ⇒ = ⇒ − . Điểm C đối xứng với B qua AM nên 19 7 ; 5 5 C   − −     Đáp số: ( ) ( ) 19 7 4;4 ; 1; 5 ; ; 5 5 A B C   − − −     là các điểm cần tìm. Ví dụ 8. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 2 4 2 5 4 2 2 3 3 6 5 2 1 2 2 2 2 1 0  + + = + + +   − − − − + − − − =   x x y y x y x x x x Lời giải ĐK: 2 3 0; 2 y x x + + ≥ ≥ Xét phương trình (1) ta có 2 2 5 4 2 2 3 x x y y x + + = + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 2 1 2 2 3 0 1 1 2 0 1 2 2 3 x y x y x x y y x x y x >   ⇔ + − + + − + + =       ⇔ + − + = ⇒ = +     + + + +    Thay ( ) 2 1 y x = + vào phương trình (2) ta có 4 3 6 5 2 1 2 2 2 2 1 0 y x x x x − − − − + − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 1 3 6 5 2 1 2 2 2 2 1 0 2 5 2 2 2 2 1 5 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x ⇔ + − − − + + − − − = ⇔ − + − + − = − + − + − Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Xét hàm số 2 ( ) 5 2 f t t t t = + + với 0 t > Ta có 1 '( ) 2 5 0 f t t t = + + > 0 t ∀ > , suy ra hàm số ( ) f t đồng biến 0 t ∀ > Mà ( ) ( ) 2 1( ) 2 2 1 2 2 1 6 5 0 5 36 =  − = + ⇒ − = − ⇔ − + = ⇔  = ⇒ =  x loai f x f x x x x x x y Đối chiếu điều kiện ban đầu thấy thỏa mãn , vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( ) ; (5;36) =x y Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại C có phân giác trong AD với 7 7 ; 2 2 D   −     thuộc BC. Gọi E, F là 2 điểm lần lượt thuộc các cạnh AB và AC sao cho AE = AF. Đường thẳng EF cắt BC tại K. Biết 3 5 ; 2 2 E   −     , F có hoành độ nhỏ hơn 3 và phương trình đường thẳng : 2 3 0 AK x y − − = . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. Lời giải: Gọi I là giao điểm của AD và EF . Do tam giác AEF cân tại A có phân giác AI nên AI là phân giác đồng thời là đường cao và trung tuyến. Ta có: EK AD DF AK AC KD ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  . Do đó đương thẳng DF qua 7 7 ; 2 2 D −       và vuông góc với AK. Ta có 7 : 2 0 2 DF x y + − = . Vì F thuộc DF nên ta gọi 7 ; 2 2 F t t   −     Mặt khác I là trung điểm của EF nên 2 3 1 2 ; 4 2 t t I + −       Ta có: 3 2 11 2 ; 3 , ; 4 4 4 − −     = − + = − +           t t IE t ID t Khi đó, ( ) ( ) ( ) ( ) . 0 3 2 11 2 16 3 4 0 IE ID t t t t = ⇔ − − + − − =   ( ) ( ) 2 9 9 11 ; 2 2 2 20 140 225 0 5 5 3 ; 2; 2 2 2 2 t F loai t t t F I  −   = ⇒       ⇔ − + = ⇔  −   = ⇒ ⇒ −       PT đường thẳng ( ) 0 1 : 0 1; 1 2 3 0 1 x y x AD x y A AD AK A x y y + = =   + = ⇒ = ∩ ⇒ ⇔ ⇒ −   − − = = −   Từ đó ta có : 3 2 0, :3 2 0, :3 14 0 AF x y AE x y BC x y + + = + − = − − = Ví dụ 10. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình ( ) 2 2 2 3 4 4 1 4 3 12 3 2 1 −  − + + =  +    + + = + + −   y x y x x y x y x x Lời giải: ĐK: 0; 0 y x > > Xét PT(1): 2 2 3 4 4 1 y x y x x − − + + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 1 4 4 2 0 1 2 4 4 2 0 x x x y x y x x y x x y ⇔ + + − + + + − = ⇔ + + − + + + − = Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 4 4 4 4 1 1 2 0 2 0 2 4 4 2 4 4 >   + + − + + + ⇔ + + − = ⇔ − + =     + + + + + + + +    x x y x x x x y x y x y x x y x 2 2 0 ⇒ − = ⇔ = x y y x . Thế 2 y x = vào PT(2) ta được: ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 3 3 12 2 1 3 3 12 4 4 1 x x x x x x x x x x x + + = + + − ⇔ + + = + + + − Do 0 x = không là nghiệm của PT(2) nên chia cả hai vế của PT cho x ta được: 12 4 4 4 4 4 3 3 4 1 3 3 4 1 x x x x x x x x x x x x       + + = + + + − ⇔ + + = + + + −             Đặt ( ) 2 2 4 4 4 1, 0 1 1 = + − > ⇒ = + − ⇒ + = + t x t t x x t x x x ⇒ PT(2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 0 2 3 1 3 1 4 3 5 6 0 2 3 3 0 − = ⇔ =  ⇔ + + = + + ⇔ − + − = ⇔ − − + ⇔  − + =  t t t t t t t t t t t t t vn Với 2 1 1 4 4 2 1 2 1 4 5 4 0 4 16 x y t x x x x x y x x = ⇒ =  = ⇒ + − = ⇔ + − = ⇔ − + =  = ⇒ =  Vậy hệ phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm là ( ) ( ) ( ) { } ; 1;1 , 4;16 =x y Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 5 2 4 9 6 2 2 2 4 14 20  + − = + + + +   + + + = − + −   x x y y x y x x x y y x x Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ( ) 2 2 2 2 2 6 8 6 2 1 3 6 1  + + − + = + +   + + + + + = + +   x y x xy y x y xy x y x x y xy x Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD trên các cạnh AD, AB lấy lần lượt các điểm , E F sao cho 3 AB AE AF= = , K là hình chiếu của F trên CD, đường thẳng AK cắt đường thẳng BE tại 6 2 ; 5 5 H       , biết điểm ( ) 1;2 F . Tìm toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD. Ví dụ 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABM, điểm 5 1 ; 3 3 D   −     là điểm thuộc đoạn MC sao cho GA GD = . Tìm toạ các đỉnh của tam giác ABC biết A có hoành độ không dương và đường thẳng AG có phương trình 2 0 y + = . Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 2 4 3 2 3 2 3 2 3 3 4  − + + − = + +  +   + + = + −  y y xy x y y y y x xy x Lời giải: Từ phương trình (1) ta có 2 4 3 2 3 2 y y xy x y y y − + + − = + + + ( ) 0 1 0 3 3 x y y x y x y >   ⇔ − + = ⇒ =     + + +    hay 2 y x = Thay 2 y x = vào phương trình (2) ta có 3 6 3 2 5 4 y x xy y x + + = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 1 3 1 4 x x x x x x ⇔ + + + − = + + + Đặt 2 4; 0 A x x A = + + > và 1; 0 B x B = + > 2 3 A B AB ⇒ + = ( ) ( ) 2 2 4 4 9 4 0 ⇔ + + = ⇔ − − = A AB B AB A B A B 2 0 2 4 1( ) 0 0 4 4 4 4 3 ( )  = ⇔ + + = +  ⇔ = ⇒ =   = ⇔ + + = + ⇔   = −   A B x x x vn x y A B x x x x loai Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ) ; (0;0) =x y Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 3 2 5 1 2 11 7 x xy x x x y x y y  − + + + = +   − + =   Lời giải: RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 3) Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 ĐK: 2 5 0 0 0 11 x y x y  − + ≥  ≥   ≤ ≤  Từ PT đầu ta có 3 2 3 2 5 1 2 5 2 1 x xy x x x y x xy x x y x − + + + = + ⇔ − + − = − + ( ) 2 3 2 2 3 2 3 2 1 1 1 5 1 5 1 x x y x xy x y x y x x xy x x y x x xy x x y x − + − + − − − − ⇔ = ⇔ = − + + + + − + + + + ( ) 2 2 3 2 1 0 1 1 5 1 y x x y x L x xy x x y x  − − =  − ⇔ ⇒ = +  =  − + + + +  Thay vào PT dưới ta có ( ) 2 2 2 2 11 1 7 1 10 6 0 x x x x x x − + + = + ⇔ − + − = Đặt: ( ) ( )( ) 2 2 2 2 3 3 10 6 4 4 6 4 4 10 11 t x y t x x t t x t t t t t t x y = ⇒ = ± ⇒ =  = − ⇒ − = ⇒ − = ⇔ + − = ⇔  = ⇒ = ± ⇒ =  Kết hợp ĐK ta có: ( ) ( ) ( ) { } ; 3;10 , 10;11 =x y Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác ABC vuông tại B có phân giác trong AD với 15 1 ; 2 2 D       thuộc BC .Gọi E, F là 2 điểm lần lượt thuộc các cạnh AB và AC sao cho AE AF = . Đường thẳng EF cắt BC tại K. Biết điểm 11 3 ; 2 2 F       , E có tung độ dương và phương trình đường thẳng : 2 1 0 AK x y − + = . Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC. Lời giải: Gọi I là giao điểm của AD và EF . Do tam giác AEF cân tại A có phân giác AI nên: AI là phân giác đồng thời là đường cao và trung tuyến. Ta có: KE AD DE AK AB KD ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  . Do đó đương thẳng DE qua 15 1 ; 2 2 D       và vuông góc với AK. Khi đó ta có phương trình 31 : 2 0 2 DE x y + − = .Vì E thuộc DE nên ta gọi 31 ; 2 2 E t t   −     Dễ thấy ( ) 2 2 15 15 2 5 2 DE DF t t   = ⇔ − + − =     ( ) ( ) ( ) 2 17 17 3 ; 2 2 2 2 15 4 13 13 5 ; 6;2 : 8 0 2 2 2 t E loai t t E I AD x y    = ⇒ −       ⇔ − = ⇔    = ⇒ ⇒ ⇒ + − =       Khi đó ( ) 5;3 :3 18 0; : 3 14 0; :3 22 0 A AD AK A AC x y AB x y BC x y = ∩ ⇒ ⇒ + − = + − = − − = Do vậy ( ) ( ) 20 5;3 ; 8;2 ; ; 2 3 A B C   −     là toạ độ các điểm cần tìm. Ví dụ 8. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( ) 3 3 4 3 1 2, 2 1 5 7 6 2 10. x y x y xy x y x y x  + + + + =   + + − + − = +   Lời giải. Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Điều kiện 1; 7 x y ≥ − ≤ . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với ( ) ( ) 3 3 3 3 2 2 x y xy x y x y x y x y + + + + + = ⇔ + + + = . Đặt ( ) ( ) 3 2 2 0 1 2 0 1 1 x y t t t t t t t y x + = ⇒ + − = ⇔ − + + = ⇔ = ⇒ = − . Phương trình thứ hai trở thành ( ) 4 2 1 5 6 6 1 10 + + + + + = + x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 3 2 3 3 2 1 4 5 6 15 6 6 9 2 1 2 5 6 3 3 3 3 3 2 3 5 3 3 1 2 1 2 6 3 3 2 5 1 2 1 1 2 6 3 ⇔ + − + + − = − − − ⇔ + − + + − = − + + + − −   ⇔ + = − + +   + + + + =   ⇔  + = + +  + + + +  x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Để ý rằng 2 5 2 5 2, 1 2 1 2 6 3 5 3 x x x + ≤ + < ∀ ≥ − + + + + + và ( ) 3 1 2 2, 1 x x + + ≥ ∀ ≥ − . Do đó ( ) 3 2 5 1 2, 1 1 2 6 3 x x x x + < + + ∀ ≥ − ⇒ + + + + (1) vô nghiệm. Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm duy nhất 3 x = , hệ có nghiệm 3; 2 x y = = − . Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có D(5; 1). Gọi M là trung điểm BC và N thuộc AC sao cho AC = 4AN. Biết rằng MN: 3x − y − 4 = 0 và y M > 0. Tìm tọa độ đỉnh C Lời giải: Gọi I là tâm hình vuông ABCD ta có:   1 tan tan 2 NDI MDC = = Do vậy    0 45 NDM IDC ICM= = = do đó tứ giác NDCM là tứ giác nội tiếp suy ra  0 90 DNM DNM = ⇒ ∆ vuông cân tại N. Phương trình đường thẳng : 3 8 0 DN x y + − = ( ) 2;2 N DN MN N⇒ = ∩ ⇒ , gọi ( ) ;3 4 M t t − ta có: ( ) 2 2 3;5 MN ND M= ⇒ Dễ thấy 2 KD KM = −   ( với K là trọng tâm tam giác BCD) Khi đó ( ) ( ) 5 2 3 11 11 ; 3 3 1 2 5 K K K K x x K y y − = − −    ⇒    − = − −     Lại có: ( ) 5 5 5 5 5 11 11 ; ; 5;5 4 4 3 3 4 3 3     = ⇒ = − ⇔ − − = − − − ⇒           C C KN KN KC x y C KC Ví dụ 10. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 2 1 2 16 42 1 2 3  + + + + + − =   − + = + −   x x x y y y x y x Lời giải: ĐK: 3 2 x ≥ Xét phương trình (1) ta có ( ) ( ) 2 2 1 3 2 1 x x x y y y + + + + + − = [...]... đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 6) Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1: Giải bất phương trình ( x ∈ ») x3 − 8 ≤ x 3 − 2 x 2 − 9 + x + 1 Ví dụ 2: Giải bất phương trình 10 x 2 − 50 x − 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 2 − 3 x − 5 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD , gọi E là trung điểm... trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 8) Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2 x3 − 1 + 3x 2 − 3 ≥ 4 x3 + 6 x 2 − 8 ( x ∈ » ) Ví dụ 2: Giải bất phương trình 4 x 2 + 13x − 173 + 6 x − 5 ≥ 2 x 2 − x − 1 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm ( x ∈ ») D (... thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 9) Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2 x − 3 + 3 x2 + 2 x − 8 10 x 2 + 19 x + 3 + 2 x 2 + 2 x − 8 ≥1 ( x ∈ R) x2 + x − 6 + 7 x + 1 − 6 ( x2 + 7 x + 4) ≤0 x + 2 − 2 x2 + 8 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có H (1; 2... KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 5) Thầy Đặng Việt Hùng  x3 + 2 xy 2 = 3 y 3  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  2 2 2  y + x −1 + − x + y + 1 = x − y + 2   x + y +1 + x + 2 y +1 = 1− x − y + y +1  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  3 2 3 2  3 x + 2 x + 2 + 3 y + y − 2 y − 1 = 2 + 2 x − 2 xy  Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy. .. các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Kết hợp với (*) ta được x = 2 ± 5 thỏa mãn Đ/s: x = 2 ± 5 Ví dụ 7 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có B ( 2;5 ) , N là điểm thuộc cạnh CD sao cho DN = 2 NC , gọi K là trọng tâm tam giác ABD, biết phương... 6 1 37 − 1 ≤x≤ 3 6 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Ví dụ 11 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có ( C ) là đường tròn tâm  32 11  A bán kính AB, điểm K thuộc ( C ) , gọi E (1; 4 ) , F  ;  lần lượt là chân đường cao hạ từ... RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 4) Thầy Đặng Việt Hùng  x + 2 y + 2 2x + y + x − y = 3 3 y  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  x2 − y + 1 1− y + x =  2 y 2 − 3x + 2   x3 + x 2 + 2 x = y 3 + y 2 + 2 y + xy ( x − y )  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình   9 − x + 2 x − y + x ( y + 1) = 3  Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho... 3 x ≥ 0  Bất phương trình đã cho tương đương với Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY x3 + 4 x 2 + 10 x + 20 ≤ x3 + 4 x − 27 + 4 www.Moon.vn ( x − 3) ( x2 + 3 x + 9 ) x ⇔ 4 x 2 + 6 x + 47 ≤ 4 x ( x − 3) x2 + 3 x + 9 ⇔ x 2 − 3x + 3 ( x 2 + 3 x + 9 ) ≤ 4 x2 − 3x x2... trình thứ nhất trở thành 4 3 − 2x + 4 4x − 3 = 2 4 x Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY Điều kiện 3 3 ≤ x ≤ Phương trình đã cho trở thành 4 2 4 www.Moon.vn 3 3 −2 + 4 4− = 2 x x 3 3 − 2 = a; 4 4 − = b, ( a ≥ 0; b ≥ 0 ) , để ý a + b = 2; a ≥ 0; b ≥ 0 ⇒ a; b ∈ [ 0; 2]... tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A ( −2; −1) , trực tâm H ( 2;1) và BC = 2 5 Gọi D, E là chân đường cao hạ từ các đỉnh B, C Biết trung điểm M của BC nằm trên đường thẳng d : x − 2 y − 1 = 0 và DE đi qua điểm N ( 3; −4 ) Viết phương trình BC Lời giải: Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và . 4 2 x y y x y y − + + − + = + RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 1) Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện. =   − + +    RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 2) Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện. = +   − + =   Lời giải: RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 3) Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện