Đề số 14 ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút I. Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau: a) n n n n 3 4 1 lim 2.4 2 − + ÷ ÷ + b) ( ) x x x x 2 lim →+∞ − − Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 3: x khi x x f x khi x x 2 3 3 9 ( ) 1 3 12 − < − = ≥ Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) x x y x 2 2 6 5 2 4 − + = + b) x x y x x sin cos sin cos + = − Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có AB = BC = a, AC = a 2 . a) Chứng minh rằng: BC ⊥ AB′. b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh (BC′M) ⊥ (ACC′A′). c) Tính khoảng cách giữa BB′ và AC′. II. Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau: 1. Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Tính giới hạn: n n n 2 1 2 lim 3 + + + + . Câu 6a: (2,0 điểm) a) Cho hàm số y x x2010.cos 2011.sin= + . Chứng minh: y y 0 ′′ + = . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x x 3 2 3 2= − + tại điểm M ( –1; –2). 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Tìm x để ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng, với: a x10 3 = − , b x 2 2 3= + , c x7 4= − . Câu 6b: (2,0 điểm) a) Cho hàm số: x x y 2 2 2 2 + + = . Chứng minh rằng: y y y 2 2 . 1 ′′ ′ − = . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x x 3 2 3 2= − + , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y x 1 2 9 = − + . Hết Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1 Đề số 14 ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Câu Ý Nội dung Điểm 1 a) 3 1 1 4 3 4 1 1 4 lim lim 2 2.4 2 1 2 2 n n n n n n n − + ÷ − + = = − ÷ ÷ + + ÷ 1,00 b) ( ) 2 2 1 1 lim lim lim 2 1 1 1 x x x x x x x x x x x →+∞ →+∞ →+∞ − − − − = = = − + − + 1,00 2 x khi x x f x khi x x 2 3 3 9 ( ) 1 3 12 − < − = ≥ x x x x f x x x 2 3 3 3 3 1 1 lim ( ) lim lim 3 6 9 − − − → → → − = = = + − 0,25 x x f x f x 3 3 1 1 lim ( ) lim (3) 6 12 + + → → = = = 0,50 ⇒ f x( ) liên tục tại x = 3 0,25 3 a) x x x x y y x x 2 2 2 2 6 5 4 16 34 ' 2 4 (2 4) − + + − = ⇒ = + + 1,00 b) x x x x x x x y y y x x x x x x 2 2 2 sin cos (cos sin ) cos2 sin2 cos2 1 ' ' sin cos (sin cos ) (sin cos ) + − − − − − = ⇒ = ⇒ = − − − 1,00 4 0,25 a) Tam giác ABC có 2 2 2 2 2 2 ( 2)AB BC a a AC+ = = = ⇒ ∆ABC vuông tại B 0,25 , '( ) (AA' ' ) 'BC AB BC BB gt BC B B BC AB⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 0,50 b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh (BC′M) ⊥ (ACC′A′). *) Tam giác ABC cân tại B, MA = MC , '( ' ( )) (AA' ' )BM AC BM CC CC ABC BM C C⇒ ⊥ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 0,50 ( ' ) ( ' ) ( ' ')BM BC M BC M ACC A⊂ ⇒ ⊥ 0,50 c) Tính khoảng cách giữa BB′ và AC′. 0,50 2 BB′ // (AA′C′C) ⇒ d BB AC d BB AA C C d B AA C C( , ) ( ,( )) ( ,( )) ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = = AC a BM AA C C d B AA C C BM 2 ( ) ( ,( )) 2 2 ′ ′ ′ ′ ⊥ ⇒ = = = 0,50 5a Tính giới hạn: 2 1 2 lim 3 n I n n + + + = + . Viết lại n n n n n n n n n 2 1 2 3 ( 1) 1 2 ( 3) 2( 3) 3 + + + + + + = = + + + 0,50 n n I n n 1 1 1 1 lim lim 6 2 6 2 2 + + = = = + + 0,50 6a a) Cho hàm số y x x2010.cos 2011.sin= + . Chứng minh: y y 0 ′′ + = . y x x2010sin 2011cos ′ = − + , " 2010cos 2011siny x x= − − 0,50 " 2010cos 2011sin 2010cos 2011sin 0y y x x x x+ = − − + + = 0,50 b) Viết PTTT của đồ thị hàm số y x x 3 2 3 2= − + tại điểm M ( –1; –2). y x x k y 2 3 6 ( 1) 9 ′ ′ = − ⇒ = − = 0,50 Phương trình tiếp tuyến là y x9 7= + 0,50 5b Tìm x để ba số a, b, c lập thành CSC, với: a x10 3= − , b x 2 2 3= + , c x7 4= − . Có a c b x x 2 2 17 7 4 6+ = ⇔ − = + 0,50 x x x x 2 1 4 7 11 0 11 4 = ⇔ + − = ⇔ − = 0,50 6b a) Cho hàm số: x x y 2 2 2 2 + + = . Chứng minh rằng: y y y 2 2 . 1 ′′ ′ − = . y x y' 1 " 1= + ⇒ = 0,50 y y x x x x x y 2 2 2 2 2 . " 1 ( 2 2).1 1 2 1 ( 1) ′ − = + + − = + + = + = 0,50 b) Viết PTTT của đồ thị hàm số y x x 3 2 3 2= − + , biết TT vuông góc với đường thẳng d: y x 1 2 9 = − + . *) Vì TT vuông góc với d: y x 1 2 9 = − + nên hệ số góc của TT là k = 9 0,25 Gọi x y 0 0 ( ; ) là toạ độ của tiếp điểm. y x k x x x x 2 0 0 0 0 0 ( ) 3 6 9 0 1, 3 ′ = ⇔ − − = ⇔ = − = 0,25 Với x y PTTT y x 0 0 1 2 : 9 7= − ⇒ = − ⇒ = + 0,25 x y PTTT y x 0 0 3 2 : 9 25= ⇒ = ⇒ = − 0,25 3 . . . . . . . 1 Đề số 14 ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 20 10 – 2 011 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Câu Ý Nội dung Điểm 1 a) 3 1 1 4 3 4 1 1 4 lim lim 2 2.4 2 1 2 2 n n n n n n. Đề số 14 ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 20 10 – 2 011 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút I. Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2, 0 điểm) Tìm các giới hạn sau: a) n n n n 3 4 1 lim 2. 4 2 . = . y x x2010sin 20 11cos ′ = − + , " 20 10cos 20 11siny x x= − − 0,50 " 20 10cos 20 11sin 20 10cos 20 11sin 0y y x x x x+ = − − + + = 0,50 b) Viết PTTT của đồ thị hàm số y x x 3 2 3 2= − +