Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Nghệ An Năm học: 2009-2010 Môn: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I: (3,0đ). Cho biểu thức A = 1 1 1 1 x x x x x + + 1. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 2. Tính giá trị biểu thức A khi x = 9/4. 3. Tìm tất cả các giá trị của x để A <1. CâuII: (2,5đ). Cho phơng trình bậc hai, với tham số m: 2x 2 (m+3)x + m = 0 (1). 1. Giải phơng trình (1) khi m = 2. 2. Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: x 1 + x 2 = 5 2 x 1 x 2 . 3. Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 2 x x Câu III: (1,5đ). Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m. Tính diện tích thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi. Câu IV: (3,0đ). Cho đờng tròn (O;R), đờng kính AB cố định và CD là một đờng kính thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến của đờng tròn (O;R) tại B cắt các đờng thẳng AC và AD lần lợt tại E và F. 1. Chứng minh rằng BE.BF = 4R 2 . 2. Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đờng tròn. 3. Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh rằng tâm I luôn nằm trên một đờng thẳng cố định. Gợi ý Đáp án Câu I: 1. Đkxđ: x 0, x 1 A = 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 x x x x x x x x x x x x x x + + = = + + + 2. Với x = 9/4 => A = 3 2 3 3 1 2 = . 3. Với A<1 => 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 x x x x x x x x x + x<1 Vậy để A < 1 thì 0 x < 1. Câu II: 1. Với m = 2 thì phơng trình trở thành: 2x 2 5x + 2 = 0 Phơng trình có hai nghiệm là: 2 và 1/2. 2. Ta có = (m + 3) 2 4.2.m = m 2 - 2m + 9= (m - 1) 2 + 8 => >0 với mọi m => phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Theo Viét ta có: 1 2 1 2 3 2 2 m x x m x x + + = = Mà x 1 + x 2 = 5 2 x 1 x 2 =>2(m+3) = 5m m = 2. 3. Ta có (x 1 x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 4x 1 .x 2 = (m + 3) 2 :4 2m = (m 2 - 2m + 9):4 = 2 ( 1) 8 2 4 m + 1 2 2x x Vậy MinP = 2 m =1 Câu III: Gọi chiều dài của thửa ruộng là x(m) Chiều rộng của thửa ruộng là y(m) ( x>45, x>y) => 45 3 2 x y x y x y = + = + Giải hệ ta đợc x = 60, y = 15 (thoả mãn) Vậy diện tích của thửa ruộng là: 60.15 = 900(m 2 ). Câu IV: a. Ta có tam giác AEF vuông tại A (Góc A là góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) Mà AB là đờng cao. => BE.BF = AB 2 (Hệ thức lợng trong tam giác vuông) => BE.BF = 4R 2 ( Vì AB = 2R) b. Ta có góc CEF = góc BAD (Cùng phụ với góc BAE) Mà góc BAD = góc ADC ( Tam giác AOD cân) => Góc CEF = góc ADC => Tứ giác CEFD nội tiếp đờng tròn. c. Gọi trung điểm của EF là H. => IH // AB (*) Ta lại có tam giác AHE cân tại H (AH là trung tuyến của tam giác vuông AEF, góc à A = 90 0 )=> ã ã HAC HEA= (1) Mà ã ã HEA BAC+ = 90 0 (2) Mặt khác ã BAC = ã ACO ( AOC cân tại O) (3) Từ (1), (2) và (3) => AH CD Nhng OI CD => AH//OI (**) O d H I F E D C B A Tõ (*) vµ (**) => AHIO lµ h×nh b×nh hµnh => IH = AO = R (kh«ng ®æi). Nªn I c¸ch ®êng th¼ng cè ®Þnh EF mét kho¶ng kh«ng ®æi =R R => I thuéc ®êng th¼ng d // EF vµ c¸ch EF mét kho¶ng =R. . Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Nghệ An Năm học: 2009-2 010 Môn: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I: (3,0đ) (Góc A là góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) Mà AB là đờng cao. => BE.BF = AB 2 (Hệ thức lợng trong tam giác vuông) => BE.BF = 4R 2 ( Vì AB = 2R) b. Ta có góc CEF = góc BAD (Cùng phụ với góc