THỦ THUẬT SO SÁNH CÁC PHÂN SỐ Khi giảng dạy phần phân số cho học sinh tiểu học, có thể nói tất cả giáo viên đều cho rằng đây là phần khó nhất trong chương trình tiểu học. Trong những năm qua tôi tham gia dạy lớp 4, tôi thấy rằng nếu mỗi giáo viên biết hướng dẫn học sinh nắm vững các thủ thuật giải toán hay nói cách khác là những mẹo nhỏ khi giải toán thì khi gặp phải những bài toán đó thì hầu hết các em đều giải tốt. Điều quan trọng là khi gặp bài toán so sánh dạng nào thì ta sử dụng phương pháp nào cho phù hợp và cho có hiệu quả. Trước hết, chúng ta cùng điểm lại các cách so sánh phân số học trong chương trình lớp 4 : - So sánh với đơn vị (so sánh với 1). - So sánh các phân số với nhau ( gồm so sánh hai phân số cùng tử số và so sánh hai phân số khác mẫu số). Tiếp theo, chúng ta cùng điểm lại các phương pháp thường sử dụng để dạy so sánh phân số cho học sinh tiểu học. - Phương pháp quy đồng tử số hoặc mẫu số. - Phương pháp bắc cầu (so sánh với số trung gian hay so sánh với 1) - Phương pháp phần bù. - Phương pháp phần thừa. - Phương pháp rút gọn. - Phương pháp thực hiện phép chia. Sau khi nắm được các cách so sánh phân số và các biện pháp dùng để so sánh phân số, giáo viên cần giúp cho học sinh biết vận dụng từng phương pháp so sánh theo thừng dạng bài sao cho phù hợp để đạt hiệu quả cao (tốn ít thời gian nhưng chính xác). Đây cũng là yêu cầu cần đạt đối với học sinh giỏi. Vì không phải bất kỳ học sinh nào cũng đều biết cách vận dụng cho thích hợp mà thông thường các em thường chỉ áp dụng ba cách so sánh phân số đã học trong chương trình cùng với cách quy đồng tử số hoặc mẫu số để so sánh phân số. Tuy nhiên cách làm này sẽ mất nhiều thời gian hơn. Bởi vậy, để cho học sinh giỏi nắm và so sánh các phân số một cách nhanh chóng và đạt hiệu quà, giáo viên cần hướng dẫn học sinh biết khi nào, dạng bài nào thì ta sử dụng phương pháp so sánh nào ? Dưới đây là những trường hợp để sử dụng từng phương pháp so sánh thích hợp : I. Sử dụng phương pháp bắc cầu : Ta sử dụng phương pháp bắc cầu để so sánh phân số trong các trường hợp sau : 1) Nhận thấy ở phân số thứ nhất có tử số bé hơn mẫu số và ở phân số thứ hai có tử số lớn hơn mẫu số thì ta cùng so sánh hai phân số đó với số trung gian là 1. Ví dụ : So sánh hai phân số 5 3 và 6 7 Nhận xét : Ta thấy : phân số 5 3 có tử số là 3 bé hơn mẫu số là 5 nên phân số 5 3 < 1 ; còn phân số 6 7 có tử số là 7 lớn hơn mẫu số là 6 nên phân số 6 7 > 1. Giải : Vì 5 3 < 1 mà 6 7 > 1 nên 5 3 < 6 7 Ghi chú : ở trường hợp này, học sinh có thể dùng cách quy đồng mẫu số hoặc tử số rồi so sánh vẫn được nhưng sẽ mất thời gian hơn, nhất là đối với những phân số như 379 245 và 675 789 , có thể dẫn đến quá trình quy đồng bị sai. Vì vậy, giáo viên nên khuyến khích học sinh sử dụng cách so sánh với 1.Mặc khác, để học sinh làm thành thạo dạng bài tập này thì giáo viên nên cho học sinh làm các bài tập trên với yêu cầu không quy đồng mẫu số hoặc tử số, hãy so sánh các cặp phân số sau : 1 2) Nhận thấy tử số phân số thứ nhất bé hơn tử số phân số thứ hai mà mẫu số của phân số thứ nhất lớn hơn mẫu số của phân số thứ hai thì ta so sánh với phân số trung gian là phân số có tử số bằng tử số của phân số thứ nhất (tử số bé hơn), có mẫu số bằng mẫu số của phân số thứ hai (mẫu số bé hơn). Ví dụ : So sánh hai phân số 13 27 và 14 25 Nhận xét : Ta thấy : Tử số 13 < 14 ; còn mẫu số 27 > 25 nên ta so sánh 13 27 và 14 25 với phân số trung gian là 13 25 ( 13 25 có tử số bằng tử số phân số thứ nhất 13 27 và mẫu số bằng mẫu số của phân số thứ hai 14 25 - tức là lấy phân số 13 25 làm phân số trung gian). Giải : Vì 13 27 < 13 25 và 13 25 < 14 25 nên 13 27 < 14 25 3) Nhận thấy ở phân số thứ nhất a b có a = b × q + c và phân số thứ hai m n có n = n × q – c thì ta so sánh với số trung gian là q. Ví dụ : so sánh hai phân số 25 12 và 49 25 , ta thự hiện như sau : Nhận xét : phân số thứ nhất 25 12 có 25 = 12 × 2 + 1 và phân số thứ hai có 49 = 25 × 2 – 1 Giải : Ta có : 25 12 = 2 + 1 12 và 49 25 = 2 - 1 25 Vì 25 12 > 2 ; 49 25 < 2 nên 25 12 > 49 25 . 4) Nhận thấy ở phân số thứ nhất a b có b = a × q - c và phân số thứ hai m n có n = m × q + c thì ta so sánh với số trung gian là 1 q . Ví dụ : So sánh hai phân số 3 8 và 4 13 , ta làm như sau : Nhận xét : 8 = 3 × 3 – 1 và 13 = 4 × 3 + 1. Ta thấy phân số thứ nhất 3 8 có 8 = 3 × 3 – 1 và phân số thứ hai 4 13 có 13 = 4 × 3 + 1 nên ta so sánh hai phân số trên với phân số 1 3 (tức là lấy phận số 1 3 làm phân số trung gian). Giải Ta thấy 3 8 > 3 9 ; mà 3 9 = 1 3 nên 3 8 > 1 3 ; 4 13 < 4 12 ; mà 4 12 = 1 3 nên 4 13 < 1 3 . Do đó 3 8 > 4 13 II. Sử dụng phương pháp phần bù : Ta sử dụng phương pháp phần bù để so sánh hai phân số trong các trường hợp sau : 1) Nhận thấy mẫu số lớn hơn tử số và hiệu của mẫu số với tử số của cả hai phân số đều bằng nhau thì ta tìm phần bù với 1.( Tức là cả hai phân số đều có tử số nhỏ hơn mẫu số và hiệu giữa hai mẫu số và tử số trong cùng một phân số cũng bằng 1 hay nói cách khác là các phân số đều nhỏ hơn 1 và hiệu giữa hai mẫu số và tử số trong cùng một phân số cũng bằng 1). Ví dụ 1: So sánh 9 8 và 6 5 , ta thực hiện như sau : 2 Nhận xét : Ta thấy 9 8 có 8 < 9 6 5 và có 5 < 6; đồng thời 8 – 9 = 5 – 6 Giải Ta có : 9 8 = 1 - 9 1 ; 6 5 = 1 - 6 1 . Vì 9 1 < 6 1 nên 9 8 > 6 5 Ví dụ 2: So sánh 2006 2007 và 2008 2009 ta thực hiện như sau : Nhận xét : Ta thấy 2006 2007 có 2006 < 2007 và 2008 2009 có 2007 < 2008 đồng thời 2007- 2006 = 2008 - 2007 Giải Ta có : 2006 2007 = 1 - 1 2007 ; 2008 2009 = 1 - 1 2009 Vì 1 2007 > 1 2009 nên 2006 2007 < 2008 2009 2) Nhân thấy phân số thứ nhất a b có b = a × q + c và phân số thứ hai m n có n = m × q + c thì ta tìm phần bù với 1 q .( Tức là cả hai phân số đều có tử số nhỏ hơn mẫu số và hiệu giữa hai mẫu số và tử số trong cùng một phân số đều bằng nhau nhưng lớn hơn 1 hay nói cách khác là các phân số đều nhỏ hơn 1 và hiệu giữa hai mẫu số và tử số trong cùng một phân số đều bằng nhau nhưng lớn hơn 1). Ví dụ : So sánh hai phân số 2 5 và 3 7 Nhận xét : Nhận thấy phân số thứ nhất 2 5 có 5 = 2 × 2 + 1 và phân số thứ hai 3 7 có 7 = 3 × 2 + 1 nên ta giải như sau Giải Ta có : 2 5 = 1 2 - 1 10 ; 3 7 = 1 2 - 1 14 ví 1 10 > 1 14 nên 2 5 < 3 7 . • Chú ý : Chúng ta sử dụng phương pháp phần bù để so sánh hai phân số trong trường hợp cả hai phân số đều nhỏ hơn 1. III. Sử dụng phương pháp phần thừa : Ta sử dụng phương pháp phần thừa để so sánh hai phân số trong các trường hợp sau : 1) Nhận thấy tử số lớn hơn mẫu số và hiệu của tử số và mẫu số của hai phân số đều bằng nhau thì ta tìm phần thứa với 1. Ví dụ : So sánh 13 10 và 29 26 ta làm như sau : Nhận xét : Ta thấy phân số 13 10 có 13 > 10 và phân số 29 26 cũng có 29 > 26 còn 13 -10 = 29 – 26 nên ta giải như sau : Giải Ta có : 13 10 = 1 + 3 10 ; 29 26 = 1 + 3 26 ; Vì 3 10 > 3 26 nên 13 10 > 29 26 2) Nhận thấy ở hai phân số có tử số đều lớn hơn mẫu số và lấy tử số chia cho mẫu số đều có thương bằng nhau và số dư cũng bằng nhau. Ví dụ : So sánh 43 14 và 10 3 ta làm như sau : 3 Nhận xét Ta thấy phân số 43 14 có 43 > 14 và phân số 10 3 có 10 > 3 còn 43 : 14 = 10 : 3 = 3 dư 1 nên ta giải như sau : Giải : Ta có : 43 14 = 3 + 1 14 ; 10 3 = 3 + 1 3 ; Vì 1 14 < 1 3 nên 43 14 < 10 3 • Chú ý : Chúng ta sử dụng phương pháp phần thừa để so sánh hai phân số trong trường hợp cả hai phân số đều lớn hơn 1. 3) Nhận thấy tử số của các phân số và mẫu số của các phân số lập thành dãy cách đều thì ta tìm phần thừa với phân số có tử số, mẫu số là khoảng cách của hai dãy số đó. Ví dụ : Hãy xếp các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn : 18 26 ; 20 30 ; 22 34 ; 24 38 ; 26 42 Nhận xét : - Xét tử số, ta thấy : 18 ; 20 ; 22 ; 24 ; 26 là dãy số cách đều. - Xét mẫu số, ta thấy : 26 ; 30 ; 34 ; 38 ; 42 là dãy số cách đều. Nên ta giải như sau : Giải : Ta thấy : 18 26 = 13 26 + 5 26 = 1 2 + 5 26 ; 20 30 = 15 30 + 5 30 = 1 2 + 5 30 ; 22 34 = 17 34 + 5 34 = 1 2 + 5 34 ; 24 38 = 19 38 + 5 38 = 1 2 + 5 38 ; 26 42 = 21 42 + 5 42 = 1 2 + 5 42 . Vì 5 26 > 5 30 > 5 34 > 5 38 > 5 42 nên dãy số trên được xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là : 18 26 ; 20 30 ; 22 34 ; 24 38 ; 26 42 . IV. Sử dụng phương pháp rút gọn : Khi ta thấy các phân số cần so sánh chưa tối giản và giữa tử số và mẫu số của các phân số đó có đặc điểm gần giống nhau. Ví dụ : So sánh hai phân số : 17345168 23466992 và 19191919 23232323 Nhận xét Giải : Ta có : 17345168 23466992 = 17345168:1020304 23466992:1020304 = 17 23 ; 19191919 23232323 = 19191919:1010101 23232323:1010101 = 19 23 Vì 17 23 < 19 23 nên 17345168 23466992 < 19191919 23232323 V. Sử dụng phương pháp phép chia : Ta sử dụng phương pháp phép chia trong những trường hợp sau : 1) Khi ta thấy các phân số đó không có mối liên hệ trong các trường hợp nêu trên. 2) Khi đề bài chỉ yêu cầu điền đúng sai dưới dạng trắc nghiệm mà không cần giải thích gì thêm thì ta sử dụng phương pháp này để đỡ tốn thời gian. Ví dụ : So sánh hiai phân số 3 7 và 4 11 , ta làm như sau : Nhận xét Giải : Ta có : 3 7 : 4 11 = 33 28 . Vì 33 28 > 1 nên 3 7 > 4 11 4 Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của tôi trong việc so sánh hai phân số bất kỳ theo cách nhanh nhất, hợp lí nhất. Rất mong được sự góp ý của các bạn đồng nghiệp. 5 . cách so sánh phân số học trong chương trình lớp 4 : - So sánh với đơn vị (so sánh với 1). - So sánh các phân số với nhau ( gồm so sánh hai phân số cùng tử số và so sánh hai phân số khác mẫu số) . Tiếp. phân số sau : 1 2) Nhận thấy tử số phân số thứ nhất bé hơn tử số phân số thứ hai mà mẫu số của phân số thứ nhất lớn hơn mẫu số của phân số thứ hai thì ta so sánh với phân số trung gian là phân số. ở phân số thứ hai có tử số lớn hơn mẫu số thì ta cùng so sánh hai phân số đó với số trung gian là 1. Ví dụ : So sánh hai phân số 5 3 và 6 7 Nhận xét : Ta thấy : phân số 5 3 có tử số là 3