Tiểu luận môn học phương pháp tính Phương pháp phi tuyến

Bộ môn: Toán ứng dụng GIẢNG VIÊN: NGUYỄN VĂN PHÚ NHÓM SINH VIÊN THỰC HIỆN: NHÓM 7: STT HỌ VÀ TÊN MSSV 1 Nguyễn Duy Cường 410BK023 2 Mai Phạm Hoàn Hảo 410BK076 3 Nguyễn Phước Huy 410BK101 4 Nguyễn Xuân Huy 410BK103 5 Trần Thiên Hương 410BK114 6 Đoàn Nhựt Nam 410BK180 7 Nguyễn Bảo Ngọc 410BK189 8 Nguyễn Quang Thái 410BK272 9 Nguyễn Hoàng Thút 410BK300 10 Trần Tấn Toàn 410BK324 11 Phạm Nguyễn Ái Vi 410BK372 Bộ môn: Toán ứng dụng Lớp: BK10HTĐ Nhóm 7 Trang 1 Bộ môn: Toán ứng dụng Mục lục: Lời nói đầu……………………………… 3 Lý thuyết………………………………….4 Đề các bài tập…………………………… 23 Bài giải các bài tập • Chương 1………………………… 26 • Chương 2………………………… 26 • Chương 3………………………… 29 • Chương 4………………………… 31 • Chương 5………………………… 36 • Chương 6………………………… 38 Nhóm 7 Trang 2 Bộ môn: Toán ứng dụng LỜI NÓI ĐẦU Phương pháp tính là bộ môn toán học có nhiệm vụ giải đến kết quả bằng số cho các bài toán, nó cung cấp các phương pháp giải cho những bài toán trong thực tế mà không có lời giải chính xác. Môn học này là cầu nối giữa toán học lý thuyết và các ứng dụng của nó trong thực tế. Bài tập lớn môn phương pháp tính này được biên soạn theo SGK bởi nhóm 7. Mục tiêu của bài tập lớn là giúp chúng em nắm thật chắc về lý thuyết và hiểu sâu về một số bài toán trong kỹ thuật. Giáo trình gồm 6 chương: Số gần đúng và sai số, Phương trình phi tuyến, Hệ phương trình đại số tuyến tính, Nội suy và xấp xỉ hàm, Đạo hàm và tích phân, Phương trình vi phân. Nhóm chúng em đã thống kê lại tất cả 6 chương lý thuyết đó và kèm theo những bài tập của mỗi chương. Nhóm chúng em chân thành cám ơn thầy Nguyễn Văn Phú đã tận tình giảng dạy và đóng góp nhiều ý kiến quý báu về bài tập lớn cho chúng em. Khi làm bài tập lớn này, chúng em đã cố gắng vận dụng những kiến thức mà thầy đã dạy và những kiến thức trong SGK. Tuy nhiên, trong quá trình biên soạn chúng em vẫn còn nhiều thiếu sót không thể tránh khỏi. Chúng em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy. Nhóm 7 Nhận xét của GVHD: Nhóm 7 Trang 3 Bộ môn: Toán ứng dụng Lý thuyết Chương 1: SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ 1.1 SAI SỐ: Độ sai lệch giữa giá trị gần đúng và giá trị chính xác được gọi là sai số. Số được gọi là số gần đúng của số chính xác , kí hiệu là ( được gọi là xấp xỉ ), nếu khác không đáng kể và được dùng thay cho trong tính toán. Đại lượng được gọi là sai số thật sự của số gần đúng . Trong thực tế, do không biết A, ta ước lượng một đại lượng dương càng bé càng tốt thỏa điều kiện. Được gọi là sai số tuyệt dối của số gần đúng a. Sai số tương đối của số gần đúng a so với A là dại lượng được tính theo công thức: Nếu không biết A, ta có thể thay bằng: Sai số tuyệt đối: Công thức tính sai số tương đối: Nhóm 7 Trang 4 Bộ môn: Toán ứng dụng 1.2 BIỂU DIỄN SỐ THẬP PHÂN Bất kì một số thập phân a nào cũng có thể viết dưới dạng: Làm tròn một số thập phân là bỏ một số các chữ số bên phải sau dấu chấm thập phân để được một số ngắn gọn hơn và gần đúng nhất so với . Giả sử ta muốn làm tròn dến chữ số thứ sau dấu chấm thập phân của số a. Ta thấy : và chọn số làm tròn là hoặc theo điều kiện: Để làm tròn đến chữ số thứ sau dấu thập phân, ta xét chữ số thứ là . Nếu ta tăng lên một đơn vị; còn nếu , giữ nguyên chữ số . Sau đó bỏ phần đuôi từ chữ số trở đi. Sai số thực của so với được gọi là sai số làm tròn: Khi đó sai số tuyệt đối của so với A được đánh giá như sau: Cho với sai số tuyệt đối . Trong cách viết thập phân của số , chữ số được gọi là đáng tin nếu: Trong trường hợp ngược lại, chữ số được gọi là không đáng tin. Nhóm 7 Trang 5 Bộ môn: Toán ứng dụng Chương 2: PHƯƠNG PHI TUYẾN 2.1) Đặt bài toán Mục đích của chương này là tìm nghiệm gần đúng của phương trình F(x) = 0 Với f(x) là là hàm liên tục trên một khoảng đóng hay mở nào đó Nghiệm của phương trình (2.1) là giá trị sao cho f() =0 Về mặt hình học.nghiệm của phương trình (2.1) là hoành độ giao điểm của đường công y = f(x) với trục hoành Khoảng cách li nghiệm: la khỏang đóng (đôi khi ta cũng xét khoảng mở (a;b)) mà trên đó tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình (2.1) Do chỉ xét nghiệm đơn của phương trình: Nếu f(x) liên tục trên khoảng cách li nghiệm thì f(a).f(b) < 0 Để tìm nghiệm của phương trình 2.1 ta tiến hành theo hai bước: Bước1: tìm tất cả các khoảng cách li nghiệm của phương trình (2.1). Bước2: trong tương khoảng cách li nghiệm, tìm nghiệm gần đúng của phương trình bằng một phương pháp nào đó với sai số cho trước. Định lí 2.1. Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn và giá trị của hàm trái dấu tại hai điểm nút thì phương trình (2.1) có nghiệm trên đoạn . Thêm vào đó, nếu hàm f(x) đơn điệu thì nghiệm duy nhất. Định lí 2.2. giả sử f(x) lien tục trên , khả vi trong (a,b). Nếu là nghiệm gần đúng của nghiệm chính xác trong vàx, m 0. Thế thì ta có công thức đánh giá sai số tổng quát sao đây 2.2 phương pháp chia đôi. Xét phương trình f(x) = 0 (1) có nghiệm chính xác là trong khoảng cách li nghiệm . Nhóm 7 Trang 6 Bộ môn: Toán ứng dụng Đặt Tính f() Nếu f() = 0 thì chính là nghiệm cần tìm Nếu f().f() 0 đặt a Nếu f().f() 0.Đặt Như vậy ta thu được và độ dài . Tiếp tục quá trình chia đôi như vậy đến n lần, ta được kết quả sau: Như vậy ta đượclà dãy tăng và bị chặn trên,còn là dãy giảm và bị chặn dưới. DO đó chúng cùng hội tụ. Từ(2.3) ta có Thông thường ta sử dụng công thức đánh giá sai số sau 2.3 Phương pháp lặp đơn Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=0 (1) đến đoạn cách li nghiệm [a,b] *ND của phương pháp: Chuyển phương trình (1) về dạng tương đương X=g(x) (2) Trong đoạn [a,b] Chọn 1 giá trị [a,b] tuỳ ý Xây dựng dãy lặp {theo công thức: =g() , (2.6) Nhóm 7 Trang 7 Bộ môn: Toán ứng dụng *Lưu ý: Nghiệm của phương trình (2) còn được gọi là điểm bất động của hàm g(x) Định nghĩa: Hàm g(x) được gọi là hàm co trong [a,b] nếu một số q [0,1] (3) Số q đến bất đẳng thức (3) gọi là hệ số co Định lí 2.3: Nếu g(x) là hàm co trên [a,b], thì nó liên tục trên đó. Định lí 2.4: Nếu hàm g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và 0sao cho (a,b), , thì g(x) là hàm co trên [a,b] với hệ số co là q Định lý 2.5: (Nguyên lí ánh xạ co). Giả sử g(x) là hàm co trên đoạn [a,b] với hệ số co là q. Đồng thời, x [a,b], g(x) [a,b]. Khi đó với mọi giá trị ban đầu trong [a,b], dãy lặp xác định theo công thức (2.6) sẽ hội tụ về nghiệm duy nhất của phương trình (2.5) và ta có công thức đánh giá sai số Hoặc 2.4.Phương pháp Newton (còn gọi là phương pháp tiếp tuyến) Định lí: Giả sử hàm f(x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục và các đạo hàm f’(x), f’’(x) không đổi dấu trên đoạn [a,b]. Nếu các đạo hàm cấp 1 và 2 cùng dấu thì chọn =a, khi đó nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=0 được xác định theo công thức : = - n=1,2,3,… Ta có công thức đánh giá sai số Với , ; a;b] 2.5. Phương pháp dây cung Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=0 Giả sử f(x) liên tục trên khoảng cách li nghiệm [a;b] Nhóm 7 Trang 8 Bộ môn: Toán ứng dụng Có đạo hàm đến cấp 2 liên tục f’(x); f’’(x) không đổi dấu và f’’(x) >0 Khi đó nghiệm gần đúng sẽ được tính như sau: Nếu f(a)>0 ta xây dựng dãy lặp theo công thức Nếu f(a)<0 ta xây dựng dãy lặp theo công thức Đánh giá sai số theo công thức: Với m >0 2.6. Giải hệ phương trình phi tuyến: Xét hệ: (2.13) với F(x;y), G(x;y) là các hàm liên tục và có đạo hàm riêng theo các biến x và y liên tục trong lân cận của nghiệm (,).Giả sử J(x;y)= và với mọi (x;y) trong lân cận của nghiệm. Khi đó nếu chọn (,) đủ gần nghiệm () thì hai dãy {và { thu được từ công thức: =- =- Sẽ hội tụ về nghiệm của phương trình (2.13) Chương 3: Nhóm 7 Trang 9 Bộ môn: Toán ứng dụng GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 3.1) phương pháp Gauss Xét hệ phương trình đại số tuyến tính ở dạng ma trận ; X= ; A gọi là ma trận hệ số của hệ X gọi là ma trận ẩn số B gọi là ma trận cột vế phải • Các phép biến đổi sơ cấp + Nhân một hàng cho một số khác 0 + Đổi chỗ 2 hàng cho nhau + Cộng hàng với một hàng khác sau khi đã nhân một số khác 0 Ma trận bậc thang là 1 ma trận thỏa Các hàng khác 0 bao giờ cũng nằm trên hàng 0. Trên hai hàng khác 0 phần tử khác 0 đầu tiên ở hàng bên dưới bao giờ cũng nằm bên phải cột chứa phần tử khác 0 đầu trên ở hàng bên trên. Để giải hệ ta thực hiện. Trong đó là ma trận bậc thang. 3.2) phương pháp nhân tử LU Xét hệ , trong đó Nội dung của phương pháp • Phân tích A thành tích LU Nhóm 7 Trang 10 [...]...Bộ môn: Toán ứng dụng L là ma trận tam giác dưới U là ma trận tam giác trên a) Phương pháp Doolittle Trong đó: L là ma trận tam giác dưới nhưng các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1 U là ma trận tam giác trên Các phần tử L,U được tính theo công thức: b) Phương pháp Gout Các phần tử L,U được tính theo công thức: c) Phương pháp Choleski Phương pháp Choleski là trường hợp riêng của phương pháp. .. các số sau: c) a = 3.4167, Bài 5a: Cho Hãy tính sai số tuyệt đối của: a) Chương 2: Bài 10: Đa thức có nghiệm Sử dụng phương pháp Newton với giá trị lặp ban đầu để tìm nghiệm này Giải thích điều kiện xảy ra Bài 11: Trong hệ các phương trình sau đây, hãy tìm theo phương pháp Newton chọn chọn Chương 3: a) b) Bài 1: Sử dụng phương pháp phần tử trội giải các hệ phương trình sau đây: a) b) c) Chương 4: Bài... Newton a) chọn Bài giải: Nhóm 7 Trang 23 Bộ môn: Toán ứng dụng Ta có: b) chọn c) Bài giải: Ta có: Chương 3: Bài 1: Sử dụng phương pháp phần tử trội giải các hệ phương trình sau đây: a) b) c) Nhóm 7 Trang 24 Bộ môn: Toán ứng dụng Bài giải: a) Chương 4: Nhóm 7 Trang 25 Bộ môn: Toán ứng dụng 3) Cho các bảng giá trị sau của hàng Sử dụng đa thức nội suy Lagrange tính gần đúng giá trị của hàm tại So sánh... 2: Nhóm 7 Trang 22 Bộ môn: Toán ứng dụng Bài 10: Đa thức có nghiệm Sử dụng phương pháp Newton với giá trị lặp ban đầu để tìm nghiệm này Giải thích điều kiện xảy ra Bài giải: Ta có: Vậy đa thức nội suy p(x) hội tụ về nghiệm khác là 0.27 Hiện tượng mỗi lần lặp đều cho giá trị như nhau Giải thích do chọn sai điểm Fourier Bài 11: Trong hệ các phương trình sau đây, hãy tìm theo phương pháp Newton a) chọn... khi và chỉ khi tồn tại ma trận B tam giác dưới khả đảo sao cho Ma trận tam giác dưới B có thể tìm được theo cong thức sau: Phương pháp Choleski: Xét hệ phương trình đại số tuyến tính , nếu là đối xứng và xác định dương thì ta có: 3.3 Chuẩn vectơ và chuẩn ma trận: Nhóm 7 Trang 12 Bộ môn: Toán ứng dụng Chuẩn ma trận tương ứng với chuẩn vectơ xác định theo công thức: Định lý: Ta có chuẩn cùa ma trận A tương... Simpson Chương 6: Bài 1: Sử dụng phương pháp Euler để xấp xỉ nghiệm của các bài toán Cauchy sau đây và so sánh với nghiệm chính xác (a) (b) Nhóm 7 Trang 21 Bộ môn: Toán ứng dụng (c) (d) Bài giải các bài tập: Chương 1: Bài 3c: Xác định số các chữ số đáng tin trong cách viết thập phân các số sau: c) a = 3.4167, Bài giải:  Số các chữ số đáng tin là 2 Bài 5a: Cho Hãy tính sai số tuyệt đối của: a) Bài... chia là n=91 Khi đó ta có: Khi đó: = 0,6363012 b) = Nhóm 7 Trang 30 Bộ môn: Toán ứng dụng h= (n=2m) ta có: sai số được đánh giá bởi Khi đó : = 0,6362975 Chương 6: Bài 1: Sử dụng phương pháp Euler để xấp xỉ nghiệm của các bài toán Cauchy sau đây và so sánh với nghiệm chính xác (a) (b) (c) (d) Bài giải (a) a) Ta có: Nhóm 7 Trang 31 Bộ môn: Toán ứng dụng Với: Ta có bảng giá trị sau: 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5... sau: - Bậc của đa thức nhỏ hơn hoặc bằng n Trước tiên ta xây dựng đa thức phụ: Ta có: Nhóm 7 Trang 13 Bộ môn: Toán ứng dụng Đặt: Để tính giá trị gần đúng của hàm số ta có thể lặp bảng sau đây: Khi đó giá trị gần đúng của đa thức nội suy lagrange tại điểm x là: Chương 5: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN 5.1) Tính gần đúng đạo hàm Xét trường hợp bảng số hai điểm nút: x y yo Y1 Với y0=f(x0) và y1 = f(x1)=f(x1)=f(x0+h).Đa... sau của hàng Sử dụng đa thức nội suy Lagrange tính gần đúng giá trị của hàm tại So sánh với giá trị chính xác a) Nhóm 7 Trang 20 Bộ môn: Toán ứng dụng b) c) Bài 4: Đối với hàm , bảng tỉ sai phân được cho bởi: Hãy xác định các giá trị còn thiếu trong bảng Chương 5: Bài 5: Xác định các giá trị của n và h cần thiết để xấp xỉ tích phân với sai số nhỏ hơn và tính giá trị gần đúng của tích phân (a) Sử dụng... bảng sau: Vậy giá trị gần đúng của hàm là: Nhóm 7 Trang 26 Bộ môn: Toán ứng dụng b) Bài giải: Áp dụng đa thức nội suy Lagrange Ta lập bảng sau: 8.3 Vậy giá trị gần đúng của hàm là: Nhóm 7 Trang 27 Bộ môn: Toán ứng dụng c) Bài giải: Áp dụng đa thức nội suy Lagrange Ta lập bảng sau: 0.2 Vậy giá trị gần đúng của hàm là: Nhóm 7 Trang 28 Bộ môn: Toán ứng dụng Bài 4: Đối với hàm , bảng tỉ sai phân được cho . về nghiệm của phương trình (2.13) Chương 3: Nhóm 7 Trang 9 Bộ môn: Toán ứng dụng GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 3.1) phương pháp Gauss Xét hệ phương trình đại số tuyến tính ở dạng ma. 6………………………… 38 Nhóm 7 Trang 2 Bộ môn: Toán ứng dụng LỜI NÓI ĐẦU Phương pháp tính là bộ môn toán học có nhiệm vụ giải đến kết quả bằng số cho các bài toán, nó cung cấp các phương pháp giải cho những bài. tính theo công thức: b) Phương pháp Gout Các phần tử L,U được tính theo công thức: c) Phương pháp Choleski. Phương pháp Choleski là trường hợp riêng của phương pháp nhân tử , nó áp dụng cho A